Теория и методика обучения школьников векторному методу (стереометрия)

«Эффективность обучения находится в прямой зависимости от уровня активности ученика в познавательной деятельности, степени его самостоятельности в этом процессе, что, в свою очередь определяется познавательными интересами школьников (Ю.К. Бабанский, М.А. Данилов, А.В. Усова, Г.И. Щукина и др.)» [25,c.11]. Источником их развития теория познания считает противоречия в самом процессе познания человеком действительности, фиксируемые посредством категории проблемы. Поэтому развитие творческих мыслительных способностей и познавательной самостоятельности учащихся невозможно вне проблемных ситуаций. Необходимо внедрение проблемно-развивающего обучения. Задачи при таком обучении служат основным средством активизации знаний и способов действий. Они используются для раскрытия содержания понятий, теорем, способов умственной деятельности ученика, а также для формирования умений и навыков. В решение таких задач важно включать этапы анализа задачи и обсуждения решения.

В процессе анализа задачи должны устанавливаться предметная область задачи, все ее элементы, характер каждого элемента (постоянный или переменный, известный или неизвестный и т.д.). Также необходимо вычленение из задачи всех отношений, которыми связаны элементы предметной области. Это позволит выбрать правильный подход к решению задачи.

В процессе анализа проделанного решения выявляются преимущества и недостатки решения, проводятся поиски лучшего решения, устанавливаются и закрепляются в памяти учащихся те приемы, которые были использованы в данном решении, выделяются условия возможности применения этих приемов. Все это будет в наилучшей степени способствовать превращению решения задач в могучее обучающее средство.

Рассмотрев роль и место задач в обучении математике, осталось определить функции математических задач.

В настоящее время решение математических задач используется для разных функций.

Л.М. Фридман под функцией решения задачи понимает «проектируемые учителем изменения в деятельности и психике учащихся, которые должны произойти в результате решения ими этих задач» [30, с.151].

Одной из основных функций в обучении математике он считает функцию формирования и развития у учащихся общих умений решений любых математических (в том числе и прикладных) задач.

Общее умение по решению задач следует отличать от частных умений решения задач определенного вида. Частные умения формируются на основе усвоения учащимися теоретических знаний, пользуясь которыми учащиеся производят операции и действия, входящие целостным элементом в формируемое умение.

Общее же умение решения математических задач пока формируется совсем иначе: часто стихийно, а не в результате целенаправленного систематического обучения. Считается, что эти умения могут возникнуть лишь благодаря решению большого количества математических задач. А в результате, большинство учащихся, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, не знают, с чего начать решение.

Формирование общих умений решения математических задач осуществляется таким образом, что учащиеся не получают никаких особых знаний, лежащих в основе этих умений. Поэтому представления учащихся о задачах, их элементах и структуре, о сущности и механизмах их решения является весьма смутными, а зачастую просто неверными. Притом эти представления по мере перехода в старшие классы отнюдь не улучшаются, т.к. они формируются часто стихийно, в результате случайной информации и редкой рефлексии на свои действия в процессе решения многочисленных задач.

Это происходит потому, что действующие программы по математике не предусматривают изучения каких-либо теоретических основ о задачах и их решении. В то же время, теоретические знания о задачах и их решении нужны учащимся для того, чтобы они могли производить решение разнообразных задач сознательно и целенаправленно, а не только лишь на основе подражания по аналогии с ранее решенными задачами.

«Общие знания о задачах и механизмах их решения нужны для того, чтобы решение задач принимало наиболее познавательный эффект, чтобы процесс их решения превратился в подлинный метод обучения учащихся определенным знаниям и навыкам» [30, c.154].

В отличие от Л.М. Фридмана Ю.М. Колягин к главным функциям задач относит воспитывающую и развивающую функции. К числу важнейших воспитывающих функций задач он относит «формирование у школьников диалектико-материалистического мировоззрения, познавательного интереса и творческих задатков, воспитание чувства патриотизма, эстетическое воспитание и т.д.» [24, с.11].

В частности, автор поясняет, что в процессе применения математики к решению любой практической задачи, можно показать школьникам, что математика, отражая явления реальной действительности, является мощным средством ее познания. Предложение учащимся задачи с избыточной или неполной информацией воспитывает у них готовность к практической деятельности. Рассмотрение изящного решения той или иной математической задачи способствует эстетическому воспитанию школьников.

Применение в обучении математике задач с воспитывающими функциями способствует, по мнению Ю.М. Колягина, формированию у школьников интереса к решению задач, что в свою очередь является эффективным средством приобщения школьников к учебной математической деятельности творческого характера.

Как же должен строиться процесс обучения решению задач?

В методической литературе встречаются разделения задач по различным основаниям.

Л.М. Фридман предлагает разделить все задачи на два вида:

1) задачи на усвоение учебного материала (учебные задания);

2) задачи на применение изученного учебного материала.

Задачи первого типа следует решать непосредственно в процессе изучения учебного материала, и при этом все ученики решают одни и те же задачи. Число таких задач невелико. Задачи же второго типа даются учащимся спустя некоторое время. При этом выдается список всех рекомендуемых задач, которые они могут решать.

Автор считает, что такая организация решения задач в процессе обучения математике позволяет, кроме всего прочего, решить проблему длительного и многократного повторения и закрепления изученного учебного материала и методов решения задач.

К.И. Нешков и А.Д. Семушин выделяют следующие типы задач:

ь Задачи с дидактическими функциями;

ь Задачи с познавательными функциями;

ь Задачи с развивающими функциями.

Первые, по их мнению, предназначены для облегчения усвоения уже изученных теоретических сведений. В процессе решения задач с познавательными функциями, углубляются знания учащихся по отдельным разделам математики, школьники знакомятся с важнейшими теоретическими сведениями, методами решения задач. Задачи с развивающими функциями - это задачи, содержание которых расширяет основной курс математики, способствует повышению уровня сложности нескольких изученных ранее вопросов.

Опыт показывает, что наиболее приемлемым является выделение следующих видов задач:

- По характеру требования - на вычисление или нахождение; на доказательство или объяснение; на построение или преобразование;

- По отношению к способам решения - стандартные и нестандартные;

- По характеру объектов - математические и реальные (или с практически содержанием).

Очевидно, что отнесение задачи к группе задач с той или иной функцией не является классификацией, поскольку одна и та же задача для различных субъектов и в разных ситуациях может нести разные функции. Однако выделение функций задач имеет смысл, т.к. учитывая цели обучения, важно, чтобы в системе задач по конкретной теме присутствовали задачи с каждой из названных функций.

Итак, характерная для настоящего времени тенденция к повышению роли проблемного обучения свидетельствует о том, что решение задач правомерно занимает все более ведущее место в обучении математике, нередко определяя его формы и методы, в которых основной акцент ставится на самостоятельное и творческое усвоение школьниками учебного материала, на формирование их математического развития, целостного развития личности и развития всех психических процессов (воли, эмоций, памяти, воображения, представлений и т.д.).

При обучении учащихся решению задач необходимо изучать с ними сами задачи, их структуру и особенности, характер используемых общих методов решения, их структуру деятельности по решению задач.

При этом главными объектами усвоения следует считать общие схемы деятельности по решению задач, общие методы и способы моделирования задач. Решение же отдельных задач должно быть лишь средством для такого обучения.

При обучении учащихся общим методам решения задач необходимо выделять действия, составляющие суть этого метода. Подготовительная работа перед решением определенного класса задач каким-либо методом должна быть направлена на овладение учащимися этими действиями. Причем этот процесс должен приобрести целенаправленный и управляемый характер.

В связи с вышеизложенным перед нами встает ряд проблем. Какие действия составляют суть векторного метода? Как строить процесс обучения этим действиям? Какую методику следует избрать при обучении учащихся собственно векторному методу решения геометрических задач? Для ответа на поставленные вопросы необходимо проанализировать методическую литературу по теме «Обучение школьников векторному методу решения геометрических задач».

1.4 Методика обучения векторному методу решения аффинных задач в геометрии

Проблемой методики обучения учащихся векторному методу занимались многие ученые-методисты: В.А. Гусев, Г.Л. Луканин, Г.И Саранцев, З.А. Скопец, Т.А. Иванова и другие.

Авторы учебного пособия [13] предлагают рассматривать вектор как параллельный перенос плоскости (пространства). Однако при доказательстве теорем и решении задач с помощью векторов используют определение вектора как направленного отрезка.

При обучении учащихся векторному методу В.А. Гусев, Ю.М. Колягин и Г.Л. Луканин дают следующие методические рекомендации [13, c.43]:

1) необходимо заинтересовать учащихся, показав им эффективность использования векторного метода на специально подобранных задачах;

2)следует обучить учащихся некоторым эвристикам (системе определенных правил, помогающих найти ключ к решению задачи), которые помогут создать у них навык в его применении;

В частности, при обучении решению аффинных задач авторы указывают на возможность формулирования следующих эвристик:

Что требуется доказать (на геометрическом языке)	Что достаточно доказать (на векторном языке)
аb	, [AB] a, [CD] b, k- число
Аа, Ва, Са (три точки принадлежат одной прямой)	А) установить справедливость одного из следующих равенств , или , или ; Б) доказать равенство , где p+q=1, Q-произвольная точка; В) доказать равенство, где , Q-произвольная точка
С[АВ], АВ: СВ=m:n (деление отрезка в данном отношении)	А) Б) , где Q-произвольная точка

3) обучать векторному методу стоит на достаточно простых по геометрическому содержанию задачах, чтобы не отвлекать внимание учащихся на трудности чисто геометрического содержания;

4) следует указать учащимся, что векторный метод не является универсальным, к решению некоторых задач он может быть неприменим или малоэффективен.

З.А. Скопец в статье [26] кроме аффинных задач без векторных данных (содержательных геометрических задач) рассматривает также еще два вида задач:

1) задачи на доказательство и вычисление, для решения которых требуется рассматривать векторно-параметрическое задание прямой и плоскости;

2) Задачи, в содержание которых уже включены векторы.

Автор обращает большое внимание на решение задач различными методами (векторным и конструктивным), подчеркивая важность их сопоставления для развития математического мышления учащихся.

Более подробные методические рекомендации по обучению школьников векторному методу решения геометрических задач, в частности при изучении темы «Векторы в пространстве», дает Т.А. Иванова в учебных пособиях [6, 7].

Автор условно делит материал главы IV учебника [9] «Векторы в пространстве» на три самостоятельных блока:

1. Понятие вектора в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

2. Компланарные векторы. Разложение вектора по трем некомпланарны векторам.

3. Применение векторов к решению геометрических задач.

Материал первого блока представляет собой систематизацию и обобщение на пространство известных учащимися операций над векторами. Поэтому при его рассмотрении необходимо усилить долю самостоятельной работы учащихся.

Материал второго блока является новым для десятиклассников и очень важным. Поэтому наиболее целесообразной формой изучения теории представляется школьная лекция.

Знакомству учащихся с новым для них методом решения геометрических задач также следует посвятить лекцию, на которой учитель раскрывает сущность векторного метода.

Т.А. Иванова в пособии [6] приводит следующие методические рекомендации к построению отдельных уроков темы.

Как уже отмечалось, на первых уроках изучения векторов в пространстве с учащимися необходимо повторить соответствующий материал планиметрии. Это можно сделать следующим образом:

1) Решением упражнений на повторение (как устно, так и письменно, в алгебраической форме и геометрически);

2) Заслушиванием докладов учащихся (необходимые записи при этом производить в левой половине доски и листа тетради);

3) Записью основных формул векторов на плоскости.

После повторения учитель сообщает, что аналогично можно ввести (доказать) то или иное понятие (теорему) для пространства. Необходимые записи проводятся в правой половине доски и листа тетради.

При этом, в зависимости от уровня знаний учащихся, форма изложения нового материала может быть различной. Если класс средний, то возможна обобщающая лекция с элементами эвристической беседы. Ее план:

1. Понятие вектора в пространстве. Модуль вектора. Коллинеарные векторы. Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Равные векторы.

2. Сложение и вычитание векторов.

3. Умножение вектора на число.

Полученные основные результаты для пространства заносятся в таблицу:

Таблица 1

	Векторы на плоскости и в пространстве
1.определение
2. Длина	Длина отрезка АВ
3. Коллинеарные векторы
4.Равные векторы	(=) 1) , 2)АВ=CD
5 Сложение векторов
6. Вычитание векторов	Теорема:
7. умножение вектора на число	, 1) и коллинеарные, 2)=k
8. Критерий коллинеарности ненулевых векторов	и коллинеарны, =k

Дома учащиеся, пользуясь учебником, более детально изучают каждый вопрос, заучивают определения, разбирают доказательства теорем. К каждому пункту лекции решают задачи из учебника.

В подготовленном классе можно предложить учащимся самостоятельно найти ответы на выделенные выше вопросы. Для этого класс можно разбить на три группы, каждая из которых готовит ответ на один вопрос и решает соответствующие задачи. В классе заслушиваются эти ответы, после чего учитель подводит итоги урока и, в частности, с помощью таблицы 1 систематизирует весь рассмотренный материал.

Приступая к построению уроков-практикумов, важно помнить, что «основная дидактическая цель каждого урока по решению задач по материалам первых двух блоков состоит в формировании умений и навыков, необходимых для решения содержательных геометрических задач векторным методом» [6, с.16]. Охарактеризуем кратко эти умения.

К таким умениям, в первую очередь, относится владение векторными формулами и законами векторной алгебры. Это умение достигается в процессе решения простейших дидактических упражнений. Поскольку при решении геометрических задач средствами векторов необходимы умения в преобразовании векторных выражений, то при получении основных векторных выражений, то при получении основных векторных формул следует приучать учащихся пользоваться ими в “обе стороны”.

В то же время полезно предложить учащимся составлять на отдельном листе таблицу основных векторных формул (таблица 2). Ее можно начать составлять уже в 8 классе.

Таблица 2

	Основные формулы векторной алгебры
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Следующим необходимым условием подготовки учащихся к решению задач с помощью векторов является умение переводить геометрическое свойство на векторный язык и обратно. Начинать вырабатывать его следует с самых первых уроков изучения темы. Так, решая первые дидактические упражнения, важно обращать внимание учащихся на имеющуюся взаимосвязь геометрических фактов и их соответствующую векторную запись. Для этого можно составить “словарь перевода” геометрических свойств фигур на язык векторов (таблица 3). Словарь заполняется в результате теоретического материала, решения устных упражнений и задач. При этом нужно иметь в виду, что одному и тому же геометрическому факту может соответствовать несколько векторных формул, но все эти соотношения будут равносильны.

Таблица 3

Словарь “перевода” геометрических свойств фигур на язык векторов
	Геометрическое свойство	Векторная запись
1	А=В
2	АВ
3	МАВ	=к или
4	М-середина АВ
5	М-точка пересечения медиан АВС
6	АВСD-параллелограмм
7	M (ABC)
8	KM (ABC)
9	(ABC) (A1B1C1)

Одновременно учащимся следует показывать, как полученные соотношения используются при решении задач познавательного характера, в которых сочетаются геометрические факты, свойства фигур и векторы. Эти задачи условно можно разбить на три группы:

ь Доказательство векторных соотношений, связанных с определенной геометрической фигурой.

ь Доказательство геометрических свойств фигур на основе данных, выраженных в векторной форме.

ь Смешанные задачи.

Материал второго блока, «Компланарные векторы», может быть изучен в форме школьной лекции. Ее план:

1. Определение компланарных векторов.

2. Сложение векторов по правилу параллелепипеда.

3. Признак и свойство (критерий) компланарных векторов.

4. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

К понятию компланарных векторов можно подвести учащихся, используя модель и изображение параллелепипеда.

Основная дидактическая цель урока «Применение векторов к решению геометрических задач» - познакомить учащихся с новым для них аналитическим методом решения задач, разъяснить сущность решения геометрических задач с помощью векторов, дать примерную схему решения. Исходя из этого, наиболее приемлемой формой урока является школьная лекция.

Первая задача по обучению новому методу не должна содержать громоздких выкладок, но должна наглядно иллюстрировать суть этого метода. Это позволит ученикам самостоятельно выделить основные этапы решения геометрической задачи векторным методом:

1. Прочитав и проанализировав условие, выполнить рисунок.

2. Согласно условию и требованию задачи, ввести в рассмотрение векторы.

3. Выразить через них векторы, необходимые для решения.

4. «Перевести» условие и требование задачи на язык векторов.

5. С помощью преобразований над полученными векторными соотношениями придти от условия задачи к требованию.

6. Полученному векторному выражению дать геометрическое толкование.

Обобщающий урок по теме можно провести в форме семинара. Цель этого урока - выяснить, какие виды задач можно решать с помощью изученного материала о векторах, сравнить векторный метод решения задач с традиционным, геометрическим.

Анализ решения задач разными методами позволит выявить учащимися достоинства и недостатки аналитических и конструктивных методов решения задач. Под руководством учителя ученики должны придти к выводу, что преимущество векторного метода состоит в том, что он позволяет избежать далеко не всегда очевидных дополнительных построений, а приведенная ранее схема решения задач этим методом дает определенные ориентиры решающему.

Подводя итог урока, происходит обсуждение аффинных видов задач, решаемых с помощью векторов:

1) доказательство параллельности отрезков и прямых, прямых и плоскостей, плоскостей;

2) доказательство компланарности трех прямых;

3) установление принадлежности точки прямой (плоскости);

4) вычисление отношения длин параллельных отрезков;

5) доказательство того, что три прямые пересекаются в единственной точке.

Итак, при обучении школьников векторному методу решения геометрических задач следует обучать их умениям, входящим в его состав. К таким умениям относятся следующие:

1) преобразование векторного выражения, используя законы векторной алгебры;

2) представление вектора в виде суммы или разности нескольких векторов, произведения вектора на число.

3) перевод геометрического свойства фигуры на векторный язык;

4) перевод векторной записи на геометрический язык,

В процессе обучения учащихся выделенным умениям целесообразно составить таблицу основных векторных равенств, словарь «перевода» геометрических свойств фигур на векторный язык.

При решении простейших дидактических упражнений на отработку этих умений совместно с учащимися необходимо формулировать эвристики применения того или иного полученного факта в новых ситуациях.

При обучении учащихся собственно векторному методу необходимо выделить алгоритм (схему) решения содержательных задач с помощью векторов. Целесообразно так же решить ряд задач несколькими способами, на примере которых наглядно прослеживаются преимущества и недостатки векторного метода.

Следует привлекать прикладные задачи, задачи из смежных дисциплин, при решении которых применение векторного метода будет наиболее эффективно.

Проанализировав научную, учебно-методическую, психолого-педагогическую литературу по теме «Решение задач векторным методом», можно сделать следующие выводы:

1. Исторически векторное исчисление развивалось как аппарат решения задач физики и естествознания. Однако постепенно понятие вектора стало одним из фундаментальных понятий современной математики.

2. В настоящее время в математике существуют различные подходы к определению понятия вектора. Основой линейной алгебры служит понятие вектора как совокупности скаляров некоторого поля Р. В геометрии вектор определяется, как множество сонаправленных отрезков, имеющих равную длину.

Кроме того, создана теория (аксиоматика Вейля), в которой вектор является основным неопределяемым понятием, а свойства операций над векторами описываются системой аксиом.

3. В школьных учебниках по геометрии встречается два подхода к определению понятия вектора. Это вектор как параллельный перенос и вектор как направленный отрезок. Однако в том и другом случае для решения задач используется модель вектора как направленного отрезка.

4. Векторы определяют один из основных методов школьного курса геометрии - векторный метод. Его применение эффективно позволяет решать ряд аффинных и метрических задач стереометрии и планиметрии.

5. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины усвоения учебного предмета. Психологи отмечают, что для успешного овладения учащимися этим умением необходимо целенаправленно обучать их общим методам решения задач.

6. При обучении учащихся общим методам решения задач необходимо выделять действия, составляющие суть этого метода.

7. В методической литературе [6] к основным умениям, составляющих суть векторного метода относят:

- владение основными векторными формулами и законами векторной алгебры;

- умение раскладывать вектор по векторам исходного базиса;

- умение переводить геометрическое свойство фигур на «векторный» язык и обратно.

8. В процессе обучения учащихся выделенным умениям целесообразно составить таблицу основных векторных равенств, словарь «перевода» геометрических свойств фигур на векторный язык.

9. При решении простейших дидактических упражнений на отработку этих умений совместно с учащимися необходимо формулировать эвристики применения того или иного полученного факта в новых ситуациях.

10. Высокая степень сформированности указанных умений и навыков является базой для успешного решения задач с геометрическим содержанием векторным методом.

11. При обучении учащихся собственно векторному методу необходимо выделить алгоритм (схему) решения содержательных задач с помощью векторов. Целесообразно так же решить ряд задач несколькими способами, на примере которых наглядно прослеживаются преимущества и недостатки векторного метода.

12. Следует привлекать прикладные задачи, задачи из смежных дисциплин, при решении которых применение векторного метода будет наиболее эффективно.

Глава 2. Методика изучения темы «Векторы в пространстве» в 10 классе

Эта глава посвящена изложению основных методических рекомендаций по изучению темы «Векторы в пространстве». В первом параграфе проведем логико-дидактический анализ этой темы по учебному пособию Л.С. Атанасяна, выделим ключевые задачи, сформулируем цели изучения данной темы и рассмотрим один из вариантов ее планирования. Во втором и третьем параграфе дадим методические рекомендации по обучению школьников умениям, входящим в состав векторного метода, и собственно векторному методу; приведем разработки отдельных уроков по теме. В заключении опишем опытную проверку разработанных методических рекомендаций.

2.1 Логико-дидактический анализ темы «Векторы в пространстве»

Проанализировав содержание главы IV по учебному пособию Л.С. Атанасяна и других [9], можно сделать следующие выводы:

1. В теме можно выделить 2 группы понятий:

а) Понятие вектора в пространстве, определения равных и коллинеарных векторов, сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число.

Особенность этого содержания состоит в том, что представляет собой систематизацию и обобщение на пространство известных учащимся операций над векторами. Поэтому при его рассмотрении нужно усилить долю самостоятельной работы учащихся.

б) Определение компланарных векторов. Этот материал является новым для учащихся, поэтому очень важным. Он требует отработки по полной схеме работы с новым определением.

Логическая структура перечисленных определений не нова для учащихся. Все понятия представлены в вербальной и графической форме. Существование объектов, относящихся к понятиям вектора, равных и коллинеарных векторов, считается очевидным по аналогии с соответствующими понятиями планиметрии. Существование суммы и разности двух или нескольких векторов доказывается их построением.

Имеются широкие возможности для продолжения формирования умений подводить под понятие и выводить следствия.

2. Теорем в главе не много. В зависимости от новизны изучаемого материала их также можно разделить на 2 группы:

а) теорема об отложении от точки вектора, равного данному; теоремы о независимости суммы векторов от выбора точки и от порядка сложения векторов; законы сложения векторов и умножения вектора на число.

Формулировка этих теорем и способы их доказательства не новы для учащихся, так как аналогичны соответствующим теоремам из планиметрии. Поэтому автор учебника предлагает доказать эти утверждения самостоятельно.

б) новыми для учащихся являются теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам, критерий компланарности векторов, а также правило параллелепипеда. Доказательства этих теорем приводится в учебнике. Они являются необходимыми для изучения, поскольку идея их доказательства будет использована при решении задач векторным методом.

При доказательстве всех вышеперечисленных теорем в качестве общелогического метода используется синтетическиий, в качестве частного - векторный.

3. В теме имеются объективные предпосылки для формирования приема аналогии, поскольку понятия вектора и операций над векторами на плоскости аналогичны соответствующим понятиям в пространстве. Аналогичны также понятия равных и коллинеарных векторов. Значит, возможно использование метода укрупнения дидактических единиц.

Имеются также необходимые возможности для формирования умений анализировать, синтезировать, обобщать и т.д.

4. Поскольку есть аналогия с определениями понятий, формулировками теорем, изученных в планиметрии, то есть возможность для «открытия» учащимися соответствующих выводов для пространства. Методы доказательства теорем также могут быть предложены учащимися.

5. Есть возможности для формирования действий моделирования, т.к. в теме происходит иллюстрация применения определений понятий, теорем и правил.

6. В задачном материале темы достаточное количество дидактических упражнений и задач на комплексное применение знаний. Все они направлены на формирование умений и навыков, необходимых для решения геометрических задач векторным методом. Это такие умения:

а) овладение основными векторными формулами и законами векторной алгебры. В процессе решения простейших дидактических упражнений такого типа (№№328, 335-337, 347, 350-354) учащиеся должны научится преобразовывать векторные выражения.

б) умение переводить геометрические свойства фигур на векторный язык и обратно (№№331, 338 342, 348).

в) умение раскладывать вектор по данным векторам (№№ 320-326, 329-324, 348, 349).

В качестве ключевых задач можно предложить такие: №№ 328,322, 329, 332, 341, 346, 336, 349.

7. Также имеется достаточное количество задач на осознание новых понятий темы (компланарные векторы, разложение вектора по трем некомпланарным).

В качестве ключевых задач этой группы можно предложить следующие: №№ 356, 362, 366, №359 (направлена на комплексное применение полученных знаний и знаний из физики).

8. В конце задачного материала автор предлагает несколько содержательных задач, которые можно решить двумя методами (конструктивным и векторным). Проанализировав разные способы решения одной и той же задачи, учащиеся должны выделить преимущества и недостатки аналитических и конструктивных методов.

Ключевые задачи этого раздела: №№ 372, 375, 395 (разные типы аффинных задач, к решению которых может быть применен векторный метод: №372-принадлежность трех точек одной прямой; №375-доказательство параллельности прямых; №395-доказательство компланарности трех прямых).

Учитывая все вышеизложенное, проведя логико-дидактический анализ главы IV учебника [9] «Векторы в пространстве», можно предложить следующие учебные задачи изучения темы:

1. Формирование у школьников представлений о предмете математики, о методах математики (в частности - аналитическом);

2. Формирование у школьников представлений о векторах в пространстве, об операциях над ними;

3. Формирование у школьников основных умений, содержащих суть векторного метода;

4. Формирование у школьников эвристических, логических и конструктивных умений, связанных:

-с «открытием » определений и теорем на основе аналогии;

- с применением векторного метода к решению задач.

В результате изучения темы ученик знает;

- понятие вектора в пространстве;

- определения коллинеарных, компланарных и равных векторов;

- свойства операций над векторами;

- критерий компланарности векторов; теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам;

- суть векторного метода в пространстве;

- ученик понимает, что:

- понятия вектора на плоскости и в пространстве аналогичны;

- доказательство критерия компланарности трех векторов в стереометрии аналогично доказательству теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам в планиметрии;

- при доказательстве единственности коэффициентов разложения необходимо применить метод «от противного»;

ученик умеет:

- пользоваться таблицей основных векторных равенств;

- осуществлять перевод геометрических свойств фигур на векторный язык и обратно;

- раскладывать вектор по базису;

ученик применяет:

- прием аналогии при «открытии» определений и теорем;

- векторный метод при решении содержательных задач.

В соответствии с программой по математике на изучение темы «Векторы в пространстве» отводится 12 часов. Поэтому может быть предложен следующий вариант тематического планирования темы:

№ п/п	Тема урока. Тип урока	Основные задачи
1-2	Понятие вектора в пространстве. Действия над векторами. (Обобщающая лекция)	1.Обобщить и систематизировать знания учеников по теме «Векторы на плоскости и в пространстве». 2.Составить совместно с учащимися обобщающую таблицу. 3.Формировать умения в применение приема аналогии.
3-4	Решение задач (уроки-практикумы)	1.Формировать умения и навыки, необходимые для решения содержательных задач векторным методом. 2.Продолжить заполнение таблиц основных векторных равенств и словаря перевода.
5	Компланарные векторы. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам (Урок-лекция)	1.«Открыть» совместно с учащимися определение компланарных векторов, критерий компланарности трех векторов, теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам. 2.Формировать умения в формулировании предложений, обратных данным, в применении анализа, синтеза, метода от противного, приема аналогии при доказательстве теорем.
6	Решение задач (урок усвоения теории)	1.Диагностика знаний, полученных на предыдущих уроках. 2.Формировать умения в применении критерия компланарности векторов, теоремы о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
7	Решение задач. (Урок-практикум)	Формировать у учащихся умение раскладывать вектор по данным векторам, необходимое для решение задач векторным методом.
8	Применение векторов к решению геометрических задач. (Урок-лекция)	1.Выявить совместно с учащимися типы афинных задач, решаемых векторным методом. 2. «Открыть» план решения задач векторны методом.
9-10	Решение задач (уроки-практикумы)	1.Формировать умение применять векторный метод при решении содержательных задач. 2. Выявить совместно с учащимися преимущества и недостатки векторного метода.
11	Векторы в пространстве. (Урок обобщения и систематизации знаний).	Организовать осмысление знаний, полученных при изучении темы
12	Контрольная работа.	Выявить уровни усвоения фактического материала и соответствующего теме векторного метода решения задач.

2.2 Методика формирования умений, составляющих суть векторного метода решения геометрических задач

К умениям, составляющим суть векторного метода относят следующие:

а) овладение основными векторными формулами и законами векторной алгебры;

б) умение раскладывать вектор по данным векторам;

в) умение переводить геометрические свойства фигур на векторный язык;

г) умение давать векторной записи геометрическую интерпретацию.

Отсюда следует перечень типов задач, способствующих овладению векторного метода:

1) на преобразование векторных выражений;

2) на переход от соотношения между геометрическими свойствами фигур к соотношению между векторами;

3) на переход от векторной записи свойства фигуры к её геометрической интерпретации;

4) на разложение вектора по данным векторам:

- представление вектора в виде суммы (разности) нескольких векторов,

- представление вектора как произведения вектора на число,

- выражение вектора через три некомпланарных.

Все эти типы задач в достаточном количестве имеются в учебнике. Ключевые из них выделены в пункте 2.1.

При организации уроков-практикумов важно продумать систему вопросов к этапу анализа каждой задачи. Учащиеся должны осознать, какой прием использован при решении данной задач, как в дальнейшем можно использовать тот или иной факт.

Таким образом, учащиеся под руководством учителя должны выделить общий алгоритм решения задач для каждого из выделенных типов 1)-4). Например, чтобы решить задачу на перевод геометрического свойства фигуры на векторный язык, необходимо:

1. Записать векторное выражение, логически «вытекающее» из определения данного геометрического свойства,

2. Записать равносильную задачу,

3. Преобразовать с помощью законов векторной алгебры.

Важно обращать внимание учащихся на то, что одному и тому же геометрическому факту может соответствовать несколько векторных формул, но все эти соотношения равносильны между собой. При решении конкретной задачи следует выбирать ту векторную формулу, которая наиболее соответствует условию и требованию задачи.

При решении задач на преобразование векторных выражений требуется выполнить следующую последовательность действий:

1. Раскрыть скобки,

2. Сгруппировать векторы таким образом, чтобы к каждой паре векторов можно было применить или сложение векторов по правилу треугольника, или правило разности двух векторов с общим началом.

Для более эффективного выполнения учащимися данных типов упражнений необходимо составить с ними таблицы основных векторных формул и словарь перевода геометрических свойств фигур на векторный язык.

Так как задач, необходимых для успешного овладения выделенных умений, требуется решить достаточно много, то следует использовать принципы варьирования задач. Это позволит ученикам выделить взаимосвязи между задачами данной темы.

При отборе содержания к урокам-практикумам в теме «Векторы в пространстве» можно использовать следующие принципы варьирования задач:

1. Изменение условия задачи,

2. Изменение требования задачи,

3. Рассмотрение взаимно-обратных задач теорем (целесообразно при составлении словаря перевода),

4. Построение цикла взаимосвязанных задач, когда решение одной задачи опирается на результат или решение предшествующей

Результатом проведения уроков практикумов по выделенной методике должно стать формулирование частных эвристик к уроку «Применение векторного метода к решению геометрических задач».

Проиллюстрируем сказанное на примерах.

Пример 1. Уроки № 3,4 по теме «Векторы в пространстве» (2ч.)

Тема урока: «Применение свойств операций над векторами к решению задач»

Тип урока: урок решения задач

Форма проведения урока: урок-практикум

Учебные задачи урока:

1. Формировать у учащихся следующие умения и навыки, необходимые для решения содержательных задач векторным методом:

а) преобразовывать векторные равенства, используя законы векторной алгебры.

б) переводить геометрические свойства фигур на векторный язык;

в) переводить векторную запись свойства фигуры на геометрический язык.

Диагностируемые цели:

В результате ученик

· Знает

- основные векторные формулы;

- свойства действий над векторами;

· Умеет

- пользоваться таблицей основных векторных равенств;

- преобразовывать векторные равенства;

- представлять вектор в виде алгебраической суммы нескольких векторов;

· Понимает

- что одному геометрическому свойству фигуры может соответствовать несколько векторных записей, но все они равносильны;

Ход урока

Педагогическая деятельность учителя	Учебная деятельность учеников
I. Мотивационно-ориентировочный этап.
Что мы с вами изучали на прошлом уроке? - Сформулируйте определение понятия «вектора в пространстве»	Понятие вектора в пространстве. Действия над векторами.
- Какие действия с векторами в пространстве мы изучали? - Перейдем к решению задач. - Пусть дана призма АВСDA1B1C1D1	- Сложение векторов, вычитание векторов, умножения вектора на число.
-Запишите, чему будет равна сумма векторов и	-+=
-Какое правило сложения здесь прменимо? -Чему равна сумма векторов и ? -Какое правило сложения вам еще известно? -Приведите свои примеры. -Как найти результат суммы векторов и ? -На основании каких теоретических фактов мы смогли заменить вектор вектором ? -Какие векторы называются равными? -Чему равна разность векторов и ? -Как направлен результирующий вектор разности ? -Верно. Отметим точку М-середину АВ. Выразите вектор через вектор . -Выразите вектор через вектор . -Какими между собой являются векторы , , . - Какая теорема о коллинеарных векторах вам известна? Пусть теперь дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1. и некоторое выражение: . - Необходимо найти вектор , начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда. -Что сначала необходимо выполнить? -Что мы будем применять при преобразовании векторного выражения. -Верно. Для того, чтобы решить эту задачу, нам сначало необходимо преобразовать векторное выражение, используя свойства операций над векторами. -Как вы дукмаете, какова же тема нашего сегодняшнего урока? II. Оперативно-познавательный этап -Чтобы применить к выражению законы векторной алгебры, необходимо сгруппировать векторы. Как это можно сделать в данном случае? -Какие правила вы использовали? -Итак,сформулируйте окончательный результат.-Итак, выделите основные этапы решения данной задачи. -Верно. Итак, чтобы преобразовать векторное выражение. Необходимо векторы данного выражения преобразовать специальным образом. Посмотрим этот принцип на примере еще ряда задач	-правило треугольника -+= (по правилу параллелограмма) -Правило многоугольника. {приводят свои примеры} -+=+= - Т.к и -равные векторы. - Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. - -= - Он направлен из конца второго вектора к началу первого. =2 =-2 - Коллинеарными - Если векторы и -коллинеарны, и , то существует число k такое, что =k -Преобразовать векторное выражение. -Свойства операций над векторами «Решение задач на применение свойств операций над векторами» -Сложение векторов по правилу треугольника 1. Преобразование векторного выражения, используя принцип группировки; 2. Нахождение искомого вектора как разность двух векторов
Задача № 333. В пространстве даны четыре точки А, В, С, D. Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный сумме векторов: а) -Каким свойством вы воспользовались при преобразовании данного выражения? -Каким способом еще можно преобразовать данное выражение? -Какие свойства использовали в этом случае? Б)()+ -Чем вы воспользовались при преобразовании выражений, стоящих в скобках? -На основании какого факта вы перешли к третьему равенству? -В предыдущих заданиях нам были даны выражения, состоящие из действий над некоторыми векторами. Что требовалось найти? -Попробуйте сформулировать обратное задание. -Выразите вектор в виде алгебраической суммы векторов , , . -Как по-другому можно представить эти векторы, чтобы в результате их суммы получить вектор ? -Верно. Как теперь преобразовать данное выражение, чтобы вернуться к исходным векторам? -Теперь аналогичным образом выразите вектор через векторы , , . -Итак, если нам требуется преобразовать векторное выражение, чем мы можем воспользоваться? -Если необходимо представить данный вектор с помощью нескольких векторов, что мы должны будем сделать? -Чем мы можем при этом воспользоваться? -Хорошо. Давайте теперь попробуем решить следующую задачу. Пусть точка М принадлежит АВ. О -произвольная точка пространства. Докажите, что	Сначало необходимо сгруппировать векторы таким образом, чтобы можно было применить законы векторной алгебры. Имеем, == -переместительным законом сложения векторов = =+= - Сочетательный закон сложения векторов, переместительный закон, свойство сложения вектора с нулевым вектором. ()+ = -Таблицей основных векторных равенств. Т.к векторы и противоположные, то -Вектор, являющийся результатом этих операций -Дан вектор. Необходимо выразить его с помощью операций над несколькими векторами. =++ =-- =++=---= =-(++) - Свойствами операций над векторами -Попытаться представить этот вектор в виде суммы некоторых векторов, затем преобразовать полученное выражение с учетом исходных. -Таблицей основных векторных равенств.
-Что значит на векторном языке М АВ? -Как можно представить вектор ? -Какие векторы необходимо выразить, чтобы получить искомое выражение? Как это можно сделать? -Какими свойствами вы пользовались при преобразовании последнего выражения? - А как вы думаете, каким числом может быть k. Почему? -А если точка М является серединой отрезка АВ. Каким в этом случае будет k и какой вид примет доказанное нами выражение? -Сформулируйте окончательный результат. -Давайте попробуем доказать это утверждение. Какие векторные соотношения можно составить, учитывая, что М-середина АВ. -Как моно представить эти векторы чтобы получить векторы, участвующие в требовании задачи. -Какое равенство можно получить, учитывая, что АМ=ВМ?	Представить вектор как разность векторов и ч.т.д. -Первым и вторым распределительными закономи операции умножения вектора на число. 01, так как М принадлежит отрезку АВ, и вектор по длине должен быть меньше вектора . -Если М- середина АВ, то , т.е. k=. Тогда - Если М- середина АВ, то - = . ч.т.д.
Итак, мы с вами решили 2 задачи, которые относятся к типу задач на перевод геометрического свойства фигуры на векторный язык.Какие взаимосвязи мы выделили? -Какова идея решения этих задач?	М АВ, О-произвольная точка М- середина АВ, то -Записать векторное выражение, которое следует из определения геометрического свойства фигуры; преобразовать это векторное выражение, используя законы векторной алгебры
Верно. Попробуем решить обратный тип задач: на перевод векторной записи на геометрический язык. Сформулируйте Обратные задачи к рассмотренным. - Докажем второе утверждение.Что значит М-середина АВ. -Как на векторном языке можно представить это условие?	. Доказать, что МАВ . Доказать, что М-середина АВ. АМ=МВ
Вернемся к исходному равенству. Как можно выразить векторы ОА и ОВ через векторы АМ и МВ) -итак, выделите шаги решения задачи на переход от векторной записи к соответствующему ей геометрическрму свойству фигуры -Аналогично можно доказать принадлежность точки М отрезку АВ, исходя из равенства - Итак, мы получили 2 утверждения. Каждое из которых можно доказать в обе стороны. Запишем полученные нами утверждения в Словарь перевода	или Значит, М -середина АВ -Записать равносильную задачу (требование задачи (геометрическое свойство фигуры) перевести на векторный язык); Решить полученную задачу, Преобразовав исходное векторное выражение; Полученному результату дать геометрическую интерпретацию
{Записываются полученные выражения в словарь перевода}
- Как вы думаете, какие задачи можно решать с помощью полученных условий? -Верно. Рассмотрим задачу № 341. Основанием четырехугольной пирамиды с вершиной Р является трапеция АВСD. Точка О - середина средней линии трапеции. Докажите, что	-Задачи, в которых сказано либо о принадлежности точки отрезку, либо о середине какого--либо отрезка.
-Для того, чтобы получить конечный результат нам необходимо ввести векторы. Какое условие задачи мы можем перевести на «векторный» язык? -Что удобно выбрать в качестве произвольной точки О? -Какой вид примет выражение? -Чем является отрезок MN? -Сделайте вывод о свойстве точек М и N. -Какие выражения тогда мы получим? -Итак, Что нам помогло при решении данной задачи?	- О- середина МN -Точку Р. -Средней линией трапеции. М-середина АВ, N-середина DC Тогда, (+). + или 4+ Ч.т.д -Связь условия середины отрезка с векторным выражением.
III. Рефлексивно-оценочный этап.
- Итак, как вы думаете, какова же была цель нашего урока? - С какими же типами задач мы сегодня познакомились? -Какие задачи вызвали у вас затруднения? -Какие показались интересными? -Какова идея решения задачи на преобразование векторных выражений? -Как можно решить задачу на представление вектора через другие. -Какова деятельность по решению задач на переход от геометрического свойства фигуры на векторный язык? -Как решаются обратные задачи: на перевод векторной записи на геометрический язык. -К каким задачам можно применить доказанные нами утверждения о середине отрезка и о принадлежности точек отрезку? -Верно. Всем спасибо за работу. Записываем домашнее задание Д/з 1уровень.№№ 337, 346 2 уровень: Пусть М - точка пересечения медиан АВС О - произвольная точка пространства. Доказать:	-Научиться решать задачи, в решении которых используются свойства операций над векторами. -Задачи на преобразование векторных выражений; на представление вектора через другие векторы; на перевод геометрического свойства фигуры на векторный язык, на пререход от векторной записи к геометрическому свойству фигуры. {ответы детей} -Использовать группировку векторов таким образом, чтобы к группе векторов можно было применить законы векторной алгебры -Представить исходный вектор в виде суммы данных векторов (или их противоположных), преобразовать полученную сумму с учетом данных векторов. -Записать векторное выражение, которое следует из определения геометрического свойства фигуры; Преобразовать это векторное выражение, используя законы векторной алгебры до получения доказываемого векторного выражения. -Записать равносильную задачу (требование задачи (геометрическое свойство фигуры) перевести на векторный язык); Решить полученную задачу, Преобразовав исходное векторное выражение; Полученному результату дать геометрическую интерпретацию -Задачи, в условиях которых говорится о середине какого-либо отрезка; или о точке, разбивающий данный отрезок в заданном отношении.

Пример 2. Фрагмент урока №6 по теме «Векторы в пространстве»

Тема урока: «Применение векторов к решению геометрических задач»

Учебные задачи урока:

1. Формировать у учащихся умение применять полученные теоретические факты при решении задач

2. Формировать у учащихся умение раскладывать вектор по трем некомпланарным векторам, необходимое при решении содержательных задач векторным методом;

3. Выделить совместно с учащимися типы содержательных задач, при решении которых используется критерий компланарности векторов.

В результате ученик:

· Знает

- типы задач, к которым может быть применен критерий компланарности векторов;

· Умеет

- применять критерий компланарности трех векторов к решению задач,

- раскладывать вектор по трем некомпланарным векторам, используя соответствующую теорему;

- находить сумму трех некомпланарных векторов по правилу параллелепипеда

Ход урока

Педагогическая деятельность учителя	Учебная деятельность учеников
Учитель предлагает решить Задачу №356 Отрезок EF соединяет середины ребер АВ и CD тетраэдра ABCD. Докажите, что . Компланарны ли векторы FE, BA, DC.
	ДАНО: АВСD - тетраэдр; Е,F-середины сторон АС и DB. ДОК-ТЬ:
-Какие условия задачи мы можем перевести на векторный язык? -С помощью какого векторного выражения мы представим данные условия? -Как теперь можно выразить вектор, учитывая требование задачи Как по-другому можно записать это равенство?	Е,F-середины сторон АС и DB
-Что значит эта запись? -Т.к. векторы компланарны, то согласно второму определению отрезки (прямые) параллельны некоторой плоскости. Как же можно переформулировать требование данной задачи, чтобы в нем не участвовали векторы? -Попробуйте выделить идею решения сформулированной задачи. -Верно. Итак, для доказательства параллельности трех прямых некоторой плоскости мы будем использовать определение и критерий компланарных векторов. Попробуем теперь выяснить, можно ли применить компланарность векторов к решению следующей задачи: Доказать, что 4 точки A. B, C, D лежат в одной плоскости. - Что для этого нам нужно ввести в рассмотрение? -При каком же условии точки A, B, C, D будут лежать в одной плоскости? - Как тогда запишется векторное выражение? -Итак, мы показали, что если A, B, C, D лежат в одной плоскости, то . Сформулируйте и докажите обратное утверждение. -Верно. Как можно объединить эти 2 задачи в одну. -Итак, мы с вами доказали взаимосвязь геометрического свойства фигуры (принадлежность 4-х точек одной плоскости) и его векторной записи. Запишем полученное утверждение в словарь перевода. -Сформулируем вывод: Чтобы доказать, что 4 точки лежат в одной плоскости, необходимо…	-Что векторы , , -компланарны. -Доказать, что прямые FA, BA, DC параллельны некоторой плоскости. -Необходимо перейти от прямых к их направляющим векторам, и доказать, что они компланарны. -Векторы, и . -Если векторы, и компланарны. -Если , то A, B, C, D принадлежат одной плоскости. Доказательство: (по критерию компланарности векторов)

Подобные документы

• Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе

  Теоретические аспекты обучения решению уравнений в 8 классе. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры. Методика изучения квадратных уравнений. Методико-педагогические основы обучения решению квадратных уравнений.
  
  курсовая работа [134,3 K], добавлен 01.07.2008
  

• Структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии

  Научно-методические достоинства учебного пособия по геометрии Погорелова. Анализ недостатков учебника "Геометрия 7-9". Структура основных взаимосвязей в системе определений и теорем в курсе геометрии. Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке.
  
  дипломная работа [321,5 K], добавлен 11.01.2011
  

• Векторы в пространстве

  Схема и разность векторов. Умножение вектора на число. Координаты точки и вектора. Компланарные векторы и прямоугольная система координат. Длина, скалярное произведение, его свойства и угол между векторами. Переместительный и сочетательный законы.
  
  творческая работа [481,5 K], добавлен 23.06.2009
  

• Этапы изучения понятия задачи и её решения в начальных класах

  Понятие "задача" в начальном курсе математики и её решения в начальных классах. Различные подходы к обучению младших школьников решению текстовых задач. Методические приёмы обучения решению простых задач. Разработка фрагментов уроков по данной проблеме.
  
  курсовая работа [367,4 K], добавлен 15.06.2010
  

• Векторы и действия над ними

  Векторы на плоскости и в пространстве. Расстояние между началом и концом. Коллинеарные и нулевые векторы. Условие коллинеарности и перпендикулярности векторов. Определение суммы и разницы векторов. Свойства операций сложения и умножения вектора на число.
  
  презентация [98,6 K], добавлен 21.09.2013
  

• Векторы и операции над ними

  Вектор - элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нем, которые подчиняются восьми аксиомам). Свободный и связанный векторы. Евклидовая норма и правило параллелограмма. Скалярное произведение и умножение вектора на число.
  
  контрольная работа [102,6 K], добавлен 03.07.2011
  

• Различные подходы к построению теории действительных чисел

  Свойства действительных чисел, их роль в развитии математики. Анализ построения множества действительных чисел в историческом аспекте. Подходы к построению теории действительных чисел по Кантору, Вейерштрассу, Дедекинду. Их изучение в школьном курсе.
  
  презентация [2,2 M], добавлен 09.10.2011
  

• Происхождение геометрии

  Геометрия как научная дисциплина, причины и предпосылки, история и основные этапы ее возникновения и развития. Евклид как основатель геометрии, его вклад в развитие новой науки, характеристика, содержание ее главных разделов - планиметрии и стереометрии.
  
  презентация [55,3 K], добавлен 28.12.2010
  

• Декартовы координаты

  Метод координат как глубокий и мощный аппарат. Основные особенности декартовых координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Понятие вектора как направленного отрезка. Рассмотрение координат вектора и важнейших в аналитической геометрии вопросов.
  
  курсовая работа [573,7 K], добавлен 27.08.2012
  

• Цилиндр

  Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Определение цилиндра. Элементы и свойства цилиндра. Площадь цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра. Объем цилиндра. В практической части - примеры решения задач.
  
  методичка [8,6 M], добавлен 10.06.2008
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам