Расчет вероятности событий

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

Предположим, что 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число).

Решение

Будем считать гипотезами Н₁ выбор мужчины, Н₂ выбор женщины. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможные, то Условная вероятность А при реализации каждой гипотезы по условию задачи:

Р (А/Н₁) = 0,05; Р (А/Н₂) = 0,25.

По формуле полной вероятности:

Р(А) = р(Н₁)р (А/Н₁) + р(Н₂)р (А/Н₂).

Р(А) = 0,50,05 + 0,50,25 = 0,15

Вероятность того, что дальтоник мужчина вычислим по формуле Байеса.

0,167

Ответ: 0,167

Задание 2

Бросается две уравновешенные игральные кости. Какова вероятность, что на них выпадут различные числа?

Решение

Воспользуемся классической формулой для вычисления вероятности:

где m - число благоприятных событию А случаев;

n - число всех случаев.

Обозначим событие А - на костях выпадут различные числа, рассмотрим противоположное событие - выпадут одинаковые числа.

n = 66 = 36

m = 6

Ответ:

Задание 3

Пусть в каждом цикле обзора радиолокатора цель может быть обнаружена с вероятностью 0.5. И пусть обнаружение в каждом цикле происходит независимо от других циклов. Определить с какой вероятностью цель будет обнаружена за 3 цикла.

Решение

Обозначим событие А - цель будет обнаружена за 3 цикла, рассмотрим противоположное событие - цель будет не будет обнаружена за 3 цикла.

= (1 - 0,5)³ = 0,125

= 1 - 0,125 = 0,875

Ответ: 0,875

Задание 4

Пусть вероятность того, что денежный автомат при опускании одной монеты сработает правильно, равна 0,95. Оценить вероятность того, что при 2 000 опусканиях монет количество случаев правильной работы автомата будет заключено в границах от 1 860 до 1 940 (включительно).

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Справедлива формула: P_n(k₁, k₂) Ф(х₂) - Ф(х₁).

где

n = 2000 р = 0,95 q = 0,05 k₁ = 1860 k₂ = 1940

=Ф (4,1) - Ф (-4,1) = Ф (4,1) + Ф (4,1) =2Ф (4,1) 20,5 = 1

Функция Лапласа является нечетной Ф(-х) = - Ф(х).

Ответ: 1

Задание 5

вероятность распределение функция гипотеза

Найти функцию распределения числа попаданий в цель, если стрелком произведено шесть выстрелов, а вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Пользуясь этой функцией, вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но не меньше пяти раз.

Решение

Случайная величина Х - чи

сло попаданий в цель может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Формула Бернулли

n = 6 p=0,2 q= 0,8

10,262144 = 0,262144

0,20,32768 = 0,393216

0,040,4096 = 0,24576

0,0080,512 = 0,08192

0,00160,64 = 0,01536

0,000320,8 = 0,01536

0,0000640,1 = 0,000064

Проверка: 0,262144 + 0,393216 + 0,24576 + 0,08192 + 0,01536 + 0,01536 + 0,000064 = 1

xi	0	1	2	3	4	5	6
pi	0,262144	0,393216	0,24576	0,08192	0,01536	0,01536	0,000064

Найдем функцию распределения F(x) по формуле



Пользуясь этой функцией, вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но не меньше пяти раз.

Наверное, имелось ввиду:

Пользуясь этой функцией, вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но не больше пяти раз.

Р ( Х < ) = F() - F()

Р (1 Х < 5) = F(5) - F(1) = 0,9984 - 0,262144 = 0,736256

Задание 6

Деталь проходит три операции обработки. Вероятность того, что она окажется бракованной после первой операции, равна 0,02; после второй - 0,03; после третьей - 0,02. Найти вероятность того, что деталь будет бракованной после трех операций, предполагая, что появление брака на отдельных операциях независимые события.

Решение

Обозначим событие А - деталь будет бракованной после трех операций, рассмотрим противоположное событие - деталь окажется годной, т.е. не бракованной после трех операций.

= (1 - 0,02)(1 - 0,03)(1 - 0,02) = 0,980,970,98 0,932

= 1 - 0,932 = 0,068

Ответ: 0,875

Задание 7

Какова вероятность того, что наудачу поставленная точка в данном круге (радиус 2 см) окажется внутри вписанного в него квадрата.

Решение

Пусть радиус круга равен R, сторона квадрата а, тогда по теореме Пифагора^

а² + а² = (2R)².

Площадь квадрата S_{квадрата} = а² = 2R².

Площадь круга S_круга = R².

Ответ:

Задание 8

Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдет 130, если всхожесть оценивается вероятностью 0,75.

Решение

Не взойдет 130 семян означает, что взойдет 500 - 130 = 370 семян.

Справедлива формула:

P_k,n где

n = 500 р = 0,75 q = 0,25 k = 370

P_{370, 500}

Функция (х) - четная, т.е. (-х) = (х).

Ответ: 0,036

Задание 9

В классе имеется 12 компьютеров. Вероятность того, что компьютер будет занят студентами в течение дня, равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы компьютерного класса в ближайший день, если для этого необходимо, чтобы были заняты хотя бы пять компьютеров.

Решение

Формула Бернулли

n = 12 k = от 5 до 12 p=0,8 q= 0,2

= 0,0033

= 0,0155

= 0,0532

= 0,1329

= 0,2362

= 0,2835

= 0,2062

= 0,0687

Р(А) = Р₁₂(5) + Р₁₂(6) + Р₁₂(7) + Р₁₂(8) + Р₁₂(9) + Р₁₂(10) + Р₁₂(11) + Р₁₂(12) = 0,0033 + 0,0155 + 0,0532 + 0,1329 + 0,2362 + 0,2835+ 0,2062+ 0,0687 = 0,9994

Ответ: 0,9994

Задание 10

Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность того, что лицо, имеющее шесть билетов, выиграет хотя бы по одному билету.

Решение

Обозначим событие А - выиграет хотя бы по одному билету, рассмотрим противоположное событие - не выиграет ни по одному билету

Ответ: 0,603

Литература

вероятность распределение функция гипотеза

1. Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - М.: Высшая школа, 2001. - 382 с.

2. Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / В.И. Ермаков. - М.: ИНФРА, 2007. - 656 с.

3. Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебник / В.И. Ермаков. - М.: ИНФРА, 2007. - 575 с.^*

4. Кремер, Н.Ш. Исследование операций в экономике: учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер. - М.: ЮРАЙТ, 2010. - 432 с.

5. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер. - М.:, ЮНИТИ-ДАНА 2007 - 479 с.

6. Миллер, Б.М. Теория случайных процессов в примерах и задачах / Б.М. Миллер, А.Р. Панков. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.

Размещено на Allbest.ru