Типовой расчет
Условия и анализ заданий по математике: найти сумму ряда, область сходимости функционального ряда, исследовать ряд на сходимость, вычислить сумму ряда с точностью альфа, используя метод неопределённых коэффициентов, признак Даламбера и признак Лейбница.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.12.2010 |
| Размер файла | 266,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
1. Найти сумму ряда:
Решение.
Разложим знаменатель на множители.
Значит,
Разложим дробь , используя метод неопределённых коэффициентов.
то есть:
, ,
Следовательно,
Тогда, исходный ряд примет вид:
Найдём n - первые членов ряда, записывая дроби с одинаковыми знаменателями друг под другом:
=
=
=
=
=
=
=
=
Сложим n - первых членов ряда и найдём их сумму.
.
Тогда искомая сумма равна:
.
Ответ: .
2. Найти сумму ряда:
Решение.
Разложим дробь , используя метод неопределённых коэффициентов.
то есть:
, , ,
Следовательно,
Тогда, исходный ряд примет вид:
Найдём n - первых членов ряда , записывая дроби с одинаковыми знаменателями, друг под другом:
=
=
=
=
=
=
=
=
Сложим n - первых членов ряда
и найдём их сумму.
.
Тогда искомая сумма равна:
Ответ: .
3. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Так как , то рассмотрим ряд
, тогда
Воспользуемся признаком Даламбера.
,
Тогда,
Так как , то ряд сходится. Значит, исходный ряд сходится по теореме о сравнении рядов.
Ответ: Ряд сходится.
4. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Преобразуем n - член этого ряда.
Сравним ряд с рядом , пользуясь предельным признаком сравнения:
,
Тогда,
Поскольку А = 1 (0<A<+?) - действительное число. Следовательно, ряды либо сходятся, либо расходятся. Ряд - является рядом Дирихле. Так как б = 3 > 1, то данный ряд сходится. Следовательно, и сравниваемый ряд тоже сходится.
Ответ: ряд сходится.
5. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Воспользуемся признаком Даламбера.
,
Находим m по формуле:
Тогда:
Так как , то ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
6. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Рассмотрим ряд
.
Поскольку при :
Воспользуемся признаком Даламбера.
,
Находим m по формуле:
Тогда:
Так как , то ряд сходится.
Согласно признаку сравнения сходится и ряд .
Ответ: ряд сходится.
7. Вычислить сумму ряда с точностью б..
б. = 0,001.
Решение.
Прежде чем находить сумму ряда необходимо убедиться, что данный ряд сходится. Проверим исходный ряд на сходимость.
- числовой знакочередующейся.
Воспользуемся признаком Лейбница:
1)
2)
Следовательно, ряд условно сходится.
Проверим абсолютную сходимость ряда . Рассмотрим ряд .
Воспользуемся признаком Даламбера:
,
Находим m по формуле:
Тогда:
Следовательно, ряд
сходится абсолютно.
Вычисляем члены ряда с точностью до 4 цифр после запятой до тех пор, пока какой-нибудь член ряда по модулю не будет меньше б. = 0,001:
а1 = -1,5 а2 = 0,1042 а3 = - 0,0016 а4 = 0,0000093
Для приближённого вычисления ряда достаточно первых трех членов ряда (по следствию признака Лейбница: сумма сходящегося знакопеременного числового ряда не превышает его первого члена). Следовательно, ошибка при вычислении не превысит 0,0000093, а, значит, и . Требуемая точность достигнута.
Следовательно:
.
Ответ: .
8. Найти область сходимости функционального ряда
Решение.
Рассмотрим два интервала:
1)
Проверим необходимый признак сходимости рядов:
Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при ряд расходится.
2) , то есть
Проверим необходимый признак сходимости рядов:
Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при ряд расходится.
При имеем:
то есть ряд расходится.
Окончательно, получаем ряд расходится при любом Х
Ответ:
9. Найти область сходимости функционального ряда
Решение.
Воспользуемся признаком Даламбера:
.
В данном примере:
,
.
Следовательно, ряд сходится при любом Х, т.е.
Ответ: .
10. Найти сумму ряда:
Решение.
Найдём область абсолютной сходимости ряда, пользуясь признаком Даламбера:
то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .
При ряд расходится, так как .
Следовательно, .
Перепишем данный ряд:
Обозначим сумму трёх рядов через , и соответственно, тогда
.
Определяем область сходимости этих рядов, пользуясь признаком Даламбера:
1) :
то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .
Следовательно, .
2) :
то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .
Следовательно, .
3) :
то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .
Следовательно, .
Найдём сумму ряда .
Это сумма бесконечной геометрической прогрессии: , тогда:
.
Найдём сумму ряда .
.
Обозначим сумму ряда в скобках за и проинтегрируем:
.
Продифференцируем :
.
Отсюда:
сумму ряда .
.
Обозначим сумму ряд в скобках за и проинтегрируем:
.
Тогда, продифференцируем :
Отсюда:
.
Следовательно:
для всех .
Ответ: для всех .
Подобные документы
Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010Основные понятия числового и знакопеременного ряда. Необходимые и достаточные признаки сходимости. Признак Лейбница. Исследование на абсолютную и условную сходимость ряда. Действия с суммой бесконечного числа слагаемых, расстановка скобок. Формула Эйлера.
курсовая работа [501,8 K], добавлен 12.06.2014Решение неравенств и определение области сходимости рядов по признаку Даламбера и теореме Лейбница для знакопеременных рядов. Условия и пределы сходимости ряда. Исследование границ интервала. Проверка условия Лейбница при знакочередующемся ряде.
контрольная работа [127,2 K], добавлен 07.09.2010Определение условий сходимости положительного ряда и описание свойств гармонических рядов Дирихле. Изучение теорем сравнения рядов и описание схемы Куммера для вывода из нее признаков сравнения ряда. Вывод признаков сравнения Даламбера, Раабе и Бертрана.
курсовая работа [263,6 K], добавлен 14.06.2015Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.
контрольная работа [73,0 K], добавлен 24.04.2013Изучение понятия числового ряда и его суммы. Особенности сходящихся и расходящихся рядов. Число e, как сумма ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Алгебраические операции и сходимость. Ряды с неотрицательными членами. Интегральный признак Коши-Маклорена.
методичка [514,1 K], добавлен 26.06.2010Первое упоминание и использование числового ряда, его понятие и структура, этапы и направления дальнейшего исследования. Задачи, приводящие к понятию числового ряда и те, в которых он использовался. Признак Даламбера и Коши, Маклорена и сравнения.
курсовая работа [114,2 K], добавлен 01.10.2014Описание признака сходимости числовых рядов Даламбера, решение задач на исследование сходимости. Формулировка радикального признака сходимости Коши знакоположительного ряда в предельной форме. Доказательство знакочередующихся и знакопеременных рядов.
реферат [190,9 K], добавлен 06.12.2010Понятие знакочередующихся рядов. Последовательность частичных сумм четного и нечетного числа членов. Исследование сходимости ряда. Проверка выполнения признака Лейбница. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда.
презентация [82,8 K], добавлен 18.09.2013
