Формування математичних понять в процесі викладання математики в основній школі

Визначення понять в найширшому значенні є логічна операція, в процесі якої розкривається зміст поняття, тобто указуються відмітні істотні ознаки предметів, відображених в даному понятті.

Визначити поняття -- значить, в короткій формі виразити найзагальніші, основні і істотні властивості визначуваного предмету, не вичерпуючи всіх його властивостей, сторін і зв'язків.

Визначення поняття -- сходинка в пізнанні навколишнього світу. Але для того, щоб ця сходинка вела нас до більш глибокого пізнання предметів і явищ, їх зв'язків і відносин, треба пам'ятати, що коротке визначення не відображає предмету або явища повністю.

Отже, визначити поняття -- значить, виразити в короткій формі найзагальніші, основні і істотні властивості визначуваного предмету, не вичерпуючи всіх його властивостей, сторін і зв'язків.

Помилки, що допускаються у визначенні понять. Педагогу важливо знать не тільки правила визначення понять, але і типові помилки, що допускаються в учбовій практиці у визначенні понять.

В логіці розрізняють 6 основних помилок: порушення правила відповідності (дві помилки), тавтологія у визначенні, круг у визначенні, визначення невідомого через невідоме, включення у визначення неістотних ознак поняття.

Приклади вузьких визначень: Приклади широких визначень:

Речовиною називається те, що має 1. Речовиною називається матерія. молекулярна будова.

Двигун -- машина, перетворююча 2.Двигун -- машина.

електричну енергію в механічну.

Єство другої помилки у визначенні поняття -- тавтології -- полягає в тому, що предмет визначається через самого себе, а міняється тільки (і то часто трохи) словесна форма виразу.

Ф. Энгельс в «Анті-Дюрінге» визначає тавтологію як «просте повторення в предикаті того, що було вже виказане в суб'єкті». Іншими словами, тавтологія -- просте повторення в присудку того, що було вже виказане в підметі.

Тавтологія нерідко спостерігається у визначеннях, формульованих тими, що вчаться. Наприклад, на уроках хімії і фізики учні допускають наступні визначення: «Речовиною називається те, з чого складається речовина», «Кількість внутрішньої енергії, яку тіло одержує або віддає при тепловіддачі, називається внутрішньою енергією», «Внутрішня енергія є внутрішня енергія».

В. И. Григорьев і Р. Я. Мякишев в своїй книзі «Сили в природі» про такого роду визначення образно пишуть: «Змія укусила себе за хвіст».

Круг у визначенні у відповідях вчаться зустрічається рідше, але ця помилка спостерігається в учбовій і методичній літературі. І часом вона ніким не помічається. Суть помилки полягає в тому, що одне поняття визначається через інше, а це інше -- через перше. Наприклад: «Що таке обертання?» -- «Рух навкруги осі».-- «А що таке вісь?» -- «Те, навкруги чого відбувається обертання».

Приклад круга у визначенні -- визначення роботи і енергії. Енергія в багатьох вузівських курсах і шкільних підручниках визначається як здатність тіл або системи тіл скоювати роботу. А робота, у свою чергу, визначається як міра зміни енергії або процес перетворення одного виду енергії в іншій.

Визначення невідомого через невідоме. Суть цієї помилки полягає в тому, що поняття визначається через таке поняття, ознаки якого невідомі і яке саме ще повинне бути визначене.

Включення у визначення неістотної ознаки також зустрічається досить часто. Так, наприклад, визначаючи поняття «пружинний динамометр», багато учнів 6 класу пишуть: «Це прилад, що складається з пружини з гачком». Тут вказана неістотна ознака -- гачок. І невірно вказаний рід -- «прилад». Потрібно брати найближчий рід -- «динамометр». Інший приклад подібної помилки у визначенні: «Речовиною називаються форми матерії, що володіють енергією». Ознака «володіють енергією» для речовини не суттєво, оскільки енергія властива не тільки речовині, але і полю.

Знання типових помилок у визначенні понять дає можливість вчителю більш строго відноситися до визначень, які дає він сам що вчиться на уроці, і до визначень, які дають учнів в своїх відповідях.

Визначаючи те або інше поняття, вчителю треба мати у вигляді наступне:

Визначення поняття не ставить задачу охопити предмет вичерпним чином. Воно відображає лише самі загальні і відмітні властивості визначуваного класу предметів або явищ. Корисно нагадати слова Ф. Энгельса про те, що від визначення не слід вимагати більше того, що воно може дати. Кожний предмет має велике число властивостей і зв'язків з іншими предметами матеріального миру. Для того, щоб відмежувати предмет від інших предметів, достатньо виділити лише найістотніші властивості (вказати рід і видову відмінність).

Задача визначення -- в короткій формі зафіксувати здобуті знання про предмет або явище.

Визначення поняття не є раз і назавжди дане, незмінне. У міру розвитку науки заглиблюються наші знання про природу і відповідно до цього уточнюється зміст понять, а разом з цим і їх визначення. На цьому питанні ми ще зупинятимемося докладніше у зв'язку з розглядом питання про розвиток понять в науці.

4. Слід завжди мати у вигляді, що формально-логічна операція визначення поняття може бути застосована лише тоді, коли з'ясовано, що слід вважати істотним, єством. Питання ж про єство розробляє змістовна діалектична логіка.

Визначення понять з переходом учнів з класу в клас уточнюються. Це питання також розглядатиметься більш детально у зв'язку з аналізом процесу формування понять у школярів. Разом з тим вже зараз хотілося б попередити про доцільність прагнення неодмінно давати визначення поняття на самому початку його формування у школярів. У зв'язку з цим корисно привести вислів російського педагога Ц. І. Балмлона, який в книзі «Виховне читання», виданої в 1908 р., абсолютно правильно попереджав, що розвиток відвернутого понятійного мислення в дитячому віці вимагає від вчителя найбільшого терпіння і обережності; воно досягається поволі, поступово, у зв'язку з органічним зростанням дітей і накопиченням у них реального досвіду.

Відвернуті поняття повинні складатися і зростати як результат поступового розширення кругозору.

Російський педагог В. И. Шереметовский розглядав як злочин проти першої заповіді дидактики, що наказувала помірність і акуратність, прагнення вичерпувати все відразу до дна. Насправді ж всяке теоретичне положення, всякий висновок і узагальнення на перший раз відкладається, так би мовити, на поверхні свідомості, і лише при подальшому неодноразовому вживанні теорії до практики, при підкріпленні одного теоретичного положення іншим, поступово первинне поверхневе уявлення проникає в глибінь свідомості і утворюється, нарешті, той «розумовий осад», який вже можна вважати, а ясне поняття, за точне грунтовне знання.

Але з цього правильного положення про те, що для ряду понять не можна дати відразу закінченого визначення, що поняття повинні розвиватися поступово і згідно з цим на різних татах навчання повинне вводитися різне формулювання визначення, що поступово розкриває все більш і більш глибокий зміст даного поняття, зовсім не витікає, що взагалі можна не давати в процесі навчання (в підручниках) закінчених формулювань визначень ряду основних понять.

1.8. Способи означення понять.

Логіка указує прийоми визначення понять, що дозволяють розкрити істотні ознаки, не вдаючись до докладного переліку всіх істотних ознак. Є декілька способів визначення понять. Основними з них є: визначення через найближчий рід і видову відмінність, генетичне визначення -- визначення через вказівку способу утворення предмету.

Виділяють також номінальне визначення -- пояснення значення слова, імені або терміну, що позначає дане поняття. Є різні способи означування понять. Основний з них -- через найближчий рід і видову відмінність. Наприклад, «Медіана є відрізок, що з'єднує вер-шину трикутника з серединою протилежної сторони». Тут вказано родове поняття (відрізок) і видова відмінність (з'єднує вершину з серединою протилежної сторони).Означення через абстракцію -- це означення, в якому властивості множин розкриваються через відношення рівності між ними. Наприклад: «число (кардинальне) класу а є клас всіх класів, що перебувають у відношенні взаємно однозначної відповідності з класом а».

Аксіоматичне означення -- це логічна операція опосередкованого розкриття змісту поняття за допомогою певної аксіоматики. Так, система аксіом геометрії Гільберта непрямо означає поняття «точка», «пряма», «площина», «належність», «між», «конгруентність». Наприклад, аксіо-ми інцидентності (належності): 1) двом точкам належить тільки одна пряма; 2) якщо дві точки прямої належать пло-щині, то й ця пряма інцидентна даній площині, опосередко-вано розкривають зміст понять «пряма», «площина», «інци-дентиність».

Оскільки зміст кожного поняття розкривається через означені вже поняття, то в процесі такого поступового зве-дення (редукції) приходять до ряду не означуваних понять. Це є первісні, основні поняття, такі як: «множина», «відпо-відність», «натуральне число», «точка», «пряма», «площина», «конгруентність» тощо.

При означуванні понять треба запобігати створен-ню сурогатів-означень, в яких за означення беруться пе-релік тих моментів з практики, які привели до утворення даного поняття. Наприклад: «Число є результат рахунку або вимірювання»; «відношення є результат порівнюван-ня» і т. д. Тут за означення поняття взято деякий його опис. Означення, по можливості, не повинно подаватися в не-гативній формі. Наприклад, означення: «трапеція не є пара-лелограм», або «ірраціональне число -- це не ціле число» є неправильними.

Перший основний спосіб означення починається з вказівки роду, в який як вигляд входить визначуване поняття. При цьому береться не перший рід, що попався, а найближчий, в який даний вигляд входить. Родове поняття -- це і є більш широке поняття, під яке, «підводиться» визначуване видове поняття.

Знаходження більш широкого поняття є тільки початком визначення поняття. Другий етап -- вказівка видової відмінності визначуваного поняття. В кожний рід входить багато видів. Для того, щоб точно визначити поняття, треба знайти зміст даного вигляду, знайти ту специфічну істотну ознаку, по якій даний вигляд відрізняється від всієї решти видів, що входять у вказаний рід.

Вперше наукове формулювання прийому визначення поняття через найближчий рід і видову відмінність дав Арістотель. Він сформулював також правила визначення, прийняті сучасною традиційною логікою. Д. Маркс, Ф.Энгельс в своїх працях широко користувалися цим прийомом визначення поняття. Серед помилок більш типовими при означуванні є: не називання окремих істотних ознак поняття. Наприклад: «Кут, утворений двома хордами, називається вписаним» (не сказа-но, що його вершина лежить на колі); «Піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, називається правиль-ною» (не зазначено, що її вершина ортогонально проектується в центр основи) і т. д. Причиною таких неточних формулю-вань є недостатнє розуміння кожної з істотних ознак озна-чуваного поняття. Тому при введенні поняття слід виділяти всі їх істотні ознаки, перелічити ці ознаки, зіставити озна-чуване поняття із спорідненими, але відмінними поняттями. і називання зайвих (вивідних) ознак поняття, наприклад: «Середньою лінією трапеції називається відрізок, що сполу-чає середини бічних сторін трапеції і паралельний основам трапеції». Такі помилки є менш істотними, ніж попередні. Однак вони свідчать про те, що учні не усвідомлюють потре-би мінімалізації ознак в означенні поняття. Виправляючи їх, треба пояснити учневі, що вивідні ознаки понять є предметом не означень, а теорем; що цим демонструється не «обширність» його знань, а логічна нечіткість. Причиною таких помилок є дещо неосмислене нагромадження учнем ряду споріднених фактів. Щоб запобігти появі таких поми-лок, доцільно в ході викладання та після розгляду певної теми (наприклад, про трапецію) показ учням логічне при-значення кожного із розглянутих математичних тверджень.

Називання суперечних ознак, наприклад, «Паралело-грам -- це чотирикутник, у якого протилежні сторони по-парно паралельні, а кути діагоналями поділяються навпіл». У подібних випадках пояснюємо, що не можна об'єднувати в одному твердженні істотні ознаки поняття загального виду із специфічними ознаками підпорядкованого йому поняття.

1.9. Види означень.

Існують різні види означень у математиці. Найпошире-ніший з них -- означення через рід і видову відмінність.

Означення через рід і вид. При та-кому означенні ми заздалегідь визначаємо клас, який при-пускається вже точно означеним, і з нього виділяємо під-клас, що має дану видову відмінність. Наприклад, арифме-тичною прогресією називається числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює поперед-ньому, складеному з одним і тим самим числом. Найближ-чий рід тут -- це поняття «послідовність» (припускається, що поняття «послідовність» точно означене), видова відмінність: «кожний член якої, починаючи з другого, дорів-нює попередньому, складеному з одним і тим самим числом».

Означення поняття характеризується двома основними частинами. Перша частина - визначуване поняття. Це то поняття, що визначається, друга частина -- визначальна поняття -- ті слова в означенні, що характеризують родову і видову ознаки визначуваного поняття. Наприклад, в означенні арифметичного квадратного кореня «невід'єм-не число, квадрат якого дорівнює а» визначуване поняття буде «арифметичний корінь», визначальне поняття -- це слова «невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а».

Означення через рід і вид здебільшого зустрічаються у геометрії.

Генетичне означення. Генетичне озна-чення -- це означення, яке вказує на походження предме-та, яке охоплюється даним поняттям. У такому означенні вказується спосіб, яким даний предмет утворюється. На-приклад, означення: «Куля -- тіло, яке утворюється від обертання півкруга навколо діаметра» є генетичним озна-ченням. В цих означеннях використовується рух або по-будова.

У генетичному означенні також міститься вказівка на найближчий рід і чітко виражається видова відмінність визначуваного предмета від інших предметів даного роду. Наприклад, в означенні циліндричної поверхні: «Поверхня, яка утворюється рухом прямої, що переміщується пара-лельно самій собі і яка перетинає деяку задану плоску криву (направляючу циліндричної поверхні) поняття «поверхня» є родовою ознакою, а всі інші ознаки, що входять у це означення, є видовими ознаками.

Означення --умовні погодження. До таких означень, наприклад, відносять: 1) означення добутку від'-ємних чисел (--а) * (--b) = ab; 2) означення добутку двох дробових чисел: ; 3) означення степеня з від'-ємним показником: а^-n =; 4) означення степеня з нульо-вим показником а⁰ = 1; 5) означення = 1 і т. д.

У старих підручниках ці означення фігурували як пра-вила, і тому окремі учні часто плутали їх з теоремами. На-приклад, окремі учні помилково вважали, що висловлення а⁰ = 1 -- це теорема, а не означення. Термін «умовні погодження» є невдалим, і це призводить, до того, що окремі учні помилково вважають, що в математиці можна довільно прийняти будь-які погодження. Слід їм пояснити, що доцільність вибору тих чи інших означень диктується потребами узагальнення і зумовлюється пев-ними математичними принципами, перевіреними практикою в широкому розумінні цього слова.

Важливо, щоб учні старших класів навчились самі роз-биратися в доцільності таких означень і вміли пояснювати, чому саме вибрані ті означення, а не інші.

При введенні такого означення, яке ще не використову-валося, не треба запитувати: «Чи вірне це означення?». Досить запитати, чи доцільно вибрано означення?

Означення через абстракцію. До цього виду означення звертаються тоді, коли означення через рід і вид важко здійснити.

Процес утворення поняття в цьому випадку спирається на абстракцію ототожнювання. Зіставляючи і порівнюючи між собою різні предмети, ми виділяємо їх спільні власти-вості, а серед них-- специфічні, відмінні властивості для даного кола предметів, утворюючи відповідні множини, кожний елемент яких розглядається під кутом зору цієї відмінної властивості.

Сукупність встановлених при цьому ознак ми об'єднує-мо загальною назвою, не вказуючи родового поняття (яке зовсім не існує або до моменту означення нового по-няття ще не створене). Таким способом утворюється нове поняття.

Візьмемо, наприклад, поняття «величина». В результаті спостережень і досвіду виявляються такі основні ознаки цього поняття:

які б не були а і b має місце одне і тільки одне з трьох співвідношень: або а = b, або a < b, або b < а;

якщо а < b і b < с, то а < с (транзитивність відно-шень «менше», «більше»);

для будь-яких двох величин а і b існує однозначно визначена величина с = а + b;

а + b = b + а (комутативність додавання);

а + (b + с)=(а+b)+с (асоціативність дода-вання);

а +b >а(монотонність додавання);

якщо а > b, то існує одна і тільки одна величина с, для якої b+с =а (можливість віднімання);

якими б не були величини а і натуральне число n, існує така величина В, що nb = а (можливість ділення);

якими б не були величини а і b, існує таке натураль-не число п, що а < nb. Ця властивість називається аксіо-мою Архімеда;

10)якщо послідовності величин а₁< а₂< ... < b₂< b₁
такі, що b_n - а_n< с для будь-якої величини с при досить
великому номері п, то існує єдина величина х, яка більша за
всі а_n і менша за всі b_n.

Стимулом для формування поняття «величина» є потреба взагалі порівнювати між собою різні предмети. Раніше (ще в дошкільному періоді) у дітей утворюються відносні по-няття «великий і маленький», «довгий і короткий» і т. д. і поступово виділяється те спільне, що лежить в основі поняття «величина», пізніше -- утворюється поняття «до-рівнює», яке спочатку виникає в негативній формі «не більше» і «не менше». Це пояснюється тим, що практично нерівність предметів встановити набагато легше, ніж рів-ність.

Означення через аксіоми. Цей вид озна-чення розкриває зміст поняття непрямим шляхом через систему аксіом, які описують відношення, що зв'язують це поняття з рештою понять даної системи.

За допомогою системи аксіом визначаються найбільш широкі родові поняття геометрії через основні поняття: «точку», «пряму», «площину», «відстань» «належить» та ін. Решта понять визначається за допомогою цих понять.

У алгебрі через систему аксіом визначаються такі ши-рокі поняття, як група, кільце, поле, тіло, структура і т. д.

Усвідомлення учнями аксіоматичних означень можливе лише в старших класах, коли вони матимуть певне уявлен-ня про дедуктивну побудову курсу математики.

1.10. Структура означення.

Визначення через найближчий рід і видову відмінність складається з двох частин: визначуваного поняття і визначального поняття.

Визначуване поняття -- поняття, істотні ознаки якого відшукуються, а визначаюче поняття -- поняття, що відображає родовою і видовою ознаки. Родове поняття -- більш загальне поняття, в об'єм якого входить визначуване поняття.

Так, визначення поняття «електродвигун» буде сформульовано таким чином: «Електродвигуном називається двигун (найближчий рід), що перетворює електричну енергію в механічну (видова відмінність)». Тут на першому місці -- визначуване поняття «електродвигун», а на другому -- що підпорядковує (родове) поняття «двигун», на третьому -- видова відмінність (перетворюючий електричну енергію в механічну). Схемно структуру даного визначення можна представити так: електродвигун -- двигун -- перетворюючий електричну енергію в механічну.

Визначення, в яких вказані всі необхідні ознаки, називаються повними визначеннями. Якщо у визначенні не вказані всі необхідні ознаки, воно називається неповним.

П р а в и л а в и з н а ч е н н я п о н я т ь. Логікою встановлений ряд вимог, яким повинні задовольняти визначення понять. Ці вимоги одержали в логіці назву правил визначення. Таких правил п'ять. Порушення одного з них приводить до помилок у визначенні і кінець кінцем до того, що зміст поняття і його об'єм виявляються невірно розкритими у визначенні. Розглянемо ці правила.

1. Визначення повинне бути відповідним, тобто об'єми визначуваного поняття і поняття, за допомогою якого визначається перше поняття, повинні бути однакові.

Приведене раніше визначення електродвигуна задовольняє цій вимозі. Приклад порушення даного правила -- наступні визначення: «літак є машина» і «двигун є машина». Ці визначення надмірно широкі: об'єм визначального поняття («машина») ширше за визначуване поняття. Машин існує багато -- це і двигуни, і генератори електричного струму, це і транспортні машини і т.д. Приведені приклади є прикладами надмірно широких визначень.

Інший приклад невідповідного визначення: «Динамометром називається прилад, головною частиною якого є проградуйована пружина». В цьому визначенні, навпаки, об'єм визначального поняття виявляється значно вужче визначуване (об'єм правої частини визначення виявляється вже об'єму лівої частини). Таке визначення дуже вузьке. Воно охоплює тільки пружинні динамометри. За межами визначення виявилися і гідравлічні динамометри і динамометри з тензометрическими датчиками.

Визначення буде вірним при умові, коли об'єм його лівої частини повністю співпадає з об'ємом правої частини. Цій вимозі задовольняє приведене визначення електродвигуна.

2. Родова ознака повинна указувати найближче вище поняття, не перескакуючи через нього.

Це правило забороняє брати при визначенні понять віддаленіший рід. Приклади порушення даного правила: «Парова турбіна є двигун, що перетворює енергію пари в механічну»; «Парта є меблі для сидіння учня». В першому визначенні замість найближчого роду «тепловий двигун» узятий віддалений рід «двигун». В другому визначенні замість найближчого родового поняття «класні меблі» узятий віддалений рід «меблі» (меблі взагалі).

3. Видовою відмінністю повинна бути ознака або група ознак, властивих тільки даному поняттю і відсутніх в інших поняттях, що відносяться до того ж роду.

Приклад порушення даного правила: «Пружинним динамометром називається прилад, що служить для вимірювання сили». Тут ознака -- прилад для вимірювання сили -- є загальним не тільки для пружинних динамометрів, але і для інших видів динамометрів, а треба вказати таку ознаку, яка властива тільки динамометрам даного вигляду.

4.Визначення не повинне бути тільки негативним. Негативне визначення не указує істотних ознак, значить, і не розкриває змісту поняття.

5.Всяке визначення повинне бути ясним.

Виконання вказаних правил має особливо важливе значення в учбовому процесі при формуванні понять у школярів. Дотримання вказаних правил визначення в підручниках і при поясненні матеріалу вчителем запобігає змішенню понять, сприяє освіті біля правильних понять, що вчаться, адекватно тих, що відображають явища і предмети реальної дійсності.

Тому знання правил визначення наукових понять необхідне кожному педагогу. На жаль, на практиці нерідко спостерігається порушення вказаних правил не тільки при поясненні матеріалу вчителями, але і в учбовій літературі. Визначення через найближчий рід і видову відмінність -- найпоширеніший прийом визначення, але не єдиний.

Генетичне визначення -- це таке визначення, коли указується на походження предмету, поняття якого визначається, на той спосіб, яким даний предмет створюється. Так визначається коло і ряд інших геометричних понять. Наприклад: «Коло є геометричне місце точок площини, рівновіддалених від однієї неї крапки (центру)».

У визначенні поняття, одержаному генетичним способом, також міститься вказівка на найближчий рід і чітко виражається видова відмінність від інших предметів даного роду, як і при першому способі визначення. У науці ми маємо справу в основному з першим способом визначення, тобто через найближчий рід і видову відмінність. Ці визначення ми і розглядатимемо надалі.

1.11. Основні вимоги до означень

Математичне означення -- це таке формулювання, яке цілком зводить нове поняття до вже відомих понять тієї ж математичної галузі. Наприклад, означення числової функ-ції однієї змінної як відображення підмножини D мно-жини R дійсних чисел на другу підмножину є науко-вим означенням, бо в ньому, крім первинного поняття «мно-жина», всі поняття, що входять, були до цього означені.

При побудові математичної науки намагаються, щоб кожне нове поняття, що вводиться, було строго означено. З самого початку в кожній математичній науці вводиться група з невеликого числа первинних понять, які не означаються. Між цими первинними поняттями встановлюються закономірні обов'язкові відношення, які описуються за допомогою системи аксіом. Як приклад, можна навести аксіоматику натуральних чисел Пеано, до якої входить три первинні поняття: (число, одиниця, наступне число) і чотири аксіоми:

1) одиниця є натуральне число;

2) за кож-ним натуральним числом є єдине наступне натуральне число;

3) одиниця не є наступною ні за яким натуральним числом;

4) аксіома математичної індукції.

Обов'язковою вимогою логічної побудови кожної мате-матичної дисципліни є зведення числа первинних понять і аксіом до мінімуму. Проте це питання не визначається однозначно. З формального боку воно може бути довільним і залежить від вибраної системи викладу. Поняття, які були визнані за первинні в одній системі викладу, можуть бути в іншій системі такими, що підлягають означенню.

До означення ставлять низку вимог. Найважливіші з них такі.

1. Відсутність хибного кола. Це означає, що означуване поняття не повинне явно чи неявно містить у тому понятті, за допомогою якого воно означається. Наприклад, інколи намагаються сформулювати означення наближеного числа так: число, яке неточно, тобто з похибкою, виражає значення величини або деякого числа, називають наближеним. За іншим означенням, похибка - це різниця точного і наближеного чисел. Інший приклад, взаємно перпендикулярні прямі означають як прямі, що утворюють прямий кут. Водночас прямий кут означається як такий, у якого сторони взаємно перпендикулярні.

2. Відсутність омоніма. Це означає, що кожний термін (символ) має вживатися не більше ніж один раз як такий, що відповідає означуваному поняттю. У разі порушення цієї вимоги той самий термін (символ) позначатиме різні поняття.

3. Означення не повинно містити означуваних понять, які ще не означались.

РОЗДІЛ ІІ. ОСНОВНІ ЕТАПИ РОЗКРИТТЯ ЗМІСТУ МАТЕМАТИЧНОГО ОБЄКТА (ФОРМУВАННЯ ОЗНАЧЕННЯ).

1. Логічний аналіз структури означення (виділення терміна, роду, видових відмінностей і логічний зв'язок властивостей).

Питання про поняття, об'єкти і їх визначення дуже складний за змістом і може розглядатися з різних точок зору: логічної, змістовної (наочної), пізнавальної (гносеологічної) і ін., і через це навіть в різних методичних допомогах даються різні його аспекти. Ми вважаємо, що як основа необхідно вибрати логічну структуру з урахуванням математичних трактувань. Враховуючи, що навчання можливе тільки в діяльності, необхідно розглядати дії, адекватні видам визначень понять і об'єктів. Тому в зміст роботи входитиме актуалізація і систематизація знань по значенню операції «визначення понять», структурі визначень і їх видів.

Приклад1. Актуалізуйте і систематизуйте знання за поняттями і їх визначеннями, відповівши на наступні питання:

Основним підсумком роботи будуть наступні факти:

Поняття -- це форма мислення про цілісну сукупність істотних і неістотних властивостей об'єктів реального миру, зокрема і математичних об'єктів. Для формування математичних понять необхідне розуміння математичного об'єкту, який в понятті характеризується завдяки вживанню певних розумових дій.

Коли ведеться мова про математичний об'єкт, наприклад про ромб або квадратне рівняння і т. п., то мається на увазі конкретний емпіричний (реальний) об'єкт, представлений у вигляді малюнка, моделі або аналітичного запису, і одночасно теоретичний (ідеальний) об'єкт, що володіє всіма істотними властивостями. В прикладі з ромбом це не тільки намальований ромб, але і всі об'єкти, які суть геометричні фігури з чотирма сторонами, протилежні з яких паралелі, всі сторони рівні, діагоналі перпендикулярні і т.п.

Сформувати поняття про об'єкт -- це значить розкрити всі істотні властивості об'єкту в їх цілісній сукупності. Діяльність учня (суб'єкта) при цьому направлена на вивчення математичного об'єкту, а продуктом цієї діяльності буде правильне поняття.

Однією з дій вивчення математичного об'єкту для отримання поняття про нього є дія визначення.

Визначити об'єкт -- це значить вибрати з його істотних властивостей такі і стільки, щоб кожне з них було необхідне, а всі разом достатні для відмінності об'єкту, що вивчається, від інших.

Виконується дія визначення різними шляхами (за допомогою різних розумових і наочних операцій), і результат його виконання фіксується в різного вигляду визначеннях.

Логічна структура дії визначення математичних об'єктів, взагалі кажучи, єдина.

Єство дії визначення математичних об'єктів. Для розуміння єства дії визначення математичних об'єктів необхідне розуміння структури аксіоматично побудованої теорії. Якщо учбовий предмет будується аксіоматично (або близько до аксіоматичного методу), то вибираються основні об'єкти (фігури) і їх істотні властивості або зв'язки між ними розкриваються в системі аксіом. Так, в підручнику А. В. Погорєлова основні фігури в планіметрії «крапка» і «пряма» і відносини між ними «належати» і «лежати між» розкриваються за допомогою чотирьох аксіом.

Потім на основі побічно охарактеризованих властивостей основних об'єктів (фігур) предмету і відносин визначаються подальші об'єкти (фігури) предмету.

Наприклад, промінь вже можна визначити через введення фігур «пряма» і «крапка» і відношення «лежати по різні сторони» як еквівалентне відношення «лежати між» і загальні гносеологічні поняття «частини» і «множина».

Для конструювання визначення фігури «промінь» на прямій вибирається її частина. Частина ця складається з таких крапок, які лежать по одну сторону від фіксованої крапки на прямій, яку називають початком променя. Оскільки промінь -- частина прямої, то більш широким поняттям для нього буде пряма; значить, пряма -- родове поняття, причому найближче. Видові відмінності: частина прямої; крапка, що обмежує цю частину з одного боку.

Розглянемо ще приклад. Кут -- це фігура, яка складається з двох різного проміння з обший початковою крапкою. Родовим найближчим об'єктом буде фігура; видові відмінності: два промені і загальний початок біля цього проміння.

Операції, що розкривають дію визначення об'єктів, будуть наступні: вибирається найближчий родовий об'єкт (фігура), потім на цей об'єкт накладаються як би обмеження, видові характеристики (відмінності). На основі видових характеристик більше властивостей. Ось цьому об'єкту з великим числом . властивостей і меншим об'ємом привласнюється нова назва (термін). Так, зі всієї рівності рівнянням назвемо тільки таку рівність, в записі якої є змінні (букви). Зі всіх рівнянь квадратними назвемо такі, які мають вигляд ах²+bx+с = 0, де х -- змінна; а, b і с -- деякі числа, причому а?0. Зі всіх прямокутників квадратом назвемо такі прямокутники, біля яких суміжні сторони рівні, і т.п.

При виділенні видів визначень математичних об'єктів часто ось ця загальна дія -- визначення об'єктів -- називають конкретним видом «визначення через найближчий рід і видові відмінності». Нам представляється більш правомірним вести мову про специфіку дій по виділенню видових відмінностей і залежно від цього розрізняють означення і називати їх визначеннями об'єктів конкретного вигляду.

Відповідно до цього можна назвати наступні види визначень математичних об'єктів залежно від специфіки дій, за допомогою яких виділяють родові об'єкти і видові відмінності. Інакше можна ще сказати, що визначення через найближчий рід і видові відмінності мають наступну конкретизацію:

1) визначення об'єктів шляхом вказівки їх характеристичної властивості;

2) негативні визначення. І окремо слід назвати неявні визначення основних (початкових) об'єктів (фігур) предмету через систему аксіом;

3) конструктивні і рекурсивні визначення.

Визначення математичних об'єктів шляхом опису характеристичної властивості. Цей вид визначень побудований на логічних діях і операціях встановлення найближчого роду, видових відмінностей і логічної природи зв'язку між родом і видовими відмінностями. Залежно від логічної природи зв'язку властивостей в шкільному курсі математики розрізняють коньюнктивні і диз'юнктивні визначення.

Розглянемо, наприклад, визначення паралелограма.

Паралелограмом називається чотирикутник, біля якого протилежні сторони паралелі.

Термін -- паралелограм.

Рід -- чотирикутник.

Видові відмінності: 1) одна пара протилежних сторін паралель;

2) інша пара протилежних сторін паралель.

Всі властивості у визначенні сполучені союзом «и»; значить, маємо конъюнктивне визначення.

Інший приклад -- визначення неправильного дробу.

Дріб, в якому чисельник більше знаменника або рівний йому, називається неправильним дробом.

Термін -- неправильний дріб.

Рід -- дріб.

Видові відмінності: 1) чисельник більше знаменника; 2) чисельник рівний знаменнику.

Видові відмінності сполучені союзом «або». Визначення диз'юнктивне.

Конструктивні і рекурсивні визначення. Властивості об'єкту в такому визначенні розкриваються шляхом показу операцій його конструювання, тобто його видові відмінності задані у вигляді дій.

Приклад 1. Поворотом біля даної крапки називається такий рух, при якому кожний промінь, витікаючий з цієї крапки, повертається на один і той же кут в одному напрямку.

Термін -- поворот.

Рід -- рух.

Видові відмінності: 1) кожний промінь, витікаючий з крапки, повернути в одному і тому ж напрямі; 2) кожний промінь повернути на один і той же кут.

Конструктивні дії можуть задаватися різно.

Так, в рекурсивних визначеннях указуються деякі базисні об'єкти деякого класу і правила, що дозволяють одержати нові об'єкти цього ж класу.

Дії отримання подальшого члена, якщо відомий попередній, вказані у видових відмінностях.

Негативні визначення. Негативні визначення не задають властивості об'єкту. Вони виконують як би класифікаційну функцію. Якщо клас об'єктів розбитий на групи (множини) і об'єктам однієї групи, що володіють певними властивостями, привласнений термін і є об'єкти, які належать цьому класу, але на наголошених властивостях (всіма або частиною) не володіють, те такий об'єктам дається негативне означення.

Приклад. Прямі, що схрещуються, -- це такі прямі, які не належать площині і не перетинаються.

Термін -- прямі, що схрещуються.

Рід -- прямі.

Видові відмінності: 1) не належать одній площині; 2) не перетинаються.

Таким чином, логічна дія -- визначення об'єкту -- скрізь однаково, не змістовні (математичні) дії в кожному з на наголошених видах визначень різні. В одних видові відмінності перераховуються як описові характеристики (бути паралельними, бути більше і т. п.); в інших указуються дії, які треба провести, щоб одержати (сконструювати) об'єкт; в третіх перераховуються властивості, які заперечуються.

Таким чином, головне в типології шкільних визначень по видах -- це розуміння специфіки дій, що розкривають (характеризуючи) видові відмінності.

Основною учбовою задачею при навчанні визначенням математичних об'єктів буде формування логічної дії по розкриттю структури визначення математичних об'єктів і дій, адекватних конкретному виду визначень.

Дії, за допомогою яких розв'язуватиметься основна учбова задача, наступні:

логічний аналіз структури визначень різного вигляду (виділення логічної і змістовної функцій кожного слова у визначенні об'єкту, відшукання зайвих слів у визначеннях і ін.);

підведення конкретного математичного об'єкту під визначення;

приведення конкретного прикладу, об'єкту, що ілюструє приналежність його даному визначенню;

заміна визначення об'єкту еквівалентним визначенням цього об'єкту. Іноді цю дію називають переформулювання визначення. Порівняння різних визначень одного і того ж об'єкту;

отримання слідств з факту, що об'єкт належить до класу об'єктів, охарактеризованих визначенням;

знаходження логічних і змістовних помилок в приведених визначеннях.

При з'єднанні видових відмінностей коньюктивно для приналежності конкретного об'єкту до класу певних об'єктів необхідне дотримання (наявність біля прикладу) всіх властивостей одночасно.

Для приналежності конкретного об'єкту до класу, заданого у визначенні, коли видові відмінності сполучені диз'юнктивний, необхідне дотримання (наявність) родової властивості і хоча б однієї з видових відмінностей.

2.2. Виконання дії підведення під поняття.

Умін-ня застосовувати поняття є показником його засвоєння. На думку Н.О.Менчинської, якщо учень справді засвоїв поняття, то він уміє його і застосовувати.

Одним із провідних принципів педагогічної психології є принцип єдності знань і дій. Проте існують два роди знань: знання про пред-мети і явища навколишнього світу (а отже, і про поняття) і знання про дії, які з ними потрібно виконувати. Недоліком традиційного і сучасного навчання математики є недостатня увага до знань другого роду.

Часто учні, які добре знають означення математичних понять, не вміють застосовувати їх до доведення теорем і розв'язування за-дач, зокрема прикладних. Тому дії, адекватні знанням, зокрема по-няттям, мають стати не тільки засобом, а й предметом засвоєння.

З погляду застосування понять важливу роль відіграють такі розумо-ві дії, як «підведення до поняття» («дія розпізнавання») та обернена їй дія -- відшукання наслідків. Остання означає, що від факту належності об'єкта до поняття приходять до системи властивостей, які має цей об'єкт. Потрібна спеціальна система вправ на підведення об'єктів до по-няття. Для встановлення факту належності об'єкта до певного поняття потрібно перевірити наявність у об'єкта сукупності необхідних і достат-ніх властивостей. Якщо виявиться, що об'єкт не має хоча б однієї з іс-тотних властивостей, роблять висновок, що до даного поняття він не на-лежить. При цьому можна використовувати не тільки означення, а й теореми, що виражають властивості понять, які еквівалентні означенням у тому розумінні, що властивості понять, які стверджуються в них, мо-жуть бути покладені в основу означень.

Наприклад, для встановленні належності чотирикутника до паралелограмів можна скористатися озна-ченням паралелограма і теоремою про його ознаку. Разом вони є еквіва-лентними системами необхідних і достатніх властивостей.

Перелік операцій, що входять до складу дії підведення до поняття у випадку, коли істотні властивості пов'язані сполучником «і» чи сполучником «або», можна задати у вигляді такого навчального алго-ритму. Щоб визначити, чи належить х до поняття у, потрібно:

1) виокремити властивості у;

2) з'ясувати, якими сполучниками пов'язані ці властивості;

3) якщо: а) сполучником «і», то перевірити, чи має х всі властивості у. Якщо так, то х належить до поняття у; якщо ні, то х не належить до поняття у; б) сполучником «або», то перевірити, чи має х хоча б одну властивість у. Якщо так, то х належить до поняття у; якщо ні, то х не належить до поняття у.

Якщо означення поняття має змішану структуру, тобто містить сполуч-ник «і» та сполучник «або», то в алгоритмі потрібні додаткові вказівки.

Наведемо приклад. У курсі геометрії 7 класу учні ознайомлюються з означенням медіани трикутника. Доцільно ще на етапі введення озна-чення чітко виділити дві істотні властивості, які воно містить і які лише разом утворююгь необхідну і достатню властивість належності об'єкта до поняття «медіана»: 1) медіана -- це відрізок; 2) цей відрізок з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Щоб встановити, чи є АВ медіаною трикутника АВС, потрібно: 1) пригадати означення медіани; 2) переконатися, що істотні власти-вості в ньому пов'язані сполучником «і»; 3) перевірити, чи має АО обидві властивості медіани.

2.3. Виконання дії виведення наслідків

Перелік операцій, що є складовими дії «відшукання наслідків», можна задати у вигляді такого навчального алгоритму: 1) назвати всі істотні властивості, які входять в означення поняття; 2) назвати інші істотні властивості, які вивчалися.

Наприклад, результати відшукання наслідків з поняття «рівнобедрений трикутник» можна сформулювати так. Якщо трикутник рівнобедрений, то: 1) дві сторони його рівні; 2) кути при основі рівні; 3) бісектриса кута при вершині є медіаною, проведеною до основи; 4) бісектриса кута при вершині є висотою, проведеною до основи; 5) пряма, що містить згадану бісектрису кута при вершині, є віссю симетрії цього трикутника.

З метою забезпечення передумов для формування умінь застосовувати поняття та їхні властивості до розв'язування задач і доведення теорем, доцільно після вивчення кожного з основних понять і відношень звести разом їхні істотні властивості, що містяться в означеннях і теоремах.

До таких понять слід віднести насамперед основні геометричні фі-гури та їхні властивості, відношення рівності, паралельності, перпен-дикулярності, основні види рівнянь, нерівностей, функцій. У міру вивчення курсу виникають нові можливості щодо доведення відно-шень рівності, паралельності й перпендикулярності відрізків, подіб-ності фігур. Тому важливо сформулювати правила-орієнтири для до-ведення цих відношень.

Наприклад, щоб довести рівність двох відріз-ків, можна включити їх у трикутники і довести рівність цих трикут-ників або скористатися властивістю одного з рухів, або застосувати вектори, або довести, що ці відрізки є бічними сторонами рівнобедреного трикутника чи протилежними сторонами паралелограма (прямо-кутника, квадрата, ромба).

Основою застосування понять до розв'язування складніших задач і доведення теорем є прийом розумової діяльності, який дістав назву «ана-ліз через синтез», або переосмислення елементів задачі з погляду різних понять. У процесі застосування понять в учнів формується така важлива розу-мова дія, як конкретизація, оскільки використання знань у практичних ситуаціях пов'язане з переходом від абстрактного до конкретного. Дослі-дження педагогічної психології показують, що перехід від оперування абс-трактними поняттями до конкретної практичної ситуації досить складний для школярів.

З цього приводу Л. С. Виготський писав, що шлях від абс-трактного до конкретного виявляється тут не менш важким, ніж шлях сходження від конкретного до абстрактного. Багатьом учням складно одночасно виокремлювати абстрактні спів-відношення в конкретних даних і абстрагуватися від наочного сприй-мання об'єктів. Для запобігання таким труднощам потрібно викорис-товувати конкретні практичні ситуації ще в період формування абст-рактних понять -- розв'язувати задачі практичного змісту. Особливо корисними є практичні роботи на місцевості, екскурсії на сільського-сподарські та промислові підприємства.

2.4. Абстрактно-дедуктивний та конкретно-індуктивний методи навчання

Відомі конкретно-індуктивний і абстрактно-дедуктив-ний підходи до формування понять та їх означень. При першому з них учні спочатку спостерігають і аналізують кон-кретні об'єкти (числа, фігури, задачі та ін.), потім відокрем-люють і перераховують їх істотні ознаки і, нарешті, синтезують поняття та формулюють його означення. Так, при формуванні понять «прості» і «складені» числа можна запро-понувати учням розглянути такі множини чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, ... 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24,

Учні визначають дільники чисел спочатку в першій мно-жині, а потім у другій; виявляють спільні і відмінні влас-тивості чисел обох рядів і означають поняття «просте число» і «складене число». При цьому слід звернути увагу на ті істотні ознаки, які узагальнюються і синтезуються в по-нятті.

Ці методи набули неабиякого поширення у навчанні математики. Вперше їх докладно проаналізував К.Ф.Лебединцев.

Суть абстрактно-дедуктивного методу навчання полягає в тому, що під час вивчення нового матеріалу вчитель відразу сам наводить означення понять, що вводяться, а потім наводить конкретні приклади об'єктів, що належать до цих понять. Формулюється й доводиться теорема, і лише після цього розглядаються конкретні приклади застосування нового теоретичного матеріалу.

Конкретно-індуктивний метод навчання протилежний абстрактно-дедуктивному. За цього методу пояснення нового матеріалу починається з розгляду прикладів. Використовуючи приклади, учні мають можливість виявити істотні властивості поняття, що вводиться. Це допомагає самостійно чи за допомогою вчителя сформулювати означення поняття. Рисунок до теореми дає змогу учням виявити властивості зображеної фігури і самостійно чи за допомогою вчителя сформулювати теорему.

Наприклад, у 9 класі запроваджується поняття кута, вписаного в коло. За абстрактно-дедуктивного методу навчання вчитель відразу розпочинає з формулювання означення вписаного в коло кута й ілюструє його конкретними прикладами.

Означення. Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним у коло (мал.1). Кут ВАС на малюнку вписано в коло. Його вершина А лежить на колі, а сторони перетинають коло в точках В і С.

За конкретно-індуктивного методу навчання вчитель пропонує учням рисунок на дошці (Мал.2), на якому зображено кілька різних кутів, пов'язаних з колом. Вписані кути на малюнку зображено одним кольором (тут - потовщеними лініями). Учням пропонується порівняти кути, виділені кольором, і назвати їхні істотні спільні властивості. Учні помічають, що вершини кутів лежать на колі, а сторони перетинають це коло. Вчитель пропонує учням сформулювати означення; звертає увагу на неістотні властивості вписаних кутів (величина, розміщення центра кола відносно сторін).

ВИСНОВКИ

Під час написання дипломної роботи було реалізовано та повністю виконано мету та завдання поставлені на початку дослідження даної проблеми.

В результаті аналізу психолого - педагогічної, методичної, математичної літератури з проблеми дослідження виявлено вікові особливості психологічного розвитку учнів основної школи, специфіку їх розумової, інтелектуальної діяльності, пам'яті, уваги, притаманну даному віковому періоду.

Визначаючи поняття як одну з основних форм мислення, підкреслюють його роль та значення у пізнанні. Саме мислення можна тоді розглядати як оперування поняттями, оскільки перехід від чуттєвих ступенів пізнання до абстрактного мислення характеризується як перехід від відображення його в поняттях і на їх основі, - в судженнях і інших логічних категоріях. Поняття виникають на основі суспільної практики і є продуктом багаторічного історичного розвитку пізнавальної діяльності людини.

Виявлені психолого-дидактичні закономірності формування математичних понять:

1. Засвоєння математичних понять відбувається у процесі аналітико - синтетичної діяльності учнів, спрямованої на виявлення істотних загальних властивостей певного поняття;

2. Усвідомлення неістотних властивостей поняття;

3. Застосування нового поняття до розв'язування задач

В сучасних умовах дало змогу проаналізувати діяльність учнів в процесі викладання математики в основній школі та виявлені помилки, які допускаються при формуванні математичних понять.

До пізнавальної діяльності учнів щодо засвоєння математичних понять належать як загальні (аналіз синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), так і специфічні розумові дії (підведення до поняття і обернена їй дія - виведення наслідків).

З розвитком науки математичні поняття формуються не лише на базі сприймань і уявлень (як початкові понят-тя), а на базі вже раніше встановлених понять.

До пізнавальної діяльності учнів щодо засвоєння математичних понять належать як загальні (аналіз синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), так і специфічні розумові дії (підведення до поняття і обернена їй дія - виведення наслідків).

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

Державна національна програма «Освіта» («Україна XXI століття»): Затв. Постановою Кабінету Міністрів України від 03.11.93 № 896. -- К.: Радуга, 1994. - 61 с.

Авдеева Н. Н. О статистическом образовании в школе // Математика в шк. -- 1973. - № 3. - С. 4-8.

Лвраменко М. І. Таблиці з геометрії для 7 класу. -- К.: Рад. шк., 1988.

Айзенштат Я. Й., Білоцерківська Б. Г. Розв'язування задач з математики в середній школі. -- К.: Рад. шк., 1957. -- 320 с

Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей. -- М.: Высш. шк., 1986.

Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред. шк. / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нсш-ков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. -- 3-е изд. -- М.: Просвеще-ние, 1993. - 240 с.

Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк. / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нсш-ков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. -- 2-е изд. -- М.: Просвеще-ние, 1991. - 238 с.

Алгебра і початки аналізу. Підруч. для 10 -- 11 кл. серед, шк. / А. М. Колмого-ров, О. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін.; За ред. А. М. Колмогорова. -- К.: Освіта, 1992. - 350 с.

Алексюк А. М. Загальні методи навчання в школі. -- 2-ге вид., персробл. і допов. -- К.: Рад. шк., 1981. -- 206 с.

Аллан Р., Вилльямс М. Математика на 5. Пособие для 1 --3 кл. начальной шк.: Пер. с англ. - М.: АСТ-Прссс, 1996. - 384 с.

Анастази А. Психологическое тестирование: Пер. с англ. / Под ред. К. М. Гу-ревича. - М., 1982. - Кн. 1. - 320 с.

Андерсон Дж. Думай, пытайся, развивайся: Пер. с англ. -- СПб.: Азбука, 1996. -- 92 с.

Апостолова Г. В. Планиметрия в опорных схемах. -- К.: ФАКС, 2002. -- 64 с.

Апостолова Г. В. Стереометрія в опорних схемах: Посіб. для 10 -- 11 кл. -- К.: Оракт, 1999. - 68 с.

Апостолова Г. В. Хитроумний модуль: Посіб. для 6 -- 11 кл. -- К.: Поліграф-сервіс, 2001. -- 252 с.

Аташе Г. А. Дсятельностный подход в обучении. -- Донецк: ЕЛИ-Пресс, 2001. - 160 с.

Ашкинузе В. Г., Шоластер Н. Н. Алгебра и элементарные функции. -- М.: Просвещение, 1964. -- 543 с.

Бабансъкий Ю. К. Методы обучения в современной общеобразовательной шко-ле. -- М.: Просвещение, 1985. -- 208 с.

Бабанский Ю. К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса. -- М.: Педагогика, 1982. -- 192 с.

БалкМ. Б., БалкГ. Д. Математика после уроков. -- М.: Просвещение, 1971. -- 254 с.

Балк М. Б., Балк Г. Д. Поиск решения. -- М.: Дет. лит., 1983.-143 с.