Нелинейные уравнения

Анализ особенностей разработки вычислительной программы. Общая характеристика метода простых итераций. Знакомство с основными способами решения нелинейного алгебраического уравнения. Рассмотрение этапов решения уравнения методом половинного деления.

Рубрика Математика
Вид лабораторная работа
Язык русский
Дата добавления 28.06.2013
Размер файла 463,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

"Нелинейные уравнения"

вычислительный программа нелинейный алгебраический

Введение

Цель работы

Приобретение навыков решения нелинейных уравнений, используя итерационные методы (метод половинного деления, метод простых итераций, метод Ньютона). Задание. Для алгебраического уравнения :

- выбрать отрезок, на котором имеется хотя бы один корень;

- проверить условия применимости для каждого метода;

- разработать вычислительную программу, реализующую каждый метод решения;

- вычислить корень уравнения с погрешностью не более 10-6.

Краткие теоретические сведения

Пусть известна некоторая нелинейная зависимость вида y=f(x). Требуется определить все те значения аргумента , k=1,2,…, которые обращают функцию в нуль, то есть Для поиска корней нелинейных уравнений, как правило, используются итерационные методы.

Метод половинного деления

Метод половинного деления основан на теореме Коши: функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нуль внутри интервала. Процедура метода заключается в последовательном сокращении длины отрезка для локализации корня уравнения.

Метод простых итераций

Для решения нелинейного алгебраического уравнения f(x)=0 метод простых итераций исходное уравнение заменяется эквивалентным ему выражением вида x=ц(x). На основе этого соотношения строится итерационный процесс метода простых итераций , при некотором заданном начальном значении x(0).

Метод Ньютона

Для поиска корня уравнения f(x)=0 в окрестности решения выбирается точка x, возле которой функция f(x) раскладывается в ряд Тейлора:

Отсюда следует приближенное равенство , которое с учетом позволяет получить выражение , приводящее к итерационной формуле метода Ньютона:

1. Выбор отрезка

Представим уравнение в виде функции, т.е. f(x)= . Построим график этой функции (Рисунок 1).

Рисунок 1 - График функции . f(x)=

На основании графика, выбираем отрезок X Є [-1; 0] на котором имеется корень уравнения, т.е. значение функции обращается в нуль.

2. Выполнение расчетов

2.1 Метод половинного деления

Значения функции на концах отрезка составляют

Т.к. функция непрерывна на участке [-1 ; 0] и на концах имеет разные знаки, то можно применить метод половинного деления.

Таблица 1 - Решение уравнения методом половинного деления

№ итерации (k)

x

f(x)

x(k)|

1

0

-1

0,5

2

-0,25

-0,2526

0,25

3

-0,375

-0,02136

0,125

4

-0,4375

0,085114

0,0625

5

-0,40625

0,032545

0,03125

6

-0,39063

0,005766

0,015625

7

-0,38281

-0,00775

0,007813

8

-0,38672

-0,00098

0,003906

9

-0,38867

0,002395

0,001953

10

-0,3877

0,000708

0,000977

11

-0,38721

-0,00014

0,000488

12

-0,38745

0,000286

0,000244

13

-0,38733

7,44E-05

0,000122

14

-0,38727

-3,1E-05

6,1E-05

15

-0,3873

2,16E-05

3,05E-05

16

-0,38728

-4,7E-06

1,53E-05

17

-0,38729

8,45E-06

7,63E-06

18

-0,38729

1,85E-06

3,81E-06

19

-0,38729

-1,4E-06

1,91E-06

20

-0,38729

2,04E-07

9,54E-07

После двадцати итераций получен отрезок [-0,387285233; -0,387286186] длина которого 9,53?107, что значительно меньше заданной погрешности дx=10-6. В качестве искомого результата выбирается среднее значение полученного отрезка -0,387286663. Подстановка в уравнение позволяет выполнить проверку второго критерия окончания итерационной процедуры: f()=1,02872*10-6, что также меньше заданной погрешности дy=10-6.

Рисунок 2 - Погрешность решения алгебраического уравнения методом половинного деления в зависимости от номера итерации k

2.2 Метод простых итераций

Уравнение преобразуется к требуемому виду: , т.е. . Для проверки условий сходимости последовательности получаемых решений необходимо определить производную этой функции: . В этой функции применив отрезок [2,5, 3,5], можно определить константу Липшица в виде . В данном случае функция на отрезке [2,5, 3,5] (Рисунок 3) принимает максимальное значение при x=2,5, соответственно. Очевидно, что С<1. Кроме того, откуда следует, что . Таким образом, условия теоремы выполнены, то есть последовательность x(k) метода простых итераций должна сходиться к точному решению уравнения.

Рисунок 3 - Функция на отрезке [2,5, 3,5]

Таблица 2 -Решение уравнения методом простых итераций

№ итерации (k)

x

дx(k)

1

2,973472144103960

0,473472

2

3,011067076783260

0,037595

3

3,011111672640230

4,46E-05

4

3,011111605901370

6,67E-08

5

3,011111606001440

1E-10

6

3,011111606001290

1,5E-13

С помощью вычислительной программы, при начальном приближении x(0)=2,5 получено решение заданного уравнения с погрешностью значительно меньше заданной дx=10-6. Подстановка этой величины в уравнение дает значение модуля функции , не превышающее заданную погрешность дy=10-6.

Рисунок 4 - Погрешность решения алгебраического уравнения методом простых итераций в зависимости от номера итерации k

2.3 Метод ньютона

Для проверки условий сходимости последовательности решений, получаемых методом Ньютона, определяются первая и вторая производные функции f(x):

, .

Основываясь на графиках функций и (Рисунок 5) видно, что они непрерывны и на отрезке . Тогда и . Поскольку разность при и , то , т.е. . Таким образом, условия теоремы выполнены и последовательность x(k) метода Ньютона должна сходиться к точному решению заданного уравнения.

Решение уравнения с помощью программы, при начальном приближении дает результат уже на 3-ей и последующих итерациях, соответственно не превышает заданной погрешности дx=10-6. Подстановка этой величины в исходное уравнение дает значение модуля функции , т.е. не превышает заданное значение погрешности дy=10-6.

Рисунок 5 - Вид функций f'(x), f''(x)

Рисунок 6 - Погрешность решения алгебраического уравнения методом Ньютона в зависимости от номера итерации k

Вывод

Для каждого итерационного метода на выбранном отрезке проверены условия применимости. Разработана программа, реализующая каждый метод решения. Найден корень уравнения с погрешностью не превышающей 10-6:

- методом половинного деления: ;

- методом простых итераций: ;

- методом Ньютона: .

Уменьшение погрешности с ростом числа итераций свидетельствует о сходимости решений заданного нелинейного уравнения, получаемых каждым рассмотренным методом.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Методы решения одного нелинейного уравнения: половинного деления, простой итерации, Ньютона, секущих. Код программы решения перечисленных методов на языке программирования Microsoft Visual C++ 6.0. Применение методов к конкретной задаче и анализ решений.

    реферат [28,4 K], добавлен 24.11.2009

  • Исследование сущности и сфер применения метода итераций. Нелинейные уравнения. Разработка вычислительный алгоритм метода итераций. Геометрический смысл. Составление программы решения систем нелинейных уравнений методом итераций в среде Turbo Pascal.

    реферат [183,7 K], добавлен 11.04.2014

  • Метод аналитического решения (в радикалах) алгебраического уравнения n-ой степени с возвратом к корням исходного уравнения. Собственные значения для нахождения функций от матриц. Устойчивость решений линейных дифференциальных и разностных уравнений.

    научная работа [47,7 K], добавлен 05.05.2010

  • Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.

    контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012

  • Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.

    лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009

  • Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.

    лабораторная работа [32,7 K], добавлен 11.06.2011

  • Трансцендентное уравнение: понятие и характеристика. Метод половинного деления (дихотомии), его сущность. Применение метода простой итерации для решения уравнения. Геометрический смысл метода Ньютона. Уравнение хорды и касательной, проходящей через точку.

    курсовая работа [515,8 K], добавлен 28.06.2013

  • Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

    контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011

  • Великая (большая и последняя) теорема Ферма, ее доказательство для простых показателей. Целочисленные решение уравнения Пифагора в "Арифметике" Диофанта. Формулы для решения уравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел. Преобразование уравнения Ферма.

    реферат [29,1 K], добавлен 19.11.2010

  • Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.

    презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.