Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Томский Политехнический Университет

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

Выполнил

студент гр. 8В22

Голобородов М.С

Проверил преподаватель

Шалаев Ю.Н.

Томск 2004г.

Задание

Привести пример пространства элементарных событий.

Записать совместные и несовместные события и найти их вероятности.

Показать, что для условной вероятности выполняется свойствo:

P(В/B) = 1 - P(A/B)

По плотности распределения вероятностей системы двух случайных величин о и з найти: коэффициент А,

-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;

-функции распределения и плотности распределения отдельных составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);

-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);

-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mо и Mз и дисперсию системы Dо и Dз

По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить его параметры:

X = {4.5, 4.3, 4.0, 3.7, 3.9, 4.3, 4.3, 4.0, 4.0, 4.5, 3.7, 4.0, 3.9, 3.7, 4.5 }.

По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a” - математическое ожидание при уровне значимости б = 0.01.

По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.

5 Задана случайная функция

Y = X COS(2t)

где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.5. Найти числовые характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции

V =dY/dt.

6. Задан случайный процесс

Z = X SIN (t) + Y e-t

c MX = 1.6, DX = 2.5, MY = 3.2, DY = 3, r xy = 0.8.

Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).

1. Пример пространства элементарных событий: бросание двух игральных костей.

Элементарным событием является пара чисел щ = (a,b), где а - число очков на первой кости, b - число очков на второй кости. При этом

События:

A - выпало в сумме число 5,

B - выпало в сумме число 6,

C - выпали 2 одинаковых числа.

A={(1,4), (4,1), (3,2), (2,3)},

B={(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)},

C={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}.

События A и B - несовместные события, т.к. A?B=O;

События B и C - совместные, A?B={(3,3)}

Найдем вероятности этих событий:

;

;

.

2. Докажем, что P(A/B) = 1 - P(A/B)

3. Чтобы найти коэффициент A, воспользуемся условием нормировки плотности системы случайных непрерывных величин

Из этого следует, что A = 2.

f(x,y) = 2x3y;

функция распределения системы непрерывных случайных величин находится как

F(x,y) =

F(x,y) =

0, ,

F(x,y) = , ,

1, x > 1, y > 2

функция распределения отдельных составляющих системы определяется как

событие вероятность распределение случайный

0,

F1(x) = x4,

1, x > 1

0,

F2(y) = y2/4,

1, y > 1

плотность вероятностей отдельных составляющих системы находится по соотношениям

0,

f1(x) = 4x3,

0, x > 1

0,

f2(y) = y/2,

0, y > 2

условная плотность вероятности системы случайных непрерывных величин находится по соотношениям

0,

f (x/y) = 4x3,

0, y > 2

0,

f(y/x) = y/2,

0, y > 2

математическое ожидание системы определится как

дисперсия системы

;

4. X = {4.5, 4.3, 4.0, 3.7, 3.9, 4.3, 4.3, 4.0, 4.0, 4.5, 3.7, 4.0, 3.9, 3.7, 4.5 }.

Строим вариационный ряд:

Строим эмпирическую функцию распределения

, Fn(x) = ;

, Fn(x) = ;

, Fn(x) = ;

, Fn(x) = ;

, Fn(x) = ;

, Fn(x) = 1.

Fn(x) = 0,

1/5,

1/3,

3/5,

4/5,

1,

Построим полигон частот

Построим эмпирическую функцию распределения

Выборочное среднее определяется по соотношению:

Выборочная дисперсия:

- смещенная оценка

- несмещенная оценка

Доверительный интервал для параметра «a»:

при и n = 15(по таблице).

5. Y(t)=Xcos(2t), MX=3, DX =1.5.

;

;

6. Z = X SIN (t) + Y e-t, MX = 1.6, DX = 2.5, MY = 3.2, DY = 3, r xy = 0.8.

;

(т.к. )

.

Размещено на Allbest.ru