Основы теории вероятностей

Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 03.12.2010
Размер файла 129,1 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1. Пять студентов садятся в поезд, имеющий десять вагонов. Каждый из студентов с одинаковой вероятностью может сесть в любой из вагонов. Какова вероятность того, что двое студентов окажутся в одном вагоне, а остальные - в разных?

Решение

Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми 5 студентов может сесть в один из 10 вагонов, то есть:

Подсчитаем количество благоприятствующих исходов событию А:

Двое студентов из пяти сели в один вагон (из 10):

- возможных сочетаний 2 студентов из 5

- возможных исходов

Один из оставшихся студентов садится в один из оставшихся 9 вагонов:

Количество студентов для перебора - 3.

Кол-во вагонов для перебора - 9.

Один из оставшихся студентов садится в один из оставшихся 8 вагонов: Количество студентов для перебора - 2.

Кол-во вагонов для перебора - 8.

Последний студентов садится в один из оставшихся 7 вагонов:

Количество студентов для перебора - 1.

Кол-во вагонов для перебора - 7.

Итого количество благоприятствующих исходов

Искомая вероятность:

Ответ: 0,15%

2. В одном альбоме из 100 марок 45 марок погашены. В другом альбоме, содержащем такое же число марок, погашенных нет. Из первого альбома во второй переложена марка. Какова вероятность того, что извлеченная наугад марка из второго альбома окажется непогашенной?

Решение

Обозначим через А событие - "извлеченная наугад марка из второго альбома окажется непогашенной".

После того как из первого альбома переложили во второй одну марку, во второй урне оказалось две совокупности марок:

100 не погашенных марок, первоначально содержащихся в альбоме;

Одна марка, переложенная из первого альбома.

Вероятность появления непогашенной марки из первой совокупности равна , т.к. все марки, первоначально содержащиеся в альбоме, непогашенные, а из второй .

Вероятность того, что извлеченная наугад марка принадлежит первой совокупности , где - кол-во вариантов благоприятствующих событию (100 марок в первой совокупности), и - общее кол-во вариантов (100 марок плюс одна переложенная из первого альбома). Аналогично вероятность того, что извлеченная наугад марка принадлежит второй совокупности

Используя формулу полной вероятности, получим:

Ответ:

3. Что вероятнее: при бросании четырех игральных костей хотя бы на одной получить единицу, или при 24-х бросаниях двух игральных костей хотя бы раз получить две единицы?

Решение

Обозначим А событие - при бросании четырех игральных костей хотя бы на одной выпадет единица.

Вероятность выпадения единицы для всех костей одинакова и равна , соответственно вероятность выпадения другого числа равна .

Событие А подразумевает выпадение единицы на одной игральной кости или на двух, на трех, на четырех. Обратным для данного события будет событие, при котором ни на одной игральной кости не выпадет единицы. Найдем вероятность данного события. Выпадение числа отличного от единицы на каждом из 4ех кубиков это независимые события, поэтому применить теорему умножения, получим:

Вероятность события А равна:

Событие В - при 24х бросаниях 2х костей хотя бы раз выпадет две единицы.

Вероятность выпадения двух единиц равна , вероятность выпадения одной или нуля единиц равна .

Для вычисления вероятности появления события В так же удобно найти вероятность обратного события, т.е. вероятность события при котором ни в одном испытании не выпаде двух единиц. Для вычисления вероятности воспользуемся формулой Бернулли:

Итак,

Вероятность события В равна:

Ответ: событие А вероятнее.

4. Каждый из пяти студентов может с одинаковой вероятностью сесть в любой из четырех идущих друг за другом автобусов. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа студентов, севших в первый автобус. Найти вероятность того, что: а) в первый автобус сел хотя бы один студент, б) в первый автобус село не более трех студентов.

Решение

Вероятность студента сесть в один из 4х автобусов равна , вероятность для всех студентов одинакова, .

Построим ряд распределения случайной величины Х - число студентов, севших в первый автобус.

Вычислим вероятность для каждого , используя формулу Бернулли:

Построим ряд распределения случайной величины Х:

0

1

2

3

4

5

0,2373

0,3955

0,2637

0,0879

0,0146

0,001

Найдем математическое ожидание по формуле:

Дисперсию найдем по формуле:

Среднеквадратическое отклонение:

а) вероятность того, что в первый автобус сел хотя бы один студент:

сумма вероятностей ряда распределения равна единице, поэтому допустимо вычислить вероятность от обратного(в автобус не село ни одного студента).

б) вероятность того, что в первый автобус село не более трех студентов: можно рассмотреть событие: в автобус не село 4 или 5 студентов.

5. Распределение случайной величины X определяется плотностью распределения вероятностей (распределение Лапласа): . Найти функцию распределения вероятностей F(x) и построить графики функций f(x) и F(x). Найти M(X), D(X) и у. Вычислить вероятность попадания случайной величины X в промежуток .

Решение

По определению функция распределения -- это интеграл от плотности распределения:

Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая: и

Графики функций для

Математическое ожидание и дисперсия

В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал необходимо разбить на и . Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей рассматриваются пределы вида .

Мат. ожидание:

Дисперсия:

Вычислим вероятность попадания случайной величины X в промежуток :


Подобные документы

  • Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.

    реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015

  • Общая характеристика сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Значение метода характеристических функций в теории вероятностей. Методика решения задач о типах сходимости. Анализ теоремы Ляпунова и Линдеберга.

    курсовая работа [2,6 M], добавлен 22.07.2011

  • Основные понятия, которые касаются центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин и проверки статистических гипотез. Анализ сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений.

    курсовая работа [582,0 K], добавлен 13.11.2012

  • Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.

    задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011

  • Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Дискретные случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики системы случайных величин. Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин.

    дипломная работа [797,0 K], добавлен 25.02.2011

  • Случайные события, их классификация. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Аксиоматическое и геометрическое определение вероятности. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

    реферат [1,4 M], добавлен 18.02.2014

  • Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.

    шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015

  • Пространство элементарных событий. Совместные и несовместные события. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин. Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики случайной функции. Условие независимости двух событий.

    контрольная работа [30,0 K], добавлен 15.06.2012

  • Пространство элементарных событий. Понятие совместных и несовместных событий и их вероятностей. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин. Числовые характеристики системы. Закон генеральной совокупности и его параметры.

    контрольная работа [98,1 K], добавлен 15.06.2012

  • Вероятность и ее общее определение. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики. Закон больших чисел. Статистическое распределение выборки. Элементы корреляционного и регрессионного анализа.

    курс лекций [759,3 K], добавлен 13.06.2015

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.