Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

Ташкентский Архитектурно-Строительный Институт

Факультет: Инженерный Сервис

Кафедра «Математика и естественные науки»

Самостоятельная работа

по предмету «Высшая математика»

на тему: «Случайные события в элементарной теории вероятностей»

Ташкент 2010г.



Содержание

Случайные события, их классификация

Действия над событиями

Случайные события. Алгебра событий. (Теоретико-множественная трактовка)

Свойство статистической устойчивости относительной частоты события

Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности

Элементы комбинаторики

Примеры вычисления вероятностей

Геометрическое определение вероятности

Аксиоматическое определение вероятности

Свойства вероятностей

Конечное вероятностное пространство

Условные вероятности

Вероятность произведения событий. Независимость событий

Вероятность суммы событий

Формула полной вероятности

Формула Байеса (теорема гипотез)

Независимые испытания. Схема Бернулли

Формула Бернулли

Предельные теоремы в схеме Бернулли



Случайные события, их классификация

Сначала определим понятие «случайное событие» исходя из его интуитивного, наглядного понимания. Пусть проводится некоторый опыт (эксперимент, наблюдение, испытание), исход которого предсказать заранее нельзя. Такие эксперименты в теории вероятностей называют случайными. При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять, хотя бы теоретически, при неизменном комплексе условий произвольное число раз.

Случайным событием (или просто: событием) называется любой исход опыта, который может произойти или не произойти.

События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, ... .

Пример 1.1. Опыт: бросание игральной кости; событие А -- выпадение 5 очков, событие В -- выпадение четного числа очков, событие С -- выпадение 7 очков, событие D -- выпадение целого числа очков, событие Е -- выпадение не менее 3-х очков, ….

Непосредственные исходы опыта называются элементарными событиями и обозначаются через ?. Элементарные события (их называют также «элементами», «точками», «случаями») рассматриваются как неразложимые и взаимоисключающие исходы ?1, ?2, ?3 … этого опыта.

Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий или пространством исходов, обозначается через ?.

Рассмотрим пример 1.1. Здесь 6 элементарных событий ?1, ?2, ?3 ?4, ?5, ?6. Событие ?i означает, что в результате бросания кости выпало i очков, i = 1,2,3,4,5,6. Пространство элементарных событий таково: ? -- {?1, ?2, ?3 ?4, ?5, ?6} или ? = {1,2,3,4,5,6}.

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта, обозначается через ?.

Событие называется невозможным если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта, обозначается через ?.

В примере 1.1 события A и В -- случайные, событие С -- невозможное, событие D --- достоверное.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте, т. е. не смогут произойти вместе в одном опыте. В противном случае события называются совместными.

Так, в примере 1.1 события А и В -- несовместные, А и Е -- совместные.

События А1, А2, …, Аn называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны.

Несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.

В примере 1.1 события ?1 - ?6 образуют полную группу, ?1 - ?5 -- нет.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие, т. е. все события имеют равные «шансы».

В примере 1.1 элементарные события ?1, ?2, ?3 ?4, ?5, ?6 равновозможны. Выпадение герба (А) или решки (В) при бросании монеты равновозможные события, если, конечно, монета имеет симметричную форму, не погнута, ....

Действия над событиями

Введем основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным операциям над множествами.

Суммой событий An В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе).

Произведением событий А и В называется событие С = А • В, состоящее в совместном наступлении этих событий (т. е. и А и В одновременно).

Разностью событий А и В называется событие С = А -- В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В.

Противоположным событию А называется событие A, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т. е. A означает, что событие А не наступило).

Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует, что происходит событие В; записывают А В.

Если А В и В Л, то события А и В называются равными; записывают А = В.

Так, в примере 1.1 (п. 1.2) В = {2,4,6}, Е = {3,4,5,6}, А = {5}, D = {1,2,3,4,5,6}. Тогда: В + Е = {2,3,4,5,6}, В • Е = {4,6}, В - Е = {2}, A = {1,2,3,4,6}, BD, D = ? = {1,2,3,4,5,6}.

События и действия над ними можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна: достоверное событие ? изображается прямоугольником; элементарные случайные события -- точками прямоугольника; случайное событие -- областью внутри него. Действия над событиями можно изобразить так, как показано на рис. 1-5.

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

§ A + B = B + A, A • B = B • A (переместительное);

§ (A + B) • C = A • C + B • C, A • B + C = (A + C) • (B + C) (распределительное);

§ ( A + B) + С = A + (B + C), (A • B) • C = A • (B • C) (сочетательное);

§ А + А = А, А • А = А;

§ А + ? = ?, А • ? = А;

§ А + A = ?, А • A = ?;

§ = ?, = ?, = A;

§ A - B = A • ;

§ = • и = + - законы де Моргана

В их справедливости можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Пример 1.2. Доказать формулу

A + B = A + AВ

Используя некоторые из выше приведенных правил, получаем:

А + В = (А + B)•? = A•? + B•? = A•? + B•(A+A) = A•? + (A+A)•B = A•? + A•B + A•B = (?+B)•A + A•B = A + A•B.

Таким образом, сумму любых двух событий можно представить в виде суммы двух несовместных событий.

Геометрическое доказательство представлено на рис. 6.



Случайные события. Алгебра событий. (Теоретико-множественная трактовка)

Определим теперь основные понятия теории вероятностей, следуя теоретико-множественному подходу, разработанному академиком Колмогоровым А. Н. в 1933 году.

Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом.
Множество ? -- {?} всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта называется пространством элементарных событий (коротко: ПЭС), а сами исходы ? -- элементарными событиями (или «элементами», «точками»).

Случайным событием А (или просто событием А) называется любое подмножество множества ?, если ? конечно или счетно (т. е. элементы этого множества можно пронумеровать с помощью множества натуральных чисел): А ?.

Элементарные события, входящие в подмножество А пространства ?, называются благоприятствующими событию А.

Множество ? называется достоверным событием. Ему благоприятствует любое элементарное событие; в результате опыта оно обязательно произойдет.

Пустое множество ? называется невозможным событием; в результате опыта оно произойти не может.

Пример 1.3. Опыт: один раз бросают игральную кость. В этом случае ПЭС таково: ? = {1,2,3, 4,5,6} или ? = {?1, ?2, ?3 ?4, ?5, ?6}, где ?i -- элементарное событие, состоящее в выпадении грани с i очками (i = ). В данном случае ? конечно. Примером события А является, например, выпадение нечетного числа очков; очевидно, что А = {?1,?3,?5}; событию А благоприятствуют элементарные события ?1,?3,?5. Однако если нас интересует только факт выпадения четного числа очков, то ПЭС можно построить иначе: ? = {?1, ?2}, где ?1 -- выпадение четного числа очков, ?2 нечетного.

Пример 1.4. Опыт: стрельба по цели до первого попадания. Тогда

где П означает попадание в цель, Н - непопадание. Исходов у этого опыта бесконечно (теоретически); ? счетно.

Пример 1.5. Опыт: наблюдение за временем безотказной работы некоторого агрегата. В этом случае в качестве результата может появиться любое число t ? 0; время t меняется непрерывно; ПЭС таково: Q = {t, 0 ? t ? ?}. Исходов у этого опыта бесконечно, ? несчетно (континуально).

Над событиями можно проводить все операции, выполнимые для множеств.

Сумма (или объединение) двух событий А ? и В ? (обозначается А + В или A В) -- это множество, которое содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из событий А и В.

Произведение двух событий А ? и В ? (обозначается АВ или АВ) это множество, которое содержит элементы, общие для событий А и В.

Разность событий A ? и B ? (обозначается А - В или А\В) -- это множество, которое содержит элементы события А, не принадлежащие событию В.

Противоположное событию А ? событие A = ?\А. (A называют также дополнением множества A.)

Событие А влечет событие В (обозначается А В), если каждый элемент события А содержится в В.

По определению: ? А для любого А.

События A и В называются несовместными, если их произведение есть невозможное событие, т. е. А • В = ?.

Несколько событий А1, A2,..., Аn образуют полную группу несовместных событий, если их сумма представляет все ПЭС, а сами события несовместны, т. е.

Полную группу образуют, например, события А и A (А + A = ?, А•А=?).

В случае несчетного пространства ? в качестве событий рассматриваются не все подмножества ?, а лишь некоторые классы этих подмножеств, называемые алгебрами и алгебрами множеств.

Класс S подмножеств пространства ? называется алгеброй множеств (событий), если:

? S, ? S;

из A S вытекает, что A S;

из А S, В S вытекает, что А + В S, А • В S.

Заметим, что в условии 3 достаточно требовать либо А + В S, либо АВ S, так как А + В = , А • В = .

Алгебру событий образует, например, система подмножеств S = {?, ?}. Действительно, в результате применения любой из вышеприведенных операций к любым двум элементам класса S снова получается элемент данного класса: ? + ? = ?, ? • ? = ?, = ?, ? = ?.

При расширении операций сложения и умножения на случай счетного множества алгебра множеств S называется алгеброй,

если из Аn S, n = 1,2,3,..., следует

(достаточно требовать либо , либо ).

Множество всех подмножеств множества ?, если оно конечно или счетно, образует алгебру.

Свойство статистической устойчивости относительной частоты события

Пусть в n повторяющихся опытах некоторое событие А наступило nA раз. Число nA называется частотой события A, а отношение

называется относительной частотой (или частостью) события А в рассматриваемой серии опытов.

Относительная частота события обладает следующими свойствами:

1. Частость любого события заключена между нулем и единицей, т. е.

0 ? P * (A) ? 1

2. Частость невозможного события равна нулю, т. е.

Р * (?) = 0.

3. Частость достоверного события равна 1, т.е.

Р * (?) = 1.

4. Частость суммы двух несовместных событий равна сумме частоты этих событий, т. е. если АВ = ?, то

P * (A + B) = P * (A) + P * (B)



Свойства очевидны, так как 0 ? nA ? n для любого события А; для невозможного события nA = 0; для достоверного события nA = n; если события А и В несовместны (АВ = ?), то nA+B= nA + nB, следовательно

Р*(А + В) =

Частость обладает еще одним фундаментальным свойством, называемым свойством статистической устойчивости: с увеличением числа опытов (т. е. n) она принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу (говорят: частость стабилизируется, приближаясь к некоторому числу, частость колеблется около некоторого числа, или ее значения группируются около некоторого числа).

Так, например, в опыте -- бросание монеты (однородной, симметричной, ...) -- относительная частота появления герба при 4040 бросаниях (Ж. Бюффон) оказалась равной 0,5069 = а в опыте с 12000 и 24000 бросаниями (К. Пирсон) она оказалась равной соответственно 0,5015 = и 0,5005 =, т.е. частность приближается к числу = 0,500.... А частость рождения мальчика, как показывают наблюдения, колеблется около числа 0,515.

Отметим, что теория вероятностей изучает только те массовые случайные явления с неопределенным исходом, для которых предполагается наличие устойчивости относительной частоты.

аксиоматический вероятность бернулли событие

Статистическое определение вероятности

Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую-либо количественную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем другие. Такой оценкой является вероятность события, т. е. число, выражающее степень возможности его появления в рассматриваемом опыте. Математических определений вероятности существует несколько, все они дополняют и обобщают друг друга.

Рассмотрим опыт, который можно повторять любое число раз (говорят: «проводятся повторные испытания»), в котором наблюдается некоторое событие А.

Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно большом числе испытаний (опытов).

Вероятность события А обозначается символом Р(А). Согласно данному определению

P (A) ? P * (A) =

Математическим обоснованием близости относительной частоты Р*(А) и вероятности Р{А) некоторого события А служит теорема Я. Бернулли.

Вероятности Р(А) приписываются свойства 1-4 относительной частоты:

1. Статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т. е.

0 ? P (A) ? 1

2. Статистическая вероятность невозможного события равна нулю, т. е.

P (?) = 0

3. Статистическая вероятность достоверного события равна единице, т.е.

Р(?) = 1.

4. Статистическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если А • В = ?, то

Р (А + В) = Р(А) + Р(В).

Статистический способ определения вероятности, опирающийся на реальный опыт, достаточно полно выявляет содержание этого понятия. Некоторые ученые (Р. Мизес и другие) считают, что эмпирическое определение вероятности (т. е.) следует считать основным определением вероятности.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так в примере с бросанием монеты (п. 1.5) в качестве вероятности можно принять не только число 0,5, но и 0,49 или 0,51 и т. д. Для надежного определения вероятности нужно проделать большое число испытаний (опытов), что не всегда просто (или дешево).

Классическое определение вероятности

Существует простой способ определения вероятности события, основанный на равновозможности любого из конечного числа исходов опыта. Пусть проводится опыт с n исходами, которые можно представить в виде полной группы несовместных равновозможных событий. Такие исходы называются случаями, шансами, элементарными событиями, опыт -- классическим. Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме случаев или схеме урн (ибо вероятностную задачу для такого опыта можно заменить эквивалентной ей задачей с урнами, содержащими шары разных цветов).

Случай ?, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным (или -- благоприятствующим) ему, т. е. случай ? влечет событие A: ? А.

Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т. е.

P (A) =



Наряду с обозначением Р(А) для вероятности события А используется обозначение р, т.е. р = Р(А).

Из классического определения вероятности (1.3) вытекают следующие свойства:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

0 ? P (A) ? 1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю, т. е.

Р(?) = 0.

3. Вероятность достоверного события равна единице, т. е.

Р(?) = 1.

4. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если А • В = ?, то

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Они проверяются так же, как и для относительной частоты (п. 1.5). В настоящее время свойства вероятности определяются в виде аксиом (см. п. 1.11).

Пример 1.6. В урне (емкости) находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?

Пусть А -- событие, состоящее в том, что вынут белый шар. Ясно, что n = 12 + 8 = 20 -- число всех равновозможных случаев (исходов опыта). Число случаев, благоприятствующих событию А, равно 12, т.е. m = 12. Следовательно, по формуле (1.3) имеем: Р(А) = , т.е. P(A) = 0,6.

Элементы комбинаторики

Согласно классическому определению подсчет вероятности события А сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.

Комбинаторика -- раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного множества. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами?».

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Правило умножения (основной принцип): если из некоторого конечного множества первый объект (элемент х) можно выбрать n1 способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент у) можно выбрать n2 способами, то оба объекта (x и у) в указанном порядке можно выбрать n1 • n2 способами.

Этот принцип, очевидно, распространяется на случай трех и более объектов.

Пример 1.7. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места (слева в трехзначном числе). После того как первое место занято, на пример, цифрой 2, осталось четыре цифры для заполнения второго места. Для заполнения третьего места остается выбор из трех цифр. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 5 • 4 • 3 = 60 способов расстановки цифр, т.е. искомое число трехзначных чисел есть 60. (Вот некоторые из этих чисел: 243, 541, 514, 132, ...) Понятно, что если цифры могут повторяться, то трехзначных чисел 5 • 5 • 5 = 125. (Вот некоторые из них: 255, 333, 414, 111, ...).

Правило суммы. Если некоторый объект x можно выбрать n1 способами, а объект у можно выбрать n2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (х или у), можно выбрать n1 + n2 способами.

Это правило распространяется на любое конечное число объектов.

Пример 1.8. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 • 13 = 182 способами, а двух юношей -- 6 • 5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студенток или двух юношей. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет 182 + 30 = 212.

Решение вероятностных (и не только их) задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них определяет число всевозможных исходов в некотором опыте (эксперименте), состоящем в выборе наудачу m элементов из n различных элементов рассматриваемого множества.

Существуют две схемы выбора т элементов (0 < т ? n) из исходного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением (с повторением). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все т элементов или последовательно отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.

Схема выбора без возвращений

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов.

Размещением из n элементов по т элементов (0 < т ? n) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов.

Из определения вытекает, что размещения -- это выборки (комбинации), состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначается символом («А из эн по эм») и вычисляется по формуле

или

Для составления размещения надо выбрать т элементов из множества с n элементами и упорядочить их, т.е. заполнить т места элементами множества. Первый элемент можно выбрать n способами, т. е. на первое место можно поместить любой из n элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся n -- 1 элементов n -- 1 способами. Для выбора третьего элемента имеется n -- 2 способа, для четвертого -- n -- 3 способа, и, наконец, для последнего m-го элемента -- (n -- (m -- 1)) способов. Таким образом, по правилу умножения существует n(n -- 1)(n -- 2)... (n -- (m -- 1')) способов выбора m элементов из данных n элементов, т. е.

Пример 1.9. Составить различные размещения по 2 из элементов множества D = {а, b, с}; подсчитать их число.

Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: (а,b), (b,а), (а,c), (c,а), (b,с), (с,b). Согласно формуле (1.4) их число: .

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.

Из определения вытекает, что перестановки -- это выборки (комбинации), состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn («пэ из эн») и вычисляется по формуле



Pn = n!

Формула (1.6) следует из определения перестановки:

Пример 1.10. Составить различные перестановки из элементов множества Е= {2,7,8}; подсчитать их число.

Из элементов данного множества можно составить следующие n перестановки: (2,7,8); (2,8,7); (7,2,8); (7,8,2); (8,2,7); (8,7,2). По формуле (1.6) имеем: Р3 = 3! = 1 • 2 • 3 = 6.

Пример 1.11. Сколькими способами можно расставить на полке различных книг?

Искомое число способов равно числу перестановок из 5 элементов (книг), т. е. Р5 = 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.

Сочетанием из n элементов по т (0 ? т ? n) элементов называется любое подмножество, которое содержит т элементов данного множества.

Из определения вытекает, что сочетания -- это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, т. е. отличаются только составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по т элементов обозначается символом («цэ из эн по эм») и вычисляется по формуле

или

Число размещений из n элементов по т элементов можно найти следующим образом: выбрать т элементов из множества, содержащего n элементов (это можно сделать способами); затем в каждом из полученных сочетаний (подмножеств) сделать все перестановки для упорядочения подмножеств (это можно сделать Pm способами). Следовательно, согласно правилу умножения, можно записать

.

Отсюда или

Можно показать, что имеют место формулы

Формулу (1.9) удобно использовать при вычислении сочетаний, когда т > . Так, = = . Формула (1.10) выражает число всех подмножеств множества из n элементов (оно равно 2n). Числа являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона:

(а + b)n =

Пример 1.12. Составить различные сочетания по 2 из элементов множества D={а, b, с}; подсчитать их число.

Из трех элементов можно образовать следующие сочетания по два элемента: (а,b); (а,с); (b,с). Их число: (формула (1.7)).

Пример 1.13. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? А если выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых?

Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 14 гвоздик, можно способами. По формуле (1.7) находим: Далее: красную гвоздику можно выбрать 10 способами. Выбрать две розовые гвоздики из имеющихся четырех можно 6 способами. Поэтому букет из одной красной и двух розовых гвоздик можно составить, по правилу умножения, 60 способами.

Схема выбора с возвращением

Если при выборке т элементов из n элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.

Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов. Число всех размещений из n элементов по т с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле

Пример 1.14. Из 3 элементов а, b, c составить все размещения, но два элемента с повторениями.

По формуле (1.12) число размещений по два с повторениями равно . Это: (а,а), (а,b), (а,с), (b,b), (b,а), (b,с), (с,с), (с,а), (с,b).

Пример 1.15. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры: а) 2, 5, 7, 8; б) 0, 1, 9?

а) Все пятизначные числа, составленные из цифр 2, 5, 7, 8, отличаются друг от друга либо порядком их следования (например, 25558 и 52855), либо самими цифрами (например, 52788 и 78888). Следовательно, они являются размещениями из 4 элементов по 5 с повторениями, т. е. . Таким образом, искомое число пятизначных чисел равно = 45 = 1024. Этот же результат можно получить, используя правило умножения: первую цифру слева в пятизначном числе можно выбрать четырьмя способами, вторую -- тоже четырьмя способами, третью -- четырьмя, четвертую -- четырьмя, пятую -- четырьмя. Всего получается 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 1024 пятизначных чисел.

б) Если пятизначные числа состоят из цифр 0, 1,9, то первую цифру слева можно выбрать двумя способами (0 не может занимать первую позицию), каждую из оставшихся четырех цифр можно выбрать тремя способами. Согласно правилу умножения, таких чисел будет 2 • 3 • 3 • 3 • 3 = 162. (Иначе: .

Если при выборке m элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями.

Число всех сочетаний из n элементов по т с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле

Пример 1.16. Из трех элементов а, b, с составить все сочетания по два элемента с повторениями.

По формуле (1.13) число сочетаний по два с повторениями равно . Составляем эти сочетания с повторениями: (а,а), (а,b), (а,с), (b,b), (b,с), (с,с).

Пример 1.17. Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов, если в наличии есть цветы трех сортов?

Рассматриваемое множество состоит из трех различных элементов, а выборки имеют объем, равный 5. Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то искомое число букетов равно числу сочетаний с повторениями из трех элементов по 5 в каждом. По формуле (1.13) имеем .

Пусть в множестве с n элементами есть k различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n1 раз, 2-й элемент -- n2 раз ..., k-й элемент -- nk раз, причем n1 + n2 + …+nk = n.

Перестановки из п элементов данного множества называют перестановками с повторениями из n элементов.

Число перестановок с повторениями из n элементов обозначается символом Pn(n1, n2, … , nk) и вычисляется по формуле

Пример 1.18. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 3, 5, 5, 8?

Применим формулу (1.14). Здесь n = 5, n1 = 2,n2 = 2, n3 = 1. Число различных пятизначных чисел, содержащих цифры 3, 5 и 8, равно

Примеры вычисления вероятностей

Пример 1.19. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что среди наугад вынутых 5 шаров 3 будут черными?

Выбрать 5 шаров из 20 можно различными способами (все выборки неупорядоченные подмножества, состоящие из 5 элементов), т. е. . Определим число случаев, благоприятствующих событию В -- «среди 5 вынутых шаров 3 будут черными». Число способов выбрать 3 черных шара из 8, находящихся в урне, равно . Каждому такому выбору соответствует способов выбора 2-х белых шаров из 12 белых в урне. Следовательно, по основному правилу комбинаторики (правилу умножения), имеем: . По формуле (1.3) находим, что



Пример 1.20. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что: а) все они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.

Сначала заметим, что число способов выбрать 3 карандаша из 12 имеющихся в наличии равно .

а) Выбрать 3 синих карандаша из 5 можно способами; 3 красных из имеющихся 4 можно выбрать способами; 3 зеленых из 3 зеленых -- способами.

По правилу сложения общее число т случаев, благоприятствующих событию A = {три карандаша, вынутых из коробки, одного цвета}, равно . Отсюда Р(А) =

б) Пусть событие B = {три вынутых карандаша разных цветов}. Число m исходов, благоприятствующих наступлению события В, по правилу умножения равно . Поэтому P(A)=

в) Пусть событие С = {из трех выбранных карандашей 2 синих и 1 зеленый}. Выбрать 2 синих карандаша из имеющихся 5 синих можно cпособами, а 1 зеленый из имеющихся 3 зеленых -- способами. Отсюда по правилу умножения имеем: . Поэтому P(C)=

Пример 1.21. Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что: а) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки; б) получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются шесть карточек и располагаются в ряд в порядке появления.

а) Из шести данных букв можно составить трехбуквенных «слов» (НИЛ, ОЛЯ, ОНИ, ЛЯМ, МИЛ и т.д.). Слово ЛОМ при этом появится лишь один раз, т.е. т = 1. Поэтому вероятность появления слова ЛОМ (событие А) равна Р(А) =

б) Шестибуквенные «слова» отличаются друг от друга лишь порядком расположения букв (НОЛМИЯ, ЯНОЛИМ, ОЛНИЯМ и т. д.). Их число равно числу перестановок из 6 букв, т. е. n = Р6 = 6!. Очевидно, что m = 1. Тогда вероятность появления слова МОЛНИЯ (событие В) равна P(B)=

Пример 1.22. В почтовом отделении имеются открытки 6 видов. Какова вероятность того, что среди 4 проданных открыток все открытки: а) одинаковы, б) различны?

Выбрать 4 открытки 6 видов можно способами, т. е. n = 126.

а) Пусть событие А = {продано 4 одинаковые открытки}. Число т исходов, благоприятствующих наступлению события A, равно числу видов открыток, т. е. т = 6. Поэтому

P(A)=

б) Пусть событие В = проданы 4 различные открытки. Выбрать 4 открытки из 6 можно способами, т. е. т = 15. Следовательно,

P(B)=

Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности применяется в случае, когда исходы опыта равновозможны, а ПЭС (или ?) есть бесконечное несчетное множество. Рассмотрим на плоскости некоторую область ?, имеющую площадь S?, и внутри области ? область D с площадью SD (см. рис. 7).



Рис. 7

В области ? случайно выбирается точка X. Этот выбор можно интерпретировать как бросание точки X в область ?. При этом попадание точки в область ? -- достоверное событие, в D -- случайное. Предполагается, что все точки области ? равноправны (все элементарные события равновозможны), т. е. что брошенная точка может попасть в любую точку области ? и вероятность попасть в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы. Пусть событие А = {X D}, т. е. брошенная точка попадет в область D.

Геометрической вероятностью события А называется отношение площади области D к площади области ?, т. е.

Геометрическое определение вероятности события применимо и в случае, когда области ? и D обе линейные или объемные. В первом случае

.

во втором --

,

где - длина, а V --- объем соответствующей области.

Все три формулы ((1.15)). ((1.16)), ((1.17)) можно записать в виде

где через mes обозначена мера (S, , V) области.

Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами, присущими классическому (и другим) определению:

1. Геометрическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

0 ? P(A) ? 1.

2. Геометрическая вероятность невозможного события равна нулю, т. е.

Р(?) = 0.

3. Геометрическая вероятность достоверного события равна единице, т.е.

Р(?) = 1.

4. Геометрическая вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если А • В = ?, то

P (A + B) = P (A) + P (B).

Проверим, например, свойство 4: пусть А = {x D1}, В = {x D2}, где D1 • D2 = ?, т.е. D1 и D2 непересекающиеся области.

Тогда .

Пример 1.23. (Задача о встрече). Два человека договорились о встрече между 9 и 10 часами утра. Пришедший первым ждет второго в течение 15 мин, после чего уходит (если не встретились). Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый наудачу выбирает момент своего прихода.

Пусть х -- время прихода первого, а у -- второго. Возможные значения х и у: (в качестве единиц масштаба возьмем минуты), которые на плоскости Oху определяют квадрат со стороной, равной 60.

Точки этого квадрата изображают время встречающихся (см. рис. 8).

Рис. 8

Тогда ? = {(х, у): }; все исходы (? равновозможны, так как лица приходят наудачу. Событие А -- лица встретятся -- произойдет, если разность между моментами их прихода будет не более 15 мин (по модулю), т.е. А -- {(х,у) : |у -- х| ? 15}. Неравенство |у -- х| ? 15, т. с. х -- 15 ? у ? х + 15 определяет область, заштрихованную на рис. 9, т.е. точки полосы есть исходы, благоприятствующие встрече. Искомая вероятность определяется по формуле (1.15)

Аксиоматическое определение вероятности

Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале 30-х годов академиком А. Н. Колмогоровым. Аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала основными свойствами статистической вероятности, характеризующей ее практический смысл. В этом случае теория хорошо согласуется с практикой.

Пусть ? -- множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента), S -- алгебра событий. Напомним (см. п. 1.4), что совокупность S подмножеств множества ?, называется алгеброй (?-алгеброй), если выполнены следующие условия:

1. S содержит невозможное и достоверное события.

2. Если события A1, A2, A3, ... (конечное или счетное множество) принадлежат S, то S принадлежит сумма, произведение и дополнение (т. е. противоположное для Аi) этих событий.

Вероятностью называется функция Р(А), определенная на алгебре событий S, принимающая действительные значения и удовлетворяющая следующим аксиомам:

А1. Аксиома неотрицательности: вероятность любого события А S неотрицательна, т. е.

.

А2. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна единице, т. е.

A3. Аксиома аддитивности: вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если то:

Совокупность объектов (?, S. Р), где ? -- пространство элементарных событий, S -- алгебра событий, Р -- числовая функция, удовлетворяющая аксиомам А1-АЗ, называется вероятностным пространством случайного эксперимента.

Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления; заданием этого пространства завершается аксиоматика теории вероятностей.

Свойства вероятностей

Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием аксиом Колмогорова.

С1. Вероятность невозможного события равна нулю, т. е.

Р(0) = 0.

С2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

Р(А) + Р(А) = 1.

СЗ. Вероятность любого события не превосходит единицы, т. е.

Р(А) < 1.

С4. Если А В, т. е. событие А влечет за собой событие B, то

Р(А) < Р(В).

С5. Если события A1,A2,...,An образуют полную группу несовместных событий, т. е. и , то

C1. Так как и , то согласно аксиоме A3 имеем , следовательно, Р(O) = 0.

С2. Поскольку , то , а так как , то в силу аксиом А2 и A3 получаем .

СЗ. Из свойства С2 вытекает, что . С учетом аксиомы А1 получаем.

С4. Так как при и , то согласно аксиоме A3 получаем . Но (аксиома А1), поэтому .

С5. Так как , то, согласно аксиомам А2 и A3, имеем .

Заметим, что из не следует .

Пример 1.24. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама».

Пусть А -- интересующее нас событие, А1 -- появление одной «дамы», А2 -- двух «дам», А3 -- трех «дам». Тогда, причем события A1, A2, A3 несовместные. Поэтому . Число всевозможных случаев выбора трех карт из 36 равно ; число случаев, благоприятных событиям А1, А2, Аз, соответственно равно

Таким образом, .

Задача решается проще, если воспользоваться свойством С2. Находим , где - среди вынутых карт нет ни одной «дамы»! . Значит, .

Конечное вероятностное пространство

Пусть производится некоторый опыт (эксперимент), который имеет конечное число возможных исходов ?1, ?2, ?3, …, ?n. В этом случае (или коротко ? = {?}) -- конечное пространство, S -- алгебра событий, состоящая из всех (их 2n) подмножеств множества ?.

Каждому элементарному событию поставим в соответствие число , которое назовем «вероятностью элементарного события», т. е. зададим на ? числовую функцию, удовлетворяющую двум условиям:

1) условие неотрицательности: для любого ;

2) условие нормированное

Вероятность Р(А) для любого подмножества определим как сумму

т.е. вероятностью Р(А) события A назовем сумму вероятностей элементарных событий, составляющих событие А. Введенная таким образом вероятность удовлетворяет аксиомам Колмогорова (А1-АЗ):

если AB = O, т.е. А и B -- два несовместных события. Так определенная тройка {?, S,Р} есть конечное вероятностное пространство, называемое «дискретным вероятностным пространством».

Частным случаем определения вероятности (1.19) является классическое определение вероятности, когда все исходы опыта равновозможны: (следует из условия нормированности

Формула (1.19) приобретает вид

т.е.

где m -- число элементарных событий, образующих событие A (т. е. m число случаев, благоприятствующих появлению события A).



Условные вероятности

Пусть А и В -- два события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного события (скажем, А) может влиять на возможность наступления другого (В). Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности. нч| Условной вероятностью события В при условии, что произошло событие А, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события A, причем Р{А) ? 0, обозначается символом Р(В|А).

Таким образом, по определению

Вероятность Р(В), в отличие от условной, называется безусловной вероятностью.

Аналогично определяется условная вероятность события А при условии В, т.е. Р(А|В)

Отметим, что условная вероятность, скажем Р(В|А), удовлетворяет аксиомам Колмогорова (п. 1.11): Р(В|А) ? 0, очевидно; , если . Поэтому для условной вероятности справедливы все следствия (свойства) из аксиом, полученные в п.1.12. Формула (1.20) принимается по определению при аксиоматическом определении вероятности; в случае классического (геометрического, статистического) определения она может быть доказана.

Пример 1.25. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что 2-й шар окажется белым при условии, что 1-й шар был черным?

Решим задачу двумя способами.

1. Пусть А -- 1-й шар черный, В -- 2-й шар белый. Так как событие А произошло, то в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых. Поэтому .

2. Найдем Р(В|А) по формуле (1.20). Очевидно, что . Находим -- общее число исходов (появление двух шаров). Событию АВ благоприятствуют исходов. Поэтому . Следовательно, .

Вероятность произведения событий. Независимость событий

Из определения условной вероятности (п. 1.14) следует, что

т. е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

Равенство (1.22) называют правилом или теоремой (для схемы случаев оно доказывается) умножения вероятностей. Это правило обобщается на случай n событий:

Так для 3-х событий А1, А2, А3 получаем



Пример 1.26. В коробке находится 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наудачу последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 1-Й шар будет белым, 2-Й -- синим, 3-Й -- черным?

Введем следующие события: А1 -- первым вытащили белый шар, А2 вторым -- синий, Аз -- третьим --- черный. Тогда интересующее нас событие А представится в виде . По правилу умножения вероятностей

Но , так как шаров осталось 8, а число благоприятных случаев для события А2 равно 3; ,

так как уже два шара (белый и синий) вытащены. Следовательно,

Правило умножения вероятностей имеет особо простой вид, если события, образующие произведение, независимы.

Событие А называется независимым от события В, если его условная вероятность равна безусловной, т. е. если выполняется равенство

Из равенства (1.22), с учетом равенства (1.24), следует

т.е.



а это означает, что событие В не зависит от события A.

Можно дать следующее (новое) определение независимости событий.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого.

Для независимых событий правило умножения вероятностей (1.22) принимает вид:

,

т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (1.26) часто используют в качестве определения (еще одного!) независимости событий: события Ли В называются независимыми, если.

Можно показать, что если события А и В независимы, то независимы события и В, A и , и .

На практике о независимости тех или иных событий часто судят исходя из интуитивных соображений и анализа условий опыта, считая независимыми события, «между которыми нет причинно-следственных связей». Понятие независимости может быть распространено на случай n событий.

События А1, A2,..., Аn называются независимыми (или независимыми в совокупности), если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности. В противном случае события А1, A2,..., Аn называются зависимыми.

Для независимых событий их условные вероятности равны безусловным, и формула (1.23) упрощается



Из попарной независимости событий А1, A2,..., Аn (любые два из них независимы) не следует их независимость в совокупности (обратное верно).

Убедимся в этом, рассмотрев следующий пример.

Пример 1.27. Производится выбор (наудачу) флага из 4-х, имеющихся в наличии: красного, голубого, белого и трехцветного (красно-бело-голубого). Исследовать на независимость события: К -- выбранный флаг имеет красный цвет; Г -- имеет голубой цвет; Б -- имеет белый цвет.

Возможных исходов выбора 4; событию К благоприятствуют 2 исхода (красный цвет имеется у двух флагов). Поэтому . Аналогично находим, что . Событию К·Г -- выбран флаг, имеющий 2 цвета (красный и голубой), -- благоприятствует один исход. Поэтому, . И так как , то события К и Г независимы. Аналогично убеждаемся в независимости событий К и Б, Б и Г. Стало быть, события К, Б, Г попарно независимы. А так как , то события К, Г и Б не являются независимыми в совокупности.

Вероятность суммы событий

Как известно (п. 1.11), вероятность суммы двух несовместных событий определяется аксиомой A3

.

Представим события А + В и B в виде суммы двух несовместных событий: (см. п. 1.3, пример 1.2). В справедливости этих формул можно наглядно убедиться на рис. 10.



Рис. 10

Тогда, согласно аксиоме A3, имеем и . Отсюда следует .

Формула (1.28) справедлива для любых событий А и B.

Можно получить формулу вероятности суммы трех и большего числа совместных событий; для трех событий она имеет вид

Справедливость равенства поясняет рис. 11.

Проще, однако, найти вероятность суммы нескольких совместных событий , используя равенство -- противоположно событию S. Тогда . Мы уже использовали этот прием в п. 1.12.

Рис. 11.



Пример 1.28. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Введем события: А -- появление шестерки на первой кости, В -- на второй кости. Тогда A + В --- появление хотя бы одной шестерки при бросании костей. События А и В совместные. По формуле (1.28) находим (Иначе: .

Следовательно, .)

Формула полной вероятности

Одним из следствий совместного применения теорем сложения и умножения вероятностей являются формулы полной вероятности и Байеса. Напомним, что события А1, А2, ..., Аn образуют полную группу, если и . Систему таких событий называют также разбиением.

Так как , то в силу свойств операций над событиями (п. 1.3), А . Из того, что , следует, что

, т.е. события также несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей т.е. . По теореме умножения вероятностей , откуда и следует формула (1.30).

Отметим, что в формуле (1.30) события Н1, Н2, …, Нn обычно называют гипотезами; они исчерпывают все возможные предположения (гипотезы) относительно исходов как бы первого этапа опыта, событие А --- один из возможных исходов второго этапа.

Пример 1.29. В сборочный цех завода поступает 40% деталей из I цеха и 60% -- из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II -- 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.

Взятие детали можно разбить на два этапа. Первый -- это выбор цеха. Имеется две гипотезы: Н1 -- деталь изготовлена I цехом, Н2 -- II цехом. Второй этап -- взятие детали. Событие А -- взятая наудачу деталь стандартна. Очевидно, события Н1 и Н2 образуют полную группу, Р(Н1) -- 0,4, Р(Н2) = 0,6. Числа 0,90 и 0,95 являются условными вероятностями события А при условии гипотез H1 и Н2 соответственно, т.е. Р(А|Н1) = 0,90 и Р(А|Н2) = 0,95. По формуле (1.30) находим

Формула Байеса (теорема гипотез)

Следствием формулы (1.30) является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез H1, принятых до опыта и называемых априорными («a priori», доопытные, лат.) по результатам уже проведенного опыта, т. е. найти условные вероятности Р(Нг\А), которые называют апостериорными («a posteriori», послеопытные).

Применив формулы условной вероятности (п. 1.14) и умножения вероятностей (п. 1.15), имеем

где Р(А) -- формула полной вероятности (п. 1.17)

Пример 1.30. В примере 1.29 (п. 1.17) найти вероятность того, что эта стандартная деталь изготовлена II цехом.

Определим вероятность гипотезы Н2 при условии, что событие А (взятая деталь стандартна) уже произошло, т.е. P(H2|A):



Независимые испытания. Схема Бернулли

С понятием «независимых событий» связано понятие «независимых испытаний (опытов)».

Несколько опытов называются независимыми, если их исходы представляют собой независимые события (независимые в совокупности).

Другими словами, если проводится несколько испытаний, т. е. опыт выполняется при данном комплексе условий многократно (такое явление называется «последовательностью испытаний»), причем вероятность наступления некоторого события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Примерами независимых испытаний могут служить: несколько (n раз) подбрасываний монеты; стрельба (n раз) по мишени без поправок на ранее допущенную ошибку при новом выстреле; несколько (n раз) выниманий из урны одинаковых на ощупь занумерованных шаров, если шары каждый раз (после просмотра) возвращаются назад в урну, и т. д.

При практическом применении теории вероятностей часто используется стандартная схема, называемая схемой Бернулли или схемой независимых испытаний.

Последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (его называют успехом) с вероятностью или противоположное ему событие (его называют неудачей) с вероятностью , называется схемой Бернулли.

Например, при стрельбе по мишени: событие А -- попадание (успех), событие -- промах (неудача); при обследовании n изделий на предмет годности: событие А -- деталь годная (успех), событие -- деталь бракованная (неудача) и т. д.

В каждом таком опыте ПЭС состоит только из двух элементарных событий, т.е. , где -- неудача, -- успех, при этом . Вероятности этих событий обозначают через р и q соответственно (р + q = 1). Множество элементарных исходов для n опытов состоит из 2n элементов. Например,_при n = 3, т.е. опыт повторяется 3 раза

Вероятность каждого элементарного события определяется однозначно. По теореме умножения вероятность события, скажем , равна , события и т. д.

Часто успеху сопоставляют число 1, неудаче -- число 0. Элементарным событием для n опытов будет последовательность из n нулей и единиц. Тройка чисел (0,0,0) означает, что во всех трех опытах событие А не наступило; тройка чисел (0,1,0) означает, что событие А наступило во 2-м опыте, а в 1-м и 3-м -- не наступило.

Формула Бернулли

Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности того, что в n независимых испытаниях событие А наступит т раз (0 ? т ? n). Обозначается искомая вероятность так: Рn(т) или Pn,m или P(?n = т), где ?n -- число появления события А в серии из n опытов.

Например, при бросании игральной кости 3 раза Р3(2) означает вероятность того, что в 3-х опытах событие А -- выпадение цифры 4 -- произойдет 2 раза. Очевидно



Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что событие А в n независимых опытах появится т раз в первых т опытах и не появится (n -- m) раз в остальных опытах (это событие ) по теореме умножения вероятностей равна .

m раз (n-m) раз

Вероятность появления события А снова т раз, но в другом порядке (например, или и т. д.) будет той же самой, т. е. . т раз

Число таких сложных событий --в n опытах m раз встречается событие А в различном порядке -- равно числу сочетаний из n по m, т. е. . Так как все эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий, т. Е

, m = 0,1,…,n.

слагаемых

Можно заметить, что вероятности Pn(m), т = 0,1,... , n являются коэффициентами при xт в разложении (q + рх)n по формуле бинома Ньютона:

Поэтому совокупность вероятностей Рn(т) называют биномиальным законом распределения вероятностей (см. п.2.7), а функцию --- производящей функцией для последовательности независимых опытов.

Если в каждом из независимых испытаний вероятности наступления события А разные, то вероятность того, что событие А наступит т раз в n опытах, равна коэффициенту при m-й степени многочлена

где - производящая функция.

Если в серии из n независимых опытов, в каждом из которых может произойти одно и только одно из k событий A1, A2, …, Ak с соответствующими вероятностями p1, p2, …pk вероятность того, что в этих опытах событие А1 появится m1 раз, событие А2 -- m2 раз, ..., событие Аk -- mk раз, равна