Нелинейные уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

"Нелинейные уравнения"

вычислительный программа нелинейный алгебраический

Введение

Цель работы

Приобретение навыков решения нелинейных уравнений, используя итерационные методы (метод половинного деления, метод простых итераций, метод Ньютона). Задание. Для алгебраического уравнения :

- выбрать отрезок, на котором имеется хотя бы один корень;

- проверить условия применимости для каждого метода;

- разработать вычислительную программу, реализующую каждый метод решения;

- вычислить корень уравнения с погрешностью не более 10^-6.

Краткие теоретические сведения

Пусть известна некоторая нелинейная зависимость вида y=f(x). Требуется определить все те значения аргумента , k=1,2,…, которые обращают функцию в нуль, то есть Для поиска корней нелинейных уравнений, как правило, используются итерационные методы.

Метод половинного деления

Метод половинного деления основан на теореме Коши: функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нуль внутри интервала. Процедура метода заключается в последовательном сокращении длины отрезка для локализации корня уравнения.

Метод простых итераций

Для решения нелинейного алгебраического уравнения f(x)=0 метод простых итераций исходное уравнение заменяется эквивалентным ему выражением вида x=ц(x). На основе этого соотношения строится итерационный процесс метода простых итераций , при некотором заданном начальном значении x⁽⁰⁾.

Метод Ньютона

Для поиска корня уравнения f(x)=0 в окрестности решения выбирается точка x, возле которой функция f(x) раскладывается в ряд Тейлора:

Отсюда следует приближенное равенство , которое с учетом позволяет получить выражение , приводящее к итерационной формуле метода Ньютона:

1. Выбор отрезка

Представим уравнение в виде функции, т.е. f(x)= . Построим график этой функции (Рисунок 1).

Рисунок 1 - График функции . f(x)=

На основании графика, выбираем отрезок X Є [-1; 0] на котором имеется корень уравнения, т.е. значение функции обращается в нуль.

2. Выполнение расчетов

2.1 Метод половинного деления

Значения функции на концах отрезка составляют

Т.к. функция непрерывна на участке [-1 ; 0] и на концах имеет разные знаки, то можно применить метод половинного деления.

Таблица 1 - Решение уравнения методом половинного деления

После двадцати итераций получен отрезок [-0,387285233; -0,387286186] длина которого 9,53?10⁷, что значительно меньше заданной погрешности д_x=10^-6. В качестве искомого результата выбирается среднее значение полученного отрезка -0,387286663. Подстановка в уравнение позволяет выполнить проверку второго критерия окончания итерационной процедуры: f()=1,02872*10^-6, что также меньше заданной погрешности д_y=10^-6.

Рисунок 2 - Погрешность решения алгебраического уравнения методом половинного деления в зависимости от номера итерации k

2.2 Метод простых итераций

Уравнение преобразуется к требуемому виду: , т.е. . Для проверки условий сходимости последовательности получаемых решений необходимо определить производную этой функции: . В этой функции применив отрезок [2,5, 3,5], можно определить константу Липшица в виде . В данном случае функция на отрезке [2,5, 3,5] (Рисунок 3) принимает максимальное значение при x=2,5, соответственно. Очевидно, что С<1. Кроме того, откуда следует, что . Таким образом, условия теоремы выполнены, то есть последовательность x^(k) метода простых итераций должна сходиться к точному решению уравнения.

Рисунок 3 - Функция на отрезке [2,5, 3,5]

Таблица 2 -Решение уравнения методом простых итераций

С помощью вычислительной программы, при начальном приближении x⁽⁰⁾=2,5 получено решение заданного уравнения с погрешностью значительно меньше заданной д_x=10^-6. Подстановка этой величины в уравнение дает значение модуля функции , не превышающее заданную погрешность д_y=10^-6.

Рисунок 4 - Погрешность решения алгебраического уравнения методом простых итераций в зависимости от номера итерации k

2.3 Метод ньютона

Для проверки условий сходимости последовательности решений, получаемых методом Ньютона, определяются первая и вторая производные функции f(x):

, .

Основываясь на графиках функций и (Рисунок 5) видно, что они непрерывны и на отрезке . Тогда и . Поскольку разность при и , то , т.е. . Таким образом, условия теоремы выполнены и последовательность x^(k) метода Ньютона должна сходиться к точному решению заданного уравнения.

Решение уравнения с помощью программы, при начальном приближении дает результат уже на 3-ей и последующих итерациях, соответственно не превышает заданной погрешности д_x=10^-6. Подстановка этой величины в исходное уравнение дает значение модуля функции , т.е. не превышает заданное значение погрешности д_y=10^-6.

Рисунок 5 - Вид функций f'(x), f''(x)

Рисунок 6 - Погрешность решения алгебраического уравнения методом Ньютона в зависимости от номера итерации k

Вывод

Для каждого итерационного метода на выбранном отрезке проверены условия применимости. Разработана программа, реализующая каждый метод решения. Найден корень уравнения с погрешностью не превышающей 10^-6:

- методом половинного деления: ;

- методом простых итераций: ;

- методом Ньютона: .

Уменьшение погрешности с ростом числа итераций свидетельствует о сходимости решений заданного нелинейного уравнения, получаемых каждым рассмотренным методом.

Размещено на Allbest.ru