Геометричні фігури на площині та їх площі

Як вже було зазначено, точка і пряма є основними геометричними фігурами на площині. Математично, точкою на площині є об'єкт, два плоскі виміри якого (x і y) прямують до нуля. Тобто, це об'єкт, що має плоскі координати x і y, але не має розмірів, тобто довжини і ширини, тобто це „існуюче ніщо”. Як би я не загострювала кінчик олівця, в надії нанести на площину математичну точку - в мене нічого не вийде. Реально нарисована точка матиме цілком реальні (хай навіть менше 0,1 мм!) розміри по x та по y. Таке визначення точки у математиці було зроблено для спрощення розрахунків.

Як правило, всяку геометричну фігуру прийнято вважати складеною з точок. Тому прямою на площині (рис.1) є геометричне місце точок, один з вимірів якого (скажімо довжина) рівний нескінченності, а інший - ширина, прямує до нуля. Для порівняння, відрізок (рис 2), як частина прямої, яка складена з усіх точок прямої, що лежать між двома її точками, має нульову ширину при цілком певній довжині, скажімо 15 см чи 5 м. Півпрямою, або променем (рис.3) називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки. Промінь також вважають проведеним у нескінченність в один бік.

Аналогічно попередньому, яким тонким не був би кінчик мого олівця, я не зможу накреслити математичну пряму, відрізок чи промінь - вони матимуть цілком певну ширину.

а

рис.1

А В

Рис. 2.

Рис.3

Кут

Кутом (рис.4) називається фігура, що складається з двох різних півпрямих із спільною початковою точкою, яка називається вершиною кута, а півпрямі - сторонами кута.

Рис.4

Очевидно, що до фігур, зазначених вище, поняття площі незастосовне.

Плоскі геометричні фігури

Чотирикутником взагалі є фігура, складена з чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх сполучають. Чотирикутник називають опуклим, якщо він розміщений в одній півплощині відносно прямої, яка містить будь-яку його сторону. На рисунках 5 і 6 показано опуклий та неопуклий чотирикутники.

Рис.5 Рис.6

Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називають сусідніми сторонами, а сторони, які не мають спільного кінця - протилежними сторонами.

Прямокутник (рис.7) - це чотирикутник, у якого всі кути прямі.

b

а

Рис. 7.

Як бачимо з рис.7, геометри античності спочатку розбивали прямокутник на квадратики, які були одиницями площі (поняття метр і метр квадратний з'явилось пізніше) і підраховували їх кількість. Тепер використовується формула S_прям. = аb.

Квадрат - це прямокутник, у якого всі сторони рівні (рис.8).

а

Рис.8

Можна також розбити квадрат на n одиниць площі і знайти їх суму, проте ми користуємося формулою S_квад. = а².

Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні (рис.9).

h

а

Рис.9

Площа паралелограма визначається як добуток його сторони на висоту, проведену до цієї сторони: S_парал. = аh.

Ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні (рис.10).

h

а

Рис.10

Площа ромба визначається так само як і площа паралелограма.

Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні (рис.11).

b

h

а

Рис.11

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту:

Кругом називається геометричне місце точок площини, що лежать від даної точки на відстані, не більшій за дане число R, яке називається радіусом круга (рис.12).

R

Рис.12

Площа круга визначається рівністю: , де р - число Архімеда, яке рівне відношенню довжини кола до його діаметра, причому вказане відношення є однаковим для будь-якого кола. Не буду зупинятися на виникненні числа р, оскільки багато чого, пов'язаного з його походженням не ясно і дотепер. Доведено ірраціональність числа р. За допомогою комп'ютерів отримані мільйони десяткових знаків цього числа. Перші знаки його такі: р = 3,14159265358…

Трикутником є фігура, що складається з трьох точок і трьох прямих, що їх з'єднують. Розрізняють прямокутні та косокутні трикутники (рис.13, 14)

с

b с b

h

г

а а

Рис.13 Рис.14

Оскільки прямокутний трикутник можна розглядати як половину прямокутника, то площа прямокутного трикутника рівна .

Взагалі, площа будь-якого трикутника може бути визначена як половина добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони. За рис.14 запишемо: . Існують інші формули для визначення площі трикутника, наприклад (див. рис.14). Можна також довести формулу Герона для площі трикутника:

де р - півпериметр трикутника, а саме .

Якщо плоска фігура зображена в системі координат (x, y), то площа будь-якої з них може бути представлена у вигляді визначеного інтеграла. Дана тема вивчається в 11-му класі середньої школи, тому поки що я не буду її торкатися. За допомогою визначеного інтеграла знаходять площі опуклих і не опуклих криволінійних плоских фігур.

Для площ n-кутників багатьма великими цього світу виведені спеціальні формули, запам'ятати які не завжди легко. Тому я зазвичай, застосовую інший метод обчислення площ багатокутників: всякий n-кутник може бути розбитий на певну кількість простіших фігур, формули площ яких я пам'ятаю.