Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Таганрогский государственный педагогический институт

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа

Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

Курсовая работа

студента 3-го курса

Колоколовой К.В.

специальности математика

Научный руководитель

Кандидат физ.-мат. наук, доцент

Ляхова Н.Е.

Дата сдачи _______________20__г.

Дата защиты _______________20__г.

Оценка____________________

Научный руководитель ____________________/____________________/

Таганрог 2011

Оглавление

Введение

1. Формула Тейлора

1.1 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

1.2 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

1.3 Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора

2. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

2.1 Изложение метода

2.2 Примеры вычисления пределов с помощью формулы Тейлора

Заключение

Список литературы

Введение

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу.

Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 - 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

Все вычисления в калькуляторе построены на том, что некая функция хоть и выглядит не очень красивой после разложения в ряд но за то очень удобно вычислять.

Возьмите например простую функцию sin(x) и вам нужно вычислить допустим sin(134) Как вы это сделаете? А вот разложив эту функцию в ряд, Вы сможете подставить в нее значение Х. При этом теория рядов позволяет узнать сколько членов ряда нужно иметь для заданной точности.

В курсовой показано, как с помощью формулы Тейлора можно легко находить пределы функций.

1. Формула Тейлора

1.1 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

формула тейлор предел функция степенной

Лемма 1. Если функция f(x) имеет в точке х₀ производную n-го порядка, то существует многочлен Р_n(х) степени не выше n такой, что

Р_n(х_о) = f(x₀), (x_o) = (x_o), k = . (1)

Этот многочлен представляется в виде

Р_n(х_о) = f(x₀)+(x-x₀)++ …+. (2)

· Пусть ц(x) = (x - x₀)^m, где m ? N. Тогда ц(x₀) = 0,

ц^(k)(x₀) = (3)

Из (3) следует, что многочлен Р_n(х), заданный формулой (2), удовлетворяет условиям (1). Этот многочлен называют многочленом Тейлора n-го порядка для функции f(x) в точке x₀ . *

Лемма 2. Пусть функции ц(x) и ш (х) определены в д-окрестности точки x₀ и удовлетворяют следующим условиям:

1) для каждого х ? U_д(x₀) существуют и ;

2) ц(x₀) = ц'(х₀) = ... = цⁿ(х₀) = 0;

ш(x₀) = ш'(х₀) = ... = шⁿ(х₀) = 0; (4)

3) ш(х) ? 0, (x) ? 0 для х ? и для k = .

Тогда для каждого х ? существует точка , принадлежащая интервалу с концами х_о и х такая, что

. (5)

· Пусть, например, x ? (x_о, x_о + д). Тогда, применяя к функциям ц и ш на отрезке [x₀,x] теорему Коши (Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(x) ? 0 во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка ? (a, b) такая что

) и учитывая, что ц(x_o) = ш(х_о) = 0 в силу условий (4), получаем

, x₀ . (6)

Аналогично, применяя к функциям и на отрезке [x_o,] теорему Коши, находим

= , x₀ . (7)

Из равенств (6) и (7) следует, что

= , x₀ .

Применяя теорему Коши последовательно к функциям и , и , …

…, на соответствующих отрезках, получаем

,

где x₀

Равенство (5) доказано для случая, когда x ? (x_о, x_о + д). Аналогично рассматривается случай, когда x ? (x_о - д, x_о). *

Теорема 1. Пусть существует д > 0 такое, что функция f(x) имеет в д - окрестности точки х_о производные до (n + 1) - го порядка включительно.

Тогда для любого х ? найдется точка е, принадлежащая интервалу с концами х_о и x, такая, что

(x-

x₀)++…+

. (8)

· Пусть х ?, Р_n(х) = многочлен Тейлора для функции f(x). Обозначим

r_n(x) = f(x) - P_n(x). (9)

Так как многочлен Р_n(х) удовлетворяет в силу леммы 1 условиям (1), то из равенства (9) следует, что

r_n(x_o) = r'(x_o) = ... = (x_o) = 0. (10)

Рассмотрим функции ц(х) = r_n(х), ш(х) = (x-x_о)ⁿ⁺¹. Эти функции удовлетворяют условиям леммы 2, и поэтому для них выполняется равенство (5), т. е.

, (11)

так как (х) 0, х) = (n + 1)!. Из равенств (11) и (9) следует формула (8). *

Замечание 1. Функцию r_n(x) = называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Формула (8) справедлива и при x= x₀.

Следствие. Если функции ц и ш дифференцируемы n раз при х х_о и удовлетворяют условиям , k = , при , то ц(x) > ш(x) при .

· Обозначим f(x) = ц(x) -- ш(х). Тогда = 0 при k = = 0, и по формуле (8) получаем

Если х > х_о, то е > х_о, = > 0, и поэтому f(x) > 0, т. е. ц(x)> ш(х) при х > х_о. *

Пример 1. Доказать, что:

а) для t ? R;

б) (12)

? а) Применяя формулу (8) при n = 2 и x_о = 0 к функции f(t) = sint, получаем, откуда следует, что для t ? R.

б) Если f(x) = sin x, то f(0) = f⁽²⁾ = f⁽⁴⁾ =0, f `(0) = 1, f⁽³⁾ = -1, f⁽ⁿ⁾(x) = (sin x)⁽ⁿ⁾ = =sin (x + n ). Применяя формулу (8) при n = 5, получаем

откуда следует правое неравенство (12), так как, очевидно, . Используя формулу (8) для f(x) = sin x при n = 3, x_о = 0, докажем левое неравенство (12). ?

1.2 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Теорема 2. Если существует, то

· Из существования следует, что функция f(x) определена и имеет производные до (n -- 1)-го порядка включительно в д-окрестности точки x_о. Обозначим ц(х) = r_n(x), ш(х) = (x-x_о)ⁿ⁺¹, где функция r_n(x) определяется формулой (9). Функции ц(х) и ш(х) удовлетворяют условиям леммы 2, если заменить номер n + 1 на номер n -- 1 (см. равенства (10)). Используя лемму 2 и учитывая, что = 0, получаем

где е = е (x) и

(15)

Пусть , тогда из неравенств (15) следует, что , и в силу существования существует

= = так как выполняются равенства (10). Таким образом, правая часть формулы (14) имеет при предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, также равный нулю. Это означает, что = , или f(x) - Р_n(х), = = откуда следует равенство (13). *

Замечание 2. Формулу (13) часто называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или локальной формулой Тейлора.

Разложить функцию f(x) по формуле Тейлора в окрестности точки до - значит представить ее в виде (13).

Теорема 3. Если существует и если при

то

· По теореме 2 справедлива формула (13), и так как по условию выполняется равенство (16), то

Переходя к пределу при в равенстве (18), получаем =.Отбросив в левой и правой частях этого равенства одинаковые слагаемые и и разделив обе части полученного равенства на, имеем

=.

Переходя в этом равенстве к пределу при , находим f '(x_o) = . Продолжая эти рассуждения, получаем равенства (17). *

Замечание 3. Теорема 3 означает, что представление в виде (16) функции, имеющей в точке х_о производную n-го порядка, единственно: коэффициенты разложения (16) выражаются по формулам (17).

Пример 2. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки x₀ = 0 до о(х_n).

Воспользуемся равенством (1 + x + ... +)(1 - x) = 1 - , откуда = = 1 + x + ... ++ , где = = о() при 0. Таким образом

= 1 + x + ... ++ о(). (19)

Так как функциябесконечно дифференцируема при x ? 1 (имеет производные любого порядка), то по теореме 3 формула (19) дает искомое разложение. ?

1.3 Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора

Если x₀ = 0 и существует , то равенство (13) принимает вид

о(), . (20)

Формулу (20) называют формулой Маклорена.

Замечание 4. Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема на интервале (- l, l). Если эта функция является четной, то ее производная -нечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции - четная функция . Отсюда следует, что для нечетной функции f выполняются условия = 0, k N, а для четной функции f- условия = 0, k N, так как любая непрерывная нечетная функция принимает при x = 0 значение нуль.

Поэтому формулу (20) для бесконечно дифференцируемой четной функции можно записать в виде

о(), . (21)

а для нечетной функции - в виде

о(), . (22)

В формуле (21) остаточный член записан в виде о(), а не в виде о(), так как для четной функции f выполняется условие = 0, и поэтому член многочлена Тейлора, который следует за слагаемым ,равен нулю. Аналогично рассматривается вопрос о записи остаточного члена формулы (22).

а) Показательная функция. Если = , то f (0) = 1 и = 1 при любом n. Поэтому формула (20) для функции записывается в виде

= 1 + х + + + ... + + о(), . (23)

или

б) Гиперболические функции. Так как = sh x - нечетная функция, = ch x, = 1 при k = 0,1,2,..., то по формуле (22) получаем

sh x = х + + + ... + + о(), , (24)

или

sh x = .

Аналогично по формуле (21) находим

ch x = 1 + + + ...+ + . (25)

или

ch x = .

Замечание 5. Так как sh x = , ch x = , то формулы (24) и (25) можно получить, используя равенство (23) и равенство = +о(), .

в) Тригонометрические функции. Функция f(x) = sin x является нечетной,

откуда

 = sin( + ) = cos =

Поэтому по формуле (22) находим

sin x = х - + + ... + + о(), (26)

или

sin x =.

Аналогично, f(x) = cos х - четная функция, = cos ( 2n) = и по формуле (21) получаем

cos x = l - + +...+ + , (27)

или

cos x =.

г) Степенная функция. Пусть f(x) =, где б R. Тогда =

= б(б - 1)...(б - (k - 1))(1 + x)^{б - k}, откуда получаем = б(б - 1)...(б - (k - 1)). Обозначим

Тогда по формуле (20) получим

Отметим важные частные случаи формулы (29).

1) = 1 + x + x² + ... + xn + , (30)

или

Формула (30) была получена другим способом в п. 2 (пример 2).

2) = 1 - x + x² + ... + xⁿ + , (31)

или

д) Логарифмическая функция. Если f(x) = 1n(1 + x), то f(0) = 0,

= ,

и по формуле (20) находим

1n(1 + x) = x - +

или

1n(1 + x) =

Заменяя в формуле (32) x на -x, получаем

1n(1 - x) = - x - - - ...- + (33)

или

1n(1 - x) =

Пример 3. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки x₀ = 0 до функцию f(x), если:

a) f(x) = б) f(x) =

в) f(x) =ln ; г) f(x) =.

а) Применяя формулу (29) при б = - , получаем



где

Обозначим (2k - 1)!! = ), тогда

(34)

Из формулы (34) при n = 3 находим

б) Так как , то, применяя формулу (31), получаем

в) Используя равенство ln = и формулу (33), находим

ln

г) Так как f(x) = х+3, то, применяя формулу (23), получаем

f(x) = x(

или

f(x) =

т. е.

f(x) = ?

Пример 4. Разложить по формуле Маклорена до o(x²ⁿ +1) функцию

f(x) = cos⁴ x.

· Используя равенство, получаем

cos⁴ x =

откуда по формуле (27) находим

cos⁴ x = ?

Замечание 6. Если существует и известно разложение функции+,

где , то

),

т.е.

),

Пример 5. Разложить по формуле Маклорена до o(x²ⁿ +1) функции:

a) arctg x; б) arcsin x; в) 1n(x +).

· а) Так как

то, используя формулу (31) и замечание 6, получаем

), ,

откуда

arctg x = ), (36)

Из формулы (36) при n = 2 находим

,(37)

б) Используя замечание 6, равенство (34) и формулу (arcsin x)' =, получаем

откуда

Из формулы (38) при n = 2 находим

,(39)

в) Так как

то, используя замечание 6 и разложение (34), получаем

откуда

Из формулы (40) при n = 2 находим

, ? (41)

Пример 6. Разложить по формуле Маклорена до функции:

а) tg x; б) th x.

· а) Функция tg x является нечетной, и поэтому tg x = а₁х + а₃x³ + а₅x⁵ + +о(x⁶), , где а₁ = 1, так как tg x ~ x при . Используя равенство sin x = =cos x tgx и разложения (26), (27), получаем

Приравнивая коэффициенты при и , находим , откуда и поэтому

, (42)

б) Так как th x -- нечетная функция, то th x = а₁х + а₃x³ + а₅x⁵ ++о(x⁶),

где а₁ = 1 (th x ~ x при ). Применяя формулу sh x = ch x th x и используя разложения (24), (25), получаем



откуда, сравнивая коэффициенты при и , находим. Следовательно,

. ? (43)

Замечание 7. Прием, использованный для нахождения разложений (42) и (43), называют методом неопределенных коэффициентов.

Замечание 8. Разложение функции f(x) по формуле Тейлора (16) заменой

х - х_о = t обычно сводится к разложению функции g(t) = f (х_о +t) по формуле Маклорена (20).

Пример 7. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х₀ = -2 до о() функцию

· Так как , то, полагая х = t - 2, получаем

Применяя формулы (30) и (31), находим

откуда

2. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора

2.1 Изложение метода

Рассмотрим предел при отношения , где f (0) = g (0) = 0,т.е. предел типа

Будем предполагать, что

Тогда разложение функции f по формуле Маклорена (20) имеет вид

Аналогично, предполагая, что

по формуле (20) находим

Из равенства (44) и (45) следует, что

Если m = n, то Если m < n, то если же m > n, то

.

2.2 Примеры вычисления пределов с помощью формулы Тейлора

Пример 1.Найти

· Используя формулы (24), (26), (31) и (42), где

·

sh x = х + + + ... + + о(), ;

sin x = х - + + ... + + о(),

= 1 - x + x² + ... + xⁿ + ;

,

Откуда получаем



Искомый предел равен -4. ?

Пример 2. Найти

· Пусть f(x) и g(x) - соответственно числитель и знаменатель дроби. Тогда, используя формулы (43) и (27), где

.

cos x = l - + +...+ + ,

получаем

g(x)=

Поэтому числитель f(x) следует разложить до Применяя формулы (41), (35) и (25), где

,;

;

ch x = 1 + + + ...+ + ,

находим

Откуда получаем

Искомый предел равен -16. ?

Локальная формула Тейлора часто используется при вычисление предела при функции . Если и разложение функции f по формуле Маклорена имеет вид (44) т.е.

, а функция представляется при в виде

то, используя формулу

получаем



Пример 3. Найти

· Используя формулы (39) и (24), где

,

sh x = х + + + ... + + о(), ,

получаем

Используя формулы (23), (33) и (42), где

= 1 + х + + + ... + + о(),

1n(1 - x) = - x - - - ...- +

,

получаем

 =

=

По формуле (46) находим, что

При вычисление предела с помощью формулы Тейлора в конечной точки можем положить и свести задачу к вычислению предела при t = 0.

Неопределенности видов , 0 ?, ? - ? обычно приводят к пределу типа

Пример 4. Найти

· Обозначим

тогда

Полагая , получаем

, где

при б = , n = 2, получаем

Следовательно

, что искомый предел

Пример 5.Найти



· Используя формулы (23) и (27), где

= 1 + х + + + ... + + о(),

cos x = l - + +...+ + ,

получаем

Откуда получаем

Заключение

В данной курсовой работе был рассмотрен метод вычисления пределов с помощью формулы Тейлора.

Рассмотренный метод является достаточно эффективный при вычисление пределов.

Список использованных источников

1. Тер-Крикоров А.М. Курс математического анализа. Учеб. пособие для вузов.- 3-е изд., исправл. - М.: ФИЗМАТ- ЛИТ, 2001.

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Том 1. Издательство “Наука”.Главная редакция Физико-математическо Литературы. Москва 1968г.

3. Ляшко И.И., Бояргук А.К., Тай Я.Г. и др. Справочное пособие по математическому анализу. Ч.1.Введение в анализ, производная, интеграл. Киев, издательство объединение «Вица школа», 1978 г.

Размещено на Allbest.ru