Исходным объектом статистических исследований является выборка

,

Из распределения , которое полностью или частично неизвестно.

В математической статистике традиционно выделяют в качестве основных два следующих класса задач:

1. Оценка неизвестных параметров.

2. Проверка статистических гипотез.

Задачи первого класса возникают, когда по выборке нужно оценить какую-нибудь неизвестную числовую характеристику распределения Р (оно ведь неизвестно).

То есть, для заданного функционала

От распределения Р мы должны указать функцию от выборки (или, что то же, статистику)

Предназначенную для использования вместо параметра в качестве его приближения.

Статистику называют оценкой параметра . Разумеется, оценок для параметра может быть очень много. Для оценки функционала вида

естественно использовать статистику

.

Но можно, конечно, рассматривать и другие оценки, скажем,

,

где - элементы вариационного ряда и т.д. в качестве можно брать и значения, не зависящие от выборки.

Часто в постановке задач об оценивании содержится указания на то, каким является множество возможных значений параметра . Например, если оценивается доля какого-нибудь минерала в руде, то ясно, что.

Качественной разницы между задачами первого класса (теории оценок) и второго класса (проверка статистических гипотез) не существует.

Основные законы распределения:

1. Биномиальный закон распределения.

Определение. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон

Распределения с параметрами n и p, если она принимает

значения 0,1,2,…,m,…,n с вероятностями

,

где 0<p<1, .

2. Закон распределения Пуассона

Определение. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Пуассона с параметром , если она принимает значения

0,1,2,…,m,… (бесконечное но счетное множество значений) с

вероятностями

.

3. Геометрическое распределение

Определение. Дискретная случайная величина Х=m имеет геометрическое

распределение с параметром , если она принимает значения

1,2,…,m… (бесконечное, но счетное множество значений) с

вероятностями

,

где 0<p<1, .

4. Гипергеометрическое распределение

Определение. Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое

распределение с параметрами n, M, N, если она принимает

значения 0,1,2,…,m,…, min (n,M) с вероятностями

,

где , ; n,M,N - натуральные числа.

5. Равномерный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон

распределения на отрезке , если ее плотность вероятности

постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

6. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

7. Нормальный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид:

.

8. - распределение.

Определение. Распределением (хи-квадрат) с степенями свободы называется распределение суммы квадратов независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону, т.е.

,

где (=1,2,… ) имеет нормальное распределение N (0;1).

9. Распределение Стьюдента.

Определение. Распределение Стьюдента (или t-распределением) называется распределение случайной величины

,

где Z - случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, т.е. N (0; 1);

- независимая от Z случайная величина, имеющая - распределение с степенями свободы.

10. Распределение Фишера-Снедекора.

Определение. Распределение Фишера-Снедекора (или F-распределением) называемся распределение случайной величины

,

где и - случайные величины, имеющие -распределение соответственно с и степенями свободы.

параметр распределение нормальная кривая

1. Нормальное распределение на прямой