Методика изучения многочленов на факультативных занятиях в старших класса средней общеобразовательной школе

Так как дискриминант квадратного трехчлена x²+x+3 меньше нуля, то этот трехчлен на линейные множители не разлагается.

Итак, P₆(x) =(x-1)·(x+2)·( x²+x+3)².

§6. Применение утверждения о корнях многочлена

Данная тема знакома ученикам и они в состоянии самостоятельно раскрыть смысл этого параграфа. Можно предложить нескольким ученикам подготовить эту тему, для изложения её на урока в виде доклада. Для закрепления можно предложить ученикам самостоятельно рассмотреть следующие примеры. Все действия учащихся постоянно должны контролироваться учителем, в ходе объяснения он может корректировать докладчика и отвечать на все, затруднительные вопросы учеников для докладчика по данной теме.

Пример. Найти корни многочлена

P(x)=2x³+x²-4x-2.

Решение. Выясним, имеет ли данный многочлен своим корнем рациональное число. Пусть несократимая дробь p/q является корнем данного многочлена, тогда, согласно приведённому выше утверждению, число p может принимать значения: -1, 1, -2, 2, а число q-может принимать значения 1, 2. Таким образом, рациональными корнями данного многочлена могут быть только следующие числа:

-2, -1, -, , 1, 2.

Непосредственной подстановкой каждого из этих чисел в данный многочлен получаем

P(-2)0, P(-1)0, P(-)0, P()0, P(1)0, P(2)0.

Следовательно, x =- является корнем данного многочлена P(x) и P(x)=(x+)·Q(x).

Применяя схему Горнера, находим выражение Q(x)=2x²-4, корнями которого являются числа и -. Поэтому данный многочлен имеет корни x₁=-, x₂= и x₃=-.

Пример. Разложить на множители многочлен P(x)=2x⁴+2x²+3x-2.

Решение. Выясним, имеет ли многочлен своим корнем рациональное число. Пусть несократимая дробь p/q является корнем данного многочлена, тогда число p может принимать значения -1, 1, -2, 2, а число q-значения 1 и 2. Таким образом, рациональными корнями данного многочлена могут быть следующие числа:

-2, -1, -, , 1, 2.

Непосредственной подстановкой каждого из этих чисел в многочлен получаем

P(-2)0, P(-1)0, P(-)0, P()0, P(1)0, P(2)0.

Так как P(-1)= P()=0, то числа -1 и являются корнями данного многочлена; следовательно, P(x)=(x+1)·(x- )·Q(x).

Многочлен Q(x) можно найти, например, делением «столбиком» многочлена P_n(x) на многочлен (x+1)·(x-)=x²+- или делением по схеме Горнера многочлена P_n(x) на x+1, а затем делением полученного частного на x- или методом неопределённых коэффициентов.

Найдём многочлен Q(x)=2x²+bx+c методом неопределённых коэффициентов.

Поскольку справедливо тождественное равенство

2x⁴-x³+2x²+3x-2=(x²+-)·(2x²+bx+c)

И свободный член многочлена, стоящего в левой части, равен -2, а свободный член многочлена, стоящего в правой части, равен -c, то c=4. Подставляя в тождество вместо c значение 4, а вместо х число 1, находим b:

2·1-1+2·1+3·1-2=(1+-)·(2·1+b·1+4), откуда b=-2.

Итак, Q(x)=2x²-2x+4.

Многочлен 2x²-2x+4 действительных корней не имеет и на множители не разлагается. Поэтому данный в условии задачи многочлен разлагается на множители следующим образом: 2x⁴-x³+2x²+3x-2=2(x -)·(x²-x+2).

§7. Методы разложения многочлена на множители

Эту работу можно предложить ученикам в виде повторительного урока. Вызывать учеников к доске и решать предложенные примеры. У обучаемых достаточно знаний для решения подобных примеров. Аналогично проводить работу на местах, кто «ушёл» дальше остальных, получает дополнительные задания и решает их.

Пример. Разложить на множители многочлен:

а) x²-5·x +6;

б) -x²-7·x -12.

Решение.

а) Из уравнения x²-5·x +6, решив, получим числа 2 и 3, они таковы, что их произведение равно свободному члену q=6, а их сумма равна -5, то они являются корнями многочлена x²-5·x +6, и, следовательно, x²-5·x +6 разлагается на множители(x-2)·(x-3);

б) Решив уравнение -x²-7·x -12=0 получим числа -3 и -4, они таковы, что (-3)·(-4)= и (-3)+(-4)=-, то они являются корнями квадратного трёхчлена -x²-7x-12, и, следовательно, -12-7x-x² можно преобразовать следующим образом: (-1)·(x+3)·(x+4).

Пример. Разложить на множители:

1) P₃ (x)= x³+4x²+5x+2;

2) P₄ (x)= 2x⁴-3x³-7x²+6x+8.

Решение.

1) Так как P₃ (-1)=0, то многочлен P₃ (x) делится на x+1. Методом неопределённых коэффициентов найдём частное от деления многочлена

P₃ (x)= x³+4x²+5x+2 на двучлен x+1.

Пусть частное есть многочлен x²+. Так как

x³+4x²+5x+2=(x+1)·(x²+)=x³+(+1)·x²+()·x+, получим систему



Откуда . Следовательно, P₃ (x)=(x+1)·(x²+3x+2).

Поскольку x²+3x+2=x²+x+2x+2=x·(x+1)+2·(x+1)=(x+1)·(x+2), то P₃ (x)=(x+1)²·(x+2).

2) Поскольку P₄(2)=32-24-28+12+8=0, то многочлен P₄ (x) делится на x-2. Метод неопределённых коэффициентов найдём частное 2x³+x²+x+.

Так как 2x⁴-3x³-7x²+6x+8=(x-2)·(2x³+x²+x+)=2x⁴+(-4)·x³+(-2)·x²+(--2)·x-2

Получим систему

Откуда =1, =-5, =-4. Следовательно, P₄ (x) =(x-2)·(2x³+x³-5x-4).

Разложим на множители многочлен правой части:

2x³+x²-5x-4=2x³+2x²-x²-x-4x-4=2x²·(x+1)-x·(x+1)-4·(x+1)=(x+1)·(2x²-x-4).

Найдём дискриминант квадратного трёхчлена 2x²-x-4. Так как

D=1+4·4·2=330, то

x₁₌ и x²= корни этого трёхчлена. Поэтому 2x² - x - 4 =

2·( x - )·(x - ).

Итак, P₄ (x) = 2·(x+1)·(x -2)· ( x - )·(x - ).

Приложение

В данном разделе предложены некоторые примеры для рассмотрения на факультативных занятиях. Номера со знаком (*) - Задание повышенной сложности. Эти номера рекомендуется давать обучаемым для домашней и индивидуальной работы.

1. Найти сумму коэффициентов многочлена, получающегося после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении .

Предположим, что разложение заданного выражения по
степеням имеет вид ,

где -- неизвестные нам коэффициенты, сумму которых требуется определить, a -- степень этого выражения (которая, как легко видеть, равна). Положим в этом равенстве ; тогда получим: .

Таким образом, искомая сумма равна единице.

2. В каком из выражений и будет стоять после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при ?

Раскрыв скобки и сделав приведение подобных членов в
двух рассматриваемых выражениях, мы получим два многочлена
относительно . Заменим теперь в наших выражениях на . При
этом нам придется заменить на также и в полученных многочленах, т.е. в каждом из них оставить прежние коэффициенты
при в четных степенях и заменить знаки коэффициентов на обратные при в нечетных степенях. В частности, коэффициенты при
при этой операции не изменяется. Таким образом, мы видим, что
наши два многочлена имеют те же коэффициенты при , что и
многочлены, получаемые при раскрытии скобок и приведении подобных членов в выражениях и .

Но ясно, что первый из этих новых многочленов имеет больший коэффициент при . Действительно, при раскрытии скобок в первом выражении мы получим исключительно положительные коэффициенты при различных степенях х, и при приведении подобных членов все эти коэффициенты будут складываться. Во втором выражении при раскрытии скобок мы получим при различных степенях х коэффициенты, имеющие те же абсолютные величины, что и коэффициенты первого многочлена, но знаки их могут быть различны -- и при приведении подобных членов у нас произойдет уменьшение коэффициентов.

Итак, после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражениях и мы получим в первом из них больший коэффициент при , чем во втором.

3. Доказать, что в произведении после раскрытия скобок и приведения подобных членов не останется членов, содержащих в некоторой степени.

Утверждение задачи непосредственно вытекает из следующих преобразований:

Найти коэффициент при после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражениях: а) б)

а) Согласно формуле суммы геометрической прогрессии и формуле Ньютона имеем:



Таким образом, искомый коэффициент равен

б) Обозначим наше выражение через . Тогда имеем :

Отсюда

Таким образом искомый коэффициент равен

4. * Определить коэффициент при после раскрытия скобок и приведения подобных членов в разложении (n-раз).

Найдем, прежде всего, свободный член, который получится, если в выражении

раскрыть скобки и привести подобные члены. Он равен значению этого выражения при х = 0, т. е.



Обозначим теперь через -- коэффициент при , через --коэффициент при и через-- сумму членов, которые содержат в более высоких степенях. Тогда имеем:

С другой стороны,

Отсюда

Так как , то. Следовательно, и вообще. Вычислим теперь:

Подставляя сюда получим:

5. Найти остаток от деления многочлена а) на ; б) на .

а) Первое решение. Так как при любом целом положительном двучлен делится на , то

даёт при делении на остаток 6.

Второе решение. Обозначим частное от деления на через q(x) и остаток через. Тогда .

Полагая в этом равенстве, получим .

б) Аналогично второму решению предыдущей задачи предположим, что q(x) есть частное от деления нашего многочлена на , a есть искомый остаток (остаток от деления многочлена на квадратный трехчлен является двучленом первой степени):

, откуда .

Таким образом, искомый остаток равен .

6. Неизвестный многочлен даёт при делении на остаток 2, а при делении на - остаток 1. Какой остаток даёт этот многочлен при делении на ?

Пусть р(х) есть наш неизвестный многочлен, q(x) - частное от деления этого многочлена на -- искомый остаток:

. (*)

По условию задачи имеем: , откуда;

, откуда.

Подставляя теперь в равенство (*) и , получаем:

откуда Таким образом, искомый остаток есть .

7. При делении многочлена на получается частное и остаток. Найти в частном коэффициент при .

Многочлен можно разложить на множители; он равен . Отсюда легко увидеть, что этот многочлен является делителем многочлена , а именно:

Разделить на -- это то же самое, что разделить на, а затем результат помножить на. Но легко видеть, что

в этом легко убедиться, если произвести деление «углом» по правилам деления расположенных многочленов или если заметить, что и воспользоваться известной формулой деления разности четных степеней двух одночленов на разность оснований). Отсюда следует, что искомый коэффициент совпадает с коэффициентом при в произведении ,

который равен - 1

8. Найти все многочлены , для которых справедливо тождество

Из выписанного в условии задачи тождества следует, что искомый многочлен Р(х) = Р_п(х) (где --степень многочлена) делится на х, т. е., где -- какой-то новый многочлен степени . Поэтому , и значит , в силу чего делится и на , т. е. (на делится многочлен). Но втаком случае , и мы получаем: ,-- откуда следует, что Р_п(х) делится и на (т.е. делится на ), и, значит, . Подставляя это значение Р(х) в исходное соотношение, мы аналогично убеждаемся в том, что Р(х) делится и на , т. е. , и т.д.

Продолжая поступать таким же образом, мы в конце концов приходим к следующей форме многочлена Р(х):

.

Подставляя в заданное тождество это выражение многочлена Р(х), мы получим:

,

откуда вытекает, что для многочлена степени

(*)

Ясно, что если --многочлен нулевой степени (число!), то соотношение (*) имеет место; покажем, что оно имеет место только в этом случае. В самом деле, если , где , то, приравнивая с обеих сторон тождества (*) коэффициенты при , в силу формулы бинома Ньютона, получаем: , или , что, однако, противоречит предположению . Таким образом, и

— многочлен 26-й степени.

9. Дан многочлен с: а) натуральными; б) целыми коэффициентами сумму цифр числа обозначим через (ясно, что величина просто не существует). Доказать, что если последовательность содержит бесконечно много чисел, то она содержит бесконечно много одинаковых чисел.

а) Если все коэффициенты неотрицательны, то все числа имеют смысл. Рассмотрим такую степень десяти , что больше всех коэффициентов многочлена . Тогда число , очевидно, начинается с тех цифр, которыми записывается коэффициент многочлена; затем (после, быть может, некоторого числа нулей) идут цифры числа ; затем (возможно, опять после нулей) -- цифры числа , и т. д. --вплоть до цифр числа ; поэтому число равно сумме всех цифр всех чисел . Но этому же самому числу S равны и величины откуда и следует, что в последовательности ,число S встречается бесконечно много раз.

б) Ясно,- что если старшин коэффициент по многочлена отрицателен, то среди чисел будет вообще лишь конечное число имеющих смысл (ибо при всех достаточно больших многочлен имеет тот же знак, что и его старший коэффициент -- это следует, например, из того, что ). Таким образом, остается лишь рассмотреть случай . Но в этом случае, как мы покажем, существует таков число М > 0, что у «сдвинутого»-многочлена все коэффициенты положительны. Отсюда будет следовать, что последовательность сумм цифр чисел содержит бесконечно много одинаковых чисел, а так как, очевидно, то и последовательность также содержит бесконечно много одинаковых чисел.

Итак, вам остается лишь доказать напечатанное выше курсивом утверждение. Но если

то, в силу формулы бинома Ньютона, , где . Таким образом, имеет вид многочлена (степени ) от М со старшим коэффициентом ; поэтому все (где заметим, что ) при достаточно большом М будут положительны, что и требовалось доказать.

10. Доказать, что многочлен нельзя представит как произведение двух многочленов: от одного переменного и одного переменного .

Пусть многочлены и имеют свободные члены (т.е. ) и . Положим в равенстве переменная равным 0; тогда получим , т.е. ; таким образом, g(y) равно при всех, т. е. эго есть постоянная (многочлен нулевой степени). Аналогично доказывается, что , т. е. . Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.

11. Квадратный трёхчлен таков, что уравнение не имеет (вещественных) корней. Доказать, что тогда и уравнение также не имеет вещественных корней.

Так как (квадратное) уравнение не имеет вещественных корней, то квадратный трехчлен при всех принимает значения одного знака, скажем, при всех . Но в таком случае для любого имеем, т. е. , и так как, по предположению, , т. е. , то и, значит, не может служить корнем уравнения (4-й степени).

Будем считать, что -- в противном случае мы заменим многочлен на (удовлетворяющий тем же условиям) многочлен. Аналогично будем считать и что -- в противном случае мы заменим на . Подставив теперь значения и в неравенство , получим и , т. е. и , . Далее, если и, значит, (при ) , а , имеем и , откуда следует, что . Аналогично, при , когда (и по-прежнему ), и , откуда вытекает, что и здесь .

12. Доказать, что если - корень уравнения а - корень уравнения то найдётся промежуточный между ними корень уравнения , т.е. такой, что , либо .

Исключим из рассмотрения мало интересный случай , когда три уравнения (1), (2) и (3) являются уравнениями 1-й степени, т. е. имеют единственный корень каждое, и все совпадают между собой (здесь ), а также случай, когда, скажем, и наши три уравнения имеют корни и -- здесь корень уравнения (3) заключен между любым корнем уравнения (1) и любым из корней уравнения (2)). Далее, если , то ; аналогично, если , то

.

Следовательно, величины и имеют разные знаки. Но это означает, что точки и параболы лежат по разные стороны от оси х, откуда и следует, что существует промежуточная между этими точками точка параболы, в которой эта кривая пересекает ось х; и есть искомый корень уравнения (3).

13. Пусть и - корни уравнения , а и - корни уравнения . Выразит произведение через коэффициенты данных уравнений.

Если и --корни уравнения , то . Следовательно,

.

Но и, значит,

а) Найти целое число такое, что разлагается в произведение двух множителей с целыми и . б) Найти такие отличные от нуля не равные между собой целые числа , чтобы многочлен четвёртой степени с целыми коэффициентами можно было переставить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами.

а) Пусть . Пологая в обеих частях равенства , получим: . Отсюда .

Так как и --целые, то и -- также целые. Но -- 1 может быть представлена в виде произведения двух целых чисел только одним способом:. Поэтому имеются только две возможности:

1); тогда , т. е. а = 8: .

2); тогда т.е. :

б) Так как многочлен четвертой степени можно разложить или в произведение многочлена первой степени и многочлена третьей степени или в произведение двух многочленов второй степени, то нам следует рассмотреть отдельна два случая:

А) (*) (коэффициенты в правой части равенства при х в первом множителе и при во втором множителе оба равны 1 или оба равны -- 1, так как в произведении этих множителей коэффициент при должен быть равен коэффициенту при в выражении , т. е. 1; равенство же можно привести к виду (*), умножив обя сомножителя правой части на -1).

Положив в равенстве (*) последовательно х = 0, х = а, х = b и х = с и учитывая, что 1 разлагается на множители только двумя способами , мы получим, что четыре различных числа и с + р (напоминаем, что числа 0, а, b, с все различны) могут иметь только два значения + 1 и -- 1, что невозможно.

Б) . Отсюда, как и выше, получаем, что при х = 0, х = а, х = b и х = с оба многочлена, как, так и, принимают .значения 1 или -- 1. Но квадратный трехчлен х² + рх + q не может принимать одно и то же значение при трех различных значениях (в противном случае квадратное уравнение имело бы три различных корня), откуда следует, что при двух из четырех значений х = 0, х = а, х = b, x = с этот трехчлен принимает значение 1, а при двух других -- значение --1. Предположим, что, и пусть х = а есть то из значений х= а, х = b и х = с, при котором этот трехчлен принимает то же самое значение 1; в таком случае при х = b и x = с он принимает значение -- 1. Итак, мы имеем:

Из следует, что (ибо, по предположению,). Таким образом, два последних равенства принимают вид , . Вычитая нз первого равенства второе, получим: , откуда, так как , имеем: . Теперь из равенства

получаем следующие значения для b, с и а;

,

и ,

Аналогично, если х² + рх + q принимает при х = 0, и значение -- 1, при х=b и х = с значение + 1, то мы имеем:

q = -- 1, , откуда

Мы получаем, таким образом, еще две возможные системы значений для а, b и с:

,

,

14. При каких отличных друг от друга целых числах многочлены с целыми коэффициентами а) ,

б)

а) Предположим, что , где р(х) и q(x) --многочлены с целыми коэффициентами, сумма степеней которых равна; можно считать, что в обоих этих многочленах старший коэффициент равен 1 (сравните с решением предыдущей задачи). Подставляя в это равенство значения и учитывая, что -- 1 разлагается на два целых множителя единственным образом:, мы получим, что р(х) = 1, q(x) = -1, или наоборот, при каждом из рассматриваемых значений х. Таким образом, мы видим, что сумма равна нулю при . Итак, уравнение имеет своими корнями отсюда следует, что многочлен делится на , а следовательно, и на произведение . Но степень уравнения , равная наибольшей степени многочленов р(х), q(x), меньше ( есть степень выражения . Отсюда еледует, что не может делиться на произведение , а следовательно, разложение, существование которого мы предположили, невозможно.

б) Предположим, что , где р(х) и q(x)-- многочлены с целыми коэффициентами, старшие коэффициенты которых равны 1. Подставив в это равенство значения , мы получим, что при каждом из рассматриваемых значений х, р(х) = 1, q(x) = 1 или р(х) = -1, q(x) = -1. Таким образом, р(х)-q(x) обращается в нуль при различных значениях х, и, следовательно, во-первых, и, во-вторых, число четно: , где k есть степень каждого из многочленов . Перепишем теперь наше равенство в виде или .

Итак, произведение двух многочленов и обращается в нуль при . Следовательно, при каждом из этих значений х обращается в нуль хотя бы один из сомножителей, а это значит, что или , или делится на или , или делится на, и т. д. Так как многочлен степени k не может делиться на произведение больше чем k различных выражений вида, и так как из того, что многочлен степени со старшим коэффициентом 1 делится на произведение k выражений вида , следует, что он равен этому произведению, то мы можем утверждать, что равно произведению k из 2k сомножителей левой части последнего равенства, а равно произведению остальных k сомножителей.

Предположим, например, что , . Вычитая из пеового равенства втоиое, получим:

. Подставив сюда, например, , мы получим разложение числа 2 в произведение целых множителей:.

Так как число 2 нельзя разложить в произведение больше чем трех различных множителей, то отсюда сразу следует, что. Но случай тоже является невозможным по следующей причине. Число 2 может быть разложено в произведение трех различных сомножителей только одним единственным способом: . Предположим, что , . Тогда , где , и следовательно . Подставив в формулу ,

мы придем к другому разложению 2 на три различных множителя: , где тоже . Отсюда следует, что и значит,, что противоречит условию задачи.

Итак, возможными являются только два случая: и k = 1.

1°. Если , то мы имеем:

, откуда , и, обозначая просто через а, получим:

2°. Если, то имеем: , где будем считать . Подставляя в последнее равенство и, получим:

Но 2 можно разложить на два множителя, следующих в убывающем порядке, только двумя способами: и . Так как, кроме того, , то мы имеем: , откуда, обозначая через а, получим: и разлагаются в произведение других многочленов?

15. * Доказать, что при любых отличных друг от друга целых чисел многочлен не разлагается в произведение двух других многочленов с целыми коэффициентами.

Аналогично решению предыдущей задачи из предполагаемого равенства , (*), где р(х), q(x)--какие-то многочлены с целыми коэффициентами (и с коэффициентами при старших членах, равными 1), следует, что либо р(х) = 1, q(x) = 1, либо р(х)= - 1, q(x) = - 1 при каждом из значений . Покажем, что многочлен р(х) (и, разумеется, также и q(x)) может быть либо при всех значениях равен 1, либо при всех этих значениях х равен - 1.

В самом деле, если бы, например, многочлен р(х) при принимал значение 1, а при -- значение -1, то при некотором промежуточном значении х, заключенном между и , он обращался бы в нуль (если график функции у = р(х) при находится сверху от оси Ох, а при оказывается снизу от этой оси, то непрерывная кривая , где-то между и пересекает ось Ox), что невозможно, ибо левая часть равенства (*) всегда больше, либо равна 1 и потому в нуль обратиться не может.

Предположим, что как р(х), так и q(х) при принимают значения 1. В таком случае как , так и обращаются в нуль и, следовательно и делятся на . Так как сумма степеней многочленов р(х) и q(x) равна степени , т. е., то и (ср. с.решением предыдущей задачи).

Таким образом, мы пциходнм к равенству

откуда , что неверно. Точно так же доказывается, что р(х) и q(x) не могут принимать в точках значения -- 1 (в этом случае мы получили бы .

Итак, мы видим, что разложение выражения

в произведение двух, многочленов с целыми коэффициентами невозможно.

16. Доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами принимает при чётных целых значениях значение 7, то он не может принимать значение 14 ни при каком целом значении .

Пусть многочлен Р(х) равен 7 при х = а, х = b, x = с и х = d. В таком случае уравнение Р(х)--7 = 0 имеет четыре целых корня а, b, с и d. Это значит, что многочлен Р(х) -- 7 делится на х -- а, х -- b, х -- с, х -- d), т. е.

, где р(х) может равняться 1.

Предположим теперь, что многочлен Р(х) принимает при целом значении х = А значение 14. Подставив х = А в последнее равенство, мы получим:

, что невозможно, так как целые числа А --а, А -- b, А -- с и А -- d все различны, а 7 нельзя разложить в произведение пяти множителей, из которых по крайней мере четыре отличны друг от друга.

17. Доказать, что если многочлен 7-й степени с целыми коэффициентами при 7 целых значениях принимает значение +1 и -1, то нельзя представить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами.

Если многочлен седьмой степени Р(х). разлагается в произведение двух многочленов р(х) и q(x) с целыми коэффициентами, то степень хотя бы одного из сомножителей не больше 3; будем считать, что этим сомножителем является р(х). Если Р(х) при семи целых значениях х принимает значение ± 1, to p(x) при тех же значениях х тоже принимает значения ± 1 (так как p(x)q(x) = Р(х)). Среди семи целых значений х, при которых p(x) принимает значения ± 1, найдутся четыре таких, при которых р(х) принимает значение 1, или четыре таких, при которых р(х) принимает значение -- 1. В первом случае уравнение третьей степени р(х) -- 1 =0 имеет четыре корня, во втором случае уравнение р(х) + 1=0 имеет четыре корня. Ни то, ни другое не может иметь места, так как, например, в первом случае р(х) -- 1 должно было бы делиться на многочлен четвертой степени.

18. Доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами принимает при и нечётные значения, т уравнение имеет рациональный корень , то равно 1 или 2 и .

Пусть р и q -- два целых числа, одновременно четных или нечетных. Тогда разность Р(р)-P(q) четна. Действительно, выражение

делится на четное число р -- q.

В частности, при р четном разность четна. Но по условию Р(0) нечетно; следовательно, Р(р) также нечетно, а потому. Аналогично при р нечетном разность Р(р)--Р(1) четна; так как по условию Р(1) нечетно, то отсюда, как и выше, следует, что .

Следовательно, Р(х) не может обращаться в нуль ни при каком целом значении х (как четном, так. и нечетном), т. е. многочлен Р(х) не имеет целых корней.

Предположим, что уравнение Р(х) = 0 имеет рациональныц корень , т.е. . Разложим многочлен по степеням , т.е. запишем его в виде , где -- некоторые целые числа, которые нетрудно найти, если известны ( равно старшему коэффициенту многочлена Р(х), -- старшему коэффициенту многочлена
степени п --1, с₂ -- старшему коэффициенту многочлена степени п -- 2, и т. д.).
Подставив х = р в последнее выражение для Р(х), мы получим
Подставив в это же выражение и умножив результат на, мы получим:

,

откуда следует, что если , то есть целое число. Но так как pl делится на l, a k взаимно просто с l (иначе дробь можно было бы сократить),то k -- pl взаимно просто с l, а следовательно, k -- pl взаимно просто и с . Отсюда, следует, что может быть целым числом только, если .

Точно так же докажем, что и

Вычтя теперь равенство из равенства , мы получим:

или ( р -- q)l = ±2. Но (р -- q)l > 0, так как и , а следовательно,

Итак, если р -- q > 2, то уравнение Р(х) =0 вовсе не может иметь рациональных корней. Если же р -- q = 2 или р -- q = 1, то рациональный корень может существовать. При этом, складывая равенства , мы получаем:

,что и требовалось доказать.

Заключение

Результатом выпускной квалификационной работы является разработанная методика изучения темы «Многочлены». Изучение и углубление знаний по данной теме необходимо в настоящее время, так как увеличивается ценность образования. А при изучении этой темы у учеников повышается способность к научно-исследовательской деятельности.

Для того, чтобы улучшить понимание определений, теорем и следствий, необходимо вводить их строго аналитическим методом. Таким образом этот аспект тоже рассмотрен в данной работе. На уровне с этим разработаны методические положения, способствующие целостному успешному усвоению знаний.

При выполнении выпускной квалификационной работы было достигнуто следующее:

- обобщен и систематизирован материал по теме «Многочлены»;

- разработаны методические рекомендации;

- разработан психолого-педагогический блок по изучению темы.

Материал представленный в данной исследовательской работе может быть использован учителями средних школ и школ с математической специализацией. Кроме того, он может быть рекомендован учащимся старших классов средних школ, школ-лицеев, школ-гимназий, желающим усовершенствовать свою математическую подготовку перед выпускными и вступительными экзаменами в вузы, а также студентам физико-математических факультетов педагогических институтов и университетов.

Литература

1. «Математика» Большой справочник для школьников и поступающих в вузы - Дрофа 1998 864стр.

2. «Математика» Задачи М. И. Сканави с решениями - Минск 1996 448стр.

3. Бугров Я.С. Высшая математика.- Ростов - на - Дону 1997

4. Винберг В.А. Алгебра.- Москва 1995

5. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике.- Москва 1997

6. Зив Б.Г. Математика, 11. Уроки повторения. -- СПб.: Мир и семья-95, 1998.

7. Кузнецова Г.Н. Миндюк Н.Г. «Программа» (Тематическое планирование к учебникам федерального комплекта «Математика») - М.:2002г 320стр.

8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.- Наука 1973

9. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11. Учебник, задачник.

10. Сборник задач по математике с решениями / под ред. М. И. Сканави -М.: Издательский дом Оникс 1999: - 624стр.

11. Фрижман Л.М., Турецкий Е.Н. «как научиться решать задачи»: Просвещение 1984 - 175стр.

12. Шлярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. "Избранные задачи и теоремы элементарной математики" Том 1 Арифметика и алгебра.-С-Петербург 1998: - 328 стр.

Размещено на Allbest.ru