Н.И. Лобачевский и история признания его геометрии в России

В) Если одна из двух окружностей проходит через внутреннюю и внешнюю точки относительно другой окружности, то Евклид молчаливо предполагает, что эти окружности пересекаются. Точно также предполагается, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, пересекает эту окружность. Несмотря на наглядную очевидность этих фактов, они должны быть доказаны (на это впервые обратил внимание Лейбниц). Но постулаты и аксиомы Евклида не дают возможности обосновать эти доказательства.

Таким образом, «Начала» Евклида не содержат безупречно логического обоснования геометрии.

Некоторые недостатки «Начал» Евклида были замечены учеными древности. Так, Архимед добавил аксиому (которую мы называем аксиомой Архимеда), играющую существенную роль в теории измерения длин, площадей и объемов. И после Архимеда делались попытки уточнить основные положения геометрии, однако, на протяжении многих веков никто не добавил чего-либо существенно нового по сравнению с тем, что было сделано Евклидом. Интересно отметить, что очень не многие ставили перед собой задачу пополнения списка евклидовых постулатов. Основная задача, по мнению ученых, заключалась в том, чтобы свести систему постулатов и аксиом Евклида к минимуму. Было замечено, например, что 4 постулат является лишним, так как равенство прямых углов может быть доказано так же строго, как и многие другие теоремы.

В этой связи особое место занимают исследования, связанные с пятым постулатом Евклида. Этот постулат играет существенную роль в евклидовой геометрии. На нем основана теория параллельных прямых и все связанные с ней разделы геометрии - подобие фигур, теоремы о сумме углов треугольника и выпуклых многоугольников, тригонометрия, теория площадей и объемов и т. д.

Отметим, что из всех постулатов и аксиом Евклида 5 постулат резко выделяется своей сложностью. В книге 1 «Начал» первые 28 предложений доказываются без ссылок на 5 постулат; видимо, Евклид пытался доказать как можно больше утверждений без ссылок на этот постулат. Указанные обстоятельства породили в течение более 2000 лет, прошедших после Евклида, многочисленные попытки доказать 5 постулат на основе остальных постулатов и аксиом Евклида.

§ 2. Ученые, которые пытались доказать V постулат Евклида, и их достижения

До начала XIX столетия не возникало сомнений в незыблемости геометрии Евклида и невозможности логического обоснования и построения другой геометрии, отличной от евклидовой. Но это «невозможное" сделал великий русский ученый, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792-1856). Он открыл новую геометрию, которая оказалась также логически безупречной и верной, как и геометрия Евклида.

Однако не следует думать, что если созданная Лобачевским геометрия является новой, то она во всем отличается от евклидовой геометрии. Это далеко не так.

Начальные сведения геометрии Евклида и геометрии Лобачевского во многом, естественно, совпадают. Для них одинаковы определения и аксиомы (исключая аксиому параллельности прямых), а также ряд теорем об углах и о треугольниках. Отличаться начинают эти геометрии одна от другой лишь тогда, когда неизбежным становится применение той или иной аксиомы параллельности. Дело в том, что аксиома параллельности Лобачевского радикально отличается от аксиомы параллельности Евклида.

Вот эти аксиомы в современной формулировке.

Аксиома параллельности Евклида

На плоскости, через точку, взятую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, которая не пересекает данную (т.е. параллельна ей).

Аксиома параллельности Лобачевского

На плоскости, через точку, взятую вне данной прямой, можно провести по крайней мере две прямые, которые не пересекают данную (т.е. параллельны ей).

Совокупность предложений геометрии, доказательства которых не опираются на аксиому параллельности прямых или на предложения, уже ранее доказанные с ее помощью, принято называть абсолютной геометрией. При этом совокупность предложений геометрии, доказательства которых опираются на аксиому параллельности Евклида или на предложения, уже ранее доказанные с ее помощью, называют геометрией Евклида (собственно евклидовой геометрией), а совокупность предложений геометрии, доказательства которых опираются на аксиому параллельности Лобачевского или на предложения, уже ранее доказанные с ее помощью, - геометрией Лобачевского (неевклидовой геометрией). Из сказанного видно, что все предложения абсолютной геометрии справедливы как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского.

После «Начал» Евклида, в которых сформулирована аксиома параллельности (она появилась в «Началах» под названием «Пятый постулат»), прошло около 20 веков, в течение которых проблема пятого постулата волновала умы множества крупнейших математиков мира того времени.

Дело в том, что при анализе «Начал» обнаруживается, что V постулат Евклида существенно отличается от остальных сложностью формулировки. Этот постулат Евклидом сформулирован так: «Если, при пересечении двух прямых, расположенных в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов не равна 2d, то эти прямые пересекаются и притом с той стороны, где эта сумма меньше 2d»(Символом d раньше обозначали величину прямого угла).

В то же время V постулат находит довольно позднее свое применение: «Начала» разбиваются как бы на две независимые части - абсолютная геометрия («геометрия без V постулата») и собственно евклидова геометрия («геометрия с V постулатом»). В этой связи, естественно, возникают вопросы: нужен ли V постулат? Нельзя ли логически вывести его из остальных постулатов и аксиом? Иначе говоря, не зависит ли V постулат от остальных постулатов и аксиом евклидовой геометрии?

Начавшиеся уже в эллинскую эпоху попытки вывести пятый постулат о параллельных прямых как логическое следствие из остальных постулатов и аксиом евклидовой геометрии неизменно продолжались в Средние и Новые века. Весь смысл задачи заключался в том, чтобы доказать этот постулат, не вводя вместо него никаких других допущений.

Трудно указать выдающегося математика, начиная с Птолемея (II в.) и кончая автором классического курса элементарной геометрии Лежандром (1752-1833), который не прилагал бы усилий к тому, чтобы, по выражению Лобачевского, «заделать брешь в теории параллельных». Прокл (410-485), например, писал о пятом постулате: «Это положение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что это - теорема, вызывающая много сомнений».

Ошибки ученых при доказательствах V постулата иногда заключались в погрешностях, которые допускали авторы, запутавшись в сложных построениях, чаще же всего в том, что вместо доказываемого постулата явно или косвенно вводился другой, равносильный ему постулат. Обычно эти доказательства проводились методом от противного: принимали положение, противное доказываемому, и старались путем логических рассуждений получить противоречие с уже установленными предложениями. Кроме того, авторы в ту пору еще недостаточно четко оперировали с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами, «свободно» пользуясь которыми можно доказать все, что угодно.

Одним из ученых, работавших над проблемой пятого постулата, был профессор Оксфордского университета Дж. Валлис (1636-1703). Он считал бесспорным следующее положение: «Для каждой фигуры всегда существует подобная ей фигура произвольной величины» - и в 1663г. на основании этой аксиомы изложил «доказательство» V постулата Евклида. На самом деле аксиома Валлиса о существовании подобных фигур эквивалентна V постулату («забегая вперед», скажем, что в геометрии Лобачевского подобные треугольники не существуют).

Другим ученым, предвосхитившим неевклидову геометрию, был итальянский математик Д. Саккери (1667-1733), преподававший грамматику в иезуитской коллегии в Милане. Здесь, под влиянием Джованни Чевы (Джованни Чева (1648-1734)- итальянский инженер-гидравлик и экономист), Саккери заинтересовался математикой и стал серьезно заниматься ею. Впоследствии он преподавал математику в университете города Павши. На последнем году своей жизни в 1733г. Саккери опубликовал (на латинском языке) книгу под названием «Евклид, очищенный от всех пятен». В ней Саккери поставил перед собой задачу исправить все недостатки (“пятна”) “Начал” Евклида, в первую очередь, доказать V постулат. Он решительнее и дальше всех своих предшественников сделал попытку доказать этот постулат от противного. Однако он не сумел до конца пройти намеченный им путь. (Лобачевский, идя по этому пути, сумел открыть неевклидову геометрию.)

Итальянец Саккери рассматривал четырехугольник с тремя прямыми углами (рис. 3). Четвертый угол (обозначим его через ц) мог оказаться прямым, тупым или острым. Саккери установил, что гипотеза прямого угла, т.е. утверждение о том, что четвертый угол ц всегда равен 90°, позволяет доказать пятый постулат. Иначе говоря, гипотеза прямого угла представляет собой новую аксиому, эквивалентную пятому постулату.

Рис. 3

Гипотезу тупого угла, допускающую существование четырехугольника, у которого четвертый угол ц тупой, Саккери отверг при помощи строгого рассуждения. Однако доказать, что и гипотеза острого угла неверна, ни сам Саккери, ни его последователи не смогли. Неприступная "крепость" пятого постулата осталась непокоренной.

Саккери независимым способом доказывает, что сумма углов треугольника не может быть более 180°; если принять постулат о параллельных линиях, то эта сумма равна 180°; если его опровергнуть, то она должна быть меньше 180°. Исходя из допущения, что сумма углов треугольника меньше 180° («гипотеза острого угла»), Саккери доказывает, что две непересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и неограниченно сближаются в другую сторону, либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны. Он доказывает, что (при гипотезе острого угла) перпендикуляр к одной стороне острого угла сначала пересекает вторую сторону, а потом, по мере удаления от вершины, перестает ее пересекать; что при этом существует предельный - первый непересекающий перпендикуляр. Саккери заявляет: «Гипотеза острого угла совершенно ложна, ибо противоречит природе прямой линии». Это заявление Саккери свидетельствует о его некомпетентности в обращении с бесконечно удаленными точками. И тем не менее он заканчивает: «На этом я мог бы спокойно остановиться; но я не хочу отказаться от попытки доказать, что эта упорная гипотеза острого угла, которую я вырвал уже с корнем, противоречит самой себе...» Далее следуют выводы, совпадающие с первыми предложениями геометрии Лобачевского.

Заслуга Саккери состоит в том, что он первый со всей определенностью связал учение о параллельных линиях с вопросом о сумме углов треугольника: три гипотезы, которые при этом возникают, действительно ведут к трем возможным геометрическим системам, трем различным геометриям: геометрии Евклида, геометрии Лобачевского, геометрии Римана.

Б. Риман (1826-1866) - великий немецкий математик, последователь Лобачевского, в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854г. в Геттингенском университете, включил в число аксиом предложение: «каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую», откуда следует, что в геометрии Римана вообще не существует параллельных прямых. Эта аксиома выполняется, например, в геометрии на сфере, где сумма углов сферического треугольника больше 1800. Заметим, что лекцию высоко оценил присутствовавший на ней Карл Гаусс, однако она осталась незамеченной в математическом мире. Только после смерти Б.Римана текст лекции был обнаружен в его бумагах Р.Дедекиндом, опубликован в 1868г. и произвел огромное впечатление на ученых-математиков всего мира.

К числу предшественников Лобачевского следует отнести и члена Берлинской Академии наук - астронома, математика и философа И.Г. Ламберта (1728-1777), родившегося в Эльзасе, в г.Мюльгаузене, который состоял в Швейцарском союзе. В середине 60-х гг. Ламберт занимался теорией параллельности и в середине XVIII в. опубликовал сочинение «Теория параллельных линий», в котором содержатся такие же выводы, как и у Саккери. Он даже делает заключение о том, что гипотеза острого угла имеет место «на какой-то мнимой сфере». (Это замечательное предвидение оправдалось примерно через сто лет.)

В заключение своих исследований в теории параллельных Ламберт приходит к твердому выводу о том, что все попытки доказать V постулат Евклида ни к чему не приведут.

XIX в. начинается замечательными интересными исследованиями французского математика

А.М. Лежандра (1752-1833) по теории параллельных линий, выпустившего в свет «Начала геометрии», а затем обширную статью, помещенную в «Мемуарах Парижской академии», где он показывает, что теорема о сумме внутренних углов прямоугольного треугольника эквивалентна V постулату.

Его книга, посвященная евклидовой геометрии, хорошо написана и выдержала несколько изданий. Почти в каждом из них Лежандр приводил рассуждение, в котором, по его мнению, доказывался пятый постулат. Но неизменно в следующем издании автор, признавая, что в его рассуждении использовалось некое утверждение (не сформулированное им явно) - "очевидное", но в действительности представлявшее собой новую аксиому, эквивалентную пятому постулату. Ни одна из попыток Лежандра не привела к успеху.

Вот краткое описание одной из попыток Лежандра. Пусть а и b - две прямые, перпендикулярны одной и той же третьей прямой и пересекающие ее в точках А и В. Эти две прямые а и в не пересекаются. Допустим, что пятый постулат Евклида не верен и через А можно провести еще одну прямую а', так же непересекающую b. Рассматривая два получающихся острых угла а' и а" (симметричных друг другу), Лежандр строго доказывает, что прямая а как при продолжении ее вправо, так и продолжение ее влево все более удаляется от прямой в. Но прямые а и в не могут вести себя подобным образом: если они не прикасаются, то должны находиться на ограниченном расстоянии друг от друга на всем своем протяжении. Не правда ли, убедительно? Однако на самом деле это просто другая аксиома: она следует из пятого постулата Евклида, и, в свою очередь, из нее вытекает справедливость пятого постулата.

К предшественникам Лобачевского относятся также немецкий юрист и математик профессор Харьковского университета Ф.К.Швейкарт (1780-1857) и его племянник Ф.А.Тауринус (1794-1874). Швейкарт независимо от других пришел к убеждению, что кроме евклидовой геометрии может существовать еще и другая, которую он называет «астральной» геометрией и в которой сумма углов треугольника менее двух прямых углов, но своих выводов он не опубликовал.

К.Ф. ГАУСС

Гаусс обратился к теории параллельных в 1792 г. Сначала он надеялся доказать пятый постулат, но затем пришел к мысли о построении новой геометрии, которую назвал неевклидовой. В 1817 г. в одном из писем признался: "Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана". Но обнародовать эти идеи он не решился из боязни быть непонятым. Гаусс не опубликовал ни один из своих результатов, хотя из его писем и личных бумаг видно, что он разработал основные положения неевклидовой геометрии. После смерти Гаусса в его бумагах были найдены наброски отдельных наиболее простых теорем гиперболической геометрии.

БОЛЬЯИ

Творцом новой геометрии стал так же и венгерский математик Янош Больяй (1802 - 1860). В отличие от Гаусса он стремился распространить свои идеи, но большинство математиков тогда еще не были готовы их воспринять.

Результаты Яноша Больяя были сжато изложены в 1832 г. в приложении книге его отца, Фаркаша Больяя. Труд Я. Больяя "Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)" обычно кратко называют "Аппендикс" (от лат. "приложение"). В этой работе, составившей приложение к математическому трактату его отца Фаркаша Бояи, Янош Бояи изложил ту же теорию, что и Лобачевский, но в значительно менее развитой форме.

Прочитав это сочинение, Гаусс написал своему ученику, математику Герлишу: "Я считаю молодого геометра фон Больяи гением первой величины". Однако в письме к Ф. Больяю он отозвался о сочинении Яноша гораздо сдержаннее: "Теперь кое-что о работе твоего сына. Если я начну с того, что эту работу не должен хвалить, то ты конечно, на мгновение поразишься, но иначе я не могу; хвалить ее значило бы хвалить самого себя: все содержание сочинения, путь, по которому твой сын прошел, и результаты, которые он получил, почти сплошь совпадают с моими собственными достижениями, которые частично имеют давность 30-35 лет". Не найдя поддержки у современников, Я. Больяй перестал заниматься математикой. Он умер в состоянии глубокой депрессии за несколько лет до того, как неевклидова геометрия получила всеобщее признание.

В начале ХIX в. в "сражение" с пятым постулатом вступил русский математик, профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский. Он был исключительно талантлив и чрезвычайно настойчив. Он писал, что задача о параллельных прямых представляет собой "трудность, до сих пор непобедимую, но между тем заключающую в себе истины ощутительные, вне всякого сомнения, и столь важные для целей науки, что никак не могут быть обойдены".

Два тысячелетия бесплодных попыток доказать пятый постулат привели Н.И.Лобачевского к мысли о том, что этот постулат не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, и поэтому его доказать нельзя.

Лобачевский обратился к методу доказательства от противного, допустив, что V постулат неверен. Из этого допущения последовали предложения, противоречащие многим теоремам классической геометрии и нашим представлениям о пространстве, которые сложились на основе многовекового опыта. Огромная заслуга Лобачевского заключается в его понимании, что эти противоречия коренятся не в том, что V постулат есть следствие остальных геометрических аксиом, и не в том, что, отвергая его, мы впадаем в противоречие с этими аксиомами, а в том, что V постулат есть новое независимое допущение, не вытекающее из других постулатов и аксиом, и поэтому, не нарушая этих аксиом, мы можем его принять и можем его отвергнуть. Принимая его, Евклид создал свою классическую геометрию; отвергая его, Лобачевский создал свою «воображаемую геометрию», столь же строгую, логически безупречную и непротиворечивую, как и геометрия Евклида. Обе геометрии одинаково верны с логической точки зрения, и возникшие противоречия - результат различия двух различных геометрических систем.

§ 3. Основные факты геометрии Лобачевского

Все предложения абсолютной геометрии справедливы в геометрии Лобачевского.

Плоскость, в которой выполняются все аксиомы абсолютной геометрии и аксиома параллельности Лобачевского, называется гиперболической плоскостью или плоскостью Лобачевского.

Пусть в данной гиперболической плоскости б точка С лежит вне данной прямой АВ. По аксиоме параллельности Лобачевского в плоскости б через точку С можно провести по крайней мере две прямые, которые не пересекают прямую АВ. Обозначим эти прямые СК и СР (рис.1). Если прямые СК и СР не пересекают прямую АВ, то любая прямая СМ, проходящая между прямыми СК и СР в вертикальных углах К'СР и KC P', также не пересекает прямую АВ, т.е. на основании аксиомы параллельности Лобачевского через точку С в плоскости ABC проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую АВ.

С другой стороны, если X -- любая точка прямой АВ, то прямая СХ пересекает прямую АВ в точке X, причем прямая СХ проходит уже в вертикальных углах КСР и К'СР'. Вращая прямую СХ вокруг точки С в направлении против часовой стрелки, мы будем получать прямые, пересекающие прямую АВ соответственно в точках расположенных правее точки X (см. рис.1).

Таким образом, через точку С проходит бесконечно много прямых, пересекающих прямую АВ, и бесконечно много прямых, непересекающих aB. При этом «пересекающие» прямые лежат по одну сторону от «непересекающих», т.е. если CF и СH - «непересекающие» прямые, то ни одна прямая, лежащая между ними внутри угла FCH, не может быть «пересекающей» прямой, и наоборот.

Такое разбиение всех прямых пучка с центром С означает, что должна существовать либо последняя «пересекающая» прямую АВ, либо первая «непересекающая» эту прямую. Но, как легко убедиться, последней «пересекающей» прямую АВ быть не может, значит, граничной прямой, отделяющей «пересекающие» прямую АВ от «непересекающих» ее, является первая «непересекающая». Эту граничную прямую Лобачевский и называет прямой, параллельной прямой АВ в точке С.

Пусть этой прямой является прямая CY (рис.2). Тогда прямая CZ, симметричная CY относительно перпендикуляра CL к данной прямой АВ, также параллельна прямой АВ в точке С.

Рис. 2

Таким образом, в гиперболической плоскости картина расположения прямых, проходящих через точку С относительно прямой АВ, представляется в таком виде: через точку С проходят две прямые Y'Y и Z'Z, параллельные прямой АВ, расположенные симметрично относительно перпендикуляра CL к данной прямой АB; прямые, расположенные внутри вертикальных углов Y'CZ и YCZ', не пересекают прямую АВ. Лобачевский называет эти прямые расходящимися с АВ: все остальные прямые пучки с центром С (они пересекают АВ) Лобачевский называет сходящимися в АВ.

В целях наглядности на рисунках будем указывать стрелкой направление прямой и при этом говорить, что направленная прямая Y'Y параллельна направленной прямой АВ, а направленная прямая Z'Z параллельна направленной прямой ВА (см.рис.2).

Заметим, что прямая ЕЕ', проходящая через точку С перпендикулярно прямой CL (CLAB), принадлежит к числу прямых, расходящихся с АВ, т.е. в гиперболической плоскости две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся. (В евклидовой плоскости две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны.)

Параллельные прямые как в евклидовой, так и в гиперболической плоскости обладают следующими свойствами: если АВ || CD, то CD || АВ; если AВ || CD, CD || КР, то АВ || КР.

Николай Иванович Лобачевский ввел следующее понятие угла параллельности.

Пусть АК и АР - прямые, параллельные прямой ВС в точке A, AD - перпендикуляр к ВС (рис.3). (Прямые АК и АР симметричны относительно AD). В плоскости Лобачевского углом параллельности, соответствующим данной прямой ВС в данной точке А, вне ее лежащей, называется острый угол KAD между перпендикуляром AD, опущенным на точки А на ВС, и прямой АК, параллельной данной прямой ВС.

Если длину перпендикуляра AD обозначить х, то где бы точка А ни была расположена относительно прямой ВС, находясь от нее на расстоянии х, величина угла параллельности не изменяется. Иначе говоря, угол параллельности в плоскости Лобачевского является инвариантом движения. Это, в свою очередь, означает, что с изменением расстояния х от точки А до прямой ВС угол параллельности меняет свою величину, т.е. угол параллельности является функцией расстояния х от точки А до прямой ВС. Эту функцию Лобачевский обозначает через П(х): б = П(х). (Евклидова геометрия характеризуется тем, что в ней угол б = П(х) всегда прямой, каков бы ни был отрезок AD.)

Лобачевский доказывает, что 0<П(х)< . При этом функция П(х) монотонно убывает с возрастанием аргумента х: , т.е. по мере удаления точки А от прямой ВС угол б = П(х) уменьшается от 90° до 0°. Более того, каков бы ни был острый угол б, всегда существует один и только один отрезок длиной х такой, что П(х) = б. т.е. функиия П(х) обратима.

Здесь уместно заметить, что мы, вероятно, потому питаем большое доверие к евклидовой геометрии, что все доступные нам измерения происходят в таком незначительном уголке вселенной, что не представляется возможным обнаружить отличие евклидовой геометрии от наших ощущений. Поэтому не исключено, что вера в утверждение «сумма внутренних углов линейного треугольника равна 180°» была обусловлена тем, что экспериментальной проверке этого утверждения подвергались треугольники достаточно малых размеров. Лобачевский вычислил сумму углов треугольника, вершинами которого служили Земля, Солнце и звезда Сириус, и получил угловой дефект (угловой недостаток до 180°) 0",000372. (Даже столь малое отличие суммы углов этого треугольника от 180° не поколебало убежденности Лобачевского в неевклидовости мирового пространства.)

Следствием аксиомы параллельности Лобачевского является рождение новой геометрии, которую называют геометрией Лобачевского или гиперболической геометрией. В этой геометрии имеется ряд предложений, совершенно отличающихся от соответствующих предложений геометрии Евклида.

Укажем ряд важнейших планиметрических теорем, относящихся к абсолютной геометрии.

Каждый отрезок и каждый угол можно единственным образом разделить пополам.

Через каждую точку можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой.

Сумма двух смежных углов равна 2d

Все прямые углы равны между собой.

Вертикальные углы равны.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, углы при основании равны.

Перпендикуляр короче наклонной. Известные теоремы о сравнении перпендикуляров, наклонных и их проекций.

Внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним несмежного.

Во всяком треугольнике не может быть более одного прямого или тупого угла.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Сумма двух сторон треугольника больше третьей.

Три признака равенства треугольников.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, или внутренние накрест лежащие углы равны, или сумма внутренних односторонних углов равна 2d, то данные прямые не пересекаются.

Два перпендикуляра к третьей прямой не пересекаются.

Через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, ими определяемой, проходит по крайней мере одна прямая, не пересекающая данной.

Сумма углов треугольника не более 2d(11-я теорема Лежандра).

Если в плоскости две точки лежат по разные стороны прямой, то отрезок, их соединяющий, пересекает данную прямую.

Если луч проходит через вершину треугольника внутрь его, то он пересекает противоположную сторону треугольника.

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей внутри треугольника.

В треугольник можно вписать единственную окружность.

Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках.

Равные дуги окружности стягиваются равными хордами, и

Если выбрать единичный отрезок, то всякому отрезку можно поставить в соответствие единственное положительное число, называемое длиной отрезка, и, обратно, каждому положительному числу можно поставить в соответствие некоторый отрезок, длина которого выражается этим
числом.

Если все внутренние лучи, выходящие из вершины угла АОВ,а также сторона АО и ОВ разбить на два класса так, что 1) каждый луч принадлежит одному и только одному из этих классов, луч АО принадлежит первому классу, а луч ОВ - ко второму, 2) каждый луч первого класса лежит между ОА и любым лучом второго класса, то существует один и только один луч 1, пограничный между лучами обоих классов, причем сам луч 1 принадлежит либо первому, либо второму классу.

1.26. Если выбрать некоторый угол в качестве единицы измерения, то каждому углу можно поставить соответствие единственное число, называемое мерой или величиной угла.

Точки ориентированной прямой CD, параллельной прямой АВ, неограниченно приближаются к АВ в сторону параллельности и неограниченно от нее удаляются в противоположную сторону. Это неограниченное приближение параллели CD к АВ выражают так: параллельные прямые в сторону параллельности асимптотически приближаются одна к другой (рис.4) (во-видимому, именно асимптотическое приближение прямых друг к другу было не до конца понято Саккери при исследовании им гипотезы острого угла).

Прямая в гиперболической плоскости имеет две бесконечно удаленные точки. (В евклидовой плоскости прямая дополняется только одной бесконечно удаленной точкой.)

В гиперболической плоскости существует ряд «интересных» особенностей взаимного расположения параллельных прямых (параллелей).

Договоримся, что если две параллели имеют общую бесконечно удаленную точку В, то будем записывать АВ || CD. На рисунках направления параллельности будем указывать стрелками (рис.5).

Рис. 5

Фигуру, состоящую из двух лучей АВ, АС и прямой ВС, которой они параллельны в одну и в другую сторону (рис.6) (конфигурация Лобачевского-Больяи), можно рассматривать как треугольник с одной конечной и двумя бесконечно удаленными вершинами.

Рис.6

В геометрии Лобачевского треугольник с двумя конечными и одной бесконечно удаленной вершинами иногда (рис.7) называют двуугольником.

Теперь возьмем между параллелями АВ и СВ любую точку М и проведем через нее прямые МА и МС, параллельные тем же прямым, обращенным в противоположные стороны, т.е. направленным прямым ВА и ВС (рис.8, а; MA || BA, МС|| ВС). Пусть AMC = 2 б. Тогда на биссектрисе угла АМС существует такая точка H, удаленная от точки М на расстояние x, что П(х) = б. Прямая АС, проходящая через точку H перпендикулярно МН, параллельна каждой из прямых МА и МС, значит, параллельна ВА и ВС. Таким образом, мы получили треугольник АВС, все три стороны которого попарно параллельны (рис.8, б).

В гиперболической плоскости две расходящиеся прямые имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются одна от другой (рис.9). Длина этого перпендикуляра принимается за расстояние между расходящимися прямыми.

Пусть АВ и CH -- две расходящиеся прямые. Из середины М их общего перпендикуляра КР проведем прямые MB || KB и МА || КА, МН || РH и МС || PC (рис.10) (такие прямые существуют согласно обратимости функции Лобачевского П(х)). Тогда для каждого из углов АМС и ВМН существуют соответственно прямые АС и ВН, параллельные сторонам этих углов.

Рис.10

Конфигурация, которую мы таким образом получили, представляет собой своеобразный четырехугольник АВНС, четыре вершины которого лежат в бесконечно удаленных точках прямых, являющихся его сторонами; стороны и диагонали этого четырехугольника параллельны между собой в направлениях, указанных стрелками. (О таком четырехугольнике упоминает Швейкарт в заметке, которую он послал Гауссу.)

Далее, сумма внутренних углов треугольника в геометрии Лобачевского является переменной величиной - она меняется от треугольника к треугольнику, но всегда остается меньше 180°.

Предложение «сумма углов четырехугольника меньше 4d» вытекает из предыдущего.

Отсюда следует, что в геометрии Лобачевского нет ни прямоугольников, ни квадратов. Вообще сумма углов n - угольника меньше 2d(n-2).

Внешний угол треугольника больше суммы внутренних, с ним не смежных углов. Действительно, пусть ????внешний угол треугольника, смежный с внутренним углом треугольника ????и пусть ??и ?? - остальные его внутренние углы, тогда: ?????????d.

Следует, что ??> ??+ ???.

Сумма внутренних углов треугольника непостоянна. Отсюда следует, что чем больше стороны треугольника, тем меньше сумма его внутренних углов.

Угловым дефектом треугольника ABC в плоскости Лобачевского (его обозначают ) называется разность между числом р и суммой величин всех трех его внутренних углов, т.е. = р - (А + В + С), где А, В и С - величины соответствующих углов в радианном измерении.

В гиперболической плоскости площадь треугольника пропорциональна его угловому дефекту, т.е. , где k - гиперболическая постоянная. Это означает, например, что в гиперболической плоскости все треугольники, имеющие общее основание и одну и ту же сумму углов, равновелики.

В геометрии Лобачевского нет подобных треугольников, т.е. все треугольники, имеющие соответственно равные углы, равны между собой.

Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Это четвертый признак равенства треугольников в геометрии Лобачевского.

Существуют треугольники, вокруг которых нельзя описать окружность и в которые нельзя вписать окружность. Дело в том, что в гиперболической плоскости серединные перпендикуляры к сторонам треугольника либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо все три перпендикулярны к одной прямой; то же имеет место и относительно биссектрисы внутренних углов треугольника.

В гиперболической геометрии углы равностороннего треугольника могут быть не равны между собой (рис.10,а)

рис.10,а

В гиперболической плоскости имеются три типа пучков прямых: пучок сходящихся прямых, пучок параллельных прямых, пучок расходящихся прямых - множество всех прямых плоскости, перпендикулярных одной прямой - базисной прямой пучка.

Лобачевский рассмотрел пучок прямых, параллельных друг другу в одном направлении, и его ортогональные траектории, т.е. линии, которые пересекают под прямым углом все прямые данного пучка. В евклидовой геометрии тоже можно рассматривать ортогональные траектории. Например, для пучка концентрических окружностей это лучи, исходящие из центра, а для пучка параллельных прямых - перпендикулярные им прямые (рис. 10,б).

Рис. 10,б

В евклидовой плоскости имеются только две линии постоянной кривизны - прямая и окружность.

В плоскости Лобачевского, кроме прямой и окружности, линиями постоянной кривизны являются эквидистанта и предельная линия (ее еще называют орициклом).

Эквидистанта представляет собой множество всех точек гиперболической плоскости, равноудаленных от данной прямой а; она состоит из двух ветвей, расположенных по одной в разных полуплоскостях относительно данной прямой а, называемой базой эквидистанты (на рис.11,а изображена одна ветвь эквидистанты). (В евклидовой плоскости такое множество точек представляет собой две параллельные прямые). Прямую в гиперболической плоскости можно отнести к эквидистантам, если расстояние от данной прямой - базы положить равным нулю.

в)

Предельную линию можно представить как окружность бесконечно большого радиуса (рис.11,б и в) (предельный переход от окружности конечного радиуса к окружности бесконечно большого радиуса выражен в названии этой линии).

Геометрию в плоскости Лобачевского (в гиперболической плоскости) называют гиперболической геометрией.

Не менее интересна геометрия в пространстве Лобачевского, т.е. в пространстве, в котором выполняется аксиома параллельности Лобачевского.

Заметим, что в евклидовом пространстве существуют два вида поверхностей постоянной кривизны - плоскость и сфера, которые допускают внутреннюю геометрию, основанную на движении без деформации: на первой имеет место евклидова геометрия, на второй - сферическая геометрия.

Не менее интересная картина наблюдается в пространстве Лобачевского, в котором в гиперболической плоскости имеет место гиперболическая геометрия, а геометрия на сфере та же самая, что и в пространстве Евклида (сферическая геометрия).

Но в пространстве Лобачевского существуют и другие поверхности, которые допускают внутреннюю геометрию поверхности.

Лобачевский рассмотрел в пространстве пучок параллельных прямых и поверхности, ортогональные прямым пучкам. Такие поверхности (предельные поверхности) или орисферы (предельные сферы) получаются если предельную линию вращать вокруг одной из своих осей. Эту поверхность можно представить как сферу с бесконечно удаленным центром. Такая поверхность может скользить по самой себе; на ней можно строить внутреннюю геометрию.

Рис. 13

Орисферы обладают замечательными свойствами. Через каждые две точки орисферы проходит орицикл, целиком лежащий на этой поверхности.

А потому можно рассматривать треугольники, образованные тремя орициклами на орисфере (рис. 13).

Оказалось, что в геометрии на орисфере сумма углов любого треугольника равна 180 градусов. То есть для орициклов на орисфере справедлив пятый постулат - господствует геометрия Евклида. Другими словами, из материала своей "воображаемой" геометрии Лобачевский сумел построить модель геометрии Евклида. Какая злая ирония судьбы! Если бы все было наоборот! Гениальный ученый понимал: создай он из материала евклидовой геометрии (в непротиворечивости которой никто не сомневался) модель собственной "воображаемой" геометрии - и законность его геометрической системы установлена. Это сделали математики уже следующего поколения.

Лобачевский доказал, что на предельной поверхности выполняется обычная двумерная геометрия Евклида. Не странно ли: отказ от евклидовой геометрии на двумерной плоскости в пространстве Лобачевского порождает евклидову же геометрию на другой двумерной поверхности. Носителем этой евклидовой геометрии в гиперболическом (неевклидовом) пространстве является предельная поверхность (ее называют еще орисферой).

Восстановление евклидовой планиметрии в неевклидовом пространстве имеет чрезвычайно большое значение. Используя факт существования евклидовой геометрии на предельной поверхности, Лобачевский приходит к тригонометрии прямоугольных треугольников в гиперболической плоскости, расположение которой он строит в «воображаемой геометрии», как ее называет Лобачевский, аналитическую геометрию, дифференциальную геометрию, развивает дифференциальное и интегральное исчисление. Он развивает созданную им геометрию до такого уровня, которого достигла до него в течение последних трех столетий классическая, «употребляемая» геометрия. И чем дальше шло это развитие новой геометрии, не наталкиваясь ни на какие противоречия, тем тверже крепла уверенность Лобачевского в ее незыблемости. Лобачевским была создана совершенно новая наука, принесшая новые идеи и факты, свидетельствующие о гениальности ее творца. Прецедента этому история развития человеческого знания не имела.[29]

§4 История открытия неевклидовой геометрии

Каким путем подошел Лобачевский к разрешению двухтысячелетней загадки параллельных - неизвестно. Можно только предполагать, что, доказывая пятый постулат способом то противного, т. е. строя геометрию на основе противоположного допущения и видя ее непротиворечивость, Лобачевский пришел к замечательно смелой мысли о возможности геометрии, основанной на постулате, противоположному пятому.

Из непротиворечивости геометрии Лобачевского непосредственно следует, что пятый постулат независим от остальных аксиом и постулатов Евклида. Действительно, если бы он зависел от них, то его можно было бы вывести из них как следствие, т. е. он содержался бы в них в неявном виде и, следовательно, в геометрии Лобачевского оказались бы противоречивые предположения: аксиома параллельности Лобачевского и аксиома параллельности Евклида, которая эквивалентна пятому постулату.

Таким образом, созданием своей непротиворечивой геометрии Лобачевский установил, что пятый постулат доказать нельзя, что он действительно является постулатом, т. е. допущением, а не теоремой, доказываемой на основе других аксиом и постулатов Евклида.

Строя геометрию на основе своего, общего постулата, Лобачевский стремился создать науку, которая представляла бы систему геометрических знаний, свободную от всяких произвольных предположений и наиболее достоверно, наиболее точно отражающую геометрические свойства реального, физического пространства.

Первый доклад о новой геометрии был сделан Лобачевским на заседании Совета физико-математического факультета казанского университета 11 февраля 1826 года (по старому стилю). Этот день называют «Днем рождения неевклидовой геометрии».

Печатная работа Лобачевского, посвященная новой геометрии, вышла в 1829 году под названием « О началах геометрии» (журнал «Казанский вестник»). В мировой литературе это была первая печатная работа, содержащая систематическое изложение неевклидовой геометрии. Стараясь изложить весьма тонкое и очень сложное содержание новой геометрии наиболее ясно и понятно, Лобачевский пишет ряд работ по неевклидовой геометрии: «Воображаемая геометрия» (1835 год), «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1835-1838 годы), «Геометрические исследования по теории параллельных линий» (1840 год), «Пангеометрия» (1855 год).

В этих работах изложена, неевклидова геометрия во вполне развернутом виде, а именно: не только элементарная геометрия, но также аналитическая геометрия и дифференцированная геометрия.

Лобачевский не побоялся насмешек невежд и консерватизма ученых. Он с необычайной стойкостью продолжал один бороться против неверия в новую геометрию, вкладывая еще больше труда в свои работы, чтобы сделать их доступными. Он до последнего часа своей жизни высоко нес знамя передового ученого и даже перед самой смертью, будучи уже слепым, не потерял мужества и нашел в себе силы продиктовать свое великое научное завещание, свой последний труд «Пангеометрию».

Великий научный подвиг Лобачевского характеризует его как горячего патриота Родины, отстоявшего до конца приоритет русского ученого в величайшем научном открытии.

Казалось, что геометрия Лобачевского, не получившая признания при его жизни, будет совсем забыта после его смерти. Но сила гениальных идей Лобачевского была настолько велика, что сумела пробить себе дорогу в той стене враждебности и недоверия, которая встала перед этими идеями с момента их возникновения. Большую роль в признании работ Лобачевского сыграли исследования итальянского математика Бельтрами (1868 год), установившего истинность геометрии Лобачевского на поверхности постоянной отрицательной кривизны.

В переписке крупнейшего немецкого математика Гаусса, опубликованной после его смерти, содержался очень лестный отзыв о геометрии Лобачевского. Гаусс специально изучил русский язык, чтобы читать труды Лобачевского в подлиннике.

Гаусс же является инициатором единственной научной почести, которой был удостоен Лобачевский при жизни. В ноябре 1842 года Гаусс внес предложение избрать Лобачевского как « одного из превосходнейших математиков русского государства» членом-корреспондентом Геттингенского королевского общества наук. Это общество имело значение академии. Предложение Гаусса было принято, и Лобачевский был извещен об избрании.

В геометрии, отличной от геометрии Евклида (и от геометрии Лобачевского), также усилила интерес ученых к геометрии Лобачевского. Ученые всех стран начинают тщательно изучать геометрию Лобачевского.

В ряде стран оказались ревностные сторонники воззрений Лобачевского: Котельников, Суворов, Летников - в России, Гуэль - во Франции, Дженокки - в Италии, Клиффорд - в Англии, которые распространяли идеи великого русского ученого, переводили сочинения его на другие языки.

Уже в семидесятых годах XX века эта геометрия завоевывает всеобщее признание, а имя Лобачевского - величайшую мировую славу. Геометрии Лобачевского посвящаются многие исследования выдающихся русских и иностранных математиков. Столетие со дня рождения Лобачевского было торжественно отмечено ученой общественностью всех стран.

В 1896 году был открыт памятник Лобачевскому перед зданием Казанского университета.

§5 Непротиворечивость (содержательная) геометрии Лобачевского. Интерпритации (модели) геометрии Лобачевского

Итальянский геометр Э. Бельтрами показал, что в евклидовом пространстве существуют поверхности, которые несут на себе планиметрию Лобачевского, - псевдосферы (рис.12).

Образно выражаясь, можно сказать, что на псевдосферическую поверхность навертывается гиперболическая плоскость, подобно тому, как на обыкновенную цилиндрическую поверхность навертывается евклидова плоскость. На рис.12,б можно видеть, что на «плоскости Лобачевского» (на псевдосфере) через точку А, не лежащую на «прямой» а, проходят две «прямые» b и с, не пересекающие «прямую» а.[29]

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси АВ (рис.13).Итак, псевдосфера - это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на котором выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то легко усмотреть, что сумма его внутренних углов меньше 2d. Сторона треугольника - это дуги псевдосферы, дающие кратчайшее расстояние между двумя ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости. Эти линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую и политую краской или мелом нить, в вершинах треугольника. Таким образом, для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель - псевдосфера. Формулы новой геометрии Лобачевского нашли конкретное истолкование. Ими можно было пользоваться, например, для решения псевдосферических треугольников.

Псевдосферу, которую мы назвали «моделью», Бельтрами назвал интерпретацией (истолкованием) неевклидовой геометрии на плоскости. Впоследствии, с развитием и введением в математику аксиоматического метода, под интерпретацией (или моделью) некоторой системы аксиом стали понимать любое множество объектов, в которых данная система аксиом находит свое реальное воплощение, то есть, любая совокупность объектов, отношение между которыми полностью совпадают с теми, которые описываются в данной системе аксиом. При этом полагают, что если для некоторой системы аксиом существует или можно построить интерпретацию (модель), то эта система аксиом непротиворечива, то есть, не только сами аксиомы, но и любые теоремы, на них логически основывающиеся никогда не могут противоречить одна другой.

Итак, доказательство логической непротиворечивости той или иной геометрии, можно свести к доказательству существования модели соответствующей системы аксиом.

Первой моделью планиметрии Лобачевского была интерпретация Бельтрами в 1868г., к которой позже, но из других соображений и в ином виде, пришел в 1870г. немецкий математик Феликс Клейн. Идею этой интерпретации можно усмотреть на рис.14.



В качестве плоскости Лобачевского, коротко «плоскость L», принимается внутренность некоторого круга (исключается таким образом его контур) на обычной евклидовой плоскости. Прямыми L служат хорды круга, исключая, конечно, их концы. Принадлежность и между понимаются в обычном евклидовом смысле. Оказывается, что в этой модели имеют место все аксиомы абсолютной геометрии, то есть, аксиомы принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности. Что же касается аксиомы параллельности, то в этой

модели имеет место не постулат Евклида, а именно, аксиома Лобачевского: через т. С, не лежащую на данной прямой (хорде) АВ, рис.14 можно провести хотя бы 2 прямые (хорды), не пересекающие

данную. Выполняются, конечно, так же все следствия аксиомы. Так, например, среди проходящих через данную точку расходящихся прямых L, имеются две предельные CL и CM, параллельные к АВ в смысле Лобачевского, так как разделяют класс расходящихся с АВ прямых от класса сходящихся. Сами параллельные не имеют с АВC общих точек, поскольку точки А и В, лежащие на окружности, исключены.

Аналогично строится модель Клейна геометрии Лобачевского в пространстве.

За "плоскость" принимается внутренность какого-либо круга (рис. 1), за "точки" - точки этой внутренности, за "прямые" - хорды - конечно, с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга. За "перемещения" принимаются преобразования круга, переводящие его в себя и хорды - в хорды. Соответственно, "конгруэнтными" называются фигуры, переводимые друг в друга такими преобразованиями.

Всякая теорема планиметрии Лобачевского является в этой модели теоремой геометрии Евклида и, обратно, всякая теорема геометрии Евклида, говорящая о фигурах внутри данного круга, является теоремой геометрии Лобачевского. Это общее утверждение доказывается проверкой справедливости в модели аксиом геометрии Лобачевского.

То, что аксиома параллельных не выполняется в этой модели, видно непосредственно: на рисунке 2 через точку С, не лежащую на "прямой" (то есть на хорде) АВ, проходит бесконечно много "прямых" (хорд), не пересекающих (АВ).

Поэтому, если в геометрии Лобачевского имеется противоречие, то это же противоречие (вернее, его перевод на "язык в круге") имеется и в геометрии Евклида.

Далее, всякая теорема геометрии Лобачевского описывает в модели Клейна некоторые факты, имеющие место внутри круга. Именно факты, если мы берем не абстрактный круг, а реальный круг и реальные хорды И понимаем теоремы как утверждения об этих реальных вещах, взятые, конечно, с той точностью, которая доступна для наших построений. Таким образом, геометрия Лобачевского имеет вполне реальный смысл с той точностью, с какой вообще имеет смысл геометрия в применении к реальным телам.

Стало быть, геометрия Лобачевского настолько непротиворечива, насколько непротиворечива геометрия Евклида, и имеет в такой же степени реальный, экспериментально устанавливаемый смысл.

Таким образом, была показана непротиворечивость геометрии Лобачевского. Ее аксиомы и теоремы не могут быть противоречивыми, так как каждой из них соответствует факт евклидовой геометрии внутри круга (или внутри шара). Если в геометрии Лобачевского встретились бы две противоречащие друг другу теоремы, то, переводя эти теоремы на язык обычной геометрии посредством модели Клейна, мы получили бы противоречие между соответствующими теоремами в геометрии Евклида, то есть, построением модели, Клейн показал, что геометрия Лобачевского непротиворечива в такой же мере, в какой непротиворечива геометрия Евклида.

Другую модель геометрии Лобачевского построил в 1882г. французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912), применивший ее к решению некоторых важных задач теории функций комплексного переменного. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (рис. 15), прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями -- преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми. Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами. Исходя из таких соображений, можно строить модель Рис.15 Лобачевского геометрия в пространстве.

Коротко модели Клейна и Пуанкаре можно определить так. В обоих случаях плоскостью Лобачевского может служить внутренность круга (пространством -- внутренность шара), и Лобачевского геометрия есть учение о тех свойствах фигур внутри круга (шара), которые в случае модели Клейна не изменяются при проективных, а в случае модели Пуанкаре -- при конформных преобразованиях круга (шара) самого в себя (проективные преобразования есть те, которые переводят прямые в прямые, конформные -- те, которые сохраняют углы).

Возможно чисто аналитическое определение модели Лобачевского геометрия. Например, точки плоскости можно определять как пары чисел х, у, прямые можно задавать уравнениями, движения -- формулами, сопоставляющими точкам (х, у) новые точки (х', y'). Это будет абстрактно определённая аналитическая геометрия на плоскости Лобачевского, аналогично аналитической геометрии на плоскости Евклида. Т. к. Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, то тем самым он уже фактически наметил такую модель, хотя полное её построение выяснилось уже после того, как на основе работ Клейна и других выявилось само понятие о модели.