Применение степенных рядов в приближенных значениях

Размещено на http: //www. allbest. ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВО «ТУВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

КУРСОВАЯ РАБОТА

44.03.05 «Педагогическое образование с двумя профилями: «Информатика» и «Математика»

Применение степенных рядов в приближенных значениях

Выполнил(а):

студент(ка) 3 курса 2 группы ФМФ

Доржу Чойгана Мергеновна

Научный руководитель:

Власова Л.Н.

Кызыл 2019



Содержание

Введение

Глава 1. Основные теоретические сведения

1.1 Определение и терминология

1.2 Область сходимости степенного ряда

1.3 Свойства степенных рядов

1.4 Разложение функций в степенные ряды

1.4.1 Ряд Маклорена

1.4.2 Достаточное условие разложимости функции в ряд

1.4.3 Разложение функции

1.4.4 Разложение функции и

1.4.5 Разложение функции и

1.4.6 Разложение функции

Глава 2. Применение степенных рядов в приближенных значениях

2.1 Приближенные вычисления значений функций

2.2 Применение степенных рядов при нахождении пределов

2.3 Вычисление определенных интегралов

2.4 Решение дифференциальных уравнений

Заключение

Список использованной литературы



Введение

степенной ряд интеграл приближенный

Степенные ряды благодаря их простоте и замечательным свойствам применяются практически во всех разделах математики, физики и других наук. Они обладают почти всеми свойствами многочленов с учетом того, что для многих рядов эти свойства выполняются не для всех значений аргумента, а лишь для некоторого ограниченного множества значений.

Цель курсовой работы - проанализировать основные теоретические сведения из теории рядов и использования их в приближенных вычислениях.

Объектом исследования является процесс разложения элементарных функций в степенные ряды и их применения для решения различных задач.

Предметом исследования являются методы применения разложений функций для решения задач.

Задачи:

1) Рассмотреть основные понятия, связанные со степенными рядами;

2) Проанализировать методическую литературу;

3) Применить методы разложения степенных рядов для решения различных задач.

Основная часть работы состоит из двух глав. В первой главе раскрываются теоретические сведения по теме: "Степенные ряды". Во второй главе рассматриваются примеры применения разложений элементарных функций в степенные ряды для решения задач. Для исследования теоретической части работы использовались материалы учебной литературы периодических изданий, указанных в списке использованной литературы.



Глава 1. Основные теоретические сведения

1.1 Определение и терминология

Определение. Ряд вида

(1)

где некоторая числовая последовательность, называется степенным рядом.

Числа называются коэффициентами степенного ряда.

Придавая переменной х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.

Особый интерес представляет множество значений х, при которых ряд (1) сходится, оно называется областью сходимости степенного ряда. Область сходимости любого степенного ряда не пуста, поскольку очевидно, что ряд сходится при х=0.

Понятно, что частичная сумма степенного ряда

представляет собой функцию переменной х. Стало быть, последовательность частичных сумм является функциональной последовательностью {} и сумма ряда (1) является функцией переменной х:

S=S(x);



они определены в области сходимости ряда. Обозначение:

или ).[1]

1.2 Область сходимости степенного ряда

Теорема 1. (Теорема Абеля)

1) Если степенной ряд (1) сходится при х=()0, то он абсолютно сходится для всех х, таких, что |x| < ||;

2) Если ряд (1) расходится при х=, то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству |x| > ||.

Доказательство.

1) Так как по условию числовой ряд сходится, то его общий член при n>? , откуда следует, что последовательность ограничена, т.е. существует число М>0 такое, что

<M, n=0,1,2,… (2)

Перепишем ряд (1) в виде

(3)

И рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

(4)



Члены ряда (4) в силу неравенства (2) меньше соответствующих членов ряда

(5)

При ряд (5) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. Так как члены ряда (4) меньше соответствующих членов ряда (5), то, по признаку сравнения, ряд (4) также сходится, а это значит, что ряд (1) при сходится абсолютно.

2) Докажем теперь вторую часть теоремы. По условию, в точке ряд (1) расходится. Требуется показать, что он расходится для всех х, удовлетворяющих условию , ряд (1) сходится. Тогда по только что доказанной первой части теоремы ряд (1) должен сходиться и в точке ряд расходится

Теорема Абеля утверждает, что если - точка сходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных на интервале (- ,), этот ряд сходится абсолютно, а если - точка расходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных вне интервала (- ,), ряд расходится.

Отсюда вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Если ряд сходится не при всех значениях х и не только при х=0, то существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при и расходится >R.

Доказательство. Обозначим через Х множество точек х, в которых ряд сходится. Покажем, что множество Х ограничено. Действительно, если взять точку , в которой ряд расходится (по условию такие точки существуют), то по теореме Абеля для любого х из Х выполняется неравенство . Известно, что у ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань. Положим R=0. Так как ряд сходится не только при х=0, то R>0.

Возьмем теперь любое х, для которого . Согласно свойству точной верхней грани найдется такое, что <, откуда по теореме Абеля следует абсолютная сходимость ряда при взятом х.

Возьмем теперь любое х, для которого >R. Такое xX. Следовательно, при этом х ряд расходится

Вывод: Интервал (-R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Если R=?, то ряд сходится на всей числовой прямой.

Если R=0, то ряд сходится в одной точке.

В точках х=±R ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда.

Приведем способ определения радиуса сходимости степенного ряда.

Теорема 3. Если существует предел то радиус сходимости ряда равен

R=.

Доказательство. Рассмотрим ряд . По условию существует . Обозначим его через . Тогда

.



При каждом значении х степенной ряд становится числовым рядом. Поэтому по признаку Даламбера ряд сходится, если , т.е. .

Следовательно, по теореме 4 о сходимости знакоперепенных рядов ряд также сходится при причем абсолютно. При ряд расходится, так как

и, следовательно, общий член ряда не стремится к нулю при n>?.

Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала (-R,R) и расходится вне его, т.е. радиус сходимости равен

R=

Замечание. Можно доказать, что если

,

то ряд сходится на всей числовой прямой, т.е. R=?, а если , то ряд сходится только при х=0, т.е. R=0.



1.3 Свойства степенных рядов

Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда

(6)

интервал сходимости которого (-R,R).

В этом случае говорят, что на интервале (-R,R) функция f(x) разлагается в степенной ряд (или ряд по степеням х).

Теорема 4. Если функция f(x) на интервале (-R,R) разлагается в степенной ряд (6), то она дифференцируема на этом интервале и ее производная

f'(x)=

Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка функции f(x). При этом полученные ряды имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (6).

Теорема 5. Если функция f(x) на интервале (-R,R) разлагается в степенной ряд (6), то она интегрируема в интервале (-R,R) и интеграл от нее может быть вычислен почленным интегрированием ряда (6), т.е. если



Рассмотрим интегрирование степенного ряда (6) по отрезку [0,x], где :

Полученный степенной ряд имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (6).

Теоремы дифференцирования и интегрирования степенных рядов широко применяются как в теории, так и на практике.

Степенной ряд (1), является частным случаем степенные ряда более общего вида:

(7)

Ряд вида (7) приводится к виду (1) заменой переменной ха =t.

Если функция f(x) является суммой ряда (7), то в этом случае говорят, что функция f(x) разлагается в ряд по степеням (x).

Все изложенное полностью переносится и на ряды вида (7). Для простоты записи последующие рассуждения переводятся для рядов вида (1).[2]

1.4 Разложение функций в степенные ряды

1.4.1 Ряд Маклорена

Для приложений важно уметь данную функцию f(x) разлагать в степенной ряд. Для этого надо ответить на два вопроса:

1) Может ли эта функция на данном отрезке быть представлена в виде суммы некоторого степенного ряда?

2) Если, да то как найти этот ряд?

В этом пункте мы дадим ответ на второй из поставленных вопросов; ответ на первый вопрос будет дан в следующем пункте.

Предположим, что данная функция f(x)на некотором отрезке [-R,R] может быть разложена в степенной ряд

(8)

Найдем коэффициенты этого ряда.

Мы знаем, что степенной ряд (8) можно дифференцировать почленно любое число раз. Поэтому для любого хиз интервала (?R,R) имеем

,

,

и т.д. Итак,

(в разложении указан только свободный член). Полагая в этих равенствах, а также в разложении (5.48) х=0, получаем

.



Отсюда имеем формулу

Определение. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х=0 и имеем в этой точке производные всех порядков. Степенной ряд

(9)

Eсли функция f(x) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид

(9)

Ряд (*) называется рядом Маклорена для функции f(x).

Ответ на поставленный выше вопрос 2 можно дать в виде следующей теоремы.

Теорема 4. Если функция f(x) разлагается в некоторой окрестности точки х=0 в степенной ряд, то этот ряд является рядом Маклорена. [3]

1.4.2 Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена

Пусть f(x)?произвольная бесконечно дифференцируемая функция. Для нее можно составить ряд Маклорена (9). Для любой бесконечно дифференцируемой функции справедлива формула Маклорена



где остаточный член

(10)

Обозначим черезчастичную сумму ряда Маклорена, тогда формулу Маклорена можно записать так:

(11)

Вопрос о сходимости ряда Маклорена к функции f(x) сводится к исследованию поведения остаточного члена при n>?. Во многих случаях проблема решается следующей теоремой.

Теорема 5. Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. Пусть данная функция оперделена и бесконечно дифференцируема в интервале (?R,R). Если существует такая константа М, что во всех точках указанного интервала выполняются неравенства

(12)

то в этом интервале ряд Маклорена сходится к функции f(x).

Доказательство. Из формулы (11) следует, что достаточно доказать равенство . Из условия теоремы и формулы (10) следует неравенств

.



Правая часть этого неравенства только постоянным множителем M отличается от члена сходящегося ряда (9).По необходимому признаку сходимости откуда и предел остаточного члена тоже равен нулю, что заканчивает доказательство теоремы. [4]

1.4.3 Разложение функции

Пусть . В любом интервале (?R,R)имеем

Отсюда следует, что функция равна сумме своего ряда Маклоренаприа значит, и для любого хввиду произвольности R. Поскольку при любом n, то получаем разложение

(13)

справедливое для всех х.

1.4.4 Разложение функции и

Каждая из функций sinx, cosx удовлетворяем условиям (при любом R): действительно, производная любого порядка от этих функций есть одна из функций ±sinx, ±cosx. Поэтому модуль производной любого порядка от этих функций не больше единицы. Таким образом, для любого х каждая функция sinx и cosx равна сумме своего ряда Маклорена.

Имеем



Отсюда видно, что последовательность производных функции sinx периодична с периодом 4. При х=0 получаем

В общем случае все производные четного порядка равны нулю, а нечетного

Отсюда ряд Маклорена для sinx:

(14)

Ряд для cosx получаем полученным дифференцированием ряда (14):

,

Откуда

(15)

Заметим, что в разложение функции sinx входят только нечетные степени x, соответственно cosx только четные степени. Это согласуется с тем, что sinx ? нечетная функция, а cosx ? четная.[5]



1.4.5 Разложение функций и arctgx

При нахождении разложения функции cosx мы использовали свойство почленной интегрируемости.

Рассмотрим ряд . данный ряд выражает сумму геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем x. Известно, что при данный ряд сходится и его сумма равна . Следовательно,

(16)

Равенство (16) является разложением функции в степенной ряд при . Выполним замену переменной

x=?t:

.

Проинтегрируем почленно это равенство в пределах от 0 до х ():

.

Отсюда получаем разложение функции ln(1+x) в степенной ряд:

. (17)



Оно справедливо для Можно показать, что оно остается верным и для х=1, т.е. выполняется равенство

,

О котором мы уже упоминали при рассмотрении знакочередующихся рядов.

Найдем теперь разложение функции arctgx. Для этого подставим в равенство и проинтегрируем по tот 0 до х. Получим разложение

,

Верное при Так же, как для логарифма, можно показать, что оно остается верным и при x=± 1. В частности, при х=1 слева получаем , так что имеем интересное числовое равенство

.

1.4.6 Разложение функции

Пусть , где б?произвольное число. Тогда имеем



Полагая x=0 во всех этих формулах, получим

(18)

Нетрудно проверить, что радиус сходимости степенного ряда в правой части равенства равен 1, так что ряд сходится при

Для натуральных a=m правая часть равенства (18) превращается в многочлен, а само равенство (18) в формулу бинома Ньютона:

последний член правой части получается при n=m и равен

Докажем, что равенство (18) выполняется в общем случае при

Во-первых, проверим, что функция удовлетворяет следующему уравнению

(19)

Действительно,

и



Во-вторых, проверим, что равенство (19) выполняется и для степенного ряда, стоящего в правой части (19). Дифференцируя почленно, имеем

Отсюда

Мы видим, что и левая, и правая части равенства (18) удовлетворяют одному дифференциальному уравнению (19). Поскольку очевидно, что они удовлетворяют одному и тому же начальному условию y(0)=1, то, по теореме единственности для дифференциальных уравнений, они равны.



Глава 2. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, пределов функций, определенных интегралов, находят приближенные решения дифференциальных уравнений.

2.1 Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов

Для вычисления значений функций рассмотрим разложения в степенные ряды функций , sinx, cosx, ln(1+x), arctgx.

Рассмотрим разложение

Ряд в правой части равенства сходится тем быстрее, чем больше t.

Для нахождения приближенного значения функций f(x) в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов (n?конечная величина), а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакопеременного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка , где первый из отброшенных членов ряда.

Пример 1. Оценить погрешность приближенного равенства



Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов, следующих после в разложении :

или

.

Заменив каждый из сомножителей меньшей величиной n+1, получим неравенство

Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квадратных скобках:

т.е.

Пример 2. Вычислить с точностью до 0,00001

Имеем

Воспользуемся приближенным равенством

Мы взяли 5 слагаемых, так как знакопеременный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, а поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Первый из отброшенных членов равен . Нетрудно видеть, что

Произведя вычисления, в результате получаем

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,00001

Используя разложение в ряд, получаем

Определим число n так, чтобы погрешность приближенного равенства

не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной предыдущем примере. Полагаем x=1/2, тогда

т.е.

Путем подбора определим, при каком значении nбудет выполнятся неравенство Полагая, например, n=3, получаем

т.е. . Пусть, далее, n=5; отсюда , т.е. . Пусть, наконец, n=6; отсюда , т.е. . Итак, принимаем n=6:

Суммируем слагаемые:

1+0,5+0,125+0,020833+0,002604+0,00026+0,000022?1,648719

Значит, Каждое слагаемое мы вычислили с точностью до 0,00001, чтобы при суммировании не получить погрешности, превышающей 0,00001.

Пример 4. Вычислить с точностью до 0,00001

Имеем

Воспользуемся приближенным равенством

Мы взяли 5 слагаемых, так как знакопеременный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, а поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Первый из отброшенных членов равен . Нетрудно видеть, что

Произведя вычисления, в результате получаем

Пример 5. Вычислить с точностью до 0,00001

Имеем

Воспользуемся приближенным равенством

Мы взяли 5 слагаемых, так как знакопеременный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, а поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Первый из отброшенных членов равен . Нетрудно видеть, что

Произведя вычисления, в результате получаем

Пример 6. Вычислить с точностью до 0,0001

Воспользуемся разложением в ряд, полагая x=0,1, m=1/5.

Имеем

Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый меньше 0,0001. Итак, .

Пример 7. Вычислить с точностью до 0,0001

Воспользуемся разложением в ряд:

или

откуда .

Пример 8. Вычислить с точностью до 0,0001

Воспользуемся разложением в ряд, полагая x=0,1, m=1/5.

Имеем

Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый меньше 0,0001. Итак, .

Пример 9. Вычислить с точностью до 0,001

Так как является ближайшим к числу 27 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых: 27= Тогда

Четвертый член меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак, т.е. .

Пример 10. Вычислить с точностью до 0,001

Так как является ближайшим к числу 80 кубом целого числа, то число 80 можно представить в виде суммы двух слагаемых: 80= Тогда

Итак, т.е. . [7]

Пример 11. Вычислить с точностью до 0,001

Так как является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых: 130= Тогда

Четвертый член меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак, т.е. .

Пример 12. Вычислить с точностью до 0,001

Так как является ближайшим к числу 90 кубом целого числа, то целесообразно число 80 представить в виде суммы двух слагаемых: 90= Тогда

Четвертый член меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак, .

Пример 13. Оценить погрешность приближенного равенства

.

Задача сводится к оценке суммы остатка ряда



Заменив каждый из множителей , … меньшим числом получим неравенство

Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квадратных скобках:

т.е.

Пример 14. Вычислить с точностью до 0,0001

Воспользуемся разложением в ряд:

или

откуда .

Пример 15. Вычислить с точностью до 0,0001

Воспользуемся разложением в ряд:

или

откуда .

Пример 16. Вычислить ln2 c точностью до 0,0001

В формуле для определения и неравенстве для оценки полагаем t=1:

; .

Путем подбора определим nтак, чтобы выполнялось неравенство Если n=2, то если n=3, то если n=4, то .

Итак, n=4 и для вычисления ln2 получаем приближенное равенство

Суммируя эти четыре слагаемых, получим

.[6]

Пример 17. Доказать справедливость тождества и вычислить р с точностью до 0,001

Полагая в равенстве

x=1/2, y=1/3, получаем

или

Воспользовавшись разложением в ряд, имеем

Выполняя вычисления, находим р=3,1416.

Для вычисления числа р можно было воспользоваться рядами, которые сходятся быстрее, чем только что приведенные.

Пример 18. Вычислить с точностью до 0,0001

Пользуясь разложением sinx в ряд, вычислить sin 9° с точностью до 0,0001.

Имеем

Достаточно взять три члена ряда, так как (1/6!)•. Тогда

Пример 19. Пользуясь разложением cosx в ряд, вычислить с точностью до 0,0001

Имеем

Достаточно взять три члена ряда, так как (1/6!)•. Тогда

Пример 20. Пользуясь разложением cosx в ряд, вычислить cos 18°с точностью до 0,0001

Имеем



Достаточно взять три члена ряда, так как (1/6!)•. Тогда

2.2 Применение степенных рядов при нахождении пределов

Пример 1. Найти

Заменив и sinx их разложениями в степенные ряды, получим

Пример 2. Найти

Используя разложения sinx и arctgx в степенные ряды, имеем



Пример 3. Найти

Пример 4. Найти

2.3 Вычисление определенных интегралов

Остановимся на применении степенных рядов к приближенным вычислениям определенных интегралов.

Если, однако, подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а отрезок интегрирования входит в область сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с любой заданной точностью.

Пусть требуется вычислить приближенно определенный интеграл с заданной точностью 0,001. Для этого необходимо выполнить вычисление по следующей последовательности:

- подынтегральную функцию разложить в степенной ряд, указав область сходимости;

- убедившись, что отрезок интегрирования [a,b] входит в область сходимости ряда, проинтегрировать обе части этого равенства, причем правую часть проинтегрировать почленно.

В результате, в простейших случаях, получается знакочередующийся числовой ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, т.е. сходящийся ряд;

- в качестве приближенного значения интеграла берем значение частичной суммы S_n, число п определяется из условия, что ошибка при замене суммы ряда его частичной суммой по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов ряда.

Пример 1. Вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,1

Решение

Данный интеграл относится к неберущимся интегралам. Однако подынтегральная функция разлагается в степенной ряд. Используем известное разложение в ряд Маклорена

при t(-,+);

Полагая t = -х², получим разложение подынтегральной функции в степенной ряд



при х(-,+);

Так как отрезок интегрирования [0;1] входит в область сходимости, то в этих пределах можно проинтегрировать обе части последнего равенства (ряд интегрируем почленно):

Получили числовой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница. Так как модуль четвертого члена ряда меньше заданной точности е = 0,1,т.е., значит, членами ряда, начиная с четвертого, можно пренебречь. Таким образом, заданная точность обеспечивается первыми тремя членами ряда, т.е.

Пример 2. Вычислить с точностью до 0,001



Пример 3. Вычислить с точностью до 0,001

Пример 4. Вычислить с точностью до 0,001

Пример 5. Вычислить с точностью до 0,0001

Заменив в подынтегральном выражении его разложением в степенной ряд, получим



Пример 6. Вычислить с точностью до 0,0001

Пример 7. Вычислить с точностью до 0,001

Таким образом, с точностью до 0,001.

Пример 8. Вычислить с точностью до 0,001

Таким образом, с точностью до 0,001.

Пример 9. Вычислить с точностью до 0,001



Пример 10. Вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,0001

Решение.

Используя биномиальное разложение функции (1+t)^m, полагая в нем и, получим разложение подынтегральной функции в степенной ряд

при .

Так как отрезок интегрирования [0;0,25] входит в область сходимости, то обе части последнего равенства можно проинтегрировать (правую часть почленно) по заданному отрезку, в результате получим



Заметим, что уже третий член ряда по абсолютной величине не превосходит заданной точности е = 0,0001,т.е. .

Следовательно, для обеспечения заданной точности е достаточно взять первых два члена полученного числового ряда.

.

Пример 11. Вычислить с точностью до 0,001.

Воспользуемся разложением в ряд, полагая , m=1/2.

Имеем

Остальные члены отбрасываем, так как следующий член меньше 0,0001. Итак, .

2.4 Решение дифференциальных уравнений

Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в элементарных функциях или квадратурах. В этих случаях пользуются приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равна искомому решению.[8]

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение уравнения: Сначала находим общее решение. В уравнении не переменной х, но это не должно смущать, главное в нем есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить y в явном виде). Вспомним: . В данном случае:

Константа в показателе смотрится некрасиво, поэтому её обычно спускают. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если С?это константа, то тоже некоторая константа.

при этом модуль убираем, после чего константа сможет принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Снос константы?это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.



к

Итак, общее решение:

где С?константа.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию y(0)=2.

Необходимо подобрать такое значение константы С, чтобы выполнялось условие y(0)=2.

В общее решение вместо х подставляем ноль, а вместо у двойку:

То есть, С=2

Теперь в общее решение подставляем найденное значение константы С=2:

это и есть частное решение.

Выполним проверку: Вместо х подставляем 0: начальное условие выполняется.

Второй этап: Берём полученное частное решение и находим производную:



Подставляем и в исходное уравнение

получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Ответ: частное решение:

Пример 2. Найти приближенно частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию в виде трёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.

Решение уравнения:

Разложение частного решения дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид:



В данной задаче , следовательно:

Теперь последовательно находим значения - до тех пор, пока не будут получены три ненулевых результата. Если повезёт, то отличны от нуля будут - это идеальный случай с минимальным количеством работы.

Нарезаем пункты решения:

По условию . Вот и первый успех.

1) Вычислим . Сначала разрешим исходное уравнение относительно первой производной, то есть, выразим

.

Подставим в правую часть известные значения

:

Получена баранка и это не есть хорошо, поскольку нас интересуют ненулевые значения. Однако ноль - тоже результат, который не забываем обвести в кружок или выделить каким-нибудь другим способом.

3) Находим вторую производную



и подставляем в правую часть известные значения

:

Второй «не ноль».

4) Находим - производную от второй производной:

Каждая следующая производная выражается через своих «предшественников».

Подставим в правую часть

известные значения

:

Третье ненулевое значение.Аккуратно и внимательно подставляем «жирные» числа в нашу формулу:



Ответ: искомое приближенное разложение частного решения:

В рассмотренном примере попался всего один ноль на втором месте, и это не так уж плохо.

В общем случае нулей может встретиться сколько угодно и где угодно.

Повторюсь, их очень важно выделять наряду с ненулевыми результатами, чтобы не запутаться в подстановках на завершающем этапе.

Вот, пожалуйста ноль на первом месте.

Пример 3.

Найти 3 члена разложения в ряд частного решения уравнения

Решение уравнения:



Ответ:

Пример 4. Найти 6 первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям: ; .

Решение уравнения:

Ответ:

Заключение

Степенные ряды широко применяются в различных разделах математики и её приложениях. Такая задача, как вычисление определенного интеграла имеет важное значение при решении многих задач. Важность определенного интеграла определяется большим количеством разнообразных применений его. Но в ряде случаев первообразную невозможно выразить через элементарные функции в конечном виде или подынтегральная функция не является элементарной, то в этом случае применяется приближенное интегрирование.

Каждый из изложенных в моей работе методов вычисления определенных интегралов содержит четко сформулированный алгоритм для проведения вычислений. Другой особенностью изложенных методов является стереотипность тех вычислительных операций, которые приходится проводить на каждом отдельном шаге. Эти две особенности обеспечивают широкое применение изложенных методов для проведения вычислений на современных вычислительных машинах.

Кроме вычисления интегралов степенные ряды являются аппаратом, с помощью которого наиболее эффективно производится вычисление значений элементарных функций с любой заданной точностью, значений предела функций, а также нахождение приближенных решений дифференциальных уравнений.



Список использованной литературы

1. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник.? 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Дело, 2011. - 704 с.

2. Солодников А.С., Бабайцев В.А., Шандра И.Г. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. Ч.2. - М.: Финансы и статистика, 2013. - 376 с.:ил.

3. Фихтенгольц Г.М. Основа математического анализа: Учебник. Часть 2. 9-е изд., стер. - СПб.: Издательство «Лань», 2008. - 464 с.: ил. - (Учебники для вузов.Специальная литература).

4. Воробьев Н.И. Теория рядов. 6-е изд., стереотипное.-Спб.: Издательство «Лань», 2002. - 408 с. - (Учебники для вузов. Специальная литература).

5. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. Для вузов/В.С. Шипачев 6-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 479 с.: ил.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-ч ч. Ч. II: Учеб. Пособие для вузов.? 5-е изд., испр. - М.: Высш. шк., 1999. - 416 с.: ил.

7. Бородихин В.М., Васильчик М.Ю., Вахрушев Н.В. Высшая математика. Том 3: учеб. пособие/ Коллектив авторов. - 4-е изд, перераб. - Новосибирск: Изд - во НГТУ, 2010 - 196 с.

8. Бермант А.Ф., Арамович И.Г. Краткий курс математического анализа: Уч. пособие. 15 - е изд., стер. - СПб.: Издательство «Лань», 2009. - 736 с.: ил. - (Учебники для вузов.Специальная литература).

Интернет ресурсы

1. http://mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_primery_reshenii.html

2. http://www.math24.ru/stepenieryadi.html

3. http://www.pm298.ru/stepen.php

4. http://stu.sernam.ru/book_msh.php?id=260

5. https://www.google.com/searchmatan/razlozhenya.html

Размещено на Allbest.ru