Дифференциальные свойства гиперболических функций

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Заочный факультет

Кафедра высшей математики

Дипломная работа

Дифференциальные свойства гиперболических функций

Исполнитель:

студент группы М-61

А.А. Седой

Научный руководитель:

д-р.ф-м.наук,

доцент А.П. Старовойтов

Гомель 2009

• Содержание

Введение

1 Гиперболические функции

2 Вычисление пределов гиперболических функций

2.1 Раскрытие неопределенностей

2.2 Замена переменного при вычислении предела

2.3 Сравнение гиперболических и обратных к ним функций функций

2.3.1 Эквивалентные функции

2.3.2 Замена функций эквивалентными при вычислении пределов

2.3.3 Понятие бесконечно малой функции по сравнению с другой

2.3.4 Критерий эквивалентности функций

3 Дифференцирование обратных гиперболических функций

3.1 Дифференциал функции

3.2 Правила дифференцирования

3.3 Дифференцирование сложной функции

3.4 Дифференцирование гиперболических и обратных гиперболических функций

4 Формула Тейлора гиперболических функций

4.1Формула Тейлора

4.2 Формула Маклорена

4.3 Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора

4.4 Вычисление предела

5 Неопределенный интеграл гиперболических функций

5.1 Понятие неопределенного интеграла

5.2 Свойства неопределенного интеграла

5.3 Интегрирование гиперболических функций

6 Ряды гиперболических функций

6.1 Степенные ряды

6.2 Свойства степенных рядов

6.3 Ряд Тейлора

6.4 Разложение гиперболических функций в ряд Тейлора

6.5 Гиперболические функции комплексного переменного

Заключение

Список использованных источников

Приложение А

• Введение

В математике и её приложениях к естествознанию и технике находят широкое применение показательные функции. Это, в частности, объясняется тем , что многие изучаемые в естествознании явления относятся к числу так называемых процессов органического роста, в которых скорости изменения участвующих в них функций пропорциональны величинам самих функций.

Если обозначить через функцию, а через аргумент, то дифференциальный закон процесса органического роста может быть записан в виде где некоторый постоянный коэффициент пропорциональности.

Интегрирование этого уравнения приводит к общему решению в виде показательной функции

Если задать начальное условие при , то можно определить произвольную постоянную и, таким образом, найти частное решение которое представляет собой интегральный закон рассматриваемого процесса.

К процессам органического роста относятся при некоторых упрощающих предположениях такие явления, как, например, изменение атмосферного давления в зависимости от высоты над поверхностью Земли, радиоактивный распад, охлаждение или нагревание тела в окружающей среде постоянной температуры, унимолекулярная химическая реакция (например, растворение вещества в воде), при которой имеет место закон действия масс ( скорость реакции пропорциональна наличному количеству реагирующего вещества ), размножение микроорганизмов и многие другие.

Возрастание денежной суммы вследствие начисления на неё сложных процентов (проценты на проценты) также представляет собой процесс органического роста.

Эти примеры можно было бы продолжать.

Наряду с отдельными показательными функциями в математике и её приложениях находят применение различные комбинации показательных функций, среди которых особое значение имеют некоторые линейные и дробно-линейные комбинации функций и так называемые гиперболические функции. Этих функций шесть, для них введены следующие специальные наименования и обозначения:

(гиперболический синус),

(гиперболический косинус),

(гиперболический тангенс),

(гиперболический котангенс),

(гиперболический секанс),

(гиперболический секанс).

Возникает вопрос, почему даны именно такие названия, причём здесь гипербола и известные из тригонометрии названия функций: синус, косинус, и т. д.? Оказывается, что соотношения, связывающие тригонометрические функции с координатами точек окружности единичного радиуса, аналогичны соотношениям, связывающим гиперболические функции с координатами точек равносторонней гиперболы с единичной полуосью. Этим как раз и оправдывается наименование гиперболических функций.

1. Гиперболические функции

Функции, заданные формулами называют соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.

Эти функции определены и непрерывны на , причем - четная функция, а - нечетная функция.

Рисунок 1.1 - Графики функций

Из определения гиперболических функций и следует, что:

По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

Функция определена и непрерывна на , а функция определена и непрерывна на множестве с выколотой точкой ; обе функции - нечетные, их графики представлены на рисунках ниже.

Рисунок 1.2 - График функции

Рисунок 1.3 - График функции

Можно показать, что функции и - строго возрастающие, а функция - строго убывающая. Поэтому указанные функции обратимы. Обозначим обратные к ним функции соответственно через .

Рассмотрим функцию, обратную к функции , т.е. функцию . Выразим ее через элементарные. Решая уравнение относительно , получаем Так как , то , откуда

Заменяя на , а на , находим формулу для функции, обратной для гиперболического синуса:

Замечание. Название “гиперболические функции” объясняется тем, что уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения гиперболы . Параметр в уравнениях гиперболы равен удвоенной площади гиперболического сектора. Это отражено в обозначениях и названиях обратных гиперболических функций, где частица есть сокращение латинского (и английского) слова “” - площадь.

Упражнение. Доказать формулы:

Докажем формулу

Выразим ее через элементарные. Решая уравнение относительно , получаем так как , то , откуда Заменяя на , а на получим

2 Вычисление пределов гиперболических функций

2.1 Раскрытие неопределенностей

При вычислении пределов часто встречается случай, когда требуется найти где и - бесконечно малые функции при , т.е. В этом случае вычисление предела называют “раскрытием неопределенности” вида .

Чтобы найти такой предел, обычно преобразуют дробь , выделяя в числителе и знаменателе множитель вида . Например, если в некоторой окрестности точки функции и представляются в виде где , а функции и непрерывны в точке , то при , откуда следует, что если .

Аналогично, если и - бесконечно большие функции при , т.е. то говорят, что их частное и разность представляют собой при неопределенность вида и соответственно. Для раскрытия неопределенностей таких типов обычно преобразуют частное или разность так, чтобы к полученной функции были применимы свойства пределов. Например, если и - многочлены степени , где , то, разделив числитель и знаменатель дроби на , найдем, что

Пример. Найти если:

а) Разложив числитель и знаменатель на множители, получим

откуда следует, что

б) Умножив числитель и знаменательна функцию и используя формулу , где получим

в) Так как где , то используя первый замечательный предел и непрерывность косинуса, получаем

2.2 Замена переменного при вычислении предела

Теорема 1. Если существуют причем для всех из некоторой проколотой окрестности точки выполняется условие , то в точке существует предел сложной функции и справедливо

Согласно определению предела, функции и определены соответственно в и , где , причем для выполняется условие . Поэтому на множестве определена сложная функция . Пусть - произвольная последовательность такая, что

Обозначим , тогда по определению предела функции

Так как существует

Это означает, что т.е. справедливо равенство

Пример 1. Доказать, что:

Функция непрерывна и строго монотонна на (возрастает при и убывает при ). На промежутке существует обратная к ней функция , непрерывная и строго монотонная. Учитывая, что при и используя формулу получаем

Отметим важный частный случай формулы (1):

Пример 2. Доказать, что

Так как то, применяя формулу получаем

2.3 Сравнение гиперболических и обратных к ним функций

2.3.1 Эквивалентные функции

Если в некоторой проколотой окрестности точки определены функции такие, что то функции и называют эквивалентными (асимптотически равными) при и пишут при или, короче, при

Например, при , так как , а

Отметим, что функции и , не имеющие нулей в проколотой окрестности точки тогда и только тогда, когда

Понятие эквивалентности используют в тех случаях, когда обе функции и являются либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при .

Составим таблицу функций, эквивалентных при :

Эти соотношения остаются в силе при , если заменить в них на функцию такую, что при .

Например,

при

при .

Пример. Доказать, что при .

а) Пользуясь тем, что и при , получаем при

б) Так как и при , то при

2.3.2 Замена функций эквивалентными при вычислении пределов

Теорема 2. Если и при , то из существование предела функции при следует существование предела функции при и справедливость равенства

По условию и при . Это означает, что

и , где lim и lim .

то найдётся такая проколотая окрестность точки , в которой определены функции , , , причём и , откуда следует, что в этой окрестности определена функция такая, что

Следовательно, в некоторой проколотой окрестности точки определена функция

 и

Так как существует

то существует и справедливо равенство (2).

Пример 1. Найти

Так

как , то при .

Отсюда по теореме следует, что искомый предел равен .

Пример 2. Найти

Так как при . Отсюда, по теореме следует, что искомый предел равен .

2.3.3 Понятие бесконечно малой функции по сравнению с другой

Если в некоторой проколотой окрестности точки определены функции

то функцию называют бесконечно малой по сравнению с функцией при и пишут

Эта запись читается так: ,, есть бесконечно малое от при , стремящимся к ”. В частности, запись означает, что является бесконечно малой функцией при .

Если в некоторой проколотой окрестности точки , то соотношение (3) можно записать в виде

или в виде

Следует иметь в виду, что функции , о которых идёт речь в записи (3), не обязательно являются бесконечно малыми при .

Например, если , то , а функции и являются бесконечно большими при .

В случае, когда функция бесконечно малая более высокого порядка, чем . Например, при функции , ,

бесконечно малые более высокого порядка , чем . Поэтому справедливы равенства , , , .

Символ в этих равенствах служит для обозначения множества или, как принято говорить, класса функций, бесконечно малых более высокого порядка ,чем , писать , . Однако вторая запись неудобна для применения при выполнении операций над функциями.

Из сказанного следует, что равенство вида (3) не является равенством в обычном смысле. Такое равенство в соответствии с определением записи (3) следует читать только слева направо, поскольку правая часть обозначает класс функций, бесконечно малых по сравнению с при , а - какая-либо функция из этого класса.

Отметим некоторые важные свойства символа , считая, что

, а равенства, содержащие этот символ, читаются слева направо (здесь С - постоянная):

Докажем первое из этих свойств.

Надо показать, что любая функция, принадлежащей классу функций , принадлежит и классу функций , т.е. если

По определению запись означает, что , где при . Но тогда , где при , т.е.

Наряду с символом в математике употребляют символ . Запись означает, что в некоторой проколотой окрестности точки определены функции такие, что где - функция, ограниченная на , т.е.

.

Соотношение (4) читается так: “ есть O большое от при , стремящемся к ”.

2.3.4 Критерий эквивалентности функций

Теорема 3. Для того чтобы функции были эквивалентными при , необходимо и достаточно, чтобы

. (5)

Пусть при , тогда выполняют условия

,

и поэтому , где

при . Отсюда по определению символа следует, что , т.е. справедливо равенство

.

Обратно, из равенства (5) следует, что при . Действительно, если выполняется равенство (5), то , где при , откуда , где при , т.е. при .

Теорема 3 позволяет приведенную в пункте 2.3.1 таблицу эквивалентных функций записать в виде

С помощью этой таблицы можно вычислять пределы функций.

Пример. Найти

3 Дифференцирование обратных гиперболических функций

3.1 Дифференциал функции

Определение 2. Если функция определена в - окрестности точки , а приращение функции в точке представимо в виде

где не зависит от , а при , то функция называется дифференцируемой в точке , а произведение называется ее дифференциалом в точке и обозначается или .

Таким образом при , где .

Отметим, что приращение можно рассматривать только для таких , при которых точка принадлежит области определения функции , в то время как дифференциал определен при любых .

Теорема 4. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела производную в точке . При этом дифференциал и производные связаны равенством

Если функция дифференцируема в точке , то выполняется условие и поэтому , где при , откуда следует, что существует т.е. существует .

Обратно, если существует то справедливо равенство

и поэтому выполняется условие (6). Это означает, что функция дифференцируема в точке , причем коэффициент в формулах

равен , и поэтому дифференциал записывается в виде:

Таким образом, существование производной функции в данной точке равносильно дифференцируемости функций в этой точке интервала (a,b), называют дифференцируема на интервале (a,b).

Если функция дифференцируема на интервале (a,b) и, кроме того, существуют и , то функцию называют дифференцируемой на отрезке [a,b].

Замечание. Если , то из равенств при и следует, что при и при .

В этом случае говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращение функции, так как дифференциал есть линейная функция от и отличается от на бесконечно малую более высокого порядка, чем .

3.2 Правила дифференцирования

Теорема 5. Если функции и дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируемы функции , (при условии, что

 ) и при этом

Обозначим и . Тогда при , так как существуют и . Кроме того, так как функции и непрерывны в точке .

а) Если

откуда

Правая часть этой формулы имеет при предел равный

. Поэтому существует предел левой части, который по определению равен . Формула (7) доказана.

б) Если

Отсюда следует формула (8), так как при

в) Если или

откуда Переходя к пределу в этом равенстве и учитывая, что при , где , получаем формулу (9).

Следствие. Если функция дифференцируема в точке и - постоянная, то т.е. постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференцирования.

3.3 Дифференцирование сложной функции

Теорема 6. Если функции дифференцируемы соответственно в точках и , где , то сложная функция дифференцируема в точке , причем

(10)

Сложная функция непрерывна в точке , так как из дифференцируемости функций и следует непрерывность этих функций соответственно в точках и . Поэтому функция определена в при некотором .

Пусть - произвольное приращение независимого переменного такое, что и . Обозначим

. Приращение , зависящее от , определяет приращение функции в точке , т.е.

Так как функция дифференцируема в точке , то согласно формуле (6)

где при .

Заметим, что функция не определена при . Однако приращение может обратиться в нуль и при . Поэтому доопределим при , полагая . Тогда равенство (11) будет выполняться и при .

Разделив обе части равенства (14) на , получим

Приращение в левой части равенства (12) можно рассматривать как приращение сложной функции , соответствующее приращению аргумента .

Если , то в силу непрерывности функции в точке , и поэтому . Кроме того, , так как функция дифференцируема в точке .

Следовательно, правая часть равенства (12) имеет при предел, равный . Поэтому существует предел в левой части (12), т.е. сложная функция дифференцируема в точке и справедлива формула (10).

Следствие. Дифференциал функции имеет один и тот же вид как в случае, когда - независимая переменная, так и в случае, когда - дифференцируемая функция какого-либо другого переменного.

Пример 1. Доказать формулы

Гиперболические функции задаются следующими формулами

а) Применяя теоремы 4 и 6, получаем

Аналогично доказывается формула (14)

б) Используя правило дифференцирования частного и формулы (13) - (14), получаем

откуда следует равенство (15), так как .

Аналогично докажем формулу (16), получаем

откуда следует равенство (16), так как .

Пример 2. Доказать формулы

,

Обратные гиперболические функции задаются следующими формулами:



Следовательно,

формула (17) доказана.

Аналогично докажем формулу (18).

Далее,

где откуда

3.4 Дифференцирование гиперболических и обратных гиперболических функций.

Формулы дифференцирования гиперболических и обратных гиперболических функций можно свести в следующую таблицу:

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

, (9)

. (10)

Первые четыре формулы выводятся следующим образом.

По определению , . Поэтому . Аналогично

.

Так как , то . Аналогично

.

Следующие четыре формулы можно вывести с помощью правила дифференцирования обратной функции : . Если , то .

Дифференцируя по , получим . Поэтому

так как

Если , то и , откуда

Если , и , откуда

Если , то и , откуда

Формулы (9) и (10) получают следующим образом . Как известно ,

Поэтому

Из определения функции, обратной гудерманиану, и из формулы следует, что . Поэтому

4 Формула Тейлора гиперболических функций

4.1 Формула Тейлора

Лемма 1. Если функция имеет в точке производную n-го порядка, то существует многочлен степени не выше n такой, что

Этот многочлен представляется в виде

4.2 Формула Маклорена

Если существует ,то

Если и существует , то равенство (20) принимает вид

Формулу (21) называют формулой Маклорена.

4.3 Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора

Так как - нечетная функция,

при , то по формуле

получаем

или

Аналогично по формуле находим

или

Пример. Разложить по формуле Маклорена до функцию .

Так как - нечетная функция, то

откуда, приравнивая коэффициенты при и , находим

. Следовательно,

4.4 Вычисление придела с помощью формулы Тейлора

Расмотрим предел при отношения , где , т.е. предел типа .

Будем предполагать, что

. Тогда разложение функции по формуле Маклорена имеет вид

Аналогично, предполагая, что

по формуле (21) находим

Из равенств (22) и (23) следует, что

Если , то

Если , то если же , то

Пример. Найти

Используя формулы (21) и

получаем

Следовательно, искомый предел равен -4.

5 Неопределенный интеграл гиперболических функций

5.1 Понятие неопределенного интеграла

Совокупность всех первообразных для функций на некотором промежутке называют неопределенным интегралом от функции на этом промежутке, обозначают символом и пишут

Здесь - какая-нибудь первообразная функции на промежутке ,

C - произвольная постоянная. Знак называют знаком интеграла, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением.

Подынтегральное выражение можно записать в виде или , т.е.

Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной функции, которая является обратной операции дифференцирования, называют интегрированием. Поэтому любую формулу для производной, т.е. формулу вида , можно записать виде (24). Используя таблицу производных, можно найти интегралы от некоторых элементарных функций. Например, из равенства следует, что

5.2 Свойства неопределенного интеграла

Свойство 1.

Из равенства (3) следует, что , так как .

Свойство 2.

Равенство (27) следует из равенств (24) и (25).

Свойство 3. Если функции и имеют на некотором промежутке первообразные, то для любых таких, что , функция также имеет первообразную на этом промежутке, причем

Примеры. Найти , если:

Решение.

а) Используя таблицу произвольных и свойство 3 интеграла, получаем

б) Так как , то

Таблица интегралов гиперболических функций.

5.3 Интегрирование гиперболических и обратных гиперболических функций

Интеграл вида где - рациональная функция от и , сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки так как

Иногда более эффективными при вычислении интеграла (28) могут оказаться подстановки

Пример. Найти

Решение. Так как , то, полагая , получаем

Произведя обращение таблицы производных из пункта 3.4, получим таблицу интегралов:

,

,

,

,

Приведённую таблицу интегралов можно продолжить. Применяя обычные методы интегрирования функций с учётом соотношений между гиперболическими функциями, можно получить ещё ряд формул которые даются ниже (в приложении).

Рассмотрим вопрос о вычислении интеграла от рациональной функции гиперболического синуса и гиперболического косинуса. В курсе интегрального исчисления доказывается, что интеграл , где символ рациональной функции, всегда берётся в конечном виде при помощи универсальной подстановки . Совершенно аналогично можно вычислить интеграл с помощью подстановки .

Положив , мы получили , откуда

В свою очередь

Подставляя полученные выражения , и через в подынтегральное выражение, будем иметь:

где символ рациональной функции от . Так как интеграл от рацио-нальной функции всегда может быть выражен с помощью конечного числа элементарных функций, то и наш интеграл может быть выражен через элементарные функции от , после чего остаётся произвести обратную замену через . Пример.



6 Ряды гиперболических функций

6.1 Степенные ряды

Функциональные ряды вида

(29)

где - заданные комплексные числа и - комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа - коэффициентами степенного ряда (29).

Полагая в (29) , получим ряд

(30)

исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда (29).

Рисунок 6.1

Теорема 7 (Абеля). Если степенной ряд (30) сходится при , то он сходится и притом абсолютно при любом таком, что , а если этот ряд расходится при , то он расходится при всяком , для которого .

Следствие 1. Если ряд (30) сходится в точке , то в круге

, где этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Следствие 2. Если ряд (30) сходится в точке , то ряды

сходятся абсолютно в круге , а в круге - абсолютно и равномерно.

Теорема 8. Для всякого степенного ряда (30) существует ( - число или ) такое, что:

а) если и ряд (30) абсолютно сходится в круге

и расходится вне круга ; этот круг называют кругом сходимости ряда (30), а - радиусом сходимости ряда;

б) если , то ряд (30) сходится в одной точке ;

в) если , то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Теорема 9 (Абеля). Если - радиус сходимости степенного ряда(30), причем , и если этот ряд сходится при , то он сходится равномерно на отрезке , а его сумма непрерывна на этом отрезке.

Теорема 10. Если существует конечный или бесконечный то ряд радиуса сходимости ряда (2) справедлива формула а если существует конечный или бесконечный то

6.2 Свойства степенных равенств

Теорема 11. Степенные ряды

имеют один и тот же радиус сходимости.

6.3 Ряд Тейлора

Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в точке производные всех порядков, то степенной ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

Теорема 12. Если функция все ее производные ограничены в совокупности на интервале , т.е.

,

то функция представляется сходящимся к ней в каждой точке интервала рядом Тейлора

6.4 Разложение гиперболических функций в ряд Тейлора

Найдем разложение основных гиперболических функций в ряд Тейлора в окрестности точки , т.е. в ряд вида

который называют рядом Маклорена.

Показательная и гиперболические функции

Пусть , тогда для любого , где выполняются неравенства

По теореме 12 ряд (34) для функции сходится к этой функции на интервале при любом , т.е. радиус сходимости этого ряда . Так как для функции выполняются равенства для любого , то по формуле (34) получаем разложение в ряд Маклорена показательной функции

Используя разложение (14) и формулы

находим разложения в ряд Маклорена гиперболического косинуса и гиперболического синуса:

Радиус сходимости каждого из рядов (36), (37) .

6.5 Гиперболические функции комплексного переменного

Показательная, гиперболические функции комплексного переменного определяется соответственно формулами



Радиус сходимости каждого из рядов (38) - (39) равен .

Заключение

Гиперболические функции часто встречаются в разнообразных физических и технических исследованиях ; весьма важную роль играют они также в неевклидовой геометрии Лобачевского , участвуя во всех тригонометрических зависимостях этой геометрии . Теория гиперболических функций может представлять значительный интерес школьника и учителя средней школы , так как аналогия между гиперболическими и тригонометрическими функциями по-новому освещает многие вопросы тригонометрии .

Список использованных источников

1. Янпольский, А.Р. Гиперболические функции [Текст] / А.Р. Янпольский. - М. 1960. - 68 с.

2. Шерватов В.Г. Гиперболические функции [Текст] / В.Г. Шерватов - М. 1954. - 55 с.

3. Гребенча М.К. Курс математического анализа [Текст] / М.К. Гребенча, С.И. Новоселов - М. : Высш. шк., 1961. - 560 с., часть 2.

4. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ [Текст] / Э.И. Зверович - 2008. Часть 6

5. Волковыский Л.И. Сборник задач по ТФКП [Текст] / Л.И. Волковыский, С.А. Лунц, И.Г. Ароманович - М. : Наука, 1975. - 319 с.

6. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] / Р. Курант - Н. 1967. ,т.1

7. Никольский С.М. Курс математического анализа [Текст] / С.М. Никольский - Н. 1983.

8. Сборник задач по математическому анализу (интегралы, ряды) [Текст] / Л.Д. Кудрявцев [и др.] - М. 1986.

9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] / Г.М. Фихтенгольц - М., 1969.

10. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного [Текст] / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин - М., 1982.

11. Зорич В.А. Математический анализ [Текст] / В.А. Зорич - М., 1981, 1984.

12. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы [Текст] / Г. Б. Двайт. - М. : Наука, 1977. - 224 с.

Приложение А

Таблица интегралов от гиперболических и обратных гиперболических функций: