Вычисление модулей гладкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Вспомогательные леммы

Будем говорить, что , если для функция измерима на отрезке и , а для функция непрерывна на отрезке и .

Будем также говорить, что, если , причем .

Дляи данных чисел и введем оператор обобщенного сдвига по правилу:

1) для ,

+

2) для ,

3) для ,

4) для , , где

.

. Пусть заданы числа , и такие, что , . Пусть числа выбраны по правилу:

1) если , то при

2) если , то и при , при , при

3) если , то и при , при , при

4) если , то и при и при , и при .

Тогда

,

где положительная постоянная не зависит от и .

Лемма 2. Пусть и . Тогда

Доказательство. Пусть

1)

Сделаем замену переменной . Тогда



2) ,

Сделаем замену переменных

,

тогда

,



3) ,

Сделаем замену переменной

Тогда

где

Сделаем еще замену переменных

Тогда

,

Далее замена переменной

Тогда

,

Сделав замену переменных



Получим

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Если функцияимеет абсолютно непрерывную ( производную на каждом отрезке , тогда при фиксированном функция также имеет абсолютно непрерывную производную на каждом отрезке

Доказательство. Пусть . Выберем произвольный отрезок . На нем имеем:

1)



Функции и абсолютно непрерывны на и так как а то в силу строгой монотонности на и , строгой монотонности на и и строгой монотонности , строго монотонна на и , а строго монотонна на и . В силу теоремы: пусть абсолютно непрерывная функция, заданная на отрезке строго возрастает. Если, абсолютно непрерывна на , то функция , абсолютно непрерывна на (если строго убывает доказательство не меняется) функция

абсолютно непрерывна на каждом из отрезков и , а

абсолютно непрерывна на и . А поскольку и непрерывны на . Поскольку сумма, разность, произведение и частное, если знаменатель не обращается в нуль, абсолютно непрерывных функций абсолютно непрерывны, то абсолютно непрерывна на .

2)

Пусть

Как и в случае 1) доказывается, что абсолютно непрерывна на . Так как по теореме Лагранжа о среднем

,

то при любых . Тогда по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла при фиксированном на отрезке существует конечная производная

В силу абсолютной непрерывности на также абсолютно непрерывна на . 3) и 4) разбираются также как и 2).

б) 1)



В силу абсолютной непрерывности и на каждом отрезке рассуждая как и в случае а) 1) получаем, что абсолютно непрерывна на

2) ,

Таким образом, также абсолютно непрерывна на и воспользовавшись как и в случае а) 2) теоремой Лебега о предельном переходе под знаком интеграла получим, что абсолютно непрерывна на и в этом случае.

1) и 4) разбираются также как и 2). Для произвольного доказывается индукцией по .

Черезобозначим множество таких функций , что , имеет абсолютно непрерывную производную на каждом отрезке и где

Тогда . Действительно,

Сделав замену переменной имеем

где .

Лемма 4. Пусть Тогда

1) для почти всех и почти всех справедливы равенства:

а)

б)

2) для почти всех и для любых

а) ,

где

б)

где

3) если , то для почти всех и для любых



Лемма 9. и

(4)

Доказательство: Из Леммы 8 следует, что . Далее применим индукцию по.

1) . Ясно, что функция

абсолютно непрерывна на каждом отрезке и поскольку

то

для почти всех .

2) Предположим и

. Тогда имеем:



где .

Так как

и по предположению имеет производную, абсолютно непрерывную на каждом , то и абсолютно непрерывна на любом отрезке . На основании 1) и предположения индукции имеем

Лемма 9 доказана.

Для рассмотрим оператор

,

где

Пусть и

Лемма 10. Пусть , и числа выбраны по правилу Леммы 7. Тогда для и выполнено равенство:

(5)

Доказательство: Применим индукцию по

1) . Из равенства (4) Леммы 9 при следует, что

И поскольку , то для имеем .

Поэтому

.

По Лемме 9 имеем, что . Применив Лемму 6, получим



2) Предположим

Так же как и при доказательстве равенства (4) при получаем, что

(6)

Из Лемм 1, 3 и 9 следует, что . Поэтому пользуясь предположением индукции, Леммой 4. 2) б) и Леммой 6. 1) имеем:



На основании индукции Лемма 10 доказана.

Лемма 11. Пусть , , выбраны по правилу Леммы 7. Тогда, если , то

и

(7)

Доказательство: То, что следует из Лемм 10, 9, 1 и 3. Из равенства (5), Леммы 4. 2) б) и равенства (4) следует, что

Лемма 11 доказана.

2. Теоремы Джексона для к-го обобщенного модуля гладкости

Для и данных чисел введем - функционал по формуле:



Теорема 1. Пусть заданы числа , и такие, что , . Пусть числа выбраны по правилу:

1) если , то при

2) если , то и при , при , при

3) если , то и при , при , при

Тогда для справедливы неравенства:

где положительные постоянные и не зависят от и .

Доказательство:

для любой функции. По Лемме 1 , где положительная постоянная не зависит от и . Если , то в силу Леммы 7

,

где положительная постоянная не зависит от и .

Поэтому . Для доказательства правого неравенства рассмотрим функцию

где .

Так как имеет абсолютно непрерывную производную на каждом , то применяя Теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла (так же как и при доказательстве случая 2) Леммы 3), Лемму 4. 1) б), обобщенное неравенство Минковского и Лемму 1 имеем для и при

Так как представляет собой сумму произведений , то

и применяя равенство (7) Леммы 11 имеем

Поскольку для

где положительные постоянныеине зависят от , то

где

с другой стороны



Так как

то учитывая, что

имеем:

Из Леммы 4. 3) получаем



Поэтому из равенства (8) и неравенства (****) следует, что

Таким образом для

Пусть

Тогда , а для имеем:



Итак для любого

Теорема 1 доказана.

Пусть заданы натуральные числа и Известно, что функция есть четный тригонометрический полином порядка Функция , где

обладает для и свойствами:

1) ;

2) ,

где положительная постоянная не зависит от

Лемма 12. Если , то

есть алгебраический многочлен степени не выше, чем .

Обозначим через наилучшее приближение функции при помощи алгебраических многочленовстепени не выше, чем , в метрике , то есть

Лемма 13. Пусть , и .

Тогда

Доказательство: Пусть. Положим

Для фиксированного подберем так, что . По Лемме 12 есть алгебраический многочлен степени не выше, чем . Используя обобщенное неравенство Минковского, неравенство (3) при и свойство 2) имеем:



Пусть

Поскольку любой многочлен можно представить в виде линейной комбинации многочленов Якоби, то

Положим

Тогда из (9) следует

=



поскольку

Таким образом

Лемма 13 доказана.

Следствие. Пусть и . Тогда

Доказательство: Применяя неравенство (10) раз получаем

Следствие доказано.

Лемма 14. Пусть алгебраический полином степени не выше, чем , , . Тогда справедливы неравенства:



где положительная постоянная не зависит от .

Теорема 2. Пусть даны числа , и такие, что , . Пусть числа выбраны по правилу Теоремы 1Тогда для справедливы неравенства:

где положительные постоянные и не зависят от и

Доказательство: Пусть . Для любой функцииможем записать

По следствию

Переходя к точной нижней грани по всем , получим

и по теореме 1

Таким образом первое неравенство теоремы доказано. Докажем второе.

Пусть алгебраический многочлен наилучшего приближения для степени не выше, чем . Пусть . Из теоремы 1 следует, что

Так как то используя равенство типа Маркова

где многочлен степени , которое сразу следует из Леммы 14, получаем:

Отсюда с учетом (11) имеем



Теорема 2 доказана.

3. Вычисление модулей гладкости для некоторых функций

1. Найти модуль непрерывности для функции

По определению

где

Пусть . Тогда обобщенный оператор обобщенного сдвига имеет вид:

Т.к. , то окончательно получаем:

Сделаем замену переменных . Тогда

Т.к. , то . Тогда

2. Найти модуль гладкости 2-го порядка для функции

Найдем



Поскольку , то и и и достаточно рассмотреть случай . Тогда

+



Заключение

Для - периодических функций хорошо известны прямая и обратная теоремы теории приближений, которые можно записать в виде неравенств:

где - наилучшее приближение непрерывной или интегрируемой в - й степени функции при помощи тригонометрических полиномов порядка не выше, чем в метрике , - - й модуль гладкости в метрике и положительные постоянные и не зависят от и .

При рассмотрении непериодических функций уже не удается получить такие же связи, как неравенства , между модулями гладкости функции и ее наилучшими приближениями алгебраическими многочленами. В данной дипломной работе были получены аналоги неравенств , где обычный модуль гладкости заменен обобщенным модулем гладкости. Такие обобщенные модули гладкости были определены при помощи операторов обобщенного сдвига. В ходе выполнения дипломной работы были рассмотрены вспомогательные леммы и с помощью них доказаны аналоги неравенств для обобщенных модулей гладкости.

лемма гладкость полином модуль

Размещено на Allbest.ru