Паралельність у просторі. Розв’язування задач

На четвертому уроці учні ознайомлюються із ознакою та властивостями паралельних прямих у просторі. Ознайомлення учнів з ознакою паралельності прямих у просторі можна почати з ознак паралельності прямих на площині.

Учитель: Як довести паралельність двох прямих на площині? Можна скористатися означенням або ознаками паралельності, тобто теоремами, які дають достатні умови паралельності. Ви вивчали три ознаки паралельності прямих на площині: за рівністю між собою внутрішніх різносторонніх кутів між двома прямими і січною, за рівністю суми внутрішніх односторонніх кутів 180°, а також теорему, що дві прямі, які паралельні третій, паралельні між собою. Перші дві ознаки паралельності не мають аналогів для прямих у просторі. Остання ознака справедлива і в стереометрії. Сформулюємо її.Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.

Теорему вчитель спочатку доводить сам, а потім повторює доведення з учнями, звертаючи увагу на такі питання:

- Чому площини в і г різні?

- Чому точка В не лежить на прямій с?

Заслуговують на обговорення такі питання, які стосуються означення і властивостей паралельності прямих:

Чи правильно, що прямі простору паралельні, якщо вони не мають спільних точок?

Чи завжди у площині можна знайти пряму, паралельну деякій прямій?

Нехай площини і перетинаються по прямій а. Де лежить точка перетину прямої b, що лежить у , з площиною (якщо вона існує)?

В якому разі дві прямі визначають площину?

Скільки прямих, що не мають спільних точок з прямою а, можна провести через точку А, яка лежить поза прямою а? А скільки з них паралельні прямій а?

На слідуючому уроці основна увага приділяється розв'язуванню задач і вправ на застосування властивостей та ознаки паралельності прямих у просторі.

Розгляд взаємного розміщення прямих у просторі за вказаною вище схемою дає змогу вивчати взаємне розміщення прямої і площини, двох площин на основі аналізу "запасу" спільних точок цих фігур. При цьому можливий як "лінійний" варіант вивчення спочатку всього матеріалу про взаємне розміщення прямої і площини, а потім -- про взаємне розміщення двох площин, так і "змішаний": паралельне вивчення і взаємного розміщення прямої та площини, і взаємного розміщення двох площин на основі аналогій та відмінностей.

На наступний блок "Паралельність прямої і площини" відводиться лише три години.

На першому уроці перед тим, як розглянути можливі випадки розміщення прямої і площини у просторі, доцільно виконати вправи: що можна сказати про прямі, якщо вони не мають спільних точок; мають одну спільну точку; мають дві спільні точки? Обговорення ж питання про взаємне розміщення прямої і площини слід розпочати зі звернення до наочних уявлень учнів про взаємне розміщення прямих і площин. Вони в змозі дати відповідь на таке запитання: "Як можуть бути розміщені пряма і площина?", спираючись на власний досвід та інтуїцію.

Відразу варто звернути увагу, що з означення ще не випливає існування прямої, паралельної даній площині. Цей факт потребує обґрунтування.

Записуючи види розміщення прямої і площини у просторі, учні супроводжують їх малюнками. Усно наводять приклади взаємного розміщення прямої і площини на предметах класної кімнати. Перевірити засвоєння учнями тверджень вчитель може за допомогою тесту. (Додаток 1)

Наступний урок присвячується ознайомлення учнів з ознакою паралельності прямої і площини. Насамперед повторюється взаємне розміщення прямої і площини у просторі і виконується вправа: що можна сказати про взаємне розміщення прямої і площини, якщо пряма і площина мають одну спільну точку; мають дві спільні точки; не мають спільних точок? Далі доводиться ознака паралельності прямої і площини і розв'язуються задачі. Щоб уникнути одноманітності, бажано чергувати задачі на доведення з задачами на обчислення.

Виявити умови, які забезпечують паралельність прямої і площини (відкрити ознаку паралельності) допоможуть задачі на побудову точки перетину прямої з площиною. Якщо цим задачам із самого початку не приділити достатньо уваги, то при розв'язуванні задач на перерізи многогранників учні матимуть певні труднощі.

На заключному третьому уроці цього невеличкого блоку бажано виконати самостійну роботу або застосувати нетрадиційні форми проведення уроку: "круглий стіл", "брейн - ринг", урок - КВК тощо.

Після ознайомлення учнів із паралельністю прямої і площини учні переходять до вивчення наступного блоку "Паралельність площин у просторі".

Перші два уроки присвячуються вивченню взаємного розміщення двох площин: площини, що перетинаються, паралельні площини. Викладання цього питання бажано почати з пояснення: якщо розглянути протилежні грані куба, то площини, яким вони належать, не будуть мати спільних точок. Також є грані, які мають спільні точки. Не будуть мати спільних точок і площини, в яких розміщені стеля і підлога, протилежні стіни кімнати, що має форму паралелепіпеда. Як розташовані стеля і стіни, підлога і стіни? Далі доводиться властивість площин, що перетинаються і розв'язуються задачі. Можна запропонувати учням побудувати лінію перетину двох площин та ін. Учні наводять приклади взаємного розміщення двох площин на предметах довкілля, на зображеннях многогранників . Після розгляду на моделях можливих положень двох площин у просторі , діти самостійно формулюють означення паралельних площин.

На наступних двох уроках вивчається тема "Ознака паралельності площин". Ознаку паралельності двох площин вчитель формулює сам. Необхідно звернути увагу учнів на те, що виходячи з умови теореми, треба довести, що дані площини не можуть перетнутися, тобто підвести їх під означення паралельності площин. Вчитель може сам довести ознаку паралельності площин , а можна зробити це колективно, коли за допомогою навідних запитань вчитель підведе учнів доведення теореми. Для закріплення теореми розв'язують задачу: через середини бічних ребер тетраедра провели площину, довести, що ця площина паралельна основі тетраедра.

На п'ятому та наступному уроці розглядаються властивості паралельних площин, доводиться теорема про паралельні площини і січну площину і теорема про перетин двох паралельних площин паралельними прямими.

Для кращого сприйняття властивостей ліній перетину двох паралельних площин третьою площиною учням можна запропонувати відповісти на такі запитання:

1) Знайдіть у класній кімнаті модель двох паралельних площин, які перетинаються третьою площиною.

2) Покажіть лінії перетину цих площин третьою площиною.

3) Що можна сказати про взаємне розташування цих прямих?

Після цього формулюється теорема: якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні. Теорему про відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами можна запропонувати довести самостійно.

На заключному уроці даного блоку узагальнюється матеріал попередніх уроків , розв'язуються задачі і проводиться самостійна робота.

Заключний блок теми "Паралельність прямих і площин у просторі" присвячений паралельному проектуванню .

Для засвоєння матеріалу блоку доцільно повторити такі питання з планіметрії, як паралельне (ортогональне) проектування на площині, подібність фігур, а також актуалізувати вже вивчений матеріал зі стереометрії.

Особливу увагу при підготовці учнів до вивчення нового матеріалу слід акцентувати на повторенні поняття подібності фігур. Крім цього, актуалізація попереднього базового навчального матеріалу може бути проведена при обговоренні таких питань:

1. Скільки існує прямих у просторі, які проходять через дану точку і паралельні даній прямій?

2. Чи може пряма, паралельна іншій прямій, що перетинає площину:

а) не мати спільних точок з цією площиною;

б) лежати в цій площині?

3. Чи правильно, що всі прямі, які перетинають дану пряму і паралельні між собою:

а) лежать в одній площині;

б) утворюють площину? Наведіть фізичні моделі цієї ситуації.

4. Що являє собою перетин всіх прямих, які проходять через точки бічної сторони трапеції паралельно її основам, з прямою, що проходить через іншу бічну сторону?

На першому уроці учні знайомляться з паралельним проектуванням. Застосування технічних засобів на уроці дозволяє прискорити формування наочного уявлення паралельного проектування. Зручно використовувати тіньову проекцію фігури на площину. Фігуру розміщають у світловому потоці і спостерігають її проекцію на екрані. При цьому допускається деяка умовність. Спостереження за тим, як розміщується на екрані проекція та окремі її деталі, дозволяє поступово підготувати учнів до правильного усвідомлення нового поняття і його властивостей. Бажано зробити запис у виді таблиці: властивості фігур, що зберігаються під час паралельного проектування і властивості фігур, що не зберігаються. На цьому уроці не завадить допомога комп'ютера.

Головну увагу слід зосередити не на доведенні властивостей паралельного проектування, а на використанні цих властивостей для побудови зображень.

Рекомендується розглянути означення паралельної проекції точки, фігури, паралельного проектування, поняття площини проекцій, напряму проектування, використовуючи моделі, наочні засоби, зокрема "пластилінову" площину, спиці тощо. Учні мають усвідомити довільність вибору напряму проектування та площини проекцій.

Доведення властивості "паралельною проекцією прямої є пряма" зводиться до обґрунтування того, що паралельною проекцією прямої є лінія перетину площини проекцій і площини, утвореної проектуючими прямими, що перетинають дану пряму.

Перед розглядом властивості про проекції паралельних прямих можна задати учням такі запитання: "Чи можуть тіні від дротів ліній електропередач збігатися? Перетинатися?". Доцільно також звернути увагу учнів на те, що в центральній проекції відповідна властивість не справджується. З цим пов'язані наші зорові ілюзії: залізничні колії збігаються.

Перед розглядом властивості про відношення довжин двох паралельних відрізків при паралельному проектуванні доцільно докладно обговорити таке питання: "Чи зберігаються довжини відрізків при паралельному проектуванні?". Доведення цієї властивості також зводиться до розгляду двох випадків.

Ефективним засобом закріплення розглянутих властивостей є обґрунтування низки тверджень про проекції найпростіших плоских фігур: кута, трикутника, паралелограма, трапеції, інших многокутників, їхній розгляд також є підготовкою до вивчення питань про зображення фігур у стереометрії.

На слідуючому уроці згадуються властивості паралельного проектування, бо основною метою їх вивчення є набуття учнями навиків застосування їх при зображенні просторових фігур на площині. Учні повинні записати схему як діяти, щоб правильно зобразити фігуру на площині. Виконуючи завдання на зображення просторових фігур на площині, учні повинні малюнок супроводжувати відповідними записами.

Наступні уроки - це уроки узагальнення вивченого матеріалу і плідної підготовки до контрольної роботи. Для підвищення інтересу в учнів до даної теми один із уроків можна провести у вигляді конкурсу- гри. Даний урок узагальнення та систематизації знань поданий в Додатку 2. Доцільно у завданні для контрольної роботи поєднувати тестові завдання і завдання, які потребують докладного розв'язку.

паралельність навчання геометричний підручник



2.4 Методика навчання учнів розв'язування завдань по темі

Формування просторових уявлень учнів є одним з основних завдань теми. Водночас це одна з найскладніших педагогічних проблем. Тому з перших занять необхідно широко використовувати систему вправ на "відтворення" просторової ситуації за її описом чи рисунком. Важливе місце слід відвести навчанню учнів зображенню геометричних фігур і використанню цих зображень при розв'язуванні задач.

Рекомендується також активно використовувати при вивченні даної теми найпростіші геометричні тіла (хоча б куб і тетраедр), "забігаючи" трішки наперед. Ці фігури дають змогу розглядати не тільки задачі на уявні побудови, а й побудови на проекційному рисунку, зокрема, побудову точки перетину прямої і площини та лінії перетину двох площин, побудову найпростіших перерізів.

Методика розв'язування завдань проходить в п'ять етапів:

1. Аналіз змісту задачі.

2. Пошук способів розв'язку.

3. Оформлення рішення задачі.

4. Перевірка рішення і запис відповіді.

5. Дослідження задачі.

Чітких алгоритмів розв'язування задач по даній темі немає. Для вирішення завдань необхідно знати попередній теоретичний матеріал, тому що він широко використовується при розв'язуванні , як базовий матеріал.

Розглянемо приклад розв'язування задачі №3.55 (с.102) з підручника Геометрія (академічний рівень) (авт. Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець В.О.) і складемо до неї алгоритм розв'язування.

Через один кінець О відрізка ОА проведено площину. Через другий кінець А і точку В цього відрізка проведено паралельні прямі, які перетинають площину в точках А1 і В1.Знайдіть довжину відрізка АА1, якщо ВВ1=12 см, ОВ:АВ=3:2

Дано:,

ВВ₁=12 см, ОВ:АВ=3:2 .

Знайти: АА₁

Розв'язування.

Вчитель: Спочатку необхідно довести, що точки О,А₁ і В₁ лежать на одній прямій. Яку площину будемо розглядати? (Відповідь:площину ОАА₁)

- Позначимо цю площину в. (ОАА₁)= в. В якій прямій (Відповідь:ОА₁)

- Далі необхідно довести, що . Яким способом ми це зможемо зробити?( Відповідь: Нехай )

- В якій точці пряма ВВ₁ буде перетинати площину в?( Відповідь: в точці В)

- Але в умові задачі нам дано, що і . Який висновок можна зробити відносно прямої АА₁ і площини в?( Відповідь: . Але це суперечить умові, що )

- Звідси .Наступний крок: знайдемо АА₁. Яким чином? (Відповідь: подібний , за рівністю двох кутів ( <О - спільний, <ОВВ₁=<ОАА₁, як відповідні кути при паралельних прямих ВВ₁ і АА₁ та січній АВ) , звідси коефіцієнт подібності буде =0,6, отримаємо АА₁=20 см)

- Задача розв'язана. Виділимо алгоритм:

1. Довели, що точки О, В₁ і А₁ лежать на одній прямій.

2. Обчислили довжину сторони трикутника трикутника.

Розглянемо приклад розв'язування задачі № 233( с.78) з підручника Геометрія (академічний рівень) (Бурда, Тарасенкова) б і в- паралельні площини. Точка А лежить у площині б. Доведіть, що будь- яка пряма, що проходить через точку А паралельно площині в, лежить у площині б.

Розв'язування.

Через дану точку А проведемо дві довільні прямі а і b, паралельні площині в. Прямі а і b визначають площину . Площина паралельна площині . Будь-яка пряма с, яка проходить через точку А і паралельна площині , лежить в площині , бо в супротивному випадку пряма с перетинала б площину , а отже, і площину .

Запитання до класу щодо розв'язання задачі

1) На підставі чого можна стверджувати, що прямі а і b визначають площину ?

2) Скільки площин можна провести через прямі а і b?

3) Поясніть, чому площина паралельна площині .

4) На підставі чого можна стверджувати, що пряма с, якщо перетинає площину , то перетинає і площину ?

Розглянемо приклад розв'язування задачі № 276( с.88) з підручника Геометрія (академічний рівень) (авт. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.)

Дано дві паралельні площини. Через точки А і В однієї з них проведено паралельні прямі, що перетинають другу площину відповідно у точках D і С. Доведіть, що чотирикутник АВСD- паралелограм.

Дано: ₁ || ₂; А ₁, В ₁, С ₂, D _{2 ;} АD || ВС.



Довести: АВСD- паралелограм

Доведення. Проведемо площину у через прямі АD і ВС.

АD || ВС (за умовою), АВ ||DС (за теоремою про паралельність ліній перетину двох паралельних площин третьою площиною). Отже,чотирикутник АВСD -- паралелограм.

Задачу доведено.

Розглянемо задачі , на формування вмінь будувати зображення фігур, які необхідні для паралельного проектування.

Зупинимося на зображенні найбільше вживаних геометричних фігур, з комбінацій яких складається, як правило, зображення будь-якої складної просторової фігури.

Зображення трикутника

Будь-який трикутник може бути зображенням трикутника довільної форми, зокрема: правильного, рівнобедреного, прямокутного.

Доведення

Нехай задано трикутник АВС довільної форми і на площині проекції б задано трикутник А₁В₁С₁. Завжди можна розташувати трикутник АВС і вибрати напрям проектування так, що трикутник спроектується в трикутник, подібний до трикутника А₁В₁С1 (рис. 92). Побудуємо трикутник AB₂C, який подібний до трикутника А₁В₁С₁ вибравши за напрям проектування пряму BB₂, одержимо, що ДАВС проектується в ДАВ₂С такий, що ДАВСДА₁В₁С₁.

Слід зазначити, що медіани і середні лінії трикутника зображають відповідно медіанами і середніми лініями зображення.

Задача.

На зображенні рівностороннього трикутника побудуйте зображення його центра.

Розв'язання

Нехай АВС-- дане зображення рівностороннього трикутника. Центр правильного трикутника -- точка перетину його медіан. Тому, побудувавши медіани АК і CM на зображенні, які перетнуться в точці О, одержимо: точка О -- центр правильного трикутника АВС.

Зображення паралелограма

Зображенням паралелограма (прямокутника, ромба, квадрата) можна вважати довільний паралелограм, що належить площині проекцій.

Дійсно, нехай ABCD -- паралелограм, що проектують, тоді довільний трикутник А₁В₁С₁ можна вважати проекцією трикутника АВС . Ураховуючи, що при паралельному проектуванні паралельні відрізки переходять в паралельні відрізки, та провівши A₁D₁ || В₁С₁ і C₁D₁ || А₁В₁, одержимо A₁B₁C₁D₁ -- паралелограм, який є зображенням паралелограма ABCD (зокрема прямокутника, ромба, квадрата).

Задача.

Побудуйте зображення ромба з кутом 120° та зображення висоти ромба, яку проведено з вершини цього кута.



Розв'язування

Нехай паралелограм ABCD є зображенням ромба A₁B₁C₁D₁, у якого <B₁ = 120°.

Оскільки ДА₁В₁D₁ -- рівносторонній, то його медіана В₁K₁ є одночасно і висотою цього трикутника, а отже, і ромба.

Таким чином, побудувавши середину сторони AD і з'єднавши цю точку з вершиною В, одержимо ВК -- зображення висоти.

Зображення трапеції

Із властивості паралельного проектування випливає, що зображенням трапеції є трапеція, у якій відношення довжин основ зображення дорівнює відношенню довжин основ трапеції, яку проектують.

Задача.

Побудуйте зображення рівнобічної трапеції з основами 3 і 9 см та зображення її висоти.



Розв'язання

Нехай A₁B₁C₁D₁ -- рівнобічна трапеція, у якій А₁D₁ || В₁С₁, A₁D₁ = 9 см, В₁С₁ = 3 см. Слід зазначити, що висота С₁К₁ паралельна осі симетрії М₁N₁ (точки М₁ і N₁ -- середини основ трапеції) . Але при паралельному проектуванні зберігаються паралельність прямих і відношення довжин паралельних відрізків. Звідси випливає побудова: трапеція ABCD, у якій AD || ВС і AD = 3 ВС , є зображенням трапеції ; побудувавши точки М і N -- середини сторін ВС і AD і СК || MN, одержимо відрізок СК -- зображення висоти трапеції.

Зображення чотирикутника

Зображенням довільного чотирикутника (не паралелограма і не трапеції) є довільний чотирикутник.

Зображення правильного шестикутника

Розглянемо правильний шестикутник ABCDEF. Точка О перетину діагоналей AD і FC -- його центр симетрії, тому ромби АВСО і DEFO симетричні відносно точки О. Ромб АВСО зображаємо у вигляді довільного паралелограма A₁B₁C₁D₁. Для побудови останніх вершин зображення достатньо побудувати точки D₁, E₁, F₁, відповідно симетричні відносно точки О₁ точкам А₁, B₁, С₁.

Зображення кола

Зображенням кола з центром в точці О₁ є еліпc з центром в точці О, який належить площині проекції б. Кожний діаметр еліпса АВ ділить пополам хорди MN, M₁N₁, M₂N₂ ..., паралельні до спряженого з ним діаметра CD.

Слід зазначити, що спряженими діаметрами еліпса називаються зображення двох перпендикулярних діаметрів кола, що проектується.

Зображення тетраедра

Розглядаючи тінь, що дають на екрані каркасна модель тетраедра, можна сформулювати правило його зображення. Зображенням ребер даного тетраедра можуть бути сторони і діагоналі довільного опуклого або неопуклого чотирикутника ABCD.

Зображення прямокутного паралелепіпеда

Нехай задано прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁. Виберемо три його ребра АВ, AD і АА₁, що мають спільний початок. Розглянемо тетраедр A₁ABD. Користуючись правилом зображення тетраедра, приходимо до висновку, що ребра АВ, AD, AA₁ можна зобразити у вигляді трьох довільних відрізків, що виходять із однієї точки . Останні його ребра слід зобразити визначеними відрізками, кожний із них паралельний одному з побудованих відрізків і дорівнює йому по довжині.



Висновок

Сучасна педагогічна наука стверджує, що для продуктивного засвоєння учнями знань і для їхнього інтелектуального розвитку важливо встановлювати зв'язки, як між різними розділами курсу, так і між різними дисциплінами в цілому. Для чого потрібно вивчати паралельність у просторі? Вивчення теми "Паралельність прямих і площин у просторі" є однією з основних фундаментальних тем в шкільному курсі стереометрії. Знання цієї теми становлять основу знань учнів.

В курсовій роботі подані матеріали по викладанню теми, а також короткі теоретичні матеріали і практичні завдання на кожне заняття. Також тут є розв'язок окремих завдань по вищезгаданій темі. Курсова робота в собі вміщає ряд схем, які вчителі можуть використовувати як наочний матеріал для пояснення матеріалу по даній темі. Це допоможе учням більш зрозуміти і усвідомити тему.

Описані в курсовій роботі план та методи підходу до викладання теми "Паралельність прямих і площин у просторі" допоможе вчителям у їх підготовці до проведення уроків по цій темі.

Отже, в результаті дослідницької діяльності і опрацювання наукової та методичної літератури, показано методику викладання теми "Паралельність прямої і площини у просторі" у 10 класі. Розглянутий матеріал може стати у пригоді вчителю математики як методична література.

Література

1. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. - К.,: "Зодіак-ЕКО", 2000.

2. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А., "Геометрія",підручник, 10 кл.,Київ, "Зодіак - ЕКО", 2010.

3. www.mon.gov.ua

4. Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець В.О. "Геометрія" підручник,10 кл., Київ,"Ґенеза",2010.

5.

6. Александров Д.А., Вернер А.П., Рыжик В.И. "Начала стереометрии",уч. пособие для учащихся, Москва "Просвещение", 1992.

7. Бевз Г.П., Бевз В.Г. "Математика", підручник для ЗНЗ, Київ "Генеза", 2010.

8. Тимошенко Н.М. "Початкові поняття стереометрії", Математика, 2003.



Додаток 1

Тест

1) Якщо || , то будь-яка пряма площини паралельна площині . [+]

2) Якщо || , то будь-яка пряма площини паралельна кожній прямій площини . [-]

3) Якщо || , то будь-яка пряма площини мимобіжна кожній прямій площини . [-]

4) Якщо || , то для будь-якої прямої а площини існує пряма b в площині така, що а || b. [+]

5) Якщо || , то для будь-якої прямої а площини існує пряма b в площині така, що прямі а і b -- мимобіжні. [+]

6) Якщо || , то будь-яка пряма, яка перетинає площину , перетинає і площину . [+]

7) Якщо || , то будь-яка пряма, яка паралельна площині , паралельна і площині . [-]

8) Якщо дві прямі площини паралельні відповідно двом прямим площини , то || . [-]

9) Якщо деяка пряма площини паралельна площині , то || . [-]

10) Якщо кожна пряма площини паралельна площині , то || . [+]

11) Якщо дві прямі, одна з яких лежить у площині , а друга -- в площині , не мають спільних точок, то || . [-]

12) Якщо кожні дві прямі, одна з яких лежать у площині , а друга -- в площині , не мають спільних точок, то || . [+]



Додаток 2

Тема: Паралельність прямих і площин у просторі

Мета: Узагальнити, систематизувати та поглибити знання учнів з теми "Паралельність прямих і площин у просторі". Привернути увагу до теми. Розвивати просторову уяву учнів, математичну мову, творче мислення. Формувати вміння застосовувати властивості паралельних прямих і площин під час розв'язування задач.

Виховувати логічне та аналітичне мислення, уважність і акуратність під час виконання графічних робіт. Робота в групах має на меті перевірити творчість учнів, спроможність працювати в нестандартних ситуаціях.

Тип уроку: узагальнення, систематизація знань, умінь, навичок.

Форма проведення: конкурс - гра.

Обладнання: індивальні картки, плакати.

Хід уроку

I Організаційний етап

Учні займають свої робочі місця згідно попередньої домовленості (два ряди - дві команди). Команди мають свої назви і емблеми.

Учитель представляє команди б і Я, повідомляє тему і мету уроку. Сьогодні ми повторимо відомості з теми паралельність прямих і площин у просторі у вигляді конкурсу -гри. Кожний період гри (тайм) - гра за певним правилом. Спосіб оцінювання кожного учня - це самооцінка під керівництвом асистента. Правильна відповідь оцінюється в один бал.

Вчитель знайомить учнів з порядком ведення гри: "Розминка", "Бліцтурнір", "Домашнє завдання", "Тестовий конкурс". Обирається журі.

ІІ Мотивація навчальної діяльності. Актуалізація опорних знань.

Першим тайм -"Розминка" (6 хвилин). На дошці висить плакат з малюнком (або проектується). Учні на аркушах виконують завдання. Треба визначити:



1. Прямі, які перетинаються. 2.Паралельні прямі. 3.Мимобіжні прямі. 4.Прямі, які паралельні площинам. 5.Прямі, які перетинають площини. 6.Прямі, які належать площинам. 7. Площини, які паралельні. 8. Площини, які перетинаються

Роботи збирають члени журі і перевіряють, кожна правильно виконана робота приносить команді 1 бал. Другий тайм "Бліцтурнір" (5 хвилин). Учасники команд відповідають на запитання "Так" чи "Ні". За кожну правильну відповідь команда отримує 1 бал. Питання першій команді.

1. Точки А, В, С і D не лежать на одній площині. Прямі АВ і СD перетинаються.( Ні).

2. Через кожну з двох мимобіжних прямих можна провести площину, паралельну другій прямій.(Так).

3. Через довільну точку простору можна провести тільки одну пряму, яка паралельна даній площині.(Ні).

4. Якщо пряма паралельна даній площині, то вона паралельна кожній прямій, яка належить цій площині.(Ні).

5. Дві площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні двом прямим другої площини.(Так).

Питання другій команді. 1.Якщо дві прямі не перетинаються, то вони обов'язково паралельні.(Ні). 2.Через довільну точку простору можна провести пряму, паралельну даній площині. (Так). 3.Через довільну точку простору можна провести тільки одну площину, яка паралельна двом прямим, які перетинаються. (Так). 4.Якщо пряма не паралельна другій прямій, яка належить площині, тоді дана пряма перетинає цю площину. (Ні). 5.Через будь-яку пряму можна провести площину, яка паралельна даній площині. (Ні). Третій тайм "Домашнє завдання". (17 хвилин).

Кожна команда повинна підготувати доповідь про застосування паралельності площин у професіях і продемонстувати це на моделях: швачка - прокладання паралельної строчки, муляр - викладанні цегляної стіни, тракторист - прокладання паралельних рівців, плиточник - викладанні кафелю, плитки, столяр - виготовлення вікон, дверей, кухар - нарізання хліба.

ІІІ Застосування знань та вмінь.

Четвертий тайм - тестовий (8 хвилин) Учні виконують тестові завдання.

Перша команда б - варіант 1

У завданнях 1-4 позначте одну правильну, на вашу думку, відповідь. 1. Одна зі сторін паралелограма ABCD лежить у площині б, а його сторона CD не лежить у цій площині. Як розміщена пряма CD відносто площини б?

А	Б	В	Г	Д
Перетинає площину б	Паралельна площині б	Лежить на площині б	Перпендикулярна до площини б	Визначити неможливо

2. Точки A i B лежать в одній з паралельних площин, точки C i D - в іншій. Відрізки AC i BD перетинаються в точці К. Як розміщені прямі AB i CD?

А	Б	В	Г	Д
Перетинаються	Паралельні	Мимобіжні	Збігаються	Визначити неможливо

3. Точка S лежить поза площиною трикутника ABC . Точки A1, B1 i C1 є серединами відрізків SA, SB i SC відповідно. Визначте взаємне розміщення площин ABC I A1B1C1.

А	Б	В	Г	Д
Паралельні	Збігаються	Перетинаються	Або паралельні, або перетинаються	Визначити неможливо



4. Площини с перетинаються по прямій с. У площині б проведено пряму б паралельно прямій с. Яке взаємне розміщення прямої а і площини Я?

А	Б	В	Г	Д
Пряма а перетинає площину Я	б||Я	б Я	Пряма а або паралельна, або лежить в пллощині Я	Визначити неможливо

5. Дано паралелограм ABCD. Площина б проходить через його вершини А і В тане проходить через вершину С. Як розміщена пряма CD відносно б? Відповідь:_____________________

6. Площини б і Я паралельні. Через точку В площини Я проведено пряму b, паралельну площины б. Як розміщена пряма b відносно площини Я? Відповідь:____________________

Друга команда Я - варіант 2

1. Прямокутник ABCD не лежить в площині б, а його сторона CD лежитьу цій площині. Як розміщена пряма AB відносно площини б?

А	Б	В	Г	Д
Лежить у площині б	Паралельна площині б	Перетинає площину б	Перпендикулярна до площини б	Паралельна будь-якій прямій площини б
Мимобіжні	Паралельні	Збігаються	Перетинаються або збігаються	Визначити неможливо

2. Через точку М, що лежить між паралельними площинами б і Я, проведено дві прямі, які перетинають площини б і Я в точках А і А1, В і В1 відповідно (А1єб, Аєб). Як розміщені прямі АВ і А1В1?

3. У тетраедрі SKMN точка F - середина MN, точка Р - середина SN, точка О - середина KN. Визначте взаємне розміщення площин KSM і OPF.



А	Б	В	Г	Д
Перетинаються	Паралельні	Збігаються	Мимобіжні	Визначити неможливо

4. Трикутники ABC i ABD лежать у різних площинах. Точки M i N - середини сторін АС і ВС трикутника АВС відповідно. Яке взаємне розміщення прямої MN і площини ABD?

А	Б	В	Г	Д
MN||(ABD)	MN (ABD)	Пряма MN лежить у площині ABD	Пряма MN або паралельна, або лежить у площині ABD	Визначити неможливо

5. Площина б перетинає непаралельні сторони АВ і СD трапеції ABCD в точках відповідно М і N так, що АМ=ВМ i CN=ND. Як розміщені основи трапеції відносно площини б? Відповідь:______________________ 6. Площина б, у якій лежить пряма а, паралельна площині Я. Через точку В площини Я проведено пряму b, паралельну прямій а. Як розміщена пряма b відносно площини Я? Відповідь:_____________________

П'ятий тайм - конкурс капітанів У той час, коли учні виконують тестові завдання, капітани розв'яують завдання

1. Про які фігури йде мова? Питання першому капітану. Я основна фігура, хоч невидимка я! (точка). Питання другому капітану. По ній довго можна йти, кінця - краю не знайти. (пряма).

2. Які теореми зашифровані у віршах?

Питання першому капітану. Одна пряма каже другій: Теорема: "Як дві сестри, завжди ми поруч ідемо, "Через будь-яку точку простору, Мандруємо ми в площині одній. яка не лежить на даній прямій, Точка А потрібна дуже, можна провести пряму - Вона нам допомагає паралельну даній, і тільки одну". Вірний напрям прокладає І від зіткнень зберігає!" Питання другому капітану. Протяг двері відхилив, Теорема: Бо ти їх не зачинив. "Через пряму і точку, що не Мерщій біжи площину будувати лежить на даній прямій, Тобто замок закривати! можна провести площину, і до того ж тільки одну".

3. Розв'язування задач.

Задача першому капітану. Три мухи сіли на вікно, На сонці тепло їм було. "Три точки завжди знаходяться Та котик Мурзік не дрімав - в одній площині". Швиденько їх усіх прогнав! А мухи думають своє: "Скільки ж часу промине Поки Мурзік той засне І в площину потрапить не завадить?" Задача другому капітану. Пряма звернулася до площини з проханням: "Якщо дві точки прямої "Не відмовляй моїм благанням, належать площині, то і Візьми до себе моїх точок, небагато, вся пряма належить цій Одну, чи дві, чи три…" площині". "Одну або ні жодної, а більше - не проси!" - Відповіла площина без вагання. Пряма свій лепет швидко припинила - Сенс її слів вона не зрозуміла. IV Підбиття підсумків конкурса-гри Експерти підбивають підсумки гри команд. Учитель коментує рівень складності задач, дякує учням за роботу на уроці, виставляє оцінки.

V Домашнє завдання

Скласти ребус до теми "Паралельність прямих і площин у просторі".

Размещено на Allbest.ru