Методы решения алгебраических уравнений

Для решения уравнений часто прибегают к итерационным методам, которые иногда называют методами последовательных приближений.

Суть этого класса методов можно раскрыть на примере.

Пусть нам нужно решить уравнение:

(1)

для решения этого уравнения строится соответствующая итерационная формула:

(2)

Задавая начальное приближение корня уравнения (1) в виде:

(3)

находим дальнейшие приближения по формуле (2):

(4), (5), (6)

Мы видим, что каждое вычисленное значение становится исходным для вычисления последующих приближений .

Такие итерационные формулы называются одношаговыми.

Существуют и двухшаговые, трёхшаговые и т.д. итерационные формулы, которые определяются соответственно формулами:

- двухшаговая формула (7)

- трёхшаговые формула (8)

и т.д.

После построения итерационной формулы (2) возникают вопросы:

а) сколько нужно считать последовательных приближений , т.е. когда остановиться?

б) сходится ли последовательность приближений к корню ?

Ответы на эти вопросы нужно давать всегда, когда имеем дело с методом последовательных приближений Пикара. На вопросы отвечают следующим образом:

а) задаётся точность вычислений и итерационный процесс останавливают, как только достигается соответствующая абсолютная погрешность, т.е. как только выполняется условие:

(9)

б) нужно соответствующим образом строить формулы (2), используя соответствующие теоремы о достаточном условии сходимости. В частности теорему Банаха о сжатых отображениях.

Определение: Пусть M - метрическое пространство с метрикой . Оператор A, отображающий это пространство в себя называется сжимающим, если существует такое число , что для любой пары элементов имеет место неравенство:

(10)

Т.о. сжимающий оператор сжимает расстояние между элементами и , т.е. расстояние между образами элементов меньше или равно расстоянию между их прообразами и . Для таких отображений используется теорема Банаха. Теорема Банаха: Пусть A - сжимающий оператор в полном метрическом пространстве M, тогда уравнение

(11)

имеет в этом пространстве одно и только одно решение, т.е. существует ровно один элемент , для которого выполняется уравнение . Этот элемент может быть получен как предел последовательности элементов

(12)

где , причём элемент может быть выбран произвольно. Эта теорема применима и для случая, когда оператор - является функцией, т.е. для формулы (2), а также для построения сходящихся итерационных формул Ритца-Якоби в случае линейных систем алгебраических уравнений с плохо обусловленной матрицей (определитель близок к нулю) коэффициентов, для дифференциальных и интегральных операторов и т.д. Для итерационной формулы (2), применяя формулу Лагранжа о конечных приращениях, получаем, что для имеет место соотношение:

(13)

что со своей стороны можно переписать в виде

(14)

если Чебышевская норма функций , т.е. если

(15)

В таком случае отображение из (2) является сжимающим и, соответственно, для неё имеет место теорема Банаха.Т. е. итерационная формула (2) позволяет найти корень уравнения (1) по формуле

(16)

Несмотря на кажущуюся простоту, итерационные формулы вида (2) таят в себе много интересных эффектов. Для раскрытия некоторых из них рассмотрим простейшую нелинейную итерационную формулу, возникающую в задаче об эволюции денежных вкладов.

2. Возникновение хаоса в детерминированных системах

Пусть - количество денежных вкладов за лет. Коэффициент относительного прироста вкладов обозначим через . Тогда имеем:

(17)

т.е. , где (18)

Для исследования динамики процесса перепишем (18) в виде:

(19)

Ясно, что если начальное значение денежного вклада было , тогда

(20)

из (20) следует, что с ростом n, количество денежных вкладов неограниченно увеличивается, т.к .

Формула (20) позволяет решить задачу о допустимых процентах роста R. Например, выясним, каким должен быть R, чтобы удвоение вкладов происходило за 50 лет. Имеем:

(21)

Тогда

(22)

т.е.

(23)

Теперь допустим, что совет директоров банка решил увеличить коэффициент прироста R - для привлечения клиентов, но чтобы защитить себя от банкротства решил не допускать дальнейшего увеличения вкладов если величина достигает значения , после чего коэффициент должен становится отрицательным, т.е. уменьшать вклады пока не опустятся ниже , для этого решили, что . Тогда из (17) получаем:

(24)

где . Тогда имеем:

(25)

Исследуем точки равновесия системы (25), т.е. те значения вкладов , которые с ростом n, не изменяются (или иначе ).

Очевидно, что такими значениями служат:

а) и б) .

Для того, чтобы точка равновесия реализовалась на практике нужна её устойчивость, иначе малое возмущение может её быстро вывести из состояния, так что мы и ахнуть не успеем. Поэтому, исследуем эти состояния на устойчивость.

а) Рассмотрим сначала состояние равновесия , т.е. состояние, когда на вашем счету денег нет.д.обавим малое "возмущение" точке равновесия и исследуем её динамику со временем: т.е. , тогда из (25) получаем:

(27)

т.к , ясно, что поэтому ею можно пренебречь в (27). Вследствии имеем:

(29)

отсюда, легко получить, что

(29)

т.е. возмущения нарастают со временем, что со своей стороны означает неустойчивость точки равновесия . По смыслу же, задачи это означает рост вклада со временем, если хоть какая-то малая сумма денег села на счёт.

б) Исследуем теперь устойчивость второй точки равновесия: . Здесь также дадим малое приращение к точке равновесия, т.е. рассмотрим значение и исследуем динамику этого состояния с течением времени n. Из (25) получаем:

(30)

Произведя преобразования, имеем:

Учитывая, что и поэтому, пренебрегая ею получаем:

(31)

для устойчивости точки равновесия , должно выполнятся условие:

(32)

т.е.

(рис.1)

(33)

это условие со своей стороны означает, что

(34)

таким образом, если мы выберем в качестве относительного коэффициента роста:

(рис.2)

(35)

то состояние будет устойчивым, иначе мы вступаем в зону неустойчивостей, которая полна неожиданностями. В частности, при , (рис.3) возникают периодические колебания (рис.1). При картина усложняется и появляется двоякопериодические колебания (рис.2) При дальнейшем росте относительного коэффициента прироста, получаем учетверение периода и т.д., в случае наблюдаются хаотические колебания (рис.3).

Таким образом, нелинейные итерационные формулы типа (2) скрывают в себе множество тайн и для их раскрытия нужны дополнительные исследования в каждом конкретном случае. Тем более, что не всегда удаётся оценить сходимость итерационного процесса глобально.

Этот пример хоть и является частным случаем формулы (2), но наводит на полезные размышления. Вышеизложенная итерационная формула (25) впервые была построена для изучения динамики популяций особей определённого вида в зависимости от истребления ареала пищи Ферхюльстом и носит его имя.

Мы видим, что одна и та же математическая модель может содержать в себе различные аспекты приложений, что вполне характерно для духа прикладной математики.

3. Методы решения алгебраических уравнений