Представление групп Лиевского типа

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

2

Введение

Данная дипломная работа посвящена изучению темы «Представление групп Лиевского типа».

Выбранная тема является в настоящее время особо актуальной, так как: в нынешнее время теория групп считается одной из самых развитых областей алгебры, имеющей множественные использования как в самой математике, так и за ее пределами - в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и иных областях математики и естествознания. Группы Ли употребляются при исследовании дифференциальных уравнений и многообразий; они соединяют внутри себя концепцию групп и математический анализ. Область разбора, связанная с этими группами, называется гармоническим разбором. Осознание теории групп и еще довольно принципиально для физики и прочих наук. В химии группы употребляются для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул. В физике группы используются для описания симметрий, которым покоряются физические законы. Особенно актуальны в физике представления групп, а именно, групп Ли, потому что они часто показывают путь к "возможным" физическим теориям.

Цель моей дипломной работы: изучение представлений групп Ли и применение их в различных методах задания групп Ли

В соответствии с обозначенной выше целью, работа имеет следующие задачи:

- освоение основных понятий и фундаментальных результатов теории представления групп Ли;

- умение применять алгебр Ли для исследования групп Ли и их представлений.

Чтоб достигнуть поставленные цели и задачи воспользовалась научно-исследовательскими пособиями, научно-методическими пособиями, учебниками и исследованиями Голубчика И.З.

В соответствии с указанной целью и задачами работа будет иметь следующую структуру: введение, две главы, заключение, литература.

Рассмотрим предварительные сведения, которые посодействуют в понимании темы.

Матрицы (и в соответствии с этим математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, например как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" был замечен в 1850 году. В первый раз упоминались матрицы еще в древнем Китае, позже у арабских математиков.

Матрицей  порядка называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m - строк и n - столбцов.

Элементы матрицы , у которых , называются диагональными и образуют главную диагональ. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы

Равенство матриц: , в случае если порядки матриц A и B схожи и

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение  матриц по правилу строка на столбец (количество столбцов матрицы А должно быть одинаково количеству строк матрицы B)

при всем этом каждый элемент матрицы  равен сумме произведений составляющих i-ой строки матрицы А на соответствующие составляющие j-го столбца матрицы B, т. е.

Продемонстрируем операцию умножения матриц на примере.

Пусть

5. Возведение в степень

целое положительное число. А - квадратная матрица т. е. актуально лишь только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают  или же . Если же

Строки и столбцы поменялись местами.

Пример



Свойства операций над матрицами

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: 

3. Матрица строка: . К примеру, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах эта матрица называется вектором

4. Матрица столбец: .

Например .

5. Диагональная матрица:  и , если .

Например .

6. Единичная матрица:  и

т. е. если , если .

7. Нулевая матрица: 

8. Треугольная матрица: все составляющие ниже главной диагонали равны 0.

Пример .

9. Симметрическая матрица:  и  (т. е. на симметричных сравнительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а значит 

Например, .

10. Кососимметрическая матрица:  и  (т. е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположны элементы). Как следует, на главной диагонали стоят нули (поскольку при  имеем )

Пример .

Ясно, 

11. Эрмитова матрица:  и  ( - комплексно - сопряженное к , т. е. если , то комплексно - сопряженное 

)

Пример .

Пусть V и W - линейные пространства размерностей n и m в соответствии с этим. Будем называть оператором, или же преобразованием, А, действующим из V в W, отображение вида А:, сравнивающему каждому составляющему  некоторый элемент . При всем этом будем применить обозначение  или же .

Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W, т. е. . Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для каждых 2-х элементов и  из V и случайного числа б производятся следующие свойства:

1) (свойство аддитивности);

2) (свойство однородности).

Оператор Е, характеризуемый равенством  для всякого  из V, назовем тождественным, либо единичным. Оператор характеризуемый равенством  для всех  из V, назовем обратным.

Пусть А и В - два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой данных операторов назовем оператор , определяемый равенством для всякого  из V. Легко видеть, что сумма линейных операторов также станет линейным оператором.

Сложение линейных операторов владеет, разумеется, следующими свойствами:

1. 

2.

3.  для любого А.

4.



Произведением линейного оператора на скаляр назовем оператор , характеризуемый равенством. Понятно, что  - также линейный оператор.

Для умножения линейного оператора на число объективно, безусловно, следующие характеристики:

1. 

2.  

3.  

4.  

Обозначим через  огромное количество всех линейных операторов, действующих из V в W.

Произведением линейных операторов А и В из  называется оператор , характеризуемый так: для каждого  из V. Произведение линейных операторов и еще станет линейным оператором.

Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:

1.

2.

3.

Умножение линейных операторов, вообщем говоря, некоммутативно.

Легко увидеть, что для любого линейного оператора . При этим в случае если  лишь только при , то оператор называется невырожденным; если же отыщется подобный вектор , что А, то оператор А - вырожденный.

Линейный оператор В из  называется обратным для оператора А из , когда производится соответствие . Обратный оператор как правило классифицируется как . Для того чтобы линейный оператор А из  имел обратный, необходимо и достаточно, чтоб он был невырожденным.

Будем заявлять, что линейный оператор А функционирует взаимно непременно из V в V, если хоть каким двум разным составляющим  и  отвечают всевозможные составляющие и . Для того чтобы линейный оператор А  из имел обратный, необходимо и достаточно, чтоб данный оператор работал совершенно точно изV в V.

Ядром линейного оператора А из  называется множество всех тех элементов  пространства V, для которых . Классифицируется как . Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтоб .

Областью значений линейного оператора А из  или же образом пространства V при преображении А называется множество всех тех составляющих  пространства V, представимых в виде , где . Классифицируется как . Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтоб . Область значений и ядро линейного оператора А из  считаются подпространствами в V.

Рангом линейного оператора А называется количество, означаемое символом  и равное размерности области значений оператора

Для того чтобы линейный оператор А из  имел обратный, необходимо и достаточно, чтоб 

.



Размерность ядра называется недостатком линейного оператора А. Сумма ранга и недостатка линейного оператора одинакова размерности n пространства V.

Группа Ли G - это разнообразие, которое в одно и тоже время считаются и группой с групповыми операциями класса , т. е. отражения  считаются гладкими.

Подгруппой Ли группы G называется подгруппа , которая и еще считаются и подмногообразием G. Гомоморфизмом групп Ли  называется групповой гомоморфизм, который в одно и тоже время является гладким отражением этих многообразий.

Предложение. Для каждой группы Ли G, множество  есть открытая нормальная подгруппа в G. Если же U - случайная открытая окрестность  в , то  представляет собой группировку степеней , конкретных по индукции:

для .

Доказательство. Так как G есть разнообразие, то каждая его составляющая связности есть открытое и линейно связное топологическое подмножество. Если

есть два пути, начинающиеся в единице , то путь

есть путь из  точку . Подобно,



есть путь из  в точку . В следствие этого  замкнуто условно умножения и обращения и, значит, говорят подгруппой. Данное нормальная подгруппа, т. к. для  отображение

(сопряжение при помощи б) есть диффеоморфизм, который оставляет на месте , следовательно, и составляюшую связности единицы. В конце концов, пусть  некоторая окрестность . Для , пусть  будет путь с  и . Открытые множества покрывают . В следствие этого компактность  влечет, что есть конечное разбиение

такое, что  для всех . Но тогда любой из элементов

принадлежит U и

.

Следствием предложения считается то, что для связной группы Ли H, любой гомоморфизм групп Ли  ориентируется его поведением в всякой окрестности единицы .

Присоединенное представление. Условились наметить касательное пространство в единице группы Ли соответственной строчной буковкой. К примеру, векторное пространство  означают g, векторное пространство  классифицируется как , и т. д.

Для случайной группы Ли G присоединенным представлением называется отображение , данное так

.

Линейным представлением группы Ли G называется групповой гомоморфизм .

Предложениe. Присоединенное представление есть линейное представление .

Доказательство. Для каждого , пускай . Тогда уже  есть диффеоморфизм, который удовлетворяет . В частности,

есть изоморфизм и значит, принадлежит . Потому что

,

то цепное правило для дифференциалов выделяет:

.

и  есть гомоморфизм.

Для каждого вектора  определим векторное поле , данное на всей группе Ли G по правилу

.

Подметим, что согласно цепному правилу для дифференциалов и определению , мы имеем

.

Таким образом, векторное поле  инвариантно при левом сдвиге на любой элемент из G.

Левоинвариантным векторным полем на группе Ли G называется векторное поле X, для которого верно

.

К примеру, для группы  левоинвариантное поле имеет вид

.

Возможно продемонстрировать, что всякое левоинвариантное поле на любой группе Ли имеет вид , где , и, значит, считается гладким.

Предложение. Пусть  - левоинвариантное векторное поле на группе Ли G. Тогда уже соответствующая ему однопараметрическая группа преобразований определена для всех  и всех  и имеет вид



.

Доказательство. Будем считать, что G - матричная группа и пусть, в начале . Обозначим через траекторию поля , начинающуюся в единице, т. е.

.

Имеем

Видимо, что решением предоставленного ODE считается матричный ряд:

Ряд сходится умеренно на всяком компакте в R к гладкой матричнозначной функции от . Сейчас рассмотрим свободную точку  и проверим, что интегральная траектория поля , проходящая через x, будет иметь вид

.

Вправду,



Предложение. Любой гомоморфизм групп Ли  имеет вид

.

Доказательство. Пусть , и пусть  ассоциированное с ним левоинвариантное векторное поле. Поскольку  и

,

Значит, кривая  считается интегральной кривой поля  с началом в e. В следствие единственности решения ODE она обязана совпадать с кривой .

Гомоморфизмы аддитивной группы R в группу Ли G называют еще oднопараметрическими подгруппами.

Для каждой группы Ли G экспоненциальным отражением G называется отражение: , конкретное таким образом: , где  - интегральная кривая векторного поля  с исходным условием .

Дифференциал экспоненциального отображения в e есть тождественное преобразование: .

Алгеброй Ли называется векторное пространство g, снабженное билинейным отображением , которое называется скобкой и обозначаемое , удовлетворяющее следующим главным свойствам:

1) , для всех ;

2) для любых  выполнено тождество Якоби:

Всякой группе Ли G подходит ее касательная алгебра g, которая являет из себя касательное пространство  со следующей скобкой. В алгебре всех векторных полей на G выделим подалгебру левоинвариантных полей . Перенеся операцию из алгебры всех векторных полей в пространство  с помощью изоморфизма  мы получим структуру касательной алгебры g.

Одним из весомых фактов теории групп Ли считается соотношение меж группами Ли и алгебрами Ли. Имеет место следующая теорема.

Теорема:

1) для каждой конечномерной алгебры Ли g есть группа Ли G, чья касательная алгебра изоморфна g;

2) для каждой подгруппы Ли H группы Ли G, подподпространство  существует подалгебра касательной алгебры g группы Ли G.

3) каждая подалгебра . Есть  для некоторой связной подгруппы Ли H группы Ли G.



Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Определение групп Ли

Определение. Группой Ли называется группа G со структурой гладкого многообразия, общей с групповыми операциями. Это значит, что

1. отображение умножения

гладко;

2. отображение обращения

гладко.

Определение. Гомоморфизмом групп Ли называется гладкий гомоморфизм групп. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом.

Определение. Подгруппой Ли в группе Ли называется замкнутое гладкое подмногообразие, замкнутое сравнительно операции умножения.

1.2 Линейные представления групп Ли

Пусть G -- некая группа Ли и

- некая ее (конечномерное) линейное представление. Тогда



есть линейное представление алгебры Ли

Теорема 1. Каждое подпространство , инвариантное сравнительно G, инвариантно сравнительно . В случае если группа G связна, то правильно и обратное: каждое подпространство, инвариантное сравнительно инвариантно еще сравнительно G.

Доказательство. 1) Пусть подпространство U инвариантно сравнительно G. и пусть. Возьмем кривую в G, удовлетворяющую условиям

и, следовательно, для любого вектора

Обратно, пусть U инвариантно сравнительно для любого

и, значит, для любого

Таким образом, подпространство U инвариантно сравнительно Если группа G связна, то отсюда следует, что оно инвариантно сравнительно всей группы G.

Таким образом, в случае если группа G связна, то комплект инвариантных подпространств для представления R группы G и для представления алгебры одинаковы.

Следствие. Линейное представление R связной группы Ли G неприводимо (поэтому абсолютно приводимо) тогда и лишь тогда, когда представление алгебры Ли неприводимо (соответственно абсолютно приводимо).

Классификация простых групп Ли охватывает для теории групп Ли такое же значение, какое содержит классификация простых конечных групп для теории конечных групп. Она была получена в конце прошедшего -- начале сегодняшнего века В. Киллингом и Э. Картаном (поначалу для комплексных групп Ли, вслед за тем для вещественных). Это одно из самых удивительных достижений математики.[Зельманов, 1985]

Возможно обосновать, что группа Ли проста при всяком . Впрочем группа Ли , как вытекает из следующего примера ниже, простой не является.

Пример. Рассмотрим линейное представление R группы Ли

в пространстве , определяемое по формуле

Так как

при , то . Из суждений связности следует, что . Тем самым определен гомоморфизм

Если то, в частности,

откуда . Дальше получаем, что . Так как

,

то отсюда следует, что

.

Таким образом,

В частности, любой из множителей произведения при гомоморфизме R переходит в связную обычную подгруппу Ли группы и, значит, группа не считается простой группой Ли.

Комплексные и вещественные группы Ли находятся в узкой связи.

Пусть G -- связная комплексная группа Ли.

Определение. Связная вещественная подгруппа Ли именуется вещественной формой группы G, в случае если

Замечание. Это определение возможно распространить на бесвязные группы Ли. дополнительно потребовав, чтобы каждая связная компонента группы G пересекалась с H.

Теорема 2. Пускай - комплексное линейное представление связной комплексной группы Ли G. И пусть H -- вещественная форма группы G. Тогда уже набор инвариантных подпространств для и для один и тот же.

Доказательство. Сообразно теореме 1 подпространство инвариантно условно G (в соответствии с этим H) тогда и только тогда, когда оно инвариантно сравнительно (в соответствии с этим ). Но так как

то инвариантность подпространства U условно равносильна его инвариантности сравнительно .

Данной теоремой возможно пользоваться, чтоб обосновать полную приводимость линейных представлений неких комплексных групп Ли.

Определение. Связная комплексная группа Ли называется редуктивной, когда она владеет компактной вещественной формой.

Так, в следствию приведенных повыше примеров группы редуктивны. Можно обосновать (но это непросто), собственно что всякая некоммутативная простая комплексная группа Ли редуктивна.

Замечание. Наиболее естественно в определении редуктивной группы не требовать связности: в тех случаях в количество редуктивных групп зайдут все конечные группы.

Теорема 3. Всякое линейное представление редуктивной комплексной группы Ли полностью приводимо.

Данный прием подтверждения, принадлежащий Г. Вейлю, носит заглавие «унитарный трюк». С его поддержкой возможно доказывать и другие теоремы. К примеру, он разрешает распространить на редуктивные группы теорему Гильберта о конечной порожденности алгебр инвариантов.

Воспользовавшись изложенной повыше теорией, обнаружим все неприводимые линейные представления группы Ли Данный пример играет главную роль в теории линейных представлений случайных простых групп Ли.

Обозначим касательную алгебру Ли группы через Подберем в ней базис из матриц

Конкретно проверяется, что

Пусть -некое линейное представление. Положим

Операторы -удовлетворяют соотношениям

Лемма 1. Если v -- собственный вектор оператора с своим значением л. то вектор (в соответствии с этим ), когда он не равен нулю, - собственный вектор оператора с своим значением (в соответствии ).

Доказательство. Имеем

Также доказывается, что



Лемма 2. Присутствует собственный вектор оператора , для которого .

Доказательство. Так как оператор имеет только конечное количество собственных значений, то присутствует такое его собственное значение что не является своим значением. Соответственный собственный вектор и станет искомым.

Любой таковой вектор называется старшим вектором для представления R. Пускай - старший вектор и - соответственное собственное значение оператора . Рассмотрим векторы

По лемме 1

Лемма 3.

Доказательство. Докажем данную формулу индукцией по k. Она надежна при k=0, если считать, что Представим, что она и надежна для некого k. Тогда уже

Так как собственные векторы операторе соответствующие разным собственным значениям, линейно независимы, то присутствует такое n, что векторы отличны от нуля и линейно независимы, a Из леммы 3 следует в тех случаях, что т. е. .

Дальше, исходя из доказанных формул, линейная оболочка векторов инвариантна относительно операторов и, значит, относительно всей алгебры sl2(C).

Если представление R неприводимо, то

и операторы задаются в базисе формулами

если условиться, что . Количество n называется старшим весом представления R. Данные формулы демонстрируют, что неприводимое представление группы стопроцентно определяется своим старшим весом.

Обратно, если выполнено условие

то представление Н неприводимо. По правде, всякое ненулевое инвариантное подпространство инвариантно, а именно, относительно оператора К и, как следует, является линейной оболочкой каких-либо из его собственных векторов . Хотя, будучи инвариантным и еще относительно операторов и оно обязано содержать эти все векторы, т. е. быть схожим с V.

Остается вопрос о существовании неприводимого представления с данным старшим весом. Можно выяснить прямым вычислением, что операторы , задают линейное представление алгебры Ли s12(С). и потом, воспользовавшись общей теоремой, которой не было в этом курсе, обосновать существование линейного представления группы , имеющего собственным дифференциалом это представление. Мы поступим по другому, а конкретно, построим необходимое представление явно.

Будем считать, что группа тавтологически функционирует в пространстве с базисом {х, у}, т. е. составляющая

действует по формулам

Данное действие индуцирует линейное действие группы в пространстве Sn(C2). Если рассматривать х и у как координаты в сопряженном пространстве (С2)*,a симметрическую алгебру пространства С2 отождествить с алгеброй многочленов на ()*, то элементы пространства станут однородными многочленами степени n от х и у или. как говорят, бинарными формами степени, а действие группы можно будет осозновать как линейную подмену переменных. Приобретенное таким образом линейное представление обозначим через Rn. Согласно определению,

для любой бинарной формы f степени n.

Вычислим дифференциал представления Rn. Положим

Принимая во внимание, что

получаем для бинарной формы

В частности, для

т. е. является старшим вектором представления с собственным значением n. При этом

так что формы составляют базис пространства Как следует, Rn -- неприводимое представление со старшим весом n.

Сразу мы доказали, что всякое неприводимое линейное представление алгебры Ли sl2(C) считается дифференциалом некого (неприводимого) линейного представления группы .

Полученные итоги предоставляют помимо этого описание неприводимых комплексных линейных представлении групп Ли и SU2, являющихся вещественными формами группы . По правде, если H - вещественная форма группы и S: H>GL(V) - ее неприводимое комплексное линейное представление, то представление dS алгебры Ли Т(Н) совершенно точно длится до линейного представления алгебры Ли sl2(C). которое по доказанному повыше является дифференциалом некого линейного представления группы . Отсюда следует, что неприводимые комплексные линейные представления группы H.

1.3 Индуцированные представления групп Ли

Всякое непрерывное неприводимое представление случайной тополигической группы G быть может вложено в постоянное представление, реализованное в пространстве C(G). Вправду, пусть H - пространство представления T, и пусть - сопряженное пространство. Возьмем фиксированный элемент 0 и положим

Огромное количество приобретенных таким образом функций образует линейное подпространство Отображение считается взаимно однозначным, потому что прообраз нуля пространства H считается инвариантным подпространством, которое не имеет возможности различаться от нуля, так как Н неприводимо. При отображении V функция подходит вектору , т. е. G представлена в посредством правых сдвигов . В пространстве можно избрать базис, состоящий из функций

где - матричные элементы представления . Тогда

Таким образом, пространство , натянутое на непрерывные функции на группе G, может быть взято в виде пространство данного неприводимого представления группы G. [Винберг, 2001]

Изложим сейчас основанный на обобщении данной идеи способ построения индуцированных индуцированных конечномерных представлений комплексных классических групп Ли. Начнем с построения пространства представления.

Представления группы G, индуцированные представлением L подгруппы K.

Пусть K - замкнутая подгруппа в G, и пускай - конечномерное представлении K в гильбертовом пространстве H. Рассмотрим линейное пространство функций u с областью определения в G, множеством значений в H, удовлетворяющих последующим условиям:

Скалярное произведение непрерывно в G при произвольном . (2)

для всех .

Определим

(3)



Функция удовлетворяет условиям 1 и 2 и поэтому принадлежит . Помимо всего этого, имеем

.

Следовательно,

В следствие условия (2) отображение непрерывно. Значит, отображение задает непрерывное, вообще говоря, бесконечномерное представление группы G.

Отображение называется представлением группы G, индуцированным представлением L подгруппы K. [Желобенко, 2007]

Реализация индуцированного представления группы G с помощью правого регулярного представления стирает особенность этого представления. В связи с этим дадим иную реализацию в линейном пространстве функций в

Пусть классическая группа Ли, дозволяющая разложение Гаусса вида

, (4)

где D - абелева замкнутая подгруппа в G, ?D и DZ - преодолимые связные подгруппы в G, коммутаторными подгруппами являющаяся ? и Z в соответствии с этим, и



Пусть , и пусть - одномерное представление K. Так как ? - коммутаторная подгруппа в K, представление тривиально на ?, т. е . Как следует, отображение

(5)

задает практически одномерное представление подгруппы D. Если - пространство функций, удовлетворяющих условиям (2) с , данным сообразно (5), то из соотношений (4) и (5) идет, что для мы имеем

(6)

Так как фиксировано, нам предоставляется возможность поменять каждую функцию ее контракцией u(z), заданной на области Z, и рассмотреть вместо линейного пространства на G соответственное линейное пространство функций с областью определения Z. Отображение взаимно совершенно точно. Вправду, прообраз нуля в есть нуль в . И если то регулярной точки g из G, которая дозволяет разложение . С другой стороны, непрерывна, а тесно в G. Как следует, . Найдем сейчас представление в данной реализации пространства представления.[Желобенко, 2007]

Лемма. Действие операторов в пространстве задается формулой

(7)

где и определяются из разложения Гаусса составляющей

.

Доказательство. Записывая

(8)

получаем из соотношений (6) и (5), что вектор в , соответствующей вектору

в ,

имеет вид

Отсюда вытекает равноправие (7).

Замечание. Строго говоря, векторы , аналогично скажем представление в , следовало бы означать разными знаками, скажем, и . Для простоты мы применяли одинаковый знак, потому что заблуждение тут исключено. [Шапуков, 2002]

Следует и еще, что представление в быть может приводимым и бесконечномерным. Станем обозначать неприводимое подпространство в , содержащее функцию , через . Для простоты ограничение представления на станем обозначать и еще символом .

Равенство (7) означает дальше, что

для всех . (10)

для всех . (11)

Понятно, что одномерные представления L подгруппы D (следовательно, и подгруппы K) задаются характерами. Если

(12)

то наиболее общий комплексно-аналитический характер имеет вид

,(13)

где , , - целые числа. Более общий комплексно-антианалитический характер имеет вид

где - целые числа.

О характере L, который описывает индуцированное неприводимое конечномерное представление в G, говорят, что он индуктивен сравнительно группы G. Ниже мы докажем, что лишь некие характеры L подгруппы D имеют все шансы быть индуктивными относительно G.

Следующая теорема устанавливает главный результат в теории конечномерных представлений групп Ли.

Теорема. Пусть G - группа Ли, дозволяющая разложение Гаусса . В те случаях всякое неприводимое конечномерное представление группы G считается представлением , индуцированным в пространстве с помощью однозначно конкретного характера подгруппы D два неприводимых представления и эквивалентны тогда и только тогда, когда . [Винберг, 1985]

Доказательство. Пусть T - неприводимое представление G, и пусть означает его сужение на преодолимую связную подгруппу . Мы знаем, что все операторы , , могут быть сразу приведены к треугольному виду, т. е.

, (14)

где - характеры группы K. Дальше, любой характер группы K тривиален на коммутаторной группе ? из K. Как следует,

Практически считается характером группы D. Пространство H неприводимого представления T может быть натянуто на векторы

(15)

где - матричные элементы представления . В силу (14) мы имеем

Потому любой элемент из считается непрерывной функцией на G, удовлетворяющий условию 

Как следует, T может быть реализовано как представление группы G, индуцированное одномерным представлением подгруппы K. Действие представления в пространстве задается правым сдвигом (3), ну а в пространстве - по формуле (7).

Применяя последствие теоремы Ли для преодолимой подгруппы , заключаем, что пространство имеет общий для всех операторов , свой вектор . Понятно, что данный вектор инвариантен сравнительно действия коммутаторной группы , т. е. для всех из Z. Так как, согласно (10), подгруппа Z функционирует в как правый сдвиг, фиксированный свой для всех вектор может быть лишь константой, т. е. . Отсюда вытекает, что совпадает с , и в силу равноправия (11) мы получаем

(16)

Как следует, индуктивный характер совершенно точно определен.

Если , то, разумеется, и эквиваленты. Обратно, в случае если и эквиваленты, то присутствует оператор V, такой, что ; данное влечет равенство .

Заключительная часть подтверждения дает следующий важный итог.

Следствие. В пространстве любого неприводимого конечномерного представления группы G присутствует один и только один (с точностью до нормировки) инвариантный вектор подгруппы Z, т.е.

для всех (17)



Данный инвариантный вектор удовлетворяет, также, условию

для всех (18)

Может быть фактически нормализован, и

(19)

Характер называют целочисленным старшим весом неприводимого представления . Так как , где - генераторы представления подгруппы D, а - параметры в алгебре Ли группы D, нам предоставляется возможность перейти к инфинитезимальным преображениям и при помощи равенств (18) и (13) получить

(20)

Вектор называется старшим весом представления , а вектор - старшим вектором. Согласно теореме 2, m ориентируется однозначно и в так же задает неприводимое представление . Старший вектор , соответственный m, станем обозначать также через .

Следствие 2. Когда пространство H представления T имеет лишь один инвариантный вектор подгруппы Z, то T неприводимо.

Доказательство. Всякое представление T группы G согласно теореме Вейля вполне приводимо. Значит, оно может быть приведено к блочно-диагональному виду с неприводимыми представлениями . Повторяя конструкцию теоремы 2 любого блока , обретаем N инвариантных векторов подгруппы Z. Как следует, в случае N=1 T должно быть неприводимым.

Из равенств (19), разложения Гаусса и закона композиции для операторов вытекает следующий итог.

Следствие 3. Пространство неприводимого представления натягивается на векторы

, (21)

где g пробегает G. Фактор Гаусса элемента zg считается непрерывной функцией z и g. Данные функции удовлетворяют соответствию

. (22)

Из равенств (7) и (21) идет, что если L - аналитическое (антианалитическое) представление, то представление - также аналитическое (антианалитическое).

Следствия 2 и 3 предоставляют следующую функцию разложения приводимого представления T группы G.

В пространстве H представления обретаем наибольшее подпространство , которое фиксировано сравнительно подгруппы Z.

В избираем нормированный базис . Тогда уже пространство неприводимого представления натягивается на векторы

.

Действие в пространстве задается формулой (7).

Следующие утверждение обрисовывает структуру пространства неприводимого представления . Для простоты представим, что Z - связная нильпотентная группа.

Утверждение 1. Пространство неприводимого представления состоит из функций , которые считаются полиномами матричных элементов элемента .

Доказательство. В силу следствия 2 всякое представление преодолимой связной группы может быть записано в треугольной форме. Как следует, представление коммутаторной подгруппы Z могут быть записаны в треугольной форме с L на главной диагонали. Из этого можно сделать вывод, что алгебра Ли A группы Z, порождаемая матрицами , , отображается в алгебру нильпотентных матриц. Потому матричные элементы матриц считаются полиномами от матричных элементов элемента . С иной стороны, согласно (15) и (14), имеем

Так как отображение взаимно однозначно, пространство натягивается на матричные составляющие представления

Следующее утверждение может быть полезно при определении всех характеров группы D, которые индуктивны условно G.

Утверждение 2. Представим, что разложение Гаусса для G индуцирует разложение Гаусса подгруппы группы G

где - пересечения с подгруппами ?, D и Z группы G в соответствии с этим. Пусть - ограничение характера группы D на подгруппу . Раз характер L индуктивен сравнительно G, то характер индуктивен условно подгруппы .

Доказательство. Так как характер L группы D индуктивен, линейная оболочка функций

,

состоит из полиномов от и, согласно утверждению 2, имеет конечную размерность. Это же справедливо для функций

Понятно, что функции непрерывны на . Следовательно, в линейной оболочке данных функций реализовано некое представление группы . Вектор считается единственным вектором в , зафиксированным для подгруппы . Значит, ввиду следствия 3 представление подгруппы в неприводимо. Как следует, характер подгруппы индуктивен.



Глава 2. Практическая часть

Начнем мы с различных методов задания групп Ли и их изоморфизмов в бесконечном случае.

1) изоморфизмы для

2) - ортогональная система иденпотентов в R,

*-инволюция в R.

***

E - порождено

*

3) K - конечное подмножество в - конечно-градуированная алгебра над полем нулевой характеристики и при Кроме того

где линейно независимы и E(g) подгруппа порождаемая .

Заметим, что E(g) обобщает группы Шевалле над коммутативным кольцом. В данном случае - корневое подпространство.

Приведем очередной класс групп, связанных с алгебрами Ли, не обязательно конечно-градуированными, как это было в пунктах 1-3.

Определение. Пусть Q - поле рациональных чисел.

- трехмерная простая алгебра Ли над полем рациональных чисел. Установлен набор гомоморфизмов алгебр Ли. Набор гомоморфизмов конечный или бесконечный. При всем этом для любого i образ порождает конечномерную ассоциативную алгебру над полем рациональных чисел в R. Легко продемонстрировать, что и нильпотентные элементы ассоциативной алгебры R. Почти лиевой группы Е порожденное набором назовем подгруппу в группе обратимых элементов кольца R порожденную , где б рациональное число (экспонента обрывается т.к. элементы и нильпотентны). Через g обозначим подалгебру Ли в алгебре порожденными , для всех i. Нам пригодится ряд определений.

Пусть кольцо многочленов над кольцом переменной л. Определим группу как подгруппу в группе обратимых элементов кольца R(л) порожденную комплектом элементов , где полиномы с рациональными коэффициентами. Далее, нормальный делитель в группе порожденное элементами , а нормальный делитель в порожденное коммутантом и элементами по прежнему полиномы от л с рациональными коэффициентами. Наконец



Нам пригодится следующее коммутаторное условие *:

.

Коммутаторные формулы в линейных и унитарных групп над кольцами, также в группах лиевского типа, обобщающее условие*, изучались в работах ряда авторов. Они сделаны для широкого класса групп.

Главные предложения следующие:

Пусть Е почти лиева группа и гомоморфизм групп, S - Piалгебра (ассоциативная алгебра с полимиальным тождеством) над полем рациональных чисел, при этом S порождается как кольцо ImQ.

Предложение 1.

и - нильпотентный элемент кольца S, где

.

Предложение 2. Пусть объективна формула (*). В тех случаях присутствует гомоморфизм алгебры g из R, в Inder S (алгебру Ли внутренних дифференцирований кольца S).

Предложение 3. Справедливы включения



- верхняя конгруэнц подгруппа значения . Коммутант это нижняя конгруэнц подгруппа значения

Нормальные делители и коммутаторные формулы в группах лиевского вида над PI-кольцами.

Определение 1. A(F) и A(G) - нильпотентные элементы кольца R. Для

Положим

где i - целое число.

Определение 2. Пару мономорфизмов и назовем согласованной, если:

1) при

2) ;

3) где F,G - стандартный базис в .

Определение 3. Пусть - мономорфизм алгебр Ли, подалгебра Ли и Далее,



и E(g,g) - подгруппа в , порожденная , где и . Для идеала I алгебры Ли пусть

и пусть E(g,I) - нормальный делитель в группе E(g,g), порожденный exp(x), где .

Определение 4. Алгебра Ли g называется специальной, если , где R - PI-кольцо. Пусть Ad(g) - присоединенная ассоциативная алгебра, другими словами ассоциативная алгебра, порожденная операторами 1 и , где . Для идеала I алгебры Ли g положим

матрица унитарный трюк алгебра

и пусть - пересечение всех идеалов T в g, содержащих I, для которых кольцо первично и центр нулевой.

Предложение 1.1. Пусть R - изначальная PI-алгебра и C - центр кольца R. В тех случаях кольцо частных считается кольцом матриц над телом D и тело D - конечномерно над собственным центром.

Предложение 1.2. Радикал Джекобсона и, а именно, изначальный радикал конечнопорожденной PI-алгебры нильпотентен.

Предложение 1.3. Пусть g - специальная алгебра Ли. Тогда - PI-алгебра.

Предложение 1.4. Пусть , и N - пересечение всех идеалов I из , для которых кольцо первично, центр нулевой и



Тогда уже для любого идеала T алгебры Ли , такого что , присутстует идеал S в и идеал P в , такие что

идеал P алгебраичен над где C - центр алгебры , и

Предложение 1.5 Пусть F - нильпотентное подкольцо в ассоциативной алгебре R над полем Q, и D - подгруппа, порожденная и Тогда уже

Предложение 1.6. Пусть - группа автоморфизмов алгебры Ли в , g - подалгебра Ли в , D - погруппа в инвариантная условно Для положим

- идеал в алгебре Ли , порожденный множеством



Тогда I - идеал в алгебре Ли

Пункт 1 предложение 1.6. Покажем, что

Вправду,

и по определению 2 выодит, что

Тогда уже подкольцо в R, порожденное элементами , лежит в

и, значит, считается нильпотентным. По предложению 1.5 лежит в подгруппе, порожденной элементами



ибо . Так же,

Пункт 1 закончен.

Предложение 1.7. Пусть - кольцо матриц над полем P, g - такая подалгебра Ли в , что - простая алгебра Ли. Дальше - группа автоморфизмов в , D - подгруппа в G, инвариантная условно , . Тогда уже для некого нецентрального идеала I алгебры Ли .

Пункт 3 предложение 1.7. Пусть А - нильпотентное подкольцо в ассоциативном кольце и

Тогда для подкольца B, порожденного Qb и A, Вправду, если , то из (*) имеем, что

Пункт 3 закончен.

Предложение 1.8. Пусть R - ассоциативная PI-алгебра над полем Q, - группа автоморфизмов в , g - Q-алгебра Ли в . D - подгруппа в G, инвариантная условно , . В тех случаях для некоторого нецентрального идеала I алгебры Ли .

Пункт 1 предложения 1.8. Пусть М - простая конечномерная алгебра Ли над полем P, и N - подалгебра над Q в g, . Тогда уже - первичное кольцо. Вправду,



и - простая ассоциативная конечномерная P-алгебра. Значит, кольцо первично. Пункт 1 закончен.

Пункт 2 предложение 1.8. Пускай - из определения 4. Продемонстрируем, что лежит в - радикале Джекобсона алгебры . Вправду, пускай F - максимальный идеал в . Тогда уже по предложению 1.3 - простая конечномерная над полем P ассоциативная алгебра и порождает . Как следует, неприводимое представление. Означит, T - прямая сумма простых конечномерных над P алгебр Ли и некоторой центральной алгебры. Хотя , значит, и T - прямая сумма простых конечномерных над P алгебр Ли. Тогда уже из пункта 1 предложения 1.8 и определения 4 получаем . Хотя - PI-кольцо, значит, радикал Джекобсона явлчется пересечение наибольших идеалов и, как следует, . Пункт 2 закончен.

Теорема. Пусть H - подгруппа в E, инвариантная относительно . Тогда:

1) для некоторого идеала I в g, и

2) .

Пусть - стандартно градуированная, специальная алгебра Ли над полем рациональных чисел группа автоморфизмов алгебры Ли, E(g) - подгруппа в , порожденная элементами , где Дальше G - подгруппа в , имеющая E(g). Для идеала I в g, положим



и пускай - нормальный делитель в G, порожденный элементами , где .

Предложение 1. Пусть I - идеал в алгебре Ли,

.

Тогда уже

Доказательство: Из пункта 3 предложения 1.7 имеем

Покажем, что . Вправду, , значит,

где и подпространство, порожденное , имеет и по предложению 1.5 получаем . По определению C(I) получаем, что Как следует,



и подпространство, порожденное , содержит . Итак, и из (1) получаем

Сейчас достаточно доказать, что

Но и если , или , то

либо . Так же, как для , получаем, что

В конце концов, из пункта 1 предложения 1.6, определения 1, определения 2 и предложения 1.5 идет, что

Из этого следует, что

Предложение 1 доказано.



Предложение 2. Пусть - из теоремы, - конечно-порожденная алгебра Ли на Q, из определения 4 и I - идеал в алгебре Ли В тех случаях

Доказательство: Из пункта 2 предложения 1.8 получаем . Пускай Тогда где , и

Тогда группы и перестановочны по модулю и значит,

Из предложения 1.2

идеал нильпотентен.

Пусть Тогда из получаем

,

. Пусть

Тогда

и из (6) и предложения 1.6 получаем

где Тогда, коммутируя с , если пара не пропорциональны паре , и с в противном случае, получаем, что

Кроме того, значит

для всех В конце концов, как следует,

Предложение 2 доказано.

Предложение 3. Пусть R, Aut(g), g - из теоремы и K - идеал в . Тогда уже присутствует число , такое что

Доказательство: Достаточно обосновать предложение в случае, когда алгебра Ли g конечнопорожденная.

Пункт 1. Пусть I - идеал в , центр нулевой, и , где - такой гомоморфизм групп, что 

В тех случаях , также, алгебры и (/I) изоморфны, означает, и изоморфны. Пункт 1 закончен. Пусть - идеал в из определения 4. Тогда уже по предложению 2 и пункту 1 достаточно разобрать вариант, когда . Так же проводя индукцию по , из пункта 1 получаем, что достаточно разобрать вариант, когда где N - пересечение всех идеалов M алгебры Ли g, таких что центр нулевой и - изначальная алгебра, p.i. - степень которой меньше, чем у алгебры . Пусть I - наибольший идеал в . Из тогда, что

Пусть и идеалы S в , взяты из предложения 1.4. Тогда

Из предложения 2, пункта 1 и условий получаем

И по предложению 1.4

и идеал P алгебраичен над



где C - центр кольца . Пусть

- канонические гомоморфизмы и

Тогда уже для некоторого и

Теперь рассмотрим некоторые примеры.

Пример. Пусть - аддитивная группа Ли вещественных чисел. Рассмотрим некоторые ее простые представления.

а) Гомоморфизм

считается представлением в . Его ядро изоморфно . Потому что вращения в не имеют инвариантных подпространств, то данное представление неприводимо.

б) Гомоморфизм



является представлением группы в . Оно точное и реализуется группой сдвигов

Его инвариантные векторные подпространства отыскиваем из условия

Получаем систему уравнений

из которой следует, что единственное нетривиальное инвариантное подпространство задается вектором

Представление, как следует, приводимо, хотя не полностью приводимо.

в) Гомоморфизм

представляет группа группой псевдоевклидовых вращений в . Для нахождения инвариантных подпространств получим систему



Характеристическое уравнение имеет вид

и имеет два вещественных корня

Это выдает две инвариантные прямые с обращающими векторами и - изотропные прямые псевдоевклидовой метрики. Представления полностью приводимо.

Пример 2. Найдем все одномерные комплексные представления группы . Они задаются аналитической функцией на , удовлетворяющей условиям

Решение имеет вид

где с - некоторая комплексная константа.

Найдем посреди данных представлений унитарные. Эрмитова метрика на имеет вид

Поэтому условие унитарности дает



дают полный набор унитарных представлений группы .

Пример 3. Пусть и . Определим

, положив

(данное отображение вправду является гомоморфизмом). Таким образом, установлено линейное представление.

Пример 4. Пусть , и V - пространство непрерывных функций

. Определим , положив , где  - линейный оператор сдвига, т.е. - это функция, принимающая в каждой точке  значение

.

Это отображение является гомоморфизмом, так как

Таким образом, установлено бесконечномерное точное линейное представление.

Пример 5. Если  подгруппа в , то  определим как тождественное отображение.

Пример 6. Пусть , где  - -мерное векторное пространство над , и  - пространство всех линейных операторов на



Построим отображение , определив оператор  равенством

,

где  и . Это отображение действительно является гомоморфизмом,

и  - тождественный оператор на . Найдем . Имеем

Таким образом, установлено неточное линейное представление.

Пример 7. Пусть , и  - -мерное линейное пространство с базисом . Определим , установ , где , на базисных векторах равенством

Таким образом, установлено точное линейное представление.



Заключение

Группы - один из основных типов алгебраических систем, а концепция групп - один из главных разделов современной алгебры. Пригодилась работа нескольких поколений математиков. В настоящее время теория групп считается одной из самых развитых областей алгебры, имеющей бессчетные внедрения в как в самой арифметике, но за ее пределами - в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и прочих областях математики и естествознания. Конечной целью фактически теории групп является описание всех групповых композиций.

Понятие группы разрешает в точных определениях обрисовать инвариантность той или иной геометрической фигуры. Конкретно с таковых позиций Е.С. Федоров решил задачку классификации правильных пространственных систем точек, которая является одной из главных задач кристаллографии. Лежащее в фундаменте современной математики понятие группы является очень многосторонним орудием самой математики. Тогда как группы - это мощнейший инструмент познания одной из более глубочайших закономерностей настоящего мира - симметрии.

Способ индуцированных представлений имеет ряд положительных сторон по сравнению с инфинитезимальным методом Картана-Вейля. Он дает систематизацию неприводимых представлений на языке старших весов, и вместе с этим он дает единственную реализацию пространства представления как линейного пространства полиномов над стандартной подгруппой Z. Данное очень может быть полезно во время выяснения различных практических задач. При решении задачи работе показано основные понятия групп ли, фундаментальные результаты теории представления групп Ли, применение теорем и из доказательства для исследования групп Ли. Таким образом, задачи решены в полном объеме, и поставленная цель изучение представлений групп Ли и применение их в различных методах задания групп Ли достигнута.

Литература

1. Александров П. С. Введение в теорию групп. - М.: Наука, 1980. - 39-50 с.

2. Белоногов В. А Представления и характеры в теории конечных групп. - Свердловск, 1990. - 189-204 с.

3. Белоногов В. А. Задачник по теории групп. - М.: Мир, 2000. - 56-79 с.

4. Боревич З. И. Определители и матрицы. - СПб.: Лань, 2009. - 63-78 с.

5. Бурбаки H. Группы и алгебры Ли. - М.: Мир, 1972. - 203-209 с.

6. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. - М.: Мир, 1976. - 154-163 с.

7. Васильев А. В., Вдовин Е. П. Алгебра и логика., 2011. - 425-470 с.

8. Васильев A. B., Мазуров В. Д. Алгебра и логика. - М.: Мир, 1994. - 615-627 с.

9. Васильев А. М. Алгебра и логика., 1996. - 663-684 с.

10. Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. - ГИИЛ, 1947. - 194 с.

11. Винберг Э. Б. Курс алгебры. 2-е изд., испр. и доп. - М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2001. - 544 с.

12. Винберг Э. Б. Курс алгебры. - МЦНМО, 2011. - 203-256 с.

13. Винберг Э. Б. Линейные представления групп. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 144 с.

14. Гаптмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988. - 206-209 с.

15. Голубчик И. З., Михалев А. В. Изоморфизмы полной линейной группы над ассоциативным кольцом. - Вестник МГУ, 1983 - 61-71 с.

16. Голубчик И. З., Михалев А. В. Изоморфизмы унитарных групп над ассоциативным кольцом. - Модули и алгебраические группы.

17. Голубчик И. З. Группы лиевского типа над PI-кольцами. - Фундаментальная и прикладная математика, 1997. - 399-424 с.

18. Голубчик И. З. Эпиморфизмы групп лиевского типа. - IV Межд. алг. конф. Новосибирск, 2000. - 61 с.

19. Гречкосеева М. А. О минимальных подстановочных представлениях классических простых групп. - Сибирский математический журнал, 2003. - 560-586 с.

20. Дураков Б. К. Краткий курс алгебры. - ФИЗМАЛЛИТ, 2006. - 156-173 с.

21. Желобенко Д. П. Штерн А. И. Представления групп Ли. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 360 с.

22. Желобенко Д. П. Компактные группы и их приложения. - М.: Наука, 1970. - 459 с.

23. Желобенко Д. П. Компактные группы и их представления. - М.: Центр непрерывного математического образования, 2007. - 552 с.

24. Желобенко Д. П. Лекции по теории групп Ли. - Дубна.: Издательский отдел института ядерных исследований, 1965.

25. Зельманов Е. И. Изоморфизм полной линейной алгебры над ас социативным кольцом. - Математический журнал, 1985. - 49-67 с.

26. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982. - 126 с.

27. Кириллов А. А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли. - УМН, 1962. - 57-110 с.

28. Кириллов A. A. Элементы теории представлений. - М.: Наука, 1978. - 148-153 с.