Кривые второго порядка, связанные с треугольником
Элементы геометрии треугольника: изогональное и изотомическое сопряжение, замечательные точки и линии. Коники, связанные с треугольником: свойства конических сечений; коники, описанные около треугольника и вписанные в него; применение к решению задач.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.06.2012 |
| Размер файла | 1,3 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Точки J и N изотомически сопряжены. Описанная коника, проходящая через эти точки, является гиперболой Фейербаха, центр которой и есть точка Фейербаха.
Пользуясь леммой, получаем, что прямая проходящая через точки J и N, параллельна стороне AC треугольника.
2. Дан разносторонний треугольник. Докажите, что прямая, проходящая через его центроид и точку Лемуана, параллельна одной из сторон треугольника тогда и только тогда, когда точка Штейнера лежит на медиане, проходящей через вершину, противоположную этой стороне.
Решение:
Пусть прямая GK параллельна стороне ВС. Рассмотрим гиперболу Киперта. Прямая GK касается гиперболы в центроиде G. Применим лемму 2.2.1 для случая, когда P совпадает с P' и совпадает с G). Тогда получим, что GK параллельна ВС тогда и только тогда, когда центр гиперболы Киперта CK лежит на медиане AA0 (конечно, содержащей и точку G). Однако точки S, G, CK коллинеарны. Отсюда и вытекает справедливость нашего утверждения.
Заключение
В выпускной работе рассмотрены кривые второго порядка, связанные с треугольником: описанный и вписанный эллипс Штейнера, гипербола Киперта, гипербола Фейербаха, гипербола Енжабека, парабола Кипперта, вписанный эллипс Брокара.
В ходе изучения учебно-методической литературы по теме исследования выяснилось, что вопрос изучения коник, связанных с треугольником, мало разработан и не раскрыт. Нет единообразного подхода к изучению этого вопроса: каждая из них изучается в связи с некоторой конкретной прикладной задачей. В работе была предпринята попытка систематизировать собранный материал по некоторым кривым второго порядка, связанным с треугольником, для чего рассмотрели понятия изогонального и изотомического сопряжений, трилинейных координат, некоторые замечательные точки и линии треугольника.
Материал изложенный в данной работе может быть полезен для студентов и учеников школ, заинтересованных в более углубленном изучении геометрии.
Список использованных источников
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть 1. Планиметрия. - М.: Учпедгиз, 1948. - 607 с.
2. Акопян А.В., Заславский А.А. Геометрические свойства кривых второго порядка. - М.: МЦНМО, 2007. - 136 с.
3. Берже М. Геометрия, Т. 1, 2. М.: Мир, 1984.
4. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. - М.: МЦНМО, 2000. - (Библиотека «Математическое просвещение». Вып. 4).
5. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981.
6. Емельянов Л.А., Емельянова Т.Л. Семейство Фейербаха. // Математическое просвещение. Третья серия. Вып. 6. 2002. С. 78-92.
7. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. - Одесса, 1902.
8. Загидуллина С. Прямая Эйлера и окружность девяти точек // Математика. - 2000. - №9.
9. Заславский А.А. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2003.
10. Заславский А. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2003.
11. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. - М.: Учпедгиз, 1962. - 151 с.
12. Коксетер Г.С.М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1978.
13. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. - М.: 1996. - 648 с.
14. Куланин Е. О прямых Симсона, кривой Штейнера и кубике Мак-Кэя. / / Математическое просвещение. 2006. №10.
15. Куланин Е. О прямых Эйлера и окружности девяти точек // Математика. - 2000. - №43. - с. 11-15.
16. Куланин Е. Об описанных окружностях чевианных и педальных треугольников и некоторых кривых, связанных с треугольником. Математическое просвещение. 2005. №9.
17. Куланин Е.Д., Федин С.Н. Геометрия треугольника в задачах. - М.: Научно-исследовательский институт школ, 1990. - 143 с.
18. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. - М. 2002. - 32 с.
19. Понарин, Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. - Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. - М.: МЦНМО, 2004. - 312 с.
20. Прасолов В.В. Точки Брокара и изогональное сопряжение. - М.: МЦНМО, 2000.
21. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть 1. - М. 1986. - 270 с.
22. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть 2. - М. 1986. - 288 с.
23. Юзбашев А.В. Планиметрия. - М.: МАТИ, 2005.
24. Яглом И.М. Геометрические преобразования. - М.: 1956. - 611 с.
25. Kimberling C. Triangle centers and central triangles. Winnipeg: Utilitas Mathematica Publ., 1998.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Биссектриса треугольника, центр вписанной окружности треугольника, точка Жергонна. Центр тяжести окружности треугольника. Решение задач на применение свойств биссектрисы. Окружность и прямая Эйлера, свойства окружности. Ортоцентр окружности треугольника.
курсовая работа [330,3 K], добавлен 13.05.2015Теоремы Паскаля, Брианшона для пятиугольника, четырехугольника, треугольника. Их использование для решения задач конструктивного типа проективной геометрии линий 2-го порядка на расширенной прямой, связанные с построением точек и касательных к ним.
курсовая работа [967,1 K], добавлен 02.06.2013Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Понятие конических сечений. Конические сечения-пересечения плоскостей и конусов. Виды конических сечений. Построение конических сечений. Коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка.
реферат [808,4 K], добавлен 05.10.2008Сведения о плоских кривых. Замечательные кривые третьего порядка. Классификация Ньютона кривых третьего порядка. Циссоида и ее свойства. Преобразования плоскости, переводящие кривые второго порядка в кривые третьего порядка. Преобразования Маклорена.
дипломная работа [960,1 K], добавлен 22.04.2011Нахождение координат треугольника по заданным вершинам. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения прямых. Уравнение плоскости, проходящей через точку. Составление канонических уравнений прямой, кривой второго порядка и поверхности.
контрольная работа [259,7 K], добавлен 28.03.2014Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках, их определение и построение. Теорема Пифагора. Определение площади треугольника, трапеции и параллелограмма. Решение типовых задач по изложенным темам с применением полученных знаний.
реферат [187,3 K], добавлен 28.05.2009Эллипс, гипербола, парабола как кривые второго порядка, применяемые в высшей математике. Понятие кривой второго порядка - линии на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением. Теоремма Паскамля и теорема Брианшона.
реферат [202,6 K], добавлен 26.01.2011Медианы треугольника и их свойства. Открытие немецкого математика Г. Лейбница. Применение медиан в математической статистике. Основная сущность понятия "медиана тетраедра". Шесть доказательств теоремы о медианах. Теорема о медианах треугольника.
реферат [44,3 K], добавлен 05.01.2010Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011
