Методы оценок неизвестных параметров распределения

Нормальное распределение на прямой, нормальная кривая. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. Вероятность отклонения в заданный интервал нормальной случайной величины. Вычисление вероятности заданного отклонения.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 06.12.2012
Размер файла 1,7 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

24

Федеральное агентство по образованию РФ

Дагестанский Государственный Университет

Математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

Курсовая работа

На тему:

"Методы оценок неизвестных параметров распределения"

Выполнила: студентка 3 курса 5 группы

Тажудинова П.Г.

Руководитель: Магомедов И.И.

Махачкала 2008 г.

Содержание

  • Введение
  • 1. Нормальное распределение на прямой
  • 2. Нормальная кривая
  • 3. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
  • 4. Вероятность отклонения в заданный интервал нормальной случайной величины
  • 5. Вычисление вероятности заданного отклонения
  • 6. Правило трех сигм
  • 7. Равномерное распределение
  • 8. Задачи
  • Литература

Введение

Исходным объектом статистических исследований является выборка

,

Из распределения , которое полностью или частично неизвестно.

В математической статистике традиционно выделяют в качестве основных два следующих класса задач:

1. Оценка неизвестных параметров.

2. Проверка статистических гипотез.

Задачи первого класса возникают, когда по выборке нужно оценить какую-нибудь неизвестную числовую характеристику распределения Р (оно ведь неизвестно).

То есть, для заданного функционала

От распределения Р мы должны указать функцию от выборки (или, что то же, статистику)

Предназначенную для использования вместо параметра в качестве его приближения.

Статистику называют оценкой параметра . Разумеется, оценок для параметра может быть очень много. Для оценки функционала вида

естественно использовать статистику

.

Но можно, конечно, рассматривать и другие оценки, скажем,

,

где - элементы вариационного ряда и т.д. в качестве можно брать и значения, не зависящие от выборки.

Часто в постановке задач об оценивании содержится указания на то, каким является множество возможных значений параметра . Например, если оценивается доля какого-нибудь минерала в руде, то ясно, что.

Качественной разницы между задачами первого класса (теории оценок) и второго класса (проверка статистических гипотез) не существует.

Основные законы распределения:

1. Биномиальный закон распределения.

Определение. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон

Распределения с параметрами n и p, если она принимает

значения 0,1,2,…,m,…,n с вероятностями

,

где 0<p<1, .

2. Закон распределения Пуассона

Определение. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Пуассона с параметром , если она принимает значения

0,1,2,…,m,… (бесконечное но счетное множество значений) с

вероятностями

.

3. Геометрическое распределение

Определение. Дискретная случайная величина Х=m имеет геометрическое

распределение с параметром , если она принимает значения

1,2,…,m… (бесконечное, но счетное множество значений) с

вероятностями

,

где 0<p<1, .

4. Гипергеометрическое распределение

Определение. Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое

распределение с параметрами n, M, N, если она принимает

значения 0,1,2,…,m,…, min (n,M) с вероятностями

,

где , ; n,M,N - натуральные числа.

5. Равномерный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон

распределения на отрезке , если ее плотность вероятности

постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

6. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

7. Нормальный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид:

.

8. - распределение.

Определение. Распределением (хи-квадрат) с степенями свободы называется распределение суммы квадратов независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону, т.е.

,

где (=1,2,… ) имеет нормальное распределение N (0;1).

9. Распределение Стьюдента.

Определение. Распределение Стьюдента (или t-распределением) называется распределение случайной величины

,

где Z - случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, т.е. N (0; 1);

- независимая от Z случайная величина, имеющая - распределение с степенями свободы.

10. Распределение Фишера-Снедекора.

Определение. Распределение Фишера-Снедекора (или F-распределением) называемся распределение случайной величины

,

где и - случайные величины, имеющие -распределение соответственно с и степенями свободы.

параметр распределение нормальная кривая

1. Нормальное распределение на прямой

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

.

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: есть математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,

Введем новую переменную . Отсюда , . Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно (интеграл Пуассона ).

Итак, , т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру .

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что , имеем

.

Введем новую переменную . Отсюда , . Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

.

Интегрирую по частям, положив , , найдем

.

Следовательно,

.

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами и (>0).

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами и .

Плотность нормированного распределения

.

Функция общего нормального распределения

,

А функция нормированного распределения

.

Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0,x) можно найти, пользуясь функцией Лапласа

.

Действительно

Учитывая, что и, следовательно, в силу симметрии относительно нуля , а значить, и ,

Легко получить, что .

Действительно,

.

2. Нормальная кривая

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривая Гаусса).

Исследуем функцию

Методами дифференциального исчисления.

1. Очевидно, функция определена на всей оси .

2. При всех значениях функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью .

3. Предел функции при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) равен нулю: , т.е. ось служит горизонтальной асимптотой графика.

4. Исследуем функции на экстремум. Найдем первую производную:

.

Легко видеть, что при , при , при .

Следовательно, при функция имеет максимум равный .

5. Равность содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т.е. график функции симметричен относительно прямой .

6. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:

.

Легко видеть, что при и вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции равно ). Таким образом, точки графика и является точками перегиба.

На рис. изображена нормальная кривая при и .

3. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой

График функции и имеют одинаковую форму; сдвинув график в положительном направлении оси на единиц масштаба при или в отрицательном направлении при , получим график . Отсюда следует, что изменение величины параметра (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводить лишь к ее сдвигу вдоль оси : вправо, если возрастает, и влево, если убывает.

По иному обстоит дело, если изменяется параметр (среднее квадратическое отклонение). Максимум дифференциальной функции нормального распределения равен

.

Отсюда следует, что с возрастанием максимальная орбита нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси ; при убывании нормальная кривая становится более "островершинной" и растягивается в положительном направлении оси .

При любых значениях параметра и о площадь, ограниченная нормальной кривой и осью , остается равной единице.

На рис. изображены нормальные кривые при различных значениях и . Чертеж наглядно иллюстрирует, как изменение параметра сказывается на форме нормальной кривой.

При и нормальную кривую

называют нормированной.

4. Вероятность отклонения в заданный интервал нормальной случайной величины

Если случайная величина X задана плотностью распределения , то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу , такова:

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу , равна

Можно преобразовать эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную . Отсюда , . Найдем новые пределы интегрирования. Если , то ; если , то .

Таким образом, имеем

Пользуясь функцией Лапласа

,

окончательно получим

.

5. Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства .

Заметим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

, или .

Пользуясь формулой

,

получим

Приняв во внимание равенство (функция Лапласа - нечетная), окончательно имеем

.

В частности, при

.

На рисунке наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и , то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу , больше у той величины, которая имеет меньшее значение . Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра ( есть среднее квадратическое отклонение; оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания).

События состоящие в осуществлении неравенства и , - противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенства равна , то вероятность неравенства равна .

6. Правило трех сигм

Преобразуем формулу

,

положив . В итоге получим

.

Если и, следовательно, , то

,

т.е. вероятность то, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события исходя из принципов невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила тих сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяются так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное приведенном правиле, выполняются, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

7. Равномерное распределение

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке , если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть

(*)

ее математическое ожидание

а дисперсия

При функция распределения

При получим

При очевидно, что

т.е. формула (*) доказана.

Математическое ожидание случайной величины Х с учетом его механической интерпретации как центра массы равно абсциссе середины отрезка, т.е.

Тот же результат получается если вычислить интеграл:

А для дисперсии имеем:

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [-0,5; +0,5]), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению. Так, случайная величина Х, распределена по равномерному закону на отрезке [0,1], называемая "случайным числом от 0 до 1", служит исходным материалом для получения случайных величин с любым законом распределения.

8. Задачи

1. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15мм.

Решение.

Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому применима формула

Положив , , находим

По таблице находим Искомая вероятность

2. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

Решение.

Так как X - отклонение (диаметра шарика от проектного размера), то

.

Воспользовавшись формулой

, подставив , , получим

Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7мм, равна 0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.

3. Диаметр круга измерен приближенно, причем , и . Рассматривая диаметр как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале , найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

Решение.

1. Математическое ожидание площади круга - случайной величины находим по формуле

.

Подставив , , получим

2. Дисперсию площади круга находим по формуле

Подставив , , получим

4. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина Х с параметрами и , найти случайную величину Х.

Решение.

Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы заключен в границах от до . Найдем эти границы:

,

(см),

т.е. (см).

Литература

1. "Теория вероятностей и математическая статистика".В.Е. Гмурман Москва: "Высшая школа" 1998 г.

2. "Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике" В.Е. Гмурман Москва: "Высшая школа" 2002 г.

3. "Теория вероятностей и математическая статистика".Н.Ш. Кремер Москва: "Юнити-Дана", 2004 г.

4. "Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез". А.А. Боровков Москва: изд. "Наука" 1996 г.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.

    контрольная работа [104,7 K], добавлен 24.01.2013

  • Плотность распределения непрерывной случайной величины. Характеристика особенностей равномерного и нормального распределения. Вероятность попадания случайной величины в интервал. Свойства функции распределения. Общее понятие о регрессионном анализе.

    контрольная работа [318,9 K], добавлен 26.04.2013

  • Определение, доказательство свойств и построение графика функции распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Понятие о теореме Ляпунова. Плотность распределения "хи квадрат", Стьюдента, F Фишера—Снедекора.

    курсовая работа [994,4 K], добавлен 02.10.2011

  • Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.

    контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015

  • Расчет параметров экспериментального распределения. Вычисление среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения. Определение вида закона распределения случайной величины. Оценка различий эмпирического и теоретического распределений.

    курсовая работа [147,0 K], добавлен 10.04.2011

  • Оценивание параметров закона распределения случайной величины. Точечная и интервальная оценки параметров распределения. Проверка статистической гипотезы о виде закона распределения, нахождение параметров системы. График оценки плотности вероятности.

    курсовая работа [570,4 K], добавлен 28.09.2014

  • Оценки неизвестных параметров закона распределения случайной величины Х по данным выборки. Интервальное оценивание. Случайный интервал. Граничные точки доверительного интервала. Нижний и верхний доверительные пределы.

    реферат [30,0 K], добавлен 31.03.2003

  • Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.

    контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013

  • Особенности функции распределения как самой универсальной характеристики случайной величины. Описание ее свойств, их представление с помощью геометрической интерпретации. Закономерности вычисления вероятности распределения дискретной случайной величины.

    презентация [69,1 K], добавлен 01.11.2013

  • Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.

    контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.