Оснoвныe пoнятия вeктopнoгo aнaлизa

Размещено на http://www.allbest.ru/

Западно-Казахстанский Аграрно-Технический Университет

имени Жангир хана

Кафедра "Математики"

Реферат

Тема: Ocнoвныe пoнятия вeктopнoгo aнaлизa

Уральск 2011



1. Скалярное поле

2. Векторное поле

3. Дивергенция. Вихрь



1. Скалярное поле

Вектор - функция скалярного аргумента.

Будем говорить, что имеем вектор-функцию скалярного аргумента t, если каждому значению аргумента t из векторного множества T ставится в соответствие определенное значение .

В декартовой системе координат :

эквивалентно заданию трех скалярных функций

Непрерывно дифференцируемая кривая в каждой точке которой называется гладкой

В каждой точке гладкой кривой существует касательная и производная - направлена по касательной в сторону возрастания параметра t.

Производная вектор функции:

а дифференциал:



- модуль дифференциала

- дифференциал длины дуги.

Пусть единичный вектор

углы вектора

с осями ox, oy, oz направляющие косинусы единичного вектора касательной

Поверхность; Нормаль поверхности.

Поверхность будем рассматривать как образ замкнутой плоской области при непрерывном отображении.

Отображение можно задать следующим образом в векторном виде:

где x, y, z, - непрерывные в замкнутой ограниченной плоскости



В каждой точке гладкой поверхности существует нормаль векторное произведение касательных к кривым в т M₀, к касательным, кривым равным ₁, ₂

Единичная нормаль

;

в случае , когда поверхность задается уравнением в явном виде касательные к поверхности в точке M

важно знать, что нормаль к поверхности определяется:



направляющие косинусы нормали к поверхности z=f(x;y) имеют вид

Говорят, что в системе задано поле, если каждой точке этот области соответствует определённое значение некоторой величины числовой или векторной. Если в каждой точке рассматриваемой области заданная величина принимает числовое значение, то поле скалярное, а если в каждой точке области задан вектор, то поле называется векторным.

Задание скалярного поля означает, что в каждой точке , имеющей радиус вектор определенна скалярная функция . Задание векторного поля характеризуется заданием векторной функции .

Примеры скалярных полей:

Если каждой точке М нагретого тела поставить в соответствие её температуру T(M), то она образует поле температур внутри нагретого тела

- какой либо источник света создаёт скалярное поле освещённости и каждой точке М ставится в соответствие - освещенность в этой точке;

- каждой точке М области, в которой непрерывно распределены электрические заряды можно поставить в соответствие Плотность электрических зарядов - и получить скалярное поле плотности электрических зарядов;

- непрерывно распределенная масса в области образует скалярное поле плотности массы: каждой точке М - ставиться в соответствие плотность в этой точке.

Примеры векторных полей:

- поле скоростей движущейся жидкости;

- гравитационное поле;

- электростатическое поле.

- Если в какой-то области, заполненной жидкостью, текущей с некоторой скоростью, каждой точке М можно поставить в соответствие векторное поле скорости , то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.

- Электрические заряды, распределенные в некоторой области, действуют с определённой силой на единичный электрический заряд, помещённый в точку М. Эти силы образуют векторное поле называемое электрическим полем.

Важными характеристиками скалярного поля являются:

- производная по направлению,

- gradient градиент.

Пусть в области определёно скалярное поле . Возьмем в точке М фиксированное направление производная по направлению характеризует скорость изменения поля в направлении

- где - углы с осями координат.

Градиент скалярного поля определяется как вектор.



Производная по направлению достигает своего наибольшего значения в направлении;

И наконец одно из важнейших свойств вектора градиента:

Вектор направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции

2. Векторное поле

Работа векторного поля

Геометрической характеристикой векторного поля служат векторные (силовые) линии.

Векторной линией (силовой линией) поля называется кривая, у которой касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке векторного поля.

Пусть векторное поле:

Тогда вектор направлен по касательной к линии и по определению векторной линии коллинеарен - векторному полю

Дадим физическую трактовку криволинейного интеграла. Если в некоторой области задано некоторое силовое поле то при перемещении материальной точки M вдоль кривой поле L совершает некоторую работу A.

При сплошная

В случае когда F(M) - скалярное поле, то

Поток векторного поля.

Поверхностный интеграл I рода:

Пусть - кусочно - гладкая поверхность, U(x; y; z) - скалярное поле на .

Тогда поверхностным интегралом I рода называется:



- определяет поверхность ; D - проекция на плоскость xoy;

Поверхностный интеграл II рода - называют потоком векторного поля через поверхность . Его можно интерпретировать как количество жидкости или газа протекающего за единицу времени через поверхность ;

Пусть -поверхность:

- скорость течения жидкости или газа - векторное поле;

- единичная нормаль к поверхности ;

Количество жидкости или газа (поток векторного поля) протекающее через в направлении равно объему цилиндра с основанием _i, образующей .

где D₁, D₂, D₃ - проекции на координатные плоскости.

Теперь можно приступить к решению задач на применение векторного анализа.

Вычислить поток векторного поля где - радиус вектор, через прямой круговой цилиндр с высотой h, радиусом основания R и осью OZ

Решение: поверхность состоит из боковой поверхности ₁ верхнего основания ₂ и нижнего основания цилиндра ₃

Искомый поток П=П₁+П₂+П₃, где П₁, П₂, П₃ - потоки поля через ₁, ₂, ₃.

1) на боковой поверхности ₁ цилиндра внешняя

() = () =

Поток векторного поля через боковую поверхность ₁; П₁

_,

где 2ПRh - площадь боковой поверхности цилиндра.



2) на верхнем основании цилиндра ₂ нормаль

;

где - площадь круга ₁ радиуса R.

3) на нижнем основании ₃ векторы

Поток поля векторов через поверхность цилиндра в направлении внешней нормали П:

П=П₁+П₂+П₃=2R²h+R²h=3R²h.

3. Дивергенция. Вихрь

Дивергенция.

Величина потока вектора через замкнутую поверхность является глобальной характеристикой векторного поля в области и очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области . Поток П представляет собой избыток жидкости, протекающей в сторону положительной нормали n^o, а не абсолютное количество жидкости, прошедшее через поверхность независимо от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке)

означает что поверхностьстягивается в точке М₀.

Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля, исходящего из точки М₀, т.е. мощность источника (при)>0) или стока (при div F(M₀)<0), находящегося в точке М₀.

В трехмерном евклидовом пространстве

,

где

Теорема Остроградского - Гаусса.

Если вектор функция вместе с частными производными - непрерывна в замыкании простой области, то имеет место формула Остроградского - Гаусса:

,

где поверхностные интегралы берутся по внешней стороне поверхности .



Т. Стокса. Ротор. Вихрь.

Циркуляция характеризует завихренность векторного поля вдоль всего контура ?.

Локальной характеристикой поля, связанной с завихренностью является ротор.

Ротором векторного поля в т.М₀ называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контору ? плоской области , перпендикулярной этому направлению, к величине площади S этой области, когда S стягивается в т. М₀, т. е.

Пр.

?

(S

Теорема Стокса: Пусть ? - поверхностно-односвязная область,

? - кусочно-гладкий контур в ? и ? - кусочно-гладкая поверхность, натянутая на контур ? и лежащая в ?.

Пусть в области ? задано векторное поле , такое, что ,

rot - непрерывен в области ?.

Тогда циркуляция поля F по контору ? равна потоку rot через поверхность ?, т.е.

причём направления контура и поверхности согласованы

=

Физический смысл циркуляции и rotora. Пусть F=V(M) - скорость текучей жидкости. Поместим в это поле колёсико с лопастями, расположенными по окружности ? этого колёсика.



Частицы жидкости, действуя на эти лопасти, будут создавать вращательные моменты, суммарное действие которых приводят колёсики во вращение вокруг своей оси. Вращательное действие поля скоростей жидкости будут в каждой точке М характеризоваться проекцией вектора V(M) на на касательную ?⁰ к окружности ?, т. е. скалярным произведениям (V ?⁰). Суммирование вращательных действий жидкости по всему контуру приводит к понятию циркуляции вектора =V. Абсолютная величина вектора будет определять угловую скорость вращения колёсика, а знак циркуляции покажет, в какую сторону вращается колёсики относительно оси. Чем меньше угол

)Размещено на http://www.allbest.ru/

?, тем больше циркуляция , а значит и завихренность поля в этом направлении. скалярный векторный поле поток стокс

Следовательно:

Угловая скорость принимает в точке М наибольшее значение

w= rot , когда направлен по rot , отсюда следует вихрь-вектор направлен по оси вращения с наибольшей угловой скоростью и по длине равен удвоенной величине максимально угловой скорости.

Для направлении rot ?(F,n)=0, в этих направлениях колёсико совсем не будетвращаться.

Для остальных направлении оси



Литература

Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). - М. Высшая школа, 1980

Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, I,II ч. М. Издательство МГУ, 1987

Шилов Г.Е. Математический анализ функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 - 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.

Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа I,II ч. М. Наука 1981.

Размещено на Allbest.ru