Решение дифференциальных уравнений
Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.03.2010 |
| Размер файла | 136,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Задача 4
С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры a и b линейной функции y = a + bx, приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.
|
xi |
0,0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
|
|
yi |
0,9 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
Решение
Система нормальных уравнений
в задаче
n = 6
Тогда
решая ее получаем .
y = 0,5714x + 0,9476
Задача 5
Найти неопределенный интеграл
Решение
Ответ:
Задача 6
Найти неопределенный интеграл
Решение
Ответ:
Задача 7
Найти неопределенный интеграл, применяя метод интегрирования по частям
Решение
Ответ:
Задача 8
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами
Решение
Точки пересечения по х: х = -1, х = 5.
Площадь фигуры найдем из выражения
Ответ:
Задача 9
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка
Решение
Разделим переменные
Проинтегрируем
Ответ:
Задача 10
Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию
Решение:
Запишем функцию y в виде произведения y = u * v. Тогда находим производную:
Подставим эти выражения в уравнение
Выберем v таким, чтобы
Проинтегрируем выражение
,
Найдем u
,
,
,
,
Тогда
Тогда
Ответ:
Задача 11
Исследовать на сходимость ряд:
а) с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд
Решение
Проверим необходимый признак сходимости ряда
Т. к. , то необходимый признак сходимости ряда не соблюдается, и ряд расходится.
Используем признак Даламбера
Ответ: ряд расходится
б) с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд
Решение
Проверим необходимый признак сходимости ряда
Т. к. , то необходимый признак сходимости ряда соблюдается, можно исследовать ряд на сходимость.
По признаку подобия
данный ряд аналогичен гармоническому ряду начиная с пятого члена, таким образом, т.к. гармонический ряд расходится, то и исходный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится
в) Найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости
Решение
Используем признак Даламбера:
При х =5 получим ряд
Ряд знакопостоянный, lim Un = n
Ряд расходится, так как состоит из суммы возрастающих элементов, каждый из которых больше 1.
При х = -5 получим ряд
Ряд знакочередующийся, lim Un = n
|Un| > |Un+1| > |Un+2| … - не выполняется.
По теореме Лейбница данный ряд расходится
Ответ: Х (-5; 5)
Задача 12
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда
Решение
В разложении функции sin(x) в степенной ряд
заменим . Тогда получим
Умножая этот ряд почленно на будем иметь
Следовательно
Ответ: 0,006.
Подобные документы
Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.
контрольная работа [73,0 K], добавлен 24.04.2013Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Нахождение частных производных, градиента функции. Вычисление интеграла, переход от двойного интеграла к последовательному, пределов интегрирования. Общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Применение признака Даламбера.
контрольная работа [297,6 K], добавлен 11.05.2013Понятие и характеристика неопределенного интеграла, его свойства. Методы интегрирования функций: разложение, замена переменной, по частям. Задача Коши, ее содержание. Дисперсия случайной величины. Решения для дифференциальных уравнений n-порядка.
лекция [187,9 K], добавлен 17.12.2010Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Вычисление интеграла, выполнение интегрирования по частям. Применение метода неопределенных коэффициентов, приведение уравнения к системе. Введение вспомогательных функций в процессе поиска решения уравнения и вычисления интеграла, разделение переменных.
контрольная работа [617,2 K], добавлен 08.07.2011Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Нахождение площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [59,8 K], добавлен 05.03.2011
