Метод Милна
Численное решение дифференциальных уравнений с помощью многошагового метода прогноза и коррекции Милна. Суммарная ошибка метода Милна. Применение метода Рунге-Кутта для нахождения первых значений начального отрезка. Абсолютная погрешность значения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.02.2013 |
| Размер файла | 694,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Метод Милна
Одним из наиболее простых и практически удобных методов численного решения дифференциальных уравнений является метод Милна. Метод Милна относится к многошаговым методам и представляет один из методов прогноза и коррекции. Решение в следующей точке находится в два этапа. На первом этапе осуществляется по специальной формуле прогноз значения функции, а затем на втором этапе - коррекция полученного значения. Если полученное значение у после коррекции существенно отличается от спрогнозированного, то проводят еще один этап коррекции. Если опять имеет место существенное отличие от предыдущего значения (т.е. от предыдущей коррекции), то проводят еще одну коррекцию и т.д. Однако очень часто ограничиваются одним этапом коррекции.
Пусть дано уравнение:
y'= f (x, y) (1)
с начальным условием
y(x0)=y0 (2)
Выбрав, шаг h положим
xi=x0 + ih, yi = y(xi), =f (x, y) (i = 0, 1, 2, …).
Первые 4 значения начального отрезка y0, y1, y2, y3 находим, применив метод Рунге-Кутта. Тем самым будут известны y'i (i = 0, 1, 2, 3).
Дальнейшие значения yi = y(xi) (i = 4, 5, 6, …) определяются по следующей схеме:
1) вычисляем первое приближение по формуле
(i = 4, 5, 6, …) (3)
2) значение подставляем в (1) и определяем
3) находим второе приближение по формуле
(i = 4, 5, 6, …) (4)
милн прогноз коррекция ошибка
Милн показал, что абсолютная погрешность значения приближенно pавна:
(5)
Поэтому, если , где е - заданная предельная погрешность решения, то можно положить и .
Далее переходим к вычислению следующего значения , повторяя указанную выше схему. В случае, если точность е не обеспечена, следует уменьшить шаг h и сделать пересчет.
Замечания:
Суммарная ошибка метода Милна есть величина порядка Метод Милна не обладает устойчивостью, поэтому его рекомендуют использовать, когда предполагаемое число шагов не велико.
Дано уравнение с начальным условием . Найдем методом Милна приближенное значение решения в точке с точностью до
Решение
Метод Милна имеет глобальную ошибку , это значит, что взяв , получим погрешность результата порядка , таким образом, заданная точность практически достигается.
(из начального условия)
Значения найдем явным методом Эйлера.
Найдем значения , и
Далее используем метод Милна.
Проверка:
Будем заносить результаты расчетов в таблицу
|
0 |
- |
- |
||||
|
1 |
- |
- |
||||
|
2 |
- |
- |
||||
|
3 |
- |
- |
||||
|
4 |
Проверка:
|
5 |
Проверка:
|
6 |
Проверка:
|
7 |
Проверка:
|
8 |
Проверка:
|
9 |
Проверка:
|
0 |
- |
- |
||||
|
1 |
- |
- |
||||
|
2 |
- |
- |
||||
|
3 |
- |
- |
||||
|
4 |
||||||
|
5 |
||||||
|
6 |
||||||
|
7 |
||||||
|
8 |
||||||
|
9 |
||||||
|
10 |
Напомним, что точное решение заданного уравнения:
Найдем точное значение :
Заданная точность достигнута.
Метод требует несколько меньшего количества вычислений (например, достаточно только два раза вычислить f (x, y), остальные запомнены с предыдущих этапов), но требует дополнительного «расхода» памяти. Кроме этого, как уже указывалось выше, невозможно «запустить» метод для этого необходимо предварительно получить одношаговыми методами первые три точки.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Основные методы Рунге-Кутта: построение класса расчетных формул. Расчетная формула метода Эйлера. Получение различных методов Рунге-Кутта с погрешностью второго порядка малости при произвольном задавании параметров. Особенности повышения порядка точности.
реферат [78,4 K], добавлен 18.04.2015Многошаговые методы и их построение. Вычисление интеграла. Формула для определения неизвестного значения сеточной функции. Запись разностной схемы четвертого порядка. Сущность методов Адамса, Милна, прогноза и коррекции. Оценка точности вычислений.
презентация [162,9 K], добавлен 18.04.2013Получение точного решения дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на заданном интервале, графическое решение. Относительная и абсолютная погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты.
курсовая работа [990,8 K], добавлен 17.07.2014Метод Эйлера: сущность и основное содержание, принципы и направления практического применения, определение погрешности. Примеры решения задачи в Excel. Метод разложения решения в степенной ряд. Понятие и погрешность, решение с помощью метода Пикара.
контрольная работа [129,0 K], добавлен 13.03.2012Приближенные решения кубических уравнений. Работы Диофанта, Ферма и Ньютона. Интерационный метод нахождения корня уравнения. Геометрическое и алгебраическое описания метода хорд. Погрешность приближенного решения. Линейная скорость сходимости метода.
презентация [255,1 K], добавлен 17.01.2011Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Задачи нахождения собственных значений и соответствующих им собственных векторов. Математическое обоснование метода итераций. Алгоритм метода Леверрье-Фаддеева, численное решение оценки собственных значений матриц. Листинг программы на языке "Pascal".
курсовая работа [221,8 K], добавлен 05.11.2014Градиентные уравнения и уравнения в вариациях, функционалы метода наименьших квадратов. Численное решение градиентных уравнений: полиномиальные системы, метод рядов Тейлора и метод Рунге-Кутта. Числовые модели осциллирующих процессов в живой природе.
реферат [221,4 K], добавлен 10.08.2010Методы численного интегрирования, основанные на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей. Геометрическое представление метода Гаусса с двумя ординатами. Численные примеры и сравнение методов. Решение систем алгебраических уравнений.
курсовая работа [413,4 K], добавлен 11.06.2014
