, и лежат в одной плоскости A, B, C, D принадлежат одной плоскости A, B, C, D принадлежат одной плоскости

-Показать, что 3 вектора, определяемые этими точками, компланарны.

{Аналогичная работа проводится по решению задачи на доказательство параллельности прямой и плоскости. В конце урока делается общий вывод: какие задачи модно решать, используя компланарнось векторов}

2.3 Методика обучения векторному методу решения содержательных геометрических задач

Векторный метод является одним из аналитических методов решения геометрических задач и доказательства теорем. Сущность его состоит в том, что условие и требование задачи записываются в векторной форме, а ее решение состоит в переходе от условия к требованию на основе законов векторной алгебры.

Векторный метод относится к методам алгоритмического типа, т.к. можно выделить общую схему решения геометрических задач векторным методом.

Этот план включает следующие пункты:

1. Прочитав и проанализировав условия, выполнить рисунок

2. Согласно условию и требованию задачи, ввести в рассмотрение векторы

3. Выразить через них векторы, необходимые для решения задачи

4. «Перевести» условие и требование задачи на язык векторов

5. С помощью преобразований над полученными векторными соотношениями придти от условия задачи к требованию.

6.Полученному векторному соотношению дать геометрическое истолкование

Поэтому, при организации урока по обучению учащихся векторному методу необходимо учитывать технологию работы с алгоритмом, разработанную в теории и методике обучения математики.

Имеется 3 различных возможностей построения данного урока:

1. Повторить с учащимися умения, входящие в состав векторного метода; затем сообщить им тему урока, сформулировать в готовом виде схему решения задач векторным методом, и далее отрабатывать этот алгоритм на примере решения ряда задач.

2. Вспомнить с учащимися алгоритм решения задач векторным методом из планиметрии, по аналогии найти план решения стереометрических задач векторным методом.

3. В результате совместного поиска учителем и учащимися решения стереометрической содержательной задачи выделить план решения этой задачи векторным методом; обобщить алгоритм для всех задач.

Нам представляется более целесообразным третий подход, т.к. организация такого урока соответствует основному принципу деятельностного подхода: включение ученика в целесообразно организованную деятельность.

Урок должен включать в себя три основных блока: мотивационно-ориентировочный, оперативно-познавательный и рефлексивно-оценочный.

На этапе актуализации необходимо повторить с учащимися умения, необходимые для решения задач векторным методом:

- переводить геометрическое свойство фигур на векторный язык и обратно;

- преобразовывать векторное выражение,

- представлять вектор через другие,

На отработку этих умений были направлены предыдущие уроки-практикумы.

В качестве создания проблемной ситуации можно предложить решить задачу, которая известными методами решается достаточно трудно. Отсутствие решения предложенной задачи послужит мотивацией к дальнейшей деятельности.

После изучения векторного метода учащиеся должны усвоить типы задач, решаемых с помощью векторов. Для этого целесообразно постепенно составлять систематизирующую таблицу (приложение 1).

Полезно в конце изучения темы выделить преимущества и недостатки векторного метода. Это можно сделать, решив ряд задач двумя методами (векторным и конструктивным).

Подобная организация работы будет способствовать более эффективному усвоению учащимися векторного метода решения геометрических задач.

Приведем конспект урока № 8 по теме «Векторы в пространстве» (1 ч.)

Тема урока: «Применение векторов к решению геометрических задач»

Тип урока: урок изучения нового

Форма проведения урока: школьная лекция.

Учебные задачи урока:

1. «Открыть» совместно с учащимися план решения задач векторным методом.

2. Выявить совместно с учащимися типы аффинных задач, решаемых векторным методом.

Диагностируемые цели:

В результате ученик:

· Знает

- план решения стереометрических задач векторным методом;

- некоторые типы задач, решаемых с помощью векторов;

· Умеет

- пользоваться таблицей основных векторных равенств и словарем перевода при решении задач

· Понимает, что некоторые пункты плана решения задач векторным методом можно менять (пропускать).

Подготовка к уроку: Учитель на урок приносит карточки с заданиями для каждого ученика, плакат с записанной схемой решения геометрических задач векторным методом. Таблица векторных равенств и словарь перевода уже вывешены в классе.}

Ход урока

Педагогическая деятельность учителя	Учебная деятельность учеников
I. Мотивационно - ориентировочный этап. Форма проведения: самостоятельная работа {Учитель раздает карточки с заданиями. Ученики их выполняют (записи ведут на карточках). Затем ученики в паре меняются выполненными работами. Осуществляется взаимопроверка} Задание №1. Найти: 1) 2) 3) Выразите через и Задание №2 Записать на языке векторов 1)М - середина АВ 2) АВ, CD, EF - лежат в одной плоскости.
-Предлагаю вам решить задачу № 375. Дан тетраэдр DABC. Точки К, М - середины АВ и CD. Докажите, что середины отрезков КС, KD, MA, MB являются вершинами некоторого параллелограмма.
- Предлагаю решить эту задачу известными вам способами. На обдумывание дается 2 минуты. - Какими способами вы пробовали решить задачу? Что у вас получилось?	{Отвечают на вопрос, аргументируя вызвавшее затруднение}
-Какую общую тему мы изучаем на протяжении последних уроков?	-Векторы в пространстве
Какой метод, связанный с применением векторов, мы рассматривали в планиметрии? -Как вы думаете, можно ли применить векторный метод, чтобы решить стереометрическую задачу?	Векторный -Наверное, можно
-Верно, в пространстве, как и на плоскости, при решении задач может быть реализован векторный метод. -Итак, сформулируйте тему нашего урока.	Векторный метод решения стереометрических задач
-Какова же в связи с темой цель нашего урока?	- Открыть способ решения задач векторным методом
{Тема урока записывается на доске и в тетрадях}
II Операционно-познавательный этап.
-Вернемся к решению сформулированной задачи. -Что значит на векторном языке: доказать, что A1A2A3A4 - параллелограмм? -Чем вы воспользовались при ответе на данный вопрос? -Что означает второе условие на геометрическом языке? -Выполняется ли это условие? Почему? -Таким образом, что нам достаточно проверить? -Итак, мы должны выразить векторы . Как это можно сделать? Необходимо ввести в рассмотрение векторы, но не произвольно, а учитывая условие задачи. - Известно, что точка М - середина DC. Как этот факт записать с помощью векторов? -Верно. Начнем оформление задачи.	- , Словарем «перевода» геометрических свойств фигур на векторный язык -А1, А2, А3 не лежат на одной прямой -Выполняется. Т.к. в противном случае АВ было бы параллельно DC, что невозможно -
Учитель, привлекая учеников, проводит решение у доски, показывает образец оформления, учащиеся в тетрадях (записи ведутся в 2 колонки) Вторая колонка заполняется после решения задачи
1) М - середина DC К-середина АВ А1-серединаКС А4-середина МВ А2-середина АМ А4-середина МВ	1. Ввели векторы. 2. «Перевели» условие и требование задачи на векторный язык.
2.) Выразить векторы, не- =	3. Выразили векторы, необходимые для решения. 4.Перешли от условия к требованию задачи. 5. «Перевели» векторное выражение на геометрический язык
-Давайте проанализируем решение задачи и составим план решения задач векторным методом. -С чего мы начали решение данной задачи? -Как мы это сделали?	-Ввели в рассмотрение векторы. -Учитывая условия задачи
Продолжая беседу аналогичным образом, заполняется вторая колонка. После проведенного анализа учитель вывешивает заранее подготовленную схему: Прочитав и проанализировав условия, выполнить рисунок Согласно условию и требованию задачи, ввести в рассмотрение векторы Выразить через них векторы, необходимые для решения задачи «Перевести» условие и требование задачи на язык векторов С помощью преобразований над полученными векторными соотношениями придти от условия задачи к требованию. Полученному векторному соотношению дать геометрическое истолкование}
-Учитывая, что A1A2A3A4 - параллелограмм, составьте на основе этой задачи новые, изменив требование задачи. -Хорошо. Сделайте вывод, какие задачи мы можем попытаться решить, используя векторный метод? -Верно. Рассмотрим еще один вид задач, которые можно решить с помощью векторного метода. Перейдем к решению задачи №395. Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1 совпадают, то прямые АА1, ВВ1, СС1 параллельны некоторой плоскости. -С чего начнем решение этой задачи?	-Доказать, что А1А2А3А4, А2А3А1А4, А1А2=А3А4, А2А3=А1А4 -Доказательство факта, что данная фигура - параллелограмм, доказательство параллельности прямых, доказательство равенства двух отрезков С построения чертежа
-Что значит, прямые АА1, ВВ1, СС1? -Как можно на векторном языке представить данный факт? -Верно. Нам надо попытаться выразить один вектор через два остальных. -Что нам еще необходимо сделать, согласно плану решения. {Учитель оформляет задачу на доске под диктовку учащихся}	-Это значит, направляющие их векторы компланарны {Обращаются к словарю перевода} - -Ввести в рассмотрение векторы, учитывая условия задачи.
1. М-медиана АВС М-медиана А1В1С1 2. = , , т.е. 3. АА1, ВВ1, СС1 ч.т.д.
-Какой вид задач мы еще смогли решить, используя векторный метод? -Что нам для этого потребовалось установить? -Какой теоретический факт лежал в основе доказательства? -Какие виды задач можно ещё решить, используя критерий компланарности векторов? {На предыдущем уроке рассматривался данный вопрос} -Посмотрите на решение задачи №372 (с.95). Докажите, что диагональ АС1 параллелепипеда АВСDA1В1C1D1 проходит через точки пересечения медиан треугольников A1BD и CB1D1 и делится этими точками на три равных отрезка. - Что необходимо установить в этой задаче в общем случае (используя термины «точка», «прямая»)? -Какое теоретическое положение используется в решении задачи при доказательстве этого факта? -В каком отношении точка М1 делит отрезок АС?	-Доказательство параллельности трех прямых некоторой плоскости -Что направляющие векторы этих прямых компланарны -Критерий компланарности 3-х векторов. - Доказательство факта, что 4 точки лежат в одной плоскости; доказательство параллельности прямой и плоскости. {Дается 1 мин. для ознакомления с решением задачи} -Необходимо доказать принадлежность точек прямой. -критерий коллинеарности 2-х векторов -1:3
-Выделите еще один тип задач, решаемых векторным методом. -Верно. Таким образом, мы выделили ещё два типа задач, решаемых векторным методом: установление принадлежности точек прямой и нахождение отношений длин отрезков. III. Рефлексивно-оценочный этап. -Итак, какова была цель нашего урока? -Каковы этапы решения задач мы с вами выделили?	-Найти, в каком отношении делит отрезок точка, принадлежащая этому отрезку -Найти способ решения задач векторным методом 1. Прочитав и проанализировав условия, выполнить рисунок 2. Согласно условию и требованию задачи, ввести в рассмотрение векторы 3. Выразить через них векторы, необходимые для решения задачи 4. «Перевести» условие и требование задачи на язык векторов 5. С помощью преобразований над полученными векторными соотношениями придти от условия задачи к требованию. 6. Полученному векторному соотношению дать геометрическое истолкование
-Чем вы можете воспользоваться при решении задачи на этапах 2, 3, 5? -А чем на этапах 4 и 6? -Заметим, что выделенная нами схема является примерной. В зависимости от содержания задания часть из этих этапов может быть проведена «мысленно», «перевод» может осуществляться не сразу, а постепенно по ходу решения и т.д. -Какие типы задач можно попытаться решить, используя векторы? -Какие теоремы используются в решении данных задач? -Как вы думаете, чем мы с вами будем заниматься на следующих уроках? Д\З: №398	-Таблицей основных векторных равенств -Словарем «перевода» геометрических свойств фигур на язык векторов -Доказательство параллельности прямых, прямой и плоскости, трех прямых некоторой плоскости; установление принадлежности 3-х точек одной прямой -Критерий компланарности 3-х векторов, критерий коллинеарности 2-х векторов. -Решать задачи векторным методом.

Пример 2. Уроки № 8,9 по теме «Векторы в пространстве» (2ч.)

Тема урока: «Применение векторов к решению геометрических задач»

Тип урока: урок решения задач

Форма проведения урока: урок-практикум

Учебные задачи урока:

1. Формировать у учащихся умение применять векторный метод при решении содержательных задач.

2. Выявить совместно с учащимися типы аффинных задач, решаемых с помощью векторов.

3. Выявить совместно с учащимися преимущества векторного метода.

Диагностируемые цели:

После урока ученик

Знает

- типы аффинных задач, решаемых с помощью векторов;

- основные преимущества векторного метода решения геометрических задач перед конструктивными методами.

Умеет

- применять векторный метод к решению содержательных задач

Понимает

- важность изучаемой темы.

Ход урока

Педагогическая деятельность учителя	Учебная деятельность учеников
I. Мотивационно-ориентировочный этап
{Вызывается ученик для проверки домашнего задания. Пока ученик готовиться, учитель проводит устный опрос}
-Какова была тема нашего прошлого урока? - -Какие типы задач можно попытаться решить, используя векторы? -Какие факты используются при доказательстве? -Сформулируйте критерий коллинеарности двух векторов. -В каких ещё задачах, рассмотренных нами, используется критерий коллинеарности векторов? -Какие типы задач мы еще рассматривали? -Что для этого необходимо установить? -Сформулируйте критерий компланарности 3-х векторов. -Теперь давайте проверим решение домашней задачи.	-Применение вектора к решению задач. -Доказательство параллельности прямых. -Определение равных векторов, критерий коллинеарности 2-х ненулевых векторов. и коллинеарны, =k -Доказательство принадлежности точек прямой; вычисление отношений длин отрезков, на которые делит точка данный отрезок. -Доказательство параллельности 3-х прямых данной плоскости. -Что направляющие векторы этих прямых компланарны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1. М1 - центроид А1В1С1 М - центроид АВС М2 - центроид А2В2С2 2. =-= = =-= = 3. А-середина А1А2 В-середина В1В2 С-середина С1С2 = = Значит, точки М, М1, М2 лежат на одной прямой (по определению коллинеарных векторов, критерию коллинеарности 2-х ненулевых векторов) {В ходе проверки домашнего задания повторяются этапы решения задач векторным методом, выясняется тип данной задачи (известный учащимся), теоретический базис решения}
-Перейдем к решению задачи №390.
Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, в котором АВ=AD=a, AA1=2a. В вершинах В1 и D1 помещены заряды q, а в вершине А - заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля в точке А1.
-Что значит, на векторном языке найти абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля? -Как находится вектор напряженности электрического поля? -В каких точках по условию задачи находятся точечные заряды? -В каждом случае вектор напряженности свой. Найдем эти напряженности. Как же найти вектор результирующей напряженности в точке А1?	-Найти длину результирующего вектора. , где О-точка, в которой помещен заряд, М-точка, в которой создается электрическое поле. -В точках А, В1, D1. -Как сумму напряженностей ,, . = == , == =
Итак, мы с вами рассмотрели решение 2-х задач (из геометрии и из физики). Что общего можно сказать об этих задачах? -Верно. Как вы думаете, какова тема нашего сегодняшнего урока?	-К решению обеих задач был применен векторный метод. -Решение задач векторным методом.
II Операционно-познавательный этап
-Предлагаю вам разделиться на 3 группы и решить предложенную задачу.
{Учитель организует три группы (в каждой группе ученики с разной степенью обученности)} Список задач: Задача №1. Не параллельные отрезки АА1, ВВ1, СС1 параллельны плоскости . Докажите, что отрезок ММ1, где М и М1 точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1 так же параллелен плоскости . Задача №2 Докажите, что три отрезка, соединяющие середины боковых ребер тетраэдра с серединами противоположных сторон основания, проходят через одну точку и делятся ей пополам. Задача№3: Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1. Точки P, Q центры граней A1B1C1D1 и ВВ1С1С, точка М принадлежит ребру В1С1 и В1М : МС1=2 :1. Докажите, что точка М принадлежит плоскости APQ. {Ученики в группах в течение 10 мин. обсуждают решение задачи, производят его оформление (один человек от группы у доски, другие в тетрадях). Потом ученики, оформлявшие задачу у доски, по очереди объясняют приведенное решение (остальные ученики кратко фиксируют план решения). После каждой задачи всем классом обсуждаются полученные итоги задачи, а участники группы комментируют затруднения, возникшие в процессе её решения}
РЕШЕНИЕ: 1. Выберем в плоскости произвольные неколлинеарные векторы и 2. АА1 ВВ1 СС1 х, х1, х2; у, у1, у2 попарно различны, т.к. АА1, ВВ1, СС1 попарно не параллельны. 3. М-центроид АВС М1-центроид А1В1С1
-Итак, каково было требование задачи? -Что для этого потребовалось установить? -На каком теоретическом факте основывано решение данной задачи? -Какие геометрические соотношения интерпретировались на «векторный язык» в процессе решения? -Итак, какой тип задач, к решению которых может быть применен векторный метод, вы можете выделить в данном случае? -Верно. Обратимся к решению второй задачи.	-Доказать параллельность отрезка плоскости. -Вектор разложим по некоторым векторам плоскости -На критерии компланарности 3-х векторов -Параллельность прямой и плоскости, Точка пересечения медиан треугольника. -Установление параллельности прямой и плоскости.
РЕШЕНИЕ: 3. Пусть О3-середина PN. Аналогично получаем, Из 1, 2, 3 имеем = LK, MS, NP пересек. в т. О, где О-середина LK, MS, NP/ Ч.т.д.
-К какому типу задач вы можете отнести рассмотренную сейчас задачу? -Верно. На каких теоретических фактах основано доказательство? -Будет ли иметь место доказанный факт для правильного тетраэдра? -Перейдем к решению последней задачи	-Доказательство факта, что три прямые пересекаются в одной точке. -На формуле середины отрезка, теореме о единственности разложения вектора по трем некомпланарным векторам, лемме о коллинеарных векторах. -Да, т.к. данное утверждение доказано для произвольной треугольной пирамиды.
Задача №3 РЕШЕНИЕ: 1. Пусть векторы . 2. Тогда , , 3. Для этого необходимо, чтобы система была совместна. х=, у= Значит, М (АPQ) ч.т.д
-Итак, что необходимо было установить в данной задаче? -Какие теоретические факты были положены в основу доказательства? -Попробуйте изменить требование задачи так, чтобы решение осталось неизменным. -Итак, сделайте вывод, задачи какого ещё типа можно эффективно решить, используя векторный метод? -Давайте рассмотрим другой метод решения данной задачи (конструктивный). Что необходимо построить для доказательства принадлежности точки М плоскости (АPQ)? -Какую часть сечения необходимо показать на рисунке, учитывая условия задачи? -Верно. Для этого необходимо построить вспомогательную плоскость А1АQ. {учитель у доски выполняет построения (см. рис. ниже), комментирует, записывает этапы построения} Она пересечет плоскость (А1В1С1) по прямой А1Q1, где Q1B1C1, QQ1AA1. -Каково взаимное расположение прямых A1Q1 и AQ? -Как в таком случае построить точку пересечения таких прямых? -Пусть A1Q1 и AQ пересекаются в точке Х. Что вы можете сказать о принадлежности точки Х плоскостям (АPQ) и (А1В1С1)? -Итак, Х - общая точка плоскостей (АPQ) и (А1В1С1). Какая еще точка, отмеченная на рисунке, принадлежит этим плоскостям? - Постройте линию пересечения этих плоскостей. -Пусть (АPQ) пересекает В1С1 в точке М1, а А1D1 в точке Х1. Что нам необходимо установить, чтобы доказать принадлежность точки М плоскости сечения? -Как это можно проверить?	-Принадлежность точки плоскости. -Критерий компланарности векторов; теорема о единственности разложения вектора по трем некомпланарным. -Доказать, что точки А, P, Q, M лежат в одной плоскости. -Доказательство принадлежности точки плоскости, 4-х точек одной плоскости -Сечение параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 плоскостью (АPQ). -Линию пересечения плоскостей (АPQ) и (А1В1С1) -Они пересекаются, так как лежат в одной плоскости и не являются параллельными. {Выполняют построение.} - Х (АPQ) и (А1В1С1), т. к. принадлежит лежащим в них прямым A1Q1 и AQ. -Точка Р {Выполняют построение} -Что точки М и М1 совпадают. -Необходимо проверить выполнимость условия В1М1 : М1С1=2:1
{Производится оформление решения, этапы построения сечения были записаны ранее}
5. Q1M1-средняя линия треугольника A1XX1 (Q1середина В1С1, Q1M1A1Х1) Q1M1= A1X1 6. A1XР= М1С1Р М1С1= A1X1=2 Q1M1 7. Q1-середина В1С1 M1С1= В1С1 или В1М1 : М1С1=2:1. Это означает, что М=М1 М (АPQ) Ч.т.д
-Давайте сравним 2 метода решения одной задачи. Какой вам показался более простым? Почему? -Что вы скажете о необходимости выполнения рисунка в том и другом случае? -Как мы строим процесс решения задач векторным методом? -Верно. Поэтому применение векторного метода при решении задач дает некий ориентир решаемому, в то время как конструктивный метод требует более трудоемкой работы на этапе поика решения. Ш.Рефлексивно-оценочный этап -Итак, сформулируйте, какими основными преимуществами обладает векторный метод решения геометрических задач по сравнению с геометрическим? -А что вы можете отнести к его недостаткам? -.Верно, далеко не любую задачу можно решить, используя векторный метод. К каким-то классам задач векторный метод либо вовсе неприменим, либо является малоэффективным. -Мы с вами на протяжении нескольких уроков выделяли типы задач, к которым может быть применен векторный метод., составляли систематизирующую таблицу {приложение1}. Какие классы задач нами были рассмотрены? - Решение этих задач опирается на аффинные операции над векторами (сложение векторов, умножение вектора на число) и их свойства. Пока мы не можем с помощью векторов решать метрические задачи (на нахождение длины отрезков, величины углов и т.д.) Для этого нужно изучить новую операцию над векторами (скалярное произведение). Её мы изучим в 11 классе. А пока попробуйте сформулировать вывод, почему нам необходимо изучать векторы и векторный метод решения геометрических задач? Д/з №397, 399(Выписать в таблицу новый тип задач)	-Векторный метод, т.к. он является более рациональным. -При конструктивном методе решения рисунок необходим, т.к. на нем производятся дополнительные простроения, необходимые в процессе решения. При решении задач векторным методом рисунок играет вспомогательную роль. -Опираясь на алгоритм решения задач векторным методом. -Векторный метод имеет алгоритм решения задач, позволяет избежать дополнительных построений. - Векторный метод не является универсальным методом решения геометрических задач. -Доказательство параллельности прямых; трех прямых и плоскости; прямой и плоскости. Доказательство принадлежности трех точек одной прямой, 4-х точек одной плоскости. Доказательство того, что три прямые пересекаются в единственной точке. Вычисление отношения, в котором данная точка делит исходный отрезок {ответы учеников}

2.4 Описание опытной работы

Опытная проверка по разработанной системе уроков проводилась в период с 9 марта по 7 апреля 2009 года в 10 классе МОУ Хвощевской СОШ под руководством учителя математики - Мишиной Евгении Николаевны.

Цель опытной проверки: обосновать актуальность проводимого исследования; подтвердить или опровергнуть его гипотезу: «Если, начиная с первых уроков изучения темы «Векторы» целенаправленно обучать учащихся умениям, необходимым для решения задач векторным методом, то это будет способствовать эффективному усвоению учащимися этого метода».

Достижение поставленной цели реализовывалось в три этапа.

Цель первого, констатирующего этапа - обосновать актуальность проводимого исследования.

Для этого были выбраны следующие методы исследования: беседа с учителями математики, тестирование учащихся.

В результате беседы с учителями математики были выявлены следующие типы упражнений, характерные для темы «Векторы», при выполнении которых ученики испытывают трудности:

ь разложить вектор по 2-м неколлинеарным (3-м некомпланарным) векторам;

ь выразить вектор через другие, используя определение и законы сложения и умножения векторов;

ь представить геометрическое свойство фигуры на «векторный» язык;

ь решить содержательную задачу векторным методом.

Для получения более объективной информации среди учеников 10 класса была проведена входная диагностика в форме тестирования. Цель тестирования: выявить уровень остаточных знаний учащихся по теме «Векторы на плоскости».

Тестовые задания были составлены на основе методических рекомендаций учебного пособия [27, с.82-90].

1. Этап планирования тестовых заданий.

Лист требований по теме «Векторы на плоскости», 8-9 класс.
Элементы содержания	Кол-во заданий	Вид деятельности
Понятие вектора. Нулевой вектор. Длина вектора	3	Знает и понимает
Коллинеарные векторы (сонаправленные/ противоположно направленные)	2	Знает, понимает
Определение понятия равных векторов	1	Знает, понимает, умеет применять
Теорема об откладывании вектора от данной точки	1	Знает, понимает, умеет применять
Сложение векторов по правилу треугольника, параллелограмма, многоугольника	3	Знает, понимает, умеет применять
Законы сложения: 1. 2. 3.	3	Знает, понимает, умеет применять
Определение разности векторов	1	Знает, понимает, умеет применять
Свойства разности векторов:	2	Знает, понимает, умеет применять
Определение произведения вектора на число	2	Знает, понимает, умеет применять
Свойства операции произведения вектора на число: 1. 2. 3.	3	Знает, понимает, умеет применять
Лемма о коллинеарных векторах	1	Знает, понимает, умеет применять
Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам	1	Знает, понимает, умеет применять
Применение векторов к решению задач	1*	Умеет применять векторный метод при решении содержательных задач
ИТОГО:	23+1*

Таким образом, минимальное количество заданий обязательного уровня подготовки по теме «Векторы на плоскости» равно 24.

1. Найдем число заданий теста, учитывая коэффициент К1-критерий полноты отображения учебного материала.

,

Где Т-число заданий в тесте,

V-объем контролируемого материала.

Чтобы отображение проверяемого материала было полное, необходимо, чтобы 40% К1 70%. В нашем случае получаем:

0,4 0,7

9,6 Т 16,8

Пусть тест будет содержать 10 заданий.

1. Определим процент заданий по видам деятельности (Знает и понимает 10%, применяет в знакомой ситуации-40%, применяет в измененной ситуации-30%, применяет в новой ситуации - 10%).

Виды деятельности	Число заданий	Максимальное число баллов
Знает и понимает 20%,	0,2*10=2	2*1=2
применяет в знакомой ситуации-40%	0,4*10=4	4*1=4
применяет в измененной ситуации-30%	0,3*10=3	3*2=6
применяет в новой ситуации - 10%).	0,1*10=1	1*4=4
ИТОГО	10	16

2. Определим процент заданий по уровню сложности (Б, П, В) в соответствии с критерием К3- коэффициента соответствия содержания теста содержанию стандарта.

Уровень сложности	Число заданий	Процент заданий
Базовый	2+4=6	60%
Повышенный	3	30%
Высокий	1	10%

3.Составим тестовые задания на основе выделенной спецификации.

II. Содержание теста

Инструкция. В заданиях №№ 1-3 обведите кружком букву (несколько букв), соответствующую правильному ответу.

Задание №1.

Выберите рисунок с изображением равных векторов

Эталон ответа а)

Задание №2

АВСD - параллелограмм. Найдите сумму векторов и .

а) б) в) г) нет верного ответа

Эталон ответа в)

Задание №3.

АВСD-прямоугольник со сторонами 4 и 3 см. Найдите длину вектора .



Эталон ответа в)

Инструкция. В заданиях №4,5 запишите ответ в специально отведенное место.

Задание №4.

Преобразуйте векторное выражение

ОТВЕТ: Эталон ответа .

Задание №5

Выразите вектор () через векторы и , если

ОТВЕТ: Эталон ответа

Задание №6

В треугольнике АВС точка Р делит медиану АМ в отношении 1:3, считая от вершины А. Поставьте вместо многоточия такое число, чтобы равенство было верным.

Эталон ответа а)1; б)-1; в); г)-1,5.

Инструкция. Запишите ответ в специально отведенное место.

Задание №7.

В треугольнике АВС Точка О-середина медианы АМ (см. рисунок к предыдущей задаче). Выразите вектор через векторы и .

ОТВЕТ: Эталон ответа

Инструкция. Для записи ответов на задания 8-10 используйте прилагаемый бланк ответов. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

Задание №8.

М - середина отрезка АВ, О - произвольная точка. Выразите векторчерез векторы и .

Эталон ответа

Задание №9

, . Что представляет собой фигура АВСD.

Эталон ответа

Возможны 2 случая

1) Векторы и лежат на параллельных прямых, 2) на одной прямой.



Тогда , что противоречит второму условию задачи

Итак, АВСD -параллелограмм.

Задание №10

Дан параллелограмм АВСD. Точки P,Q, R, S - середины сторон АВ, ВС, СD, DA соответственно. Прямые PC, QD, RA, SB пересекаются в точках К, L, M, N. Докажите, что КLMN-параллелограмм.

Эталон ответа.

1. Пусть =, =.

2. , =

3. ARPC,

4. Аналогично, DQSB

5. Имеем, MLNK, MNLKMNKL-параллелограмм

Таким образом, тест включал в себя 10 вопросов, каждый из которых соответствовал одному из трех уровней усвоения знаний: 1 уровень - фактическое знание учебного материала проверяемой темы (формулировка основных определений понятий, теорем); 2 уровень - понимание, умение применять теоретические факты в стандартных ситуациях; 3 уровень - умение применять «новые» факты в измененных ситуациях (умение применять векторный метод при решении содержательных геометрических задач). В тестировании принимало участие 12 учеников 10 класса, отсутствующих не было.

Приведем результаты проведенного тестирования:

Номер задания	Ответили верно	Ответили неверно	Не приступили к заданию
1	12 (100%)	-	-
2	12	-	-
3	11	2	-
4	9	3	-
5	10	2	-
6	8	3	1
7	7	3	2
8	7	2	3
9	5	4	3
10	2	6	4

Анализ результатов тестирования позволил сделать следующие выводы:

1. Учащиеся достаточно хорошо владеют теоретическим материалом темы «Векторы на плоскости»: различают основные отношения между парами векторов, их взаимосвязь; формулируют теоремы-законы сложения векторов и произведения вектора на число. Успешно справляются с заданиями, в которых требуется преобразовать векторное равенство, построить результат сложения векторов по правилам треугольника и параллелограмма.

2. Около половины учащихся испытывает трудности при выполнении упражнений на представление вектора через другие, на разложение вектора по двум неколлинеарным векторам, а также на установлении взаимосвязи геометрических свойств фигур с их векторной записью.

3. Большая часть класса затрудняется в применении векторного метода к решению содержательных геометрических задач.

Таким образом, проведенный анализ результатов тестирования позволил выделить противоречие между необходимостью владения умениями, входящими в состав векторного метода и недостаточным уровнем их сформированности у учащихся в период изучения темы «Векторы на плоскости».

Выделенное противоречие позволило обосновать актуальность проводимого исследования и сформулировать его гипотезу, а именно: целенаправленное обучение школьников умениям, входящим в состав векторного метода, будет способствовать эффективному усвоению ими собственно векторного метода решения содержательных задач.

На втором, поисковом, этапе эксперимента решались следующие задачи:

1) Проведение логико-дидактического анализа темы «Векторы в пространстве» по учебному пособию [9] (параграф 2.1);

2) Разработка методических рекомендаций по обучению школьников векторному методу, основанных на идее целенаправленной предварительной работы по формированию умений, необходимых для успешного овладения учащимися этого метода.

3) Разработка системы уроков по теме в соответствии с планированием. Конспекты 5 уроков приведены в параграфах 2.2 и 2.3.

На третьем, формирующем, этапе была осуществлена апробация разработанных методических рекомендаций в личном опыте при обучении учащихся 10 класса МОУ Хвощевской СОШ теме «Векторы в пространстве».

На этапе контролирующего эксперимента была проведена контрольная работа в форме тестирования, аналогичная работе перед изучением данной темы.

Цель тестирования: выявить у учащихся 1) уровень усвоения теоретического материала темы «Векторы на плоскости», 2) степень сформированности умения применять векторный метод к решению задач различного уровня.

Тест так же содержал 10 вопросов, каждый из которых соответствовал одному из трех уровней усвоения знаний. (Методика составления этого теста аналогична рассмотренной выше).

Приведем содержание теста.

Инструкция. Обведите кружком букву, соответствующую правильному ответу.

Задание №1

Дан параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Назовите вектор, равный сумме векторов

а) А₁D

б) А₁С

в) С₁А

г) А₁С₁

Эталон ответа б)

Инструкция Обведите ответ «да» или «нет» в клеточке таблицы ответов.

Задание №2

Установите, являются ли следующие утверждения истинными (ответ «да») или ложными (ответ «нет»).

Два коллинеарных вектора являются компланарными	да	нет
Два произвольных вектора не являются компланарными	да	нет
Три вектора, из которых два являются коллинеарными, компланарны	да	нет
Три произвольных вектора не всегда являются компланарными	да	нет

Эталон ответа да-нет-да-да

Инструкция. В заданиях № 3-7 запишите ответ в специально отведенное место.

Задание №3

В параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ точка К - середина АВ, АМ : МD =2:3. , . Выразите вектор через векторы и .

ОТВЕТ: Эталон ответа

Задание №4.

Преобразуйте векторное выражение

ОТВЕТ:

Задание№5

Дана треугольная призма ABCDA₁B₁С₁. Укажите вектор , начало и конец которого совпадают с вершинами призмы, такой, что:

ОТВЕТ:

Задание №6

Основанием пирамиды с вершиной О является параллелограмм АВСD, диагонали которого пересекаются в точке М. Разложите вектор по векторам , ,

ОТВЕТ:

Задание№7

Дан параллелепипед АВСDA₁B₁C₁. Разложите вектор по векторам , , .

ОТВЕТ:

Инструкция. Для записи ответов на задания 8-10 используйте прилагаемый бланк ответов. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

Задание №8

Доказать, что если т.М (АВС), то , х+y+z=1

Задание №9

Даны треугольники АВС и А₁В₁С_!. И две точки Р и О пространства. Известно, что , , . Докажите, что стороны треугольника А₁В₁С соответственно равны и параллельны стронам треугольника АВС,

Задание №10.

Точки А, В, С, D не принадлежат одной плоскости. Точки М, N, P, Q -середины отрезков АВ, ВС, CD, DA. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников АВР, ВСQ, CDM, DAN принадлежат одной плоскости.

Рассмотрим полученные результаты:

Номер задания	Ответили верно	Ответили неверно	Не приступили к заданию
1	12 (100%)	-	-
2	11	1	-
3	11	1	-
4	10	2	-
5	10	2	-
6	11	1	-
7	9	3	-
8	8	4	-
9	8	3	1
10	7	3	2

Анализ приведенных результатов показал, что учащиеся в достаточной мере овладели умениями и навыками, необходимых при решении задач векторным методом, что способствовало значительному увеличению доли учащихся, решивших содержательную задачу векторным методом.

Таким образом, содержание эксперимента и интерпретация его результатов позволили сделать вывод о правильности выдвинутой гипотезы: предложенные методические рекомендации по формированию у учащихся умений и навыков, входящих в состав векторного метода способствуют эффективному усвоению учащимися собственно векторного метода решения содержательных задач.

Заключение

В процессе исследования, в соответствии с его целями и задачами, были получены следующие основные выводы и результаты:

1. Анализ учебно-методической литературы показал, что методика обучения школьников векторному методу очень широко обсуждается методистами, но, тем не менее, учащиеся до сих пор испытывают трудности в применении этого метода к решению задач и доказательству теорем. Между тем, векторные доказательства чаще оказываются более предпочтительнее традиционных.

2. Анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы показал, что для успешного овладения учащимися общего метода решения задач, необходимо обучать их умениям и действиям, входящим в состав этого метода. К умениям и действиям, составляющих суть векторного метода относят следующие:

- умение преобразовывать векторные выражения;

- умение переводить геометрическое свойство фигуры на векторный язык и обратно;

- умение выражать вектор через другие.

3. В соответствии с этими положениями разработаны методические рекомендации по обучению учащихся векторному методу решения геометрических задач на базе 10 класса в рамках темы «Векторы в пространстве», сформулированы частные эвристики по решению отдельных типов задач темы.

4. Была осуществлена опытная проверка разработанных методических рекомендаций в 10 классе МОУ Хвощевской средней школы Богородского района Нижегородской области. В качестве проверки эффективности применения разработанных методических рекомендаций было проведено тестирование учащихся.

5. Содержание эксперимента и интерпретация его результатов позволили сделать вывод о правильности выдвинутой гипотезы.

Вышесказанное позволяет утверждать, что цель исследования достигнута, гипотеза подтверждена.

Список литературы

1. Автономова Т.В., Аргунов Б.И. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Кн. Для уч-ля. -М.: Просвещение, 1988.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия для 8-9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углуб. изуч. мат-ки / А.Д. Александров, А.А. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1991.

3. Александров А.Д. Так что же такое вектор? // Математика в школе. - 1984.- №5.

4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М, 2003.

5. Болтянский В.Г., Волович М.В. Векторное изложение геометрии. - М.: Просвещение, 1982.

6. В помощь учителю математики: Методические рекомендации к изучению отдельных тем. - Н. Новгород: НГПУ, 1994.

7. В помощь учителю математики: Методические рекомендации по решению геометрических задач аналитическими методами. - Горький: ГГПИ им. Горького, 1985.

8. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк./Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1990.

9. Геометрия: учеб. для 10-11 кл. сред. шк./Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.-М.:Просвещение, 1992.

10. Геометрия. Учеб. пособие для 7-го кл. сред. школы. Под. ред. А.Н. Колмогорова. Изд. 5-е.-М.:Просвещение, 1976.

11. Геометрия. Учеб. пособие для 9-10 кл. сред. школы. Под. ред. З.А. Скопеца. - М.: Просвещение, 1976.

12. Глейзер Г.И. История математики в школе 9-10 классов.: Пособие для учителей.-М.:Просвещение, 1983.

13. Гусев В.А., Калягин Ю.М., Луканин Г.Л. Векторы в школьном курсе геометрии.: Пособие для учителей.-М., 1976.

14. Дорофеева А.В. Из истории векторного исчисления.// Математика в школе. - 1998. - №2.

15. Иванова Т.А., Серова Н.А. Выпускная квалификационная работа по теории и методике обучения математике: Учебно-методическое пособие. Н. Новгород: НГПУ, 2006.

16. Концепция модернизации математического образования.//www.edu.rin.ru

17. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов.-М.,1979.

18. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника: Избранные психологические труды. - М.: Педагогика, 1989.

19. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Сост. В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987.

20. Педагогика: Учеб. пособие для студентов пед. вузов и пед. колледжей/Под. ред. П.И. Пидкасистого. - М: Педагогическое общество России, 2001

21. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. Учреждений.-6-е изд-е. - М.:Просвещение, 1996.

22. Потоскуев Е.В. Векторно-координатный метод при решении стереометрических задач//Математика в школе. - 1995. - №1

23. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика 5-11 кл./ Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. - М., 2002.

24. Роль и место задач в обучении математике: Сборник научных трудов/В.А.Оганесян, В.В. Пикан: Под ред. Ю.М. Колягина. - М.: НИИ школ МП РСФСР, 1978.

25. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. - М.: Просвещение, 1995.

26. Скопец З.А. Векторное решение стереометрических задач//Преподавание геометрии в 9-10 классах. -М.: Просвещение, 1980.

27. Современные средства оценивания результатов обучения: Учебное пособие/ Е.Н. Перевощикова, А.В. Поршнев, А.В. Юхова, Е.Ю. Клюева: Под ред. проф. Е.Н. Перевощиковой. - Н. Новгород: НГПУ, 2007.

28. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие/Т.А. Иванова, Е.Н. Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И. Кузнецова; Под ред. проф. Т.А. Ивановой. - Н.Новгород:НГПУ, 2003.

29. Уч. Стандарты школ России. Госуд. Стандарты общего, основного и среднего (полного) общего образования. Книга 2. Математика. Естеств-науч. Дисциплины (Под ред. В.С. Леднева, Н.Д. Никандрова, М.Н. Лазутовой).-М.: «Тц Сфера», «Прометей», 1998.

30. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о пед. Психологии. - М.: Просвещение, 1983

31. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. завед.-5-е изд-е.-М.:Дрофа, 2001.

32. Шарыгин И.Ф. Геометрия 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. завед.-3-е изд-е., стереотип.-М.:Дрофа, 2001

33. Якушина Е.В. Об изучении векторов в планиметрии и стереометрии.//Математика в школе.- 1996, №3.

Приложение 1

Типы задач, решаемых векторным методом

Что требуется доказать (на геометрическом языке)	Что достаточно доказать (на векторном языке)
аb	, [AB] a, [CD] b, k- число
Аа, Ва, Са (три точки принадлежат одной прямой)	установить справедливость одного из следующих равенств , или , или ;
С[АВ], АВ: СВ=m:n (деление отрезка в данном отношении)
а	где [КМ]а, т.А, В, С , так, что ?к
а, b, c	, где [AB] a, [CD] b, MSс
А, В, С, D
M	где т.А, В, С , так, что ?к
[AB] [CD] AB :CD = m:n

Размещено на Allbest.ru