Конечные поля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Южно-Уральский государственный университет»

Кафедра "Прикладной математики"

ОТЧЁТ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «Алгебраические структуры»

Тема: «Конечные поля»

Выполнил: Батаев Д.В.

Челябинск - 2010

Содержание отчета

Формулировка задачи

Решение поставленной задачи

Используемые утверждения и определения

Используемые теоремы

Решение задачи

Список литературы

Приложение 1. Программная реализация

Приложение 2. Теорема Силова

Приложение 3. Теорема о конечных абелевых подгруппах

Формулировка задачи

конечное поле разложение программа

Изучить конструкции и простейшие свойства конечных полей. Построить конечное расширение простого конечного поля. Изучить на примерах конечных полей понятие степени расширения, конструкцию и однозначную определенность поля разложения, простые поля, понятие примитивного элемента, строение конечной мультипликативной подгруппы поля.

Проверить многочлен на неприводимость над и.

Получить разложение данного многочлена на неприводимые множители над и.

Написать программу, которая позволяет проверить и на примитивность.

Решение поставленной задачи

Используемые утверждения и определения

Определение 1.

Система элементов называется полем, если выполнены законы:

Сложение и умножение вполне определены;

Умножение и сложение ассоциативно;

Умножение и сложение коммутативно;

Существует нулевой и единичный элементы;

Существуют противоположные и обратные элементы;

Выполняется дистрибутивность.

Определение 2.

Поле конечно если оно состоит из конечного числа элементов.

Определение 3.

Поле - простое, если оно не содержит собственных подполей.

Определение 4.

Поле K - конечное расширение подполя F, если все элементы поля K - это линейные комбинации конечного множества элементов с коэффициентами из F, то есть . Размерность, то есть число элементов в базисе K - степень расширения K над F.

Определение 5.

Расширение, полученное присоединением одного элемента, называется простым расширением поля.

Определение 6.

Расширение K поля F называется алгебраическим над F, если каждый элемент из K является алгебраическим над F.

Определение 7.

Многочлен неприводим над полем, если его нельзя представить в виде произведения нетривиальных (неконстантных) многочленов.

Утверждение 1.

Для произвольно заданного поля F существует одно (и с точностью до эквивалентности расширений только одно) простое алгебраическое расширение F(и) такое, что и является элементом, удовлетворяющим уравнению, где - неразложимый многочлен из F[x].

Используемые теоремы

Теорема 1. О неприводимости многочлена степени 2 или 3.

Для неприводимости многочлена степени 2 или 3 в кольце необходимо и достаточно, чтобы он не имел корней в поле F.

Доказательство

>Если многочлен f не имеет корней в поле F, но приводим в кольце F[x], то его можно записать в виде Но , откуда deg(g)=1. Значит, , где . Но тогда элемент - является корнем многочлена g, а значит, и многочлена f в F, что противоречит предположению. Теорема доказана. <

Теорема 2.

Если - неприводимый многочлен степени m, то в поле содержится любой корень многочлена f. Более того, все корни многочлена f просты и ими являются m различных элементов поля .

Доказательство:

>Пусть - произвольный корень многочлена f в поле разложения этого многочлена над . Тогда , так что и, в частности, . Покажем теперь, что если - какой-нибудь корень многочлена f, то - тоже корень этого многочлена. Пусть f записан в виде , где . Применяя лемму 2.3[1] и теорему 1.46[1], получаем

Поэтому элементы являются корнями многочлена f. Остается доказать, что эти элементы различны. Допустим обратное. Тогда для некоторых целых j и k, . Возводя это равенство в степень qm-k получаем .

Из леммы 2.12[1] следует, что многочлен f(x) делит многочлен , а по лемме 2.13[1] это возможно лишь в случае, когда число m делит m-k+j. Но так как 0 < m-k+j < m то мы получаем противоречие. <

Следствие к теореме 2.

Если - неприводимый многочлен степени m, то его полем разложения над полем является .

Доказательство:

>Из теоремы 2 следует, что многочлен разлагается в поле и . Но из доказательства теоремы видно что ч.т.д.<

Решение задачи

1) Докажем, что многочлен неприводим над . По теореме 1 о неприводимости многочлена необходимо и достаточно, чтобы он не имел корней в поле . Покажем это:

f(0)=1; f(1)=3; f(2)=1; f(3)=1; f(4)=4;

Корней нет, следовательно, многочлен неприводим над полем .

2) Пусть и корень многочлена . Так как неприводимый многочлен степени n=3 над полем , то, присоединяя к полю корень этого многочлена мы получим конечное поле [и] из элементов.

По следствию к теореме 2 полем разложения многочлена степени 3 над полем является поле =. А так как поле является конечным расширением поля и @[x]/<f(x)>, где <f(x)> - множество элементов кратных f(x), то, из всего этого следует, что все элементы поля представимы в виде ,где .Разложим многочлен на неприводимые множители из.

Так как и - корень, далее подставим в многочлен, затем раскроем скобки, возведем в степени и сгруппируем.

Для решения задачи разложения многочлена на множители была написана программа (Приложение 1), последовательно перебирающая элементы поля и подставляющая их в исходный многочлен. Если при подстановке очередного элемента многочлен обращается в ноль, то этот элемент является корнем.

3) Проверим, является ли элемент и примитивным элементом поля . Так как примитивный элемент - это элемент, который порождает все элементы поля, то необходимо и достаточно проверить, порождает ли элемент и мультипликативную группу поля . Для этого была написана программа (Приложение 1), осуществляющая вывод всех элементов порожденных и.

Результат вывода программы:

0И^2+1И+0

1И^2+0И+0

0И^2+4И+4

4И^2+4И+0

4И^2+1И+1

1И^2+2И+1

2И^2+0И+4

0И^2+2И+3

2И^2+3И+0

3И^2+3И+3

3И^2+0И+2

0И^2+4И+2

4И^2+2И+0

2И^2+1И+1

1И^2+4И+3

4И^2+2И+4

2И^2+0И+1

0И^2+4И+3

4И^2+3И+0

3И^2+1И+1

1И^2+3И+2

3И^2+1И+4

1И^2+1И+2

1И^2+1И+4

1И^2+3И+4

3И^2+3И+4

3И^2+1И+2

1И^2+4И+2

4И^2+1И+4

1И^2+0И+1

0И^2+0И+4

0И^2+4И+0

4И^2+0И+0

0И^2+1И+1

1И^2+1И+0

1И^2+4И+4

4И^2+3И+4

3И^2+0И+1

0И^2+3И+2

3И^2+2И+0

2И^2+2И+2

2И^2+0И+3

0И^2+1И+3

1И^2+3И+0

3И^2+4И+4

4И^2+1И+2

1И^2+3И+1

3И^2+0И+4

0И^2+1И+2

1И^2+2И+0

2И^2+4И+4

4И^2+2И+3

2И^2+4И+1

4И^2+4И+3

4И^2+4И+1

4И^2+2И+1

2И^2+2И+1

2И^2+4И+3

4И^2+1И+3

1И^2+4И+1

4И^2+0И+4

0И^2+0И+1

#62

Элемент и порождает 62 элемента, а, следовательно не является примитивным элементом поля .

Список литературы

1. Лидл Р. Нидеррайтер Г., Конечные поля: в 2-х т. - М.: Мир, 1988

2. Ван-дер-Варден Б.Л., Алгебра, М.:Наука, 1976

3. Каргаполов М.И. Мерзляков Ю.И., Основы теории групп М.:Наука, 1982

4. Холл М., Теория групп, М.: Наука, 1961

Приложение 1

Программная реализация

// Программа для нахождения корней многочлена

#include <stdio.h>

int main(void){

int q,i,j,k;

for(int i=0;i<5;i++)

for(int j=0;j<5;j++)

for(int k=0;k<5;k++){

if ((i*i*i+2*i*i*j+2*i*i*k+2*i*j*j+3*j*j*k+3*i*k*k+i)%5)continue;

if ((2*i*i*i+3*i*i*j+2*i*i*k+2*i*j*j+4*j*j*j+4*i*j*k+3*j*k*k+j)%5)continue;

if ((i*i*i+3*i*i*j+4*j*j*j+4*i*j*k+k*k*k+k+1)%5)continue;

printf("%dO^2+%dO+%d\n",i,j,k);

}

return 0;

}

// Программа для проверки элемента на примитивность

#include <stdio.h>

int j[3]={0,1,0},s[3],i;

int main(){

for(i=0; i<124; i++){

printf("%dO^2+%dO+%d\n",j[2],j[1],j[0]);

for (int k=0;k<3;k++)

s[k]=j[k];

j[0]=(s[2]*4)%5;

j[1]=(s[0]+4*s[2])%5;

j[2]=(s[1])%5;

if (!j[0] && j[1]==1 && !j[2])

break;

}

return 0;

}

Приложение 2

Теорема Силова

Необходимые определения и теоремы:

Определение

Говорят, что группа G действует на множестве M, если для каждых элементов определен элемент причем и здесь e - единица группы G. Множество называется орбитой элемента m.

Теорема Лагранжа

Если H подгруппа конечной группы G, то

Формулировка теоремы Силова:

Пусть G - конечная группа, p - простое число.

Существование. Для каждой степени , делящей порядок G, в G существует подгруппа порядка .

Вложение. Если делит порядок G, то каждая подгруппа порядка из G вложена в некоторую подгруппу порядка из G.

Сопряженность. Все силовские p-подгруппы из G сопряжены в G.

Количество. Количество силовских p-подгрупп из G сравнимо с 1 по модулю p и делит порядок G.

Доказательство:

>

Существование

Пусть - множество всех подмножеств мощности из G. Очевидно, поэтому наибольшая степень p, делящая - это . Если то, очевидно, так что G действует на правыми сдвигами. Пусть - ты орбита, мощность s которой не делится на . Пусть, далее, непосредственно проверяется, что - подгруппа в G, а - правые смежные классы G по. Покажем, что подгруппа имеет требуемый порядок . Обозначим пока, тогда по теореме Лагранжа. Так как наибольшая степень p, делящая s, - это , то t делится на , в частности . С другой стороны, если то, очевидно, поэтому или. Окончательно.

Вложение

Пусть делит - подгруппа порядка из -класс подгрупп, сопряженных с P элементами из G. Мы знаем, что Если не делится на p, то делится на, а потому по первой части теоремы в существует подгруппа порядка p. Тогда P* - требуемая подгруппа P. Пусть делится на p. Группа P действует на сопряжениями, причем мощности орбит делят , а потому имеют вид Так как имеется по крайней мере одна одноэлементная орбита {P} и делится на p, то найдется и другая одноэлементная орбита {Q}. Это означает, что P нормализует Q, поэтому PQ есть p-подгруппа (учесть, что и расширения p-подгруппы посредством p-подгруппы есть p- подгруппа). Применяя к PQ тот внутренний автоморфизм группы G, который переводит Q в P, мы получим p-подгруппу P'P, содержащую P в качестве собственной нормальной подгруппы. Снова по первой части в P'P/P найдется подгруппа P*P/P порядка p, тогда P* - требуемая подгруппа.

Из доказанного утверждения следует, что силовские p-группы конечной группы - это в точности подгруппы порядка , где - максимальная степень p, делящая порядок группы.

Сопряженность

Пусть P - подгруппа порядка из G (в частности это силовская p-подгруппа), а имеет прежний смысл. Надо доказать, что любая силовская p-подгруппа Q из G лежит в . Но Q действует на сопряжениями, причем орбиты имеют снова мощности Так как теперь заведомо не делится на p, то имеется некоторая одноэлементная орбита {P'}, т.е. Q нормализует P'. Тогда P'Q есть p-подгруппа, и ввиду максимальности P', Q имеем Q=P'Q=P'

Количество

В обозначениях предыдущего пункта достаточно проверить, что {Q} - единственная одноэлементная орбита. Но если {Q'} - другая такая орбита, то QQ' является p-группой, отличной от Q, что невозможно.

Теорема доказана.<

Приложение 3

Теорема о конечных абелевых подгруппах

Необходимые теоремы:

Теорема о базе свободной группы

Пусть - свободная абелева группа конечной степени n, A - её отличная от нуля подгруппа. Тогда A свободна и группы , A обладают соответственно базами и такими, что , и делится на.

Доказательство:

>Пусть и. Возникает матрица. Будем назвать элементарными следующие преобразования строк и столбцов целочисленной матрицы:

перестановка двух строк;

прибавление к одной строке целочисленного кратного другой строки;

умножение строки на -1 и аналогичные преобразования столбцов.

Пользуясь тем, что для любых целых чисел a, b, отличных от нуля, найдутся такие целые числа x, y, что ax + by = НОД(a, b), обычными рассуждениями линейной алгебры - более точно, теории л-матриц - можно привести матрицу М элементарными преобразованиями строк и столбцов к виду. Остается заметить, что элементарные преобразования строк соответствуют перходу к другой базе подгруппы А, а элементарные преобразования столбцов - к другой базе группы. Теорема доказана.<

Формулировка теоремы о конечных абелевых группах

Всякая конечнопорожденная абелева группа G разлагается в прямую сумму циклических подгрупп. Более точно, G разлагается в прямую сумму бесконечных циклических и примарных циклических групп, причем количество бесконечных циклических слагаемых и набор порядков примарных циклических слагаемых в любом таком разложении одни и те же, т.е. являются инвариантами группы G.

Доказательство:

>По условию, группа G изоморфна некоторой фактор -группе свободной абелевой группе конечной степени n. Согласно теореме о базе свободной группы в группах и A существуют такие базы и , что . Покажем что - прямая сумма циклических подгрупп .

Прежде всего, ясно, что порождается этими подгруппами. Далее, пусть нуль фактор -группы имеет запись . Тогда . С другой стороны, выражая элемент a через базу подгруппы A и учитывая равенства приходи к соотношениям. В виду однозначности записи элементов через свободные порождающие получаем Но это означает, что каждые элемент из элементов принадлежит A. Тем самым доказана однозначность представления нуля в виде суммы элементов подгрупп и, значит, разложимость группы G в прямую сумму циклических подгрупп. Докажем инвариантность чисел. Зафиксируем какое-нибудь разложение группы G в прямую сумму бесконечных циклических и примарных циклических слагаемых и обозначим через и прямые суммы бесконечных циклических и циклических p-слагаемых этого разложения соответственно, где p-простое число. Понятно, что - максимальная p-подгруппа, а - максимальная периодическая подгруппа группы G, так что подгруппа и все не зависят от выбранного разложения. Так как число бесконечных циклических слагаемых равно, то оно - инвариант группы G. Далее, число циклических слагаемых в разложении группы совпадает с таким же числом для её нижнего слоя и, значит, с размерностью векторного пространства над полем из p элементов, а потому - тоже инвариант. Наконец, пусть и, для определенности, Индукцией по докажем, что числа не зависят от выбора разложения. В самом деле, поэтому по индуктивному предложению, те из чисел, которые, - инварианты разложения. Так как количество остальных - это разность между s и количеством чисел , то оно - также инвариант группы.

Теорема доказана.<

Размещено на Allbest