Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

Сопоставляя классу конечных групп решетки и можно изучать свойства групп из в зависимости от свойств решеток и .

Лемма 20.6. Пусть - подгрупповой функтор и - группа. Если и , тогда .

Доказательство. Если - канонический эпиморфизм на , то

Так как мы видим по определению подгрупповых функторов, что .

Лемма доказана.

Пусть - элемент группы . Тогда если для некоторого натурального числа имеет место , то наименьшее натуральное число с таким свойством называется порядком элемента . Говорят, что - группа экспоненты , если каждый ее неединичный элемент имеет порядок .

Пусть - простое число. Тогда группа называется элементарно абелевой -группой, если - абелева группа экспоненты .

Лемма 20.7. Пусть , - элементарно абелевы -группы с . Тогда имеет подгруппу такую, что .

Доказательство. Нам необходимо рассмотреть лишь случай, когда - бесконечная группа.

Пусть и , где для всех и . Пусть - подмножество в такое, что . И пусть , где и . Тогда ясно, что

Следовательно, .

Лемма доказана.

Напомним, что класс групп называется наследственным, если он содержит все подгруппы всех своих групп. Класс групп называется конечным многообразием, если он наследственен, является гомоморфом и содержит прямое произведение (с конечным числом сомножителей) любых своих групп.

Пусть - простое число, делящее порядок группы . Подгруппа группы называется силовской -подгруппой в , если и - степень числа . Известная в теории групп теорема Силова утверждает, что для любого простого числа в любой конечной группе с имеется силовская -подгруппа. Конечная группа называется -группой, если ее порядок является степенью числа .

Обозначим через - класс всех конечных абелевых групп. Ввиду теоремы

Теорема. Пусть - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть прямое произведение факторалгебр и

Тогда - мономорфизм алгебры в алгебру и входит подпрямо в ., класс является формацией. Обычно вместо пишут . Подгруппа называется коммутантом группы . В теории групп хорошо известно, что если - конечная -группа, то . Легко проверить, что если , то

Теорема 20.8. Пусть - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в является элементарно абелевой -группой.

Доказательство. Мы сначала предположим, что каждая группа в является элементарно абелевой -группой. Тогда для каждого кардинального числа , мы полагаем (см. пример 20.2). Понятно, что влечет, что . Для доказательства того, что является цепью нам необходимо только показать, что для любого подгруппового функтора со свойством найдется кардинальное число такое, что

Предположим, что для всех кардинальных чисел . Тогда . Поскольку , то найдется группа такая, что для некоторой ее подгруппы мы имеем . Пусть . Поскольку , найдется группа такая, что для некоторой ее подгруппы мы имеем . По лемме 20.6, мы видим, что для всех подгрупп из , удовлетворяющих условию , мы имеем . Следовательно, . Используя лемму 20.7, мы видим, что имеется подгруппа в группе такая, что

Но , и поэтому . Если - канонический эпиморфизм, который отображает на , то , и поэтому . Это противоречие показывает, что для некоторого кардинального числа имеем место .

Так как и так как каждая группа в - либо конечна, либо счетна, то найдется натуральное число такое, что . Пусть - наименьшее натуральное число такое, что . Мы покажем, что . Предположим, что и пусть - группа из такая, что . В этом случае пусть . Тогда . Теперь, по выбору числа , мы имеем . Это означает, что найдется группа такая, что для некоторой подгруппы из с . Пусть - подгруппа в такая, что и . Тогда . Так как , мы имеем , и поэтому . Но тогда , и поэтому , противоречие. Следовательно Значит, .

Теперь мы предположим, что решетка является цепью. Пусть и - конечная группа. Предположим, что порядок группы делится по крайней мере на два простых числа и . Пусть

И пусть - силовская -подгруппа в и - силовская -подгруппа в , соответственно. Тогда

Значит, и . Это показывает, что не является цепью, что противоречит нашему предположению. Следовательно, найдется такое простое число , что каждая конечная группа из является -группой.

Мы теперь покажем, что каждая группа в является абелевой. Предположим, что это не так и пусть - неабелева группа в . В этом случае некоторая ее подгруппа , порожденная элементами , является конечной неабелевой -группой. Так как по условию класс является наследственным, то . Пусть , где - класс всех абелевых групп. Поскольку , то , и поэтому . Следовательно, мы имеем . Теперь пусть где . И пусть - коммутант подгруппы , . Тогда и ясно, что . Значит, . Но поскольку , мы имеем . Таким образом, не является цепью. Полученное противоречие показывает, что каждая группа в является абелевой. Аналогично можно показать, что экспонента каждой группы из делит число .

Теорема доказана.

Пересечение всех конечных многообразий, содержащих данную группу , называется конечным многообразием, порожденным . Из теоремы 20.8 вытекает

Теорема 20.9. Пусть - конечная группа и - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае является элементарной абелевой -группой, когда решетка является цепью.

Пусть и - подгрупповые -функторы. Определим произведение при помощи следующего правила

Понятно, что подгрупповой -функтор является замкнутым тогда и только тогда, когда . Мы используем символ для обозначения произведения , в котором имеется сомножителей.

Пусть - произвольное непустое множество простых чисел. Подгруппа группы называется -холловской, если ее индекс в не делится ни на одно число из , а среди простых делителей ее порядка нет ни одного не входящего в . Символом обозначают множество всех простых чисел, отличных от .

Конечная группа называется нильпотентной, если выполняется одно из эквивалентных условий:

а) все силовские подгруппы нормальны в ;

б) все максимальные подгруппы (т.е. коатомы решетки ) нормальны в .

Лемма 24.9 Пусть - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть - замкнутый подгрупповой функтор на Пусть - нильпотентная группа в и Предположим, что , где - простое число. Пусть - нильпотентная группа в такая, что и Тогда

Доказательство. Пусть - холловская -подгруппа в и Предположим, что Тогда

и поэтому , где - силовская -подгруппа в . Тогда противоречие. Следовательно, и поэтому найдется максимальная подгруппа в така1я, что и . Так как - нильпотентная группа, то и поэтому согласно лемме 24.6, мы имеем Теперь мы докажем, что Если то по определению подгруппового функтора мы сразу имеем . Пусть и пусть - максимальная подгруппа в такая, что Тогда и так как

Так как мы видим, что и поэтому Следовательно, . Если где - максимальная подгруппа в то Но и поэтому мы видим, что Лемма доказана.

Лемма 24.10 Пусть - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и Пусть Если - идемпотент в , удовлетворяющий условию и , где тогда

Доказательство. Предположим, что Тогда найдется группа с Мы можем предполагать, что - группа минимального порядка с этим свойством. Следовательно, содержит подгруппу такую, что , но Ясно, что Пусть - максимальная подгруппа в такая, что и пусть Так как для каждого , мы имеем Понятно, что и поэтому Так как группа нильпотентна, то и поэтому по лемме 24.6, Так как мы видим, что для всех Следовательно, и поэтому по выбору группы , мы имеем Так как по условию то найдется такая группа , что для некоторой ее подгруппы мы имеем и Используя теперь лемму 24.9, мы видим, что и поэтому

Полученное противоречие показывает, что Но согласно нашему предположению, мы имеем Следовательно,

Пусть - решетка. Подмножество называется антицепью в если для любых различных элементов и из , мы имеем и Если - антицепь в такая, что для любой другой антицепи , тогда кардинальное число называется шириной решетки .

Если - произвольная совокупность групп, то символом обозначается множество всех простых делителей порядков групп из .

Теорема 24.11 Пусть - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в конечная. Тогда ширина решетки всех идемпотентов в конечна и в том и только в том случае, когда состоит из нильпотентных групп и

Доказательство. Прежде мы предположим, что формация нильпотентна и , где Пусть Предположим, что имеется замкнытый функтор в такой, что и для Мы покажем, что Действительно, если , тогда найдется группа такая, что для некоторой подгруппы из , мы имеем Мы можем считать, что - группа минимального порядка с этим свойством. Понятно, что Пусть - такая максимальная подгруппа в , что . Согласно условию, класс является наследственным. Следовательно, , и поэтому ввиду выбора группы , мы имеем Пусть Так как то найдется группа такая, что Таким образом, для некоторой подгруппы мы имеем и поэтому по лемме 4.9, Это означает, что противоречие. Следовательно, Значит, если - замкнутый функтор в и то для некоторого мы имеем По лемме мы видим, что ширина решетки равна

Теперь мы предположим, что ширина решетки конечна и Пусть Если и тогда и и поэтому Это означает, что - конечное множество. Теперь мы покажем, что - класс нильпотентных групп. Предположим, что имеет ненильпотентную . Пусть и пусть - силовская -подгруппа в . Тогда Так как - ненильпотентная группа, то для некоторого имеет место . Хорошо известно (см., например, [], теорема), что не является субнормальной подгруппой в , и поэтому где (см. пример 21.4). С другой стороны, мы видим, что и поэтому Это показывает, что антицепь с противоречие. Таким образом, - формация, состоящая из нильпотентных групп. А по лемме 4.10, Теорема доказана.

Заключение