Теория и методика обучения школьников векторному методу (стереометрия)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВПО Нижегородский Государственный Педагогический Университет

Факультет математики, информатики, физики

Кафедра теории и методики обучения математике

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Теория и методика обучения школьников векторному методу (стереометрия)

Выполнила:

Мыслякова Т.И.

Научный руководитель:

доктор пед. наук, профессор

Т.А. Иванова

Нижний Новгород, 2009 г.

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические и методические особенности изучения векторного метода в школьном курсе геометрии

1.1 История возникновения и становления аналитических методов

1.2 Различные подходы к определению понятия вектора в математике и в школьном курсе математики

1.3 Обучение решению задач как психологическая и методическая проблема

1.4 Методика обучения векторному методу решения афинных задач в геометрии

Глава 2. Методика изучения темы «Векторы в пространстве» в 10 классе

2.1 Логико-дидактический анализ «Векторы в пространстве» в 10 классе

2.2 Методика формирования умений, составляющих суть векторного метода решения геометрических задач

2.3 Методика обучения векторному методу решения содержательных геометрических задач

2.4 Описание опытной работы

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Актуальность. В соответствии с концепцией Российского образования и, в частности, математического одной из задач обучения, развития и воспитания учащихся в средней школе является достижение следующих двух главных целей образования: воспитать личность, способную адаптироваться в быстро меняющихся условиях жизни и способную одновременно изменять эти условия. Соответственно, усилия школы должны быть сосредоточены в двух направлениях: создание условий для развития интеллекта и формирование творческих качеств личности обучающихся.

Одной из приоритетных целей математического образования в рамках выделенных направлений является «формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики» [23, с. 3].

Векторный метод является одним из основных методов геометрии. С его помощью можно эффективно решить ряд аффинных и метрических задач планиметрии и стереометрии, ряд прикладных задач физики и астрономии.

Так же изучение векторного метода представляет собой самостоятельный познавательный интерес, т.к. на его основе имеется возможность корректно ввести метод координат на плоскости и в пространстве.

Необходимо отметить, что в школьном курсе математики тема «Векторы», а вместе с ней векторный метод, появилась относительно недавно, в начале шестидесятых годов прошлого века. Тем не менее, практически сразу же понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики, а векторный метод -одним из основных способов решения задач и доказательства теорем.

В любом школьном учебнике изложение темы «Векторы» состоит из двух этапов: изучение векторов и векторного метода 1) в планиметрии; 2) в стереометрии.

Изучение темы «Векторы в пространстве» дает возможность учащимся получить представление о широте применения векторов в различных областях человеческой деятельности, познакомиться с некоторыми фактами развития векторного исчисления, усвоить систематизированные сведения о векторах в пространстве, научиться проводить аналогии между плоскими и пространственными конфигурациями векторов, применять векторный метод для изучения плоских и пространственных форм, при решении задач.

Изучением темы «Векторы. Векторный метод решения задач» в разные периоды времени занимались многие ученые-физики, математики и методисты (К. Вессель, Р. Декарт, Ж. Арган, З.А. Скопец, А.Н. Колмогоров, А.Д. Александров, В.А Гусев, Ю.М Калягин, Т.А. Иванова). В настоящее время существует несколько подходов к определению понятию вектора, определены операции с векторами, очерчен круг задач, решаемых векторным методом, выделены умения, входящие в состав векторного метода. Разработаны частные методики по обучению учащихся векторам и, в частности, векторному методу. Все они основаны на идее основного назначения векторов - использование алгебраического аппарата для решения геометрических задач.

Не смотря на все это, многие специалисты отмечают, что некоторые учителя, студенты, а тем более школьники, затрудняются в применении векторного метода к решению содержательных задач.

Сказанное позволяет выделить существующее противоречие между необходимостью обучения учащихся векторному методу решения геометрических задач и недостаточному уделению внимания этому на практике. Разрешение этого противоречия особенно актуально при изучении темы «Векторы в пространстве» в 10 классе, поскольку в теории и методике обучения математике даются, в основном, рекомендации для изучения векторного метода на плоскости. Между тем, при изучении стереометрии круг задач, решаемых с помощью векторов, значительно расширяется.

Таким образом, сформулированное выше противоречие определило актуальность проблемы нашей работы, которая состоит в его разрешении посредством обоснованной разработки методических рекомендаций по обучению учащихся векторному методу решения геометрических задач в теме «Векторы в пространстве».

Цель исследования - выявить теоретико-методические условия изучения векторного метода решения геометрических задач и разработать научно обоснованные методические рекомендации по обучению учащихся этому методу.

Объект исследования - процесс обучения геометрии в старших классах общеобразовательной школы;

Предмет исследования - методическая система обучения учащихся векторному методу решения задач.

Гипотеза исследования: Если целенаправленно обучать школьников умениям и действиям, входящих в состав векторного метода, формулировать частные эвристики по решению отдельных типов задач, то это будет способствовать эффективному усвоению учащимися этого метода

Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. Провести анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования с целью выявления условий успешного овладения школьниками векторного метода решения геометрических задач;

2. Провести анализ программных документов, школьных учебников по теме «Векторы в пространстве»;

3. Выявить теоретико-методическую концепцию, на основе которой можно разрабатывать методические рекомендации изучения векторного метода решения задач в школьном курсе геометрии;

4. Разработать методические рекомендации для успешного овладения учащимися векторного метода;

5. Провести опытную проверку разработанных методических рекомендаций.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы:

- изучения и анализ литературы по исследуемой проблеме;

- беседа с учителями математики в старших классах общеобразовательной школы;

- тестирование учащихся;

- опытная работа.

Методологической основой исследования послужили: концепция развивающего обучения (В.В. Давыдова, Д.Б. Эльконина); основные положения деятельностного подхода; методические рекомендации по изучению темы «Векторы в пространстве» (Т.А. Ивановой, З.А. Скопеца, В.А. Гусева, Г.И. Саранцева).

Новизна исследования заключается в методических рекомендациях по теме «Обучение школьников решению задач векторным методом», которые основаны на идее целенаправленной предварительной работы по формированию умений, необходимых для успешного овладения учащимися этого метода.

Положения, выносимые на защиту:

1. Вектор является одним из фундаментальных понятий современной математики. В настоящее время существует несколько подходов к определению этого понятия.

2. Векторный метод является эффективным методом решения геометрических задач и доказательства теорем;

3. Для успешного овладения школьниками векторным методом решения содержательных геометрических задач необходимо обучать их умениям и действиям, входящих в его состав;

4. Сущность векторного метода состоит в том, что условие и требование задачи записывается в векторной форме, а ее решение состоит в переходе от условия к требованию на основе законов векторной алгебры.

Апробация основных положений и результатов исследования осуществлялась автором в личном опыте работы с учащимися 10 класса МОУ Хвощевской средней школы Богородского района Нижегородской области в период педагогической практики, в выступлении перед студентами V курса на семинарских занятиях.

Структура дипломной работы определена ее логикой и решением задач исследования. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложения.

вектор математика геометрия школьный

Глава 1. Теоретические и методические особенности изучения векторного метода в школьном курсе геометрии

Эта глава посвящена изложению теоретического материала, касающегося изучению векторного метода в школе. Прежде чем начать изучение какой-либо темы, необходимо обратиться к истории ее возникновения. Именно поэтому главу 1 мы начнем с исторической справки о возникновении векторного метода. Далее проведем анализ различных подходов к определению понятия вектора в математике, в школьном курсе математики. Для того чтобы выявить методическую концепцию по изучению школьниками векторного метода решения задач, проанализируем психолого-педагогическую литературу по проблеме обучения школьников решению задач, и учебно-методическую литературу по обучению собственно векторному методу.

1.1 История возникновения и становления аналитических методов

Интерес к векторам и векторному исчислению пробудился у математиков в 19 веке в связи с потребностями механики и физики. Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком пришлом. В Древней Греции, пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями (,…), пришли к выводу, что не всякую величину можно выразить дробями. Вследствие этого математики того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408-355 гг. до н.э.), а позднее «геометрической алгебре».

В работе Евклида «Начала» сложение и вычитание сводились к сложению и вычитанию отрезков, умножение - к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям, а деление - к операции «приложения» геометрических фигур.

В последствии в 16-17 вв. геометрическая алгебра из-за ограниченности своих средств исследования стала тормозом развития науки.

Однако, геометрическое исчисление сыграло значительную роль в развитии математики, в том числе и для теории векторов, послужив истоком развития этой теории.

Еще в работе «Механические проблемы», созданной в школе Аристотеля, введен термин «сложение движений», т.е. скоростей, и сформулировано правило параллелограмма. Его использовал Архимед в работе «О спиралях», а позже - Птолемей. Астрономы средневекового Востока, развивая теорию Птолемея, постоянно использовали «сложение движений».

В 1587 г. был опубликован на голландском языке трактат фламандского ученого С. Стевина (1548-1620) «Начала статики». В нем автор, рассматривая сложение сил, приходит к выводу, что для нахождения результата сложения двух сил, действующих под углом 90, необходимо воспользоваться «параллелограммом сил», при этом для обозначения сил С. Стевин ввел стрелки. Иначе говоря, С. Стевин впервые ввел сложение двух векторов, перпендикулярных друг другу. Далее, Стевин в «Основах статики» и Валлис (1616-1703) в «Механике» сформулировали правила параллелограмма и параллелепипеда для сложения направленных отрезков, которыми они изображали силы, скорости, ускорения.

В конце 16- начале 17 в. многие ученые - физики, в том числе Леонардо да Винчи, Галилео Галилей, пользовались направленными отрезками для наглядного представления сил. Формулируя свои законы движения планет, Кеплер по существу рассматривает направленный отрезок, началом которого является Солнце, а конец совпадает с движущейся точкой.

Однако в рассматриваемую эпоху в естествознании еще не оформилось четко понятия векторной величины, а идеи алгебраических действий с направленными отрезками лишь зарождались.

Исторически развитие векторного исчисления шло тремя путями: геометрическим (исчисление отрезков), физическим (исследование векторных величин, встречаемых в естествознании), и алгебраическим (расширение понятия операции при создании современной алгебры).

Начала исчисления направленных отрезков были впервые изложены норвежцем Каспаром Весселем в мемуаре «Опыт об аналитическом представлении направления и его применениях, преимущественно к решению плоских и сферических многоугольников», опубликованном в «Трудах Датской Академии наук» в 1799 г. Вессель создал свой труд, исходя из чисто практических задач - облегчить труд геодезиста-землемера.

Вессель впервые представил комплексные числа как направленные отрезки. Он ввел операции умножения и деления направленных отрезков на основе операций с комплексными числами.

Так, результатом умножения отрезков z₁ и z₂, где z₁=r₁(cos+isin), z₂=r₂(cos+isin), является отрезок z₁z₂=r₁r₂(cos()+isin()). При этом отрезок z1 поворачивался на угол , а его длина r1 умножалось на число r2.

Векторную алгебру на плоскости (или двумерное векторное пространство) Вессель строит почти так же, как она изложена в наших учебниках. Для иллюстрации приведем его определение суммы нескольких векторов, следующее за определением суммы двух направленных отрезков: «Чтобы сложить более двух отрезков, нужно следовать тому же правилу: располагаем их так, чтобы конец первого совпадал с началом второго, а конец второго совпадал с первой точкой третьего и т. д., затем соединяем отрезком ту точку, где первый отрезок начинается с той точкой, где последний отрезок заканчивается, и называем этот последний отрезок суммой всех данных отрезков». Причем он подчеркивает, что в расширенное понятие сложения включен как частный случай и старый смысл этого действия, т.е. «Если складываемые отрезки одинаково направлены, то это определение суммы вполне согласуется с обычным сложением».

Вессель также строит исчисление направленных отрезков в пространстве (трехмерное векторное пространство) и, развивая оригинальную «алгебру вращения сферы», применяет ее к решению сферических треугольников и многоугольников. «Опыт» Весселя свидетельствует о том, что именно удовлетворение потребностей прикладной геометрии привело к развитию векторного исчисления.

Об этом говорят и философские воззрения великих ученых о роли математики в исследовании явлений природы. Система координат Р. Декарта основана на его концепции единой математики, объединяющей геометрию и алгебру. Развивая мысли Декарта о матемизации естествознания, Лейбниц писал: «Алгебра выражает величину необходим ещё иной, чисто геометрический анализ, непосредственно выражающий положение». Лейбниц говорил о построении геометрического исчисления, изучающего направленные отрезки, их длины, углы между ними. Эти мысли стали исходной точкой для многих геометрических работ.

Видное место в истории векторного исчисления занимает книга Карно «Геометрия положения» (1803). В ней автор вводит понятие геометрического количества, под которым он подразумевает в основном направленный отрезок, и занимается действиями над ориентированными фигурами, в частности отрезками. До него положительные и отрицательные отрезки рассматривались лишь в пределах одной прямой, он же ввел отрезки, имеющие любое направление, и фактически проложил путь к векторному исчислению. Некоторые введенные Карно термины и символы, в частности обозначение вектора с помощью черты наверху (, ), сохранились и поныне.

В 1835 г. Дж. Белаватис в «Теории эквиполентности» ввел свободные векторы, назвав эквиполентными направленные отрезки с равной длиной и совпадающими направлениями.

В сочинении по аналитической и проективной геометрии «Барицентрическое исчисление» (1827) немецкий математик А. Мебиус в известной мере продолжил труд Карно и систематизировал его идеи. Автор впервые представлял геометрическое количество АВ в виде разности точек: В - А.

Швейцарский математик Жан Арган (1768-1822) написал в 1806 г. «Опыт о способе изображения мнимых количеств в геометрических построениях». Арган ставит и корректно решает задачу построения исчисления направленных отрезков, которые он называет «направленными линиями». Примерно в то же время появился и ряд других работ (М. Бюэ, Дж. Уоррена и др.), в которых делаются попытки обобщения алгебраических понятий таким образом, чтобы «числами» и «величинами» охватить отрицательные и комплексные числа, и направленные отрезки.

В математике эта теория окончательно утвердилась после «курса алгебраического анализа» (1821) О. Коши и «Теории биквадратичных вычетов» (1832) Гаусса.

Дальнейшее развитие векторного исчисления связано с исследованиями гиперкомплексных числел, с помощью которых можно было бы изучать повороты направленных отрезков в пространстве.

Представители английской школы символической алгебры Дж. Пикок (1791-1858), Д. Грегори (1813-1844), А.Де Морган (1806-1874), Дж. Гревс (1806-1870) получили ряд интересных результатов, изучая триплеты, т.е. выражения вида

t=a+bi+cj,

где i²=-1,

j²=-1, a, b, c - действительные числа.

Однако им не удавалось так задать операции с триплетами, чтобы наряду с умножением была бы выполнима операция деления, кроме деления на нуль. У. Гамильтон в течение нескольких лет изучал операции с триплетами. Проделав громадные вычисления, он убедился, что на множестве триплетов систему с делением построить невозможно, и перешел к исследованию кватернионов, т.е. выражений вида

w=a+bi+cj+dk,

где i²=j²=k²=-1,

ij=-ji=k, jk=-kj=I, ki=-ik=j, a,b,c,d - действительные числа.

В своем труде «Лекции о кватернионах» Гамильтон дал строгое изложение алгебры комплексных чисел и создал учение, которое явилось одним из алгебраических источников развития современного векторного исчисления. В работе автор впервые вводит термины «вектор» (от лат. vector - «несущий или ведущий, влекущий, переносящий»), «скаляр», скалярное и векторное произведения, а так же определяет операции с векторами в трехмерном пространстве. Он писал: «Шаг от точки А к точке В можно рассматривать как работу по транспортировке или переносе подвижной точки из начального положения в конечное».

Теорию кватернионов развил и усовершенствовал математик и физик П. Тэт (1831-1901), посвятивший теории кватернионов и ее приложениям к физике 70 своих работ. В 1867 г. в «Элементарном трактате по теории кватернионов» Тэт впервые дал векторное изложение аналитической геометрии. В главе «Геометрия прямой и плоскости» Тэт предложил те задачи, которые и сейчас входят в учебники: найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки; найти длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость; найти условие того, что четыре данные точки лежат в одной плоскости, и т.д.

Грассман в труде «Учение о протяженности» (1844 г.) впервые излагает учение об n- мерном евклидовом пространстве, которое как частный случай включает теорию векторов на плоскости и в трехмерном пространстве. Векторы, названные автором палочками, он обозначал жирными буквами латинского алфавита. Скалярное произведение векторов, названное им внутренним произведением, он обозначал a | b; векторное произведение, внешним произведением, он обозначал [a, b].

Во второй половине 19 в. идеи векторного исчисления получили свое развитие, в основном, в области физики. Так, Сен-Венан (1797-1886), опираясь на труды Валлиса и Стевина, в работе «О геометрических суммах и разностях и их применении для упрощения изложения механики» (1845 г.) разработал теорию сложения и вычитания направленных отрезков. Джемс Кларк Максвелл (1831-1879), один из создателей теории электромагнитного поля, применил в своем «Учении об электричестве и магнетизме» векторное исчисление. «Ценность идеи вектора несказанна», - писал Максвелл Тэту. Из разбухшего аппарата теории кватернионов он выбрал то, что необходимо для векторного исчисления, и тем самым создал удобный инструмент, который широко использует современная физика.

Однако современный вид придали векторному исчислению в конце 19 в. американский физик, один из основателей химической термодинамики и статической механики - Дж. Гиббс (1839-1903), Грассман, и английский физик О. Хевисайд (1850-1925), применивший векторы в своей «Электромагнитной теории».

В последней четверти 19 в. происходит слияние, синтез трех путей (геометрического, алгебраического и физического) исторического развития и трех источников формирования векторного исчисления. Векторное исчисление становится независимой ветвью математики.

В современной математике раздел, в котором излагается учение о действиях с векторами, называют векторной алгеброй, так как эти действия имеют много свойств с алгебраическими действиями. Наряду с ней Гамильтон создал и векторный анализ, изучающий переменные векторы - векторные функции, и определил производные скалярной функции по векторному аргументу (градиент) и некоторые виды производных вектор-функций векторного аргумента - дивергенцию и роторы.

История векторного анализа подчеркивает неразрывную связь отдельных областей математики - алгебры, геометрии, математического анализа, теории функций комплексного переменного. Созданные в 16 в. для решения алгебраических уравнений комплексные числа в 19 в. стали образцом для открытия теории гиперкомплексных чисел, которая вскоре привела ученых к теории кватернионов и к векторному исчислению. Векторный анализ, построенный как математический аппарат для изучения электричества и магнетизма, стал научной базой для развития физических теорий, что в последствии привело к созданию тех благ цивилизации, которыми сейчас пользуется человечество.

1.2 Различные подходы к определению понятия вектора в математике и в школьном курсе математики

Вектор является одним из фундаментальных понятий современной математики. Эволюция этого понятия осуществлялась благодаря широкому использованию его в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Уже на уроках физики в 7 классе изложение материала ведется с широким привлечением векторного аппарата. Понятно, что это заставляет задуматься, прежде всего, над тем, как наиболее естественно ввести в курс математики средней школы понятие вектора, как эффективнее применять его при изложении теории и решении задач, как рассматривать основные действия над векторами.

Известно, что существует несколько подходов к ведению этого понятия.

В учебнике Л.Я. Куликова по алгебре [17] «n-мерным вектором над полем F (где F-поле скаляров) называется любой кортеж из n элементов поля F».

При таком подходе вектор обычно записывается в виде строки или столбца. Например, (б₁, б_2,…, б_n), где б_i-скаляры.

Вводится определение равных векторов.

Определение1: Векторы (б₁, б_2,…, б_n) и (в₁,в_2,…, в_n) называются равными, если б_i=в_i, .

Так же на множестве n-мерных векторов определены операции сложения, умножения вектора на скаляр.

Определение 2: Суммой векторов (б₁, б_2,…, б_n) и (в₁,в_2,…, в_n) называется вектор (б₁+в₁,б₂+в_2,…, б_n+в_n).

Определение 3: Произведением скаляра л на вектор (б₁, б_2,…, б_n) называется вектор (лб₁, лб_2,…, лб_n).

Определение 4: Вектор (0,0,…,0) называется нулевым вектором и обозначается символом 0. Нулевой вектор является нейтральным элементом относительно сложения.

Определение 5: Вектор (-1)(б₁, б_2,…, б_n) называется вектором, противоположным вектору а=(б₁, б_2,…, б_n), и обозначается символом - а.

Очевидно а+(-а)=0.

В теории линейной алгебры можно встретить другой, абстрактный подход. Например, в учебном пособии [4] вектор определяется как элемент векторного пространства V, который обладает рядом свойств:

1) () 1=;

2) () 0=;

3) () =;

4) () (-1)= -

В данном случае определение вектора вводится аксиоматически, через систему свойств.

В качестве векторных пространств в смысле этого определения можно привести следующие:

1. V₂-множество векторов на плоскости. Тогда V₂- векторное пространство над R.

2. С - векторное пространство над R, Q. R-векторное пространство над Q.

3. Нулевое векторное пространство V={} над Р.(+=, =).

Анализируя оба подхода к определению понятия вектора, лежащих в основе линейной алгебры, можно сделать вывод, что в данном случае геометрия полностью заменяется алгеброй, а все арифметические операции над векторами сводятся к аналогичным операциям над числами.

В геометрии к определению понятия вектора другой подход:

«Вектор - геометрический объект, характеризующийся направлением и длиной».

Кроме того, существуют различные конкретизации.

I. Предметом векторного исчисления служит вектор как множество сонаправленных отрезков, имеющих одинаковую длину.

Соответственно этому подходу векторы рассматривают с точностью до их положения (т.е. не различая равных векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом). В этом смысле векторы называют свободными. Таким образом, свободные векторы вполне определяются заданием его длины и (если он не нулевой) направления. Равные векторы, не совпадающие по положению, рассматриваются как различные конкретные изображения одного и того же свободного вектора.

Данный подход имеет ряд преимуществ. Во-первых, он упрощает понятие равенства, а во-вторых, однозначно определяет операции для свободных векторов. Так, сумма двух свободных векторов есть определенный свободный вектор, тогда как, к примеру, суммой двух направленных отрезков служит любой из направленных отрезков, полученных соответствующим построением. Тем не менее, этот подход осложняется большим числом оговорок. Например, из начального курса физики хорошо известно, что сила может быть изображена направленным отрезком. Но она не может быть изображена вектором в смысле этого определения, поскольку силы, изображаемые равными направленными отрезками, производят, вообще говоря, различные действия. (Если сила действует на упругое тело, то изображающий её отрезок не может быть перенесен даже вдоль той прямой, на которой он лежит).

II. В основу теории движения заложено понятие вектора как параллельного переноса.

Параллельным переносом называется такое движение, при котором точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Действительно, задать параллельный перенос - это все равно, что задать длину (а именно расстояние, на которое смещаются все точки) и направление (а именно, направление, в котором смещаются все точки), а задать длину и направление - все равно, что задать свободный вектор.

В этом случае сложение векторов соответствует сочетанию (композиции) параллельных переносов.

Такое определение вектора позволяет устранить противоречия с теоретико-множественной точки зрения на понятие равенства, которое возникло при традиционном определении вектора как направленного отрезка. Кроме того, такой подход к введению понятия вектора является логически безупречным, но, между тем, он недостаточно нагляден.

III. В аналитической геометрии вектор определяется как направленный отрезок.

«Пара точек называется упорядоченной, если про эти точки известно, какая из них первая, а какая-вторая» [4, с. 15].

Определение 1: Отрезок, концы которого упорядочены, называется вектором. Нулевой вектор - вектор, у которого начало и конец вектора совпадают.

Определение 2: Векторы называются коллинеарными, если существует такая прямая, которой они параллельны.

Определение 3: Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной.

Определение 4: Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют равные длины.

При данном подходе операции сложения векторов и умножения вектора на число определяются следующим образом:

Определение 5: Пусть даны 2 вектора и . Суммой называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Определение 6: Пусть даны вектор и число . Обозначим их модули соответственно через и . Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную , и направление такое же, как у вектора , если >0, и противоположное, если <0.

Операция вычитания векторов определяется как операция, обратная сложению.

Определение 7: Разностью называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор .(разность двух векторов, приведенных к общему началу, есть вектор, идущий из конца «вычитаемого» вектора в конец «уменьшаемого»).

Данный подход к определению понятия вектора нагляден, но неоднозначно определяет результат операций над векторами.

Анализируя представленные подходы, необходимо отметить, что векторы, представляемые параллельными переносами, перемещением точек, направленными отрезками являются лишь изображения векторов, но не сами векторы в их общем понятии.

Приведем еще один подход к определению понятия вектора, автором которого является Вейль. Этот подход составляет основу векторного изложения геометрии [5].

Вейль относит вектор к числу первоначальных неопределяемых понятий. К ним же относится и понятие суммы векторов (некоторое правило, которое каждым двум векторам и однозначно сопоставляет вектор + ), умножение вектора на число, скалярное произведение векторов

Свойства арифметических операций над векторами автор описывает через систему аксиом. Он выделяет 5 групп аксиом.

1 группа: аксиомы сложения

1.1. ( и ) ;

1.2. (, , ) ;

1.3. ()(); вектор принято обозначать и называть нулевым вектором.

1.4. ()(); вектор принято обозначать и называть вектором, противоположным вектору .

2 группа: аксиомы умножения вектора на число

2.1. ( k, l, ) ;

2.2. ( k, , ) ;

2.3. ( k, l, ) ;

2.4. ()

3 группа: аксиомы размерности

3.1. Существует три линейно независимых вектора;

3.2. любые 4 вектора линейно зависимы

4 группа: аксиомы скалярного умножения векторов

4.1. (, ) ;

4.2.. ( k, , ) ;

4.3. (, , ) ;

4.4. (); умножение вектора на себя называется скалярным квадратом и обозначается ². Длиной вектора называется число .

Все 4 группы аксиом справедливы для множества R³ - множества всех векторов. Кроме этого множества Вейль рассматривает непустое множество Е³, элементами которого являются точки. Точка, как и вектор, относится к числу неопределяемых понятий. К ним же относится и некоторое правило, которое каждой упорядоченной паре А, В ставится в соответствии вектор .

В связи с этими понятиями Вейль приводит 5 группу аксиом: аксиомы точек:

5.1. ( т. А, В, С)

5.2. ( т. А, ) (В) =

5.3.. ( т. А, В) =А=В

На основе приведенных определений и аксиом Вейль вводит различные основные понятия геометрии, доказывает теоремы.

Такой подход к определению понятия вектора достаточно громоздкий. Кроме того, при таком подходе затруднено понятие результата выполнения арифметических действий над векторами. Тем не менее, этот подход обладает рядом преимуществ: при векторном изложении некоторые теоремы геометрии доказываются значительно проще, чем при традиционном изложении.

Итак, в математике существуют различные подходы к определению понятия вектора. Каждый из них имеет преимущества и недостатки. Однако никакой из них не может быть «перенесен» в школьный курс геометрии без должных оговорок.

Рассмотрим специфику изложения темы «Векторы» в различных школьных учебниках по геометрии.

Прежде всего, обратимся к истории. Как же предполагалось изучать векторы?

В учебном пособии [10] под редакцией А.Н. Колмогорова вектор определялся как параллельный перенос плоскости: «Параллельным переносом (вектором) называется отображение плоскости на себя, при котором все точки плоскости изображаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние».

Это определение обладает тем важным преимуществом, что параллельный перенос представляет свободный вектор, и потому все векторные операции с ним определяются как однозначные. При таком определении вектора векторное исчисление может быть изложено без противоречий и смешения понятий.

Однако если обратиться к задачам, предлагаемым в учебнике, то сразу видно, что в них фигурируют направленные отрезки, а не переносы плоскости или пространства.

В следующем пособии для 9-10 классов [11] (под редакцией З.А. Скопеца), вектор определяется уже как параллельный перенос пространства. «Параллельным переносом, определяемым парой (А, В) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка М отображается на такую точку М₁, что луч ММ₁ сонаправлен с лучом АВ, расстояние ММ₁равно расстоянию АВ». Таким образом, вектор вводился как множество пар точек, задающих один и тот же перенос.

В последнем издании учебника под редакцией А.Н. Колмогорова явно вводится понятие свободного вектора, и перенос привлекается только как его изображение. В результате изложение оказалось существенно лучше, чем в других учебниках для 6-8 классов того времени, без путаницы и ошибок.

В перестройке школьного курса геометрии, происходящей в середине 80-х годов ХХ века, одним из центральных моментов оказалось коренное изменение понятия о векторе. Вектор, определяемый как параллельный перенос плоскости или пространства, был заменен направленным отрезком: на место отображения плоскости или пространства на себя поставлена фигура с «отмеченной» точкой (один конец отрезка «отмечен» как начало).

Проведем обзор введения понятия вектора в современных учебниках.

В учебнике А.В. Погорелова [21] изложение темы начинается следующим образом: «Вектором мы будем называть направленный отрезок. Направление вектора определяется указанием его начала и конца… Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, b, c,… Можно так же обозначить вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первое место» [21, c. 117].

«Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор».

Проведем анализ данного подхода. Назвав направленный отрезок вектором, автор не объяснил, не определил, что называется направленным отрезком. Поэтому и конкретное определение вектора отсутствует. Говорится только о направлении вектора - «отмечается стрелкой», хотя «стрелка» - это не геометрическое понятие.

При введении обозначений не понятно, что называется началом и концом вектора. Это происходит оттого, что опять же не дано определение направленного отрезка, который «направлен» тем, что указан порядок его концов.

Модулем вектора названа «длина отрезка, изображающего вектор». Таким образом, выходит, что направленный отрезок, который назван вектором, изображает вектор. Получается некоторого рода тавтология. (Направленный отрезок и есть изображение вектора, а не сам вектор, как его понимают в векторном исчислении.)

Далее определяется равенство векторов - направленных отрезков: они равны, если совмещаются параллельным переносом. Перенос же был определен ранее формулами х=х+а, у=у+b в прямоугольных координатах. Однако, то, что это определение не зависит от выбора системы координат, не оговаривается. Таким образом, принципиальный момент независимости определения от выбора системы координат оказался скрытым.

Затем вводятся координаты вектора, и операции с векторами определяются через операции с их координатами; исходный геометрический смысл этих операций отодвигается на второй план, так что получается искаженное представление векторного исчисления, которое создано и применяется как геометрическое исчисление, чтобы обходиться, насколько возможно, без координат.

К тому же получается непоследовательность: понятие вектора определяется посредством наглядного образа направленного отрезка, а в определении действий этот образ не используется. Кроме того, координаты задают не вектор как направленный отрезок, а свободный вектор: у всех равных векторов координаты одни и те же. Поэтому фактически определяются операции со свободными векторами. Таким образом, вместо исчисления векторов подается исчисление пар чисел с геометрической интерпретацией.

Так координаты вытесняют геометрию. Этот факт хорошо прослеживается при формулировке теорем и их доказательств. Например, при доказательстве того, что векторы и противоположно направлены, используют координаты (пользуются правилом умножения вектора на число, в частности на -1), тогда как ответ был бы очевиден, если геометрически определено, что значит противоположно направленные векторы (но такое определение не дано).

Положительным моментом является рассмотрение физического приложения векторов в § 95 - «Сложение сил». В нем вводится равнодействующая нескольких сил, и определяется их изображение. Приведен пример решения задачи из физики.

В задачном материале А.В. Погорелов рассматривает следующие виды заданий:

- Доказательство равенства векторов;

- Доказательство перпендикулярности векторов;

- Вычисление угла между векторами.

Основным теоретическим базисом при решении этих задач являются определения равенства векторов и скалярного произведения векторов. Надо отметить, что аппаратом решения заданий становятся формальные действия с координатами, т.е. геометрическое приложение векторов опускается.

Также автор предлагает 2 содержательные задачи. Их требование - найти угол между прямыми.

В учебнике Л.С. Атанасяна и др. [8] вектор так же определяется как направленный отрезок, но изложение строится иначе, чем в учебнике А.В. Погорелова.

В параграфе «Понятие вектора» п.1 начинается так: «Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами или векторами».

Далее, после приведения примера изображения силы в физике, говорится: «Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных величин, мы приходим к геометрическому понятию вектора… Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

Недостаток этого изложения состоит в том, что дается два понятия вектора без должных оговорок. Однако авторы не могут оставить определение вектора как направленного отрезка. В конце §1 они делают важное замечание.

«Замечание. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Иногда про такие векторы говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек». По сути, здесь говорится о свободном векторе. Но само определение этого понятия не вводится.

Описав сложение векторов по правилу треугольника, когда первое слагаемое откладывается от точки А, так что , авторы пишут: «Докажем, что если… точку А, от которой откладывается вектор , заменить другой точкой А₁, то вектор заменится равным ему вектором ». Таким образом, сумма представляется неоднозначной: ее представляют бесконечно много (хотя и равных) направленных отрезков. Это вносит некоторую неопределенность, хотя и логично с точки зрения подхода, изложенного в данном учебнике.

Так же недостаток изложения состоит еще в том, что в учебнике некоторые важнейшие свойства векторов принимаются без доказательства, хотя их можно было бы доказать доступно для учащихся. Так, свойствам произведения вектора на число дается только геометрическая интерпретация.

Задачный материал в учебнике Л.С. Атанасяна направлен на осознание, осмысление вводимых дидактических единиц. Он служит своеобразным пропедевтическим курсом для решения задач векторным методом.

Содержательных задач в главе немного, но они разнотипны. Ключевые из них решены в учебнике.

В учебнике И.Ф. Шарыгина [31] вектор так же определяется через направленный отрезок: «Рассмотрим на плоскости две точки А и В. Обозначим через вектор АВ, понимая под этим направленный отрезок АВ, т.е. отрезок, у которого точка А является началом, а точка В концом».

Автор не вводит определения сонаправленных и коллинеарных векторов, поэтому понятие равенства состоит из двух утверждений: «Два вектора и , расположенные на одной прямой, считаются равными, если равны отрезки АВ и CD, т.е. равны длины этих векторов, а лучи АВ и CD задают одинаковые направления.

Если же векторы и не расположены на одной прямой, то они считаются равными, если четырехугольник АВDC является параллелограмом».

Такое определение достаточно сложно для понимания учащимися. Каждый раз при доказательстве равенства векторов требуется достраивание до четырехугольника, что не всегда удобно, и показывать, что он является параллелограммом.

Далее говорится: «Таким образом, мы можем вектор не только перемещать вдоль соответствующей прямой, но и переносить его начало в любую точку плоскости». Тем самым автор высказывает идею о свободном векторе.

Так же, как и А.В. Погорелов, И.Ф. Шарыгин вводит координаты вектора, и на их основе определяет операции с векторами.

В связи с этим, и основным способом решения задач по учебному пособию И.Ф. Шарыгина становится выражение векторов через координаты, произведение с ними арифметических действий.

Автор предлагает задания на отработку понятия скалярного произведения векторов. Он приводит следующие виды метрических задач:

- найти угол между прямой и плоскостью;

- найти угол между плоскостями;

- доказательство того факта, что сумма косинусов двугранных углов любого тетраэдра не больше двух;

- доказательство того, что все три угла между биссектрисами плоских углов трехгранного угла одновременно либо острые, либо прямые, либо тупые.

Также И.Ф. Шарыгин предлагает для решения достаточное количество содержательных задач, методом решения которых может стать векторный.

В учебнике А.Д. Александорова [2] понятие вектора вводится аналогично подходу, изложенному у Л.С. Атанасяна.

«Величины, которые характеризуются не только численным значением, но и направлением, называются векторными величинами или векторами. Численное значение вектора называется его модулем».

Далее автор выделяет пункт «Направленные отрезки».

«…Если тело переместилось из точки А в точку В, то это перемещение естественно изобразить отрезком, направленным из точки А в точку В…У направленного отрезка указан порядок концов.» После этого автор обращает внимание учащихся на то, что направленный отрезок - лишь изображение вектора, а не сам вектор в общем понимании.

В отличие от Л.С. Атанасяна, А.Д. Александров доказывает, что отношение равенства на множестве векторов обладает отношением эквивалентности, выделяя тем самым следующие свойства:

1. Каждый вектор равен самому себе.

2. Если вектор равен вектору , то равен .

3. Два вектора, равные третьему вектору, равны.

Однако, в отличие от остальных авторов, А.Д. Александров не вводит понятие компланарных векторов. Он определяет следующие способы разложения вектора: по прямой и плоскости, по трем прямым. Предлагает для решения задачи на отработку этих умений.

Кроме того, А.Д. Александров приводит задачи на геометрическую интерпретацию векторов:

- Отложить вектор, равный сумме двух или более данных;

- Отложить вектор, равный разности двух векторов;

- Доказать векторные равенства, пользуясь изображением параллелепипеда.

Анализируя представленные подходы, можно сделать вывод, что все авторы в той или иной степени стремятся дать определение свободного вектора. Это делается у различных авторов по-разному. Дело в том, что если понимать вектор как любой из равных направленных отрезков, то нужно только определить, что значит, что эти отрезки одинаково направлены, а это можно определить достаточно просто, через сонаправленные лучи, например, как сделано в учебнике А.Н. Колмогорова. (Но в этом учебнике транзитивность сонаправленности не доказана.) В учебнике Л.С. Атанасяна и др. полного определения нет, а у А.В. Погорелова оно опирается на понятие параллельного переноса, определение которого сложно, поскольку использует координаты.

В заключении приведем цитату из статьи А.Д. Александрова: «Определение вектора как направленного отрезка, рассматриваемого с точностью до выбора начала, может показаться настолько расплывчатым и не подходящим под установившиеся стандарты определений. Но оно выражает то, как в действительности понимают вектор, и потому на самом деле применяют, а не так, что дается определение, заучивается, а затем применяется другое определение.

Определения нужны не для заучивания, а для уточнения понимания. Нужно добиваться не пустого заучивания, а действенного, т.е. работающих в применениях понимания» [3, с. 45].

1.3 Обучение решению задач как психологическая и методическая проблема

С выдвижением понятия вектора в число ведущих идей школьного курса геометрии векторный метод стал одним из основных методов решения геометрических задач. Поэтому перед выявлением специфики векторного метода, разработки конкретной методики обучения школьников решению математических задач, необходимо проанализировать само понятие задач, их роль и место в обучении математике.

Задачи играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни, направляют всю его деятельность, всю его жизнь. Поэтому проблемы, связанные с этим понятием, занимают значительное место во многих науках. Например, в психологии исследуются процессы решения задач и особенности этих процессов при решении отдельных их видов. Предметом исследования дидактики и частных методик являются вопросы использования решений задач в обучении.

Выявим существенные дидактические, психологические и методические аспекты задач применительно к обучению математике.

В обучении математике задачи играют большую роль. Эта роль определяется, с одной стороны, тем, что конечные цели этого обучения сводятся к овладению учащимися методами решения определенной системы математических задач. С другой стороны, она определяется и тем, что полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учащимися системы учебных и математических задач, которые являются важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний и способов деятельности.

Кроме того, «от эффективности использования задач в обучении математике во многом зависит не только качество обучения, воспитания и развития учащихся средней школы, но и степень их практической подготовленности к последующей за обучением деятельности в любой сфере производства, народного хозяйства, культуры, личных и общественных взаимоотношений» [24, с.5].

Чтобы раскрыть еще большую значимость математических задач в школьном обучении, попробуем выявить роль и место задач во всей системе школьного математического образования, в единстве реализуемых при этом целей обучения, воспитания и развития учащихся.

Выявление роли и места задач в современном обучении математике диктует целесообразность изучения дидактически направленной характеристики важнейших компонентов математического развития учащихся, которые должны формироваться в процессе школьного обучения, выявления основных функций задач в системе развивающего и воспитывающего обучения математике; характеристики самого понятия учебной задачи и психолого-дидактических особенностей процесса ее решения.

В различных областях знания (психология, педагогика, математика, методика математики) проблему содержания понятия «задача» исследовали Г.А. Балл, Ю.М. Калягин, Л.М. Фридман, В.И. Крупич, А.Ф. Эсаулов, Н.А. Менчинская и многие другие. Каждый из них дает свою точку зрения на рассматриваемую проблему.

Приведем несколько определений понятия задачи:

Примером наиболее широкой трактовки понятия задачи является определение, данное Я.А. Пономаревым, как «состояние возмущения взаимодействующей системы».

А.Ф. Эсаулов определяет задачу как более или менее определенную систему информационных процессов, несогласованное или даже противоречивое отношение между которыми вызывает потребность в их преобразовании. Суть решения как раз и заключается в поисках преодоления путей такого несогласования.

С.О. Шатуновский предлагает рассматривать задачу как изложение требования «найти» по «данным» вещам другие «искомые вещи», находящиеся друг к другу и к данным вещам в указанных состояниях.

В методике математике под задачей принято понимать «задание, которое должен выполнить субъект, или вопрос, на который он должен найти ответ, опираясь на указанные условия и все вытекающие из них следствия» [28, с. 158].

Из приведенных примеров различных трактовок понятия задачи, можно сделать вывод, что понятие задачи достаточно сложно и многогранно.

Г.И. Саранцев считает, что основное отличие в подходах к содержанию этого понятия состоит в том, что авторы по-разному подходят к отношению между субъектом и задачей. Одни из них рассматривают задачу как ситуацию, в которой действует субъект, в других трактовках субъект не включается в понятие задачи. Таким образом, он подчеркивает, что для задачи характерны две стороны: объективная и субъективная. К первой относятся предмет действия, требование, место в системе задач, логическая структура решения задачи, определенность и неопределенность условия и т.д., ко второй - способы и средства решения.

К понятию «задача» тесно примыкает понятие процесса решения задачи.

В свою очередь, по мнению психологов, процесс решения задач тесно взаимосвязан с процессом мышления. Многие исследования показывают, что именно в ходе решения задач самым естественным образом можно формировать у школьников элементы творческого, логического и алгоритмического мышления.

Необходимо отметить, что умственное развитие учащихся является одной из основных задач обучения математике. Многие авторы связывают его именно с развитием математического мышления. В соответствии с этим возникает вопрос, что представляет собой математическое мышление, каковы его специфические черты. «Чаще всего математическое мышление рассматривается в соответствии со спецификой математики, которая состоит в особенностях ее абстракций (Ж. Адамар, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевичи др.)» [28, c.82]. В их работах сущность понятия математического мышления ассоциируется с понятием математических способностей. Выделяется огромное число черт математических способностей: сила абстрагирования, оперирование абстракциями, геометрическая интуиция, четкое логическое рассуждение, гибкость мышления, математическая интуиция, анализирование, синтез, стремление к рациональности решения, лаконизм, оригинальность мышления и др. Все эти способности можно развивать в процессе решения задач. Поэтому наша цель на данном этапе - выявить такие условия обучения решению задач, при которых максимально эффективно будут развиваться перечисленные нами математические способности.