Элементы теории функций комплексного переменного

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Индивидуальные задания по теме:

Элементы теории функций комплексного переменного

Пермь 2007

Разбор типового варианта

Задание 1.

1) Найти модуль и аргумент чисел и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

2) Найти: а). ; б). ; в).

Решение.

1) Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка , числу - точка .

Для нахождения модуля и аргумента заданных чисел воспользуемся формулами:

и

Получим:

, ,

, .

Чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической и показательной применим формулы:

и .

Использовав ранее полученные результаты, получим:

,

,

,

.

2) а)

б)

в) Применим формулу .

при : ;

при : ;

при :

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) ;

б) .

Решение.

а)

б) По определению .

,



Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть функции :

Таким образом, получим:

Найдем частные производные и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:

.

,

,

т.е. для любых действитедбных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

,

,

т.е. для любых действитедьных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

Так как условия Коши-Римана выполняются для любой пары действительных чисел и частные производные существуют и непрерывны в окрестности любой точки , то производная существует в любой точке комплексной плоскости С.

Найдем эту производную:

Итак, .

Действительная часть производной:

,

мнимая часть производной:

.

Задание 4. Определить вид кривой .

Решение.

.

Откуда

Выразим из каждого уравнения:

Исключим из уравнений:

.

,

, ,

,

- уравнение гиперболы.

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами:

а).

б).

а). Искомым множеством является пересечение кольца и внутренней части угла :

б). Кривую запишем в декартовых координатах:

Итак, .

Или ,

- Лемниската Бернулли.

Неравенство определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Решение.

Найдем частные производные:

Следовательно,

, .

Таким образом, функция гармоническая в плоскости , и, значит существует такая аналитическая в функция , что .

В силу условий Коши-Римана имеем:

(1)

(2)

Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :

.(3)

Продифференцируем (3) по х:

Сопоставляя результат с (2), получаем , откуда .

Таким образом, имеем

и

Учитывая условие , получаем .

Итак,

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Решение.

Для того чтобы найти образ области при отображении , нужно найти образ границы области , затем взять произвольную точку из области и найти ее образ.

Правило для определения уравнения образа кривой.

Пусть в области кривая задана . Чтобы найти уравнение образа этой кривой в плоскости при отображении с помощью функции , нужно исключить и из уравнений:

(1)

Если кривая задана параметрическими уравнениями:

или ,

то параметрические уравнения её образа при отображении будут

В данном примере граница области состоит из трех частей: . Найдем ее образ при данном отображении.

Выделим и действительную и мнимую части функции.

;

, .

Возьмем первую часть границы и найдем ее образ. Составим систему (1):

Возведем в квадрат первое и второе уравнения системы и сложим:

.

Окончательное уравнение границы при .

Аналогично находим образ : при .

Образ находим из системы:



Следовательно, образ границы : при и при ; . Изобразим образы границ на плоскости .

Для изображения образа области на плоскости возьмем контрольную точку. Точка обратится в точку .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) , ;

б) , .

Решение.

а) Функция имеет две особые точки и . Отметим их на плоскости Z, проведем 2 окружности с центром в точке , проходящие соответственно через точки и . Следовательно, имеется три области, в каждой из которых функция является аналитической:

1);

2) кольцо ;

3) область , являющаяся внешностью круга .

Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу

(1)

справедливую при .

Представим функцию в виде суммы элементарных дробей:

.

1) Рассмотрим круг . Запишем элементарные дроби и в виде , где при . Представим функцию следующим образом: . Теперь к таким дробям применима формула (1).

Так как в рассматриваемой области , то в силу формулы (1) . Так как и тем более (если , то тем более ), значит, в силу формулы (1) .

Следовательно, ==

Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде . В знаменателях дробей мы записали выражения вида , где .

Так как , то и в силу формулы (1) . Так как , то, как и в предыдущем случае, .

Следовательно, ==.

Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) .

В рассматриваемой области , значит и поэтому

.

Функцию представим в виде . В силу полученных разложений имеет место равенство

=.

Полученное разложение содержит только главную часть ряда Лорана.

б) Функция имеет 2 особые точки и , отметим их на плоскости Z. Точка совпадает с точкой . Проводим окружность с центром в точке , проходящую через точку .

Следовательно существуют две области, в каждой из которых функция является аналитической:

1) кольцо

2) кольцо

Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу (1). Представим функцию в виде суммы элементарных дробей:

1) Требуется получить разложение функции по степеням z-1 в области . Первая дробь уже представляет собой степень . Для того, чтобы вторую дробь представить в искомом виде, сделаем замену , тогда и . Дробь разложим по степеням как в предыдущем примере. При воспользуемся представлением:

;

Сделаем обратную замену. Получим, что при функция представима в виде

.

Полученное разложение содержит правильную и главную часть ряда Лорана.

2) Аналогично, сделав замену , получаем представление дроби в области

Сделав обратную замену, получаем, что при функция представима в виде:

.

В первом случае главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое, во втором случае ряд Лорана состоит только из одной главной части.

Задание 9. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности особой точки .

Решение. Воспользуемся известным разложением:

.

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

a) ;

б) ;

в) .

Решение.

а). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки разложим функцию в ряд Лорана по степеням :

Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит - полюс. Порядок высшей отрицательной степени определяет порядок полюса. Следовательно, - полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу , тогда .

б). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем признак поведения функции в особой точке.

, значит устранимая точка и, следовательно .

в). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем разложение функции в ряд Лорана по степеням :

Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, значит - существенно особая точка. Тогда , т.к. коэффициент при равен нулю.

Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:

а) , где - отрезок прямой, , .

б) , где - ломаная, , , .

в) , где - дуга окружности , .

г) , где - отрезок прямой , соединяющий точки и , и .

Решение.

а) Так как подынтегральная функция аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: =.

б) Подынтегральная функция определена и непрерывна всюду, ломаная представляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:

.

.

Воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла:

.

На отрезке , значит , . Поэтому .

На отрезке , , . Поэтому

.

Искомый интеграл равен .

в) Положим , тогда , . Следовательно,

=.

г) Зададим линию параметрическими уравнениями: , , , .

Для кривой, заданной параметрическими уравнениями , , справедлива формула .

Поэтому =.

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах:

а) ;

б) .

Решение.

а). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки и . Тогда .

Определим вид особых точек и найдем в них вычеты.

, следовательно .

, следовательно - полюс.

Так как , то - полюс порядка .

.

Таким образом, .

б). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки и . Тогда .

Так как и - полюсы первого порядка, то для вычисления вычетов применим формулу, где , , .

,

Таким образом, .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция, , где и - многочлены степени и соответственно. Если функция непрерывна на всей действительной оси и , т.е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то

где означает сумму вычетов функции по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция четная, то =. Построим функцию , которая на действительной оси (при ) совпадает с подынтегральной функцией . Особые точки функции - это точки и . Из них в верхней полуплоскости находится точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции относительно полюса равен =. Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка, то . Следовательно, =.

б) Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция, , где и - многочлены степени и соответственно. Если функция непрерывна на всей действительной оси, , - произвольное действительное число, то

;

где означает сумму вычетов функции по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция является четной, то =. Построим функцию = такую, что на действительной оси (при ) совпадает с : . Отметим, что при справедливо равенство . Функция имеет в верхней полуплоскости полюс первого порядка в точке . Вычет функции относительно этого полюса равен =. Следовательно, = и =.

в) Сформулируем правило, позволяющее вычислить определенный интеграл функции, зависящей рационально от тригонометрических функций с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция аргументов и , и функция непрерывна внутри промежутка интегрирования. Полагаем , тогда , , , . В этом случае

=

где есть сумма вычетов функции относительно полюсов, заключенных внутри окружности .

В рассматриваемом интеграле применим подстановку и после преобразований получим: =. Внутри круга радиуса 1 с центром в начале координат содержится только одна особая точка подынтегральной функции - это точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции относительно точки равен =. Следовательно, =.

Вариант №1

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) ;

б) .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б) .

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

;

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №2

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) ;

б) ,.

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =,

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

;

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №3

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и = Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; АВ - отрезок прямой

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №4

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =,

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; АВ - отрезок прямой

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №5

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; АВС - ломаная

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.



Вариант №6

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; АВ - отрезок прямой

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б)

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №7

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; АВ - отрезок прямой

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №8

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; АВС - ломаная

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №9

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; , BC- отрезок

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №10

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; АВС - ломаная

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.



Вариант №11

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; L -граница области:

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №12

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

ломаная, .

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №13

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

.

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №14

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням

а) =, ;

б) =,

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №15

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №16

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =,

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №17

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №18

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; АВС - ломаная

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.



Вариант №19

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; АВ - отрезок прямой

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №20

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №21

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

АВ - отрезок прямой

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №22

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №23

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

BC- отрезок

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №24

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №25

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №26

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; АВС - ломаная

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №27

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

; АВС - ломаная

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.



Вариант №28

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

а) ;

б)

Задание 6. Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да - восстановить ее, при условии .

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости .

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

а) =, ;

б) =, .

Задание 9. Функцию = разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

Задание 10. Для функции найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

а) =;

б) =.

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного:

АВ - отрезок прямой

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах.

а) ;

б) .

Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

Вариант №29

Задание 1.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой .

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.