Краевая задача Римана

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теории функций комплексного переменного

КУРСОВАЯ РАБОТА

Краевая задача Римана

Работу выполнил: Цилинченко Алексей Анатольевич

Группа 34, факультет математики и компьютерных наук,

Специальность 010101.65 Математика

Руководитель работы: Тлюстен С. Р.

Краснодар 2009

Содержание

Введение

Некоторые вспомогательные теоремы

Индекс

Задача Римана для односвязной области

Исключительные случаи задачи Римана

Задача Римана для многосвязной области

Краевая задача Римана со сдвигом

Примеры

Список использованных источников

Введение

Краевая задача , называемая здесь задачей Римана, впервые встречается в работе Римана о дифференциальных уравнениях с алгебраическими коэффициентами. Задача (однородная) формулируется им для случая п пар искомых функций в связи с задачей отыскания дифференциальною уравнения, интегралы которого при обходе около особых точек претерпевают заданную линейную подстановку.

Риман не сделал никаких попыток решить поставленную им задачу. Первое решение однородной краевой задачи дал Гильберт, Пользуясь условиями того, что произвольная комплексная функция является краевым значением аналитической функции, Гильберт составил интегральное уравнение Фредгольма, которому удовлетворяет решение задачи Анализируя это уравнение, он доказал альтернативу; одна из двух задач с коэффициентом G(t) или разрешима. В дальнейшем авторы, рассматривавшие общий случай краевой задачи, шли по тому же пути сведения задачи к интегральному уравнению, используя в качестве аппарата интегралы типа Коши. Вместо альтернативы Гильберта здесь получалась альтернатива для коэффициентов G(t) и метод этот до сих пор применяется при решении задачи Римана со многими неизвестными функциями.

В 1941 г. Б. В. Хведслидзе обобщил это решение на многосвязную область. Задача Римана со сдвигом встречается впервые у Газемана. Он сводит се способом, аналогичным тому, который применил Гильберт для решения задачи Римана, к интегральному уравнению Фредгольма и получает ту же альтернативу, что и Гильберт для задачи Римана. Полное решение задачи Римана со сдвигом, некоторых ее видоизменений дано Д. А. Квеселавз.И в наши дни разрабатываются и интегрируются теории о краевой задаче Римана.

Некоторые вспомогательные теоремы

Приведем здесь четыре наиболее часто используемые теоремы теории аналитических функций.

1. Теорема об аналитическом продолжении в соприкасающихся областях (принцип непрерывности):

Пусть две области D₁ и D₂ граничат вдоль некоторой кривой L; в областях D₁ и D₂ заданы аналитические функции f₁(z) и f₂(z). Предположим, что при стремлении точки z к кривой L обе функции стремятся к предельным значениям, непрерывным на кривой L, причем эти предельные значения равны между собой. При этих условиях функции f₁(z), f₂(z) будут аналитическим продолжением друг друга.

2. Пусть D_Z - некоторая область плоскости z, L_z - прямая или окружность, имеющие с контуром области D_z некоторую общую часть. Множество точек, симметричных относительно L_z веем точкам D_z, образуют область, которую обозначим D^*_z и назовем областью, симметричной D_z относительно L_z. Пусть, далее, w = f(z) - функция, аналитическая в D_w, отображающая ее на некоторую область D_w; L_w - произвольная прямая или окружность в плоскости w и D^*_w - область, симметричная D_w относительно L_w. Определим в D^*_г функцию w=f^*{z), ставя в соответствие точкам z^*, симметричным z, значения w^*, симметричные значениям w=f(z); в частности, если L_z и L_w - действительные оси, то f^*{z)=.

Лемма: Функция w = f^*{z) аналитична в области D^*_z.

Теорема (принцип симметрии):

Пусть функция w=f{z) аналитична в области D_Z, имеющей частью своей границы отрезок прямой или дугу окружности, и отображает область D_z в некоторую область D_w так, что указанные отрезок или дуга снова переходят в отрезок прямой ила дугу окружности. Тогда функция f*(z), определенная по симметрии в области D*_z, будет аналитическим продолжением функции f(z) в область D*_z.

3. Теорема (принцип аргумента):

Пусть f(z) есть функция, аналитическая и однозначная в многосвязной области D, ограниченной гладким контуром

L = t₀ + L₁ + ... + L_m,

за исключением конечного числа точек, где она может иметь полюсы, непрерывная в замкнутой области D+L и имеет на контуре не более чем конечное число нулей целого порядка. Тогда справедлива формула

индекс задача риман односвязный сдвиг

N_D - P_D + ( N_L - P_L) = [arg f(z)]_L,

где N_D, P_D, N_L, P_L - числа нулей и полюсов в области и на контуре; [arg f(z)]_L - приращение аргумента функции f(z) при обходе контура в положительном направлении.

Теорема (обобщенный принцип аргумента):

Пусть f(z) аналитична в D, за исключением конечного числа точек, где она имеет полюсы, и непрерывно продолжила на контур всюду, кроме точек t_k в окрестности которых она представима в виде

f(z)=f_k(z)(z-t_k) ln(z-t_k), k=,

где f_k(z)0, , - некоторые комплексные переменные.

Тогда:

N_D - P_D + = [arg f(z)]_L,

Где - угол между касательными векторами в угловой точке (см. рис 1)

рис. 1

4. Теорема Лиувилля (обобщенная):

Пусть функция f(z) аналитична во всей плоскости комплексного переменного, за исключением точек a₀=?, a_k (k = 1,2,...,n), где она имеет полюсы, причем главные части разложений функции f(z) в окрестности полюсов имеют вид

G₀(z)= в точке a₀,

в точках a_k.

Тогда функция f(z) есть рациональная функция и может быть представлена формулой

В частности, если единственная особенность функции f(z) есть полюс порядка m в бесконечно удаленной точке, то f(z) есть многочлен степени m:

.

Индекс

1. Определение и основные свойства.

Пусть L - гладкий замкнутый контур и G(t) - заданная на нем непрерывная функция, не обращающаяся в нуль.

Индексом ч функции G(t)по контуру L называется разделенное на 2р приращение ее аргумента при обходе кривой L в положительном направлении:

ч = Ind G(t) = [argG(t)]_L

Так как lnG(t) = ln|G(t)| + iargG(t) и после обхода контура L функция |G(t)|возвращается к своему начальному значению, то [lnG(t)]_L=i[arg(t)]_L и следовательно,

ч = [lnG(t)]_L

Индекс можно представить в виде интеграла

ч = Ind G(t) = (_*).

При этом, если G(t) не дифференцируема, но имеет ограниченную вариацию, то интеграл понимается в смысле Стилтьеса. В силу непрерывности G(t) образ Г замкнутого контура L будет также замкнутым контуром и приращение аргумента G(t) при обходе контура L будет кратным 2р; следовательно:

1) Индекс функции, непрерывной на замкнутом контуре и нигде не обращающейся в нуль, есть целое число или нуль.

Из определения индекса непосредственно получаем:

2) Индекс произведения функций равен сумме индексов сjмножителей. Индекс частного равен разности индексов делимого и делителя.

Пусть теперь G(t) дифференцируема и представляет собой краевое значение аналитической внутри или вне контура L функции. Тогда

ч = Ind G(t) =

оказывается равным логарифмическому вычету функции G{t)

Из принципа аргумента вытекают следующие свойства индекса:

3) Если G{t) есть краевое значение функции, аналитической внутри или вне контура, то индекс ее равен числу нулей внутри контура или соответственно числу нулей вне контура, взятому со знаком минус.

4) Если функция G(z) аполитична внутри контура, за исключением конечного числа точек, где она может иметь полюсы, то число нулей нужно заменить на разность числа нулей и числа полюсов.

2. Вычисление индекса.

Пусть t = t₁(s) + it₂(s), (0 ? s ? t) - уравнение контура L. Подставляя выражение комплексной координаты t в функцию G(t), получим

G(t) = G[t₁(s) + it₂(s)] = (_**).

Будем рассматривать как декартовы координаты. Тогда представляет собой параметрическое уравнение некоторой кривой Г. В силу непрерывности функции G(t) и замкнутости контура L кривая Г будет замкнутой.

В общем случае вычисление индекса может быть произведено по формуле (_*).

Полагая в ней на основании формулы (_**) и предполагая дифференцируемыми, получим:

Пример: Вычислить индекс G(t)= tⁿ по любому контуру L, окружающему начало координат.

1-й способ. Функция tⁿ есть краевое значение функции zⁿ, имеющей один нуль порядка п внутри контура. Следовательно, ч = Ind tⁿ = n

2-й способ. Если аргумент t есть ц, то аргумент tⁿ равен nц. Когда точка t, обойдя контур L, возвращается к начальному значению, ц получает приращение 2р. Следовательно, Ind tⁿ = n.

3. Частичные индексы функции двух переменных.

Рассмотрим функцию G(t₁,t₂) переменных t₁ и t₂, непрерывную и отличную от нуля в точках остова L = L₁L₂ некоторой бицилиндрической области. Индекс такой функции вдоль любой непрерывной замкнутой кривой ГL, задаваемой уравнениями t₁=t₁(s), t₂=t₂(s), (0 ? s ? T), определим как изменение ее аргумента при обходе Г в направлении возрастания параметра s:

В частности получим .

С помощью топологических соображений нетрудно показать, что справедливо соотношение ч_Г = m₁ч₁ + m₂ч₂; m₁,m₂ - целые. Отсюда, если ч₁=ч₂=0, то ч_Г=0, а если ч_Г=0 для всякого замкнутого контура ГL, то одновременно и ч₁=ч₂=0.

Целые числа ч ₁ = ч ₂(G) и ч ₂ = ч ₂(G) будем называть частичными индексами функции G{t₁ ,t₂) 0 и непрерывной на L.

Частичные индексы функции двух переменных обладают теми же свойствами, что и индекс функции одного переменного. Например,

ч₁ (GF) = ч₁ (G) + ч₁ (F), ч₁ () = ч₁ (G) - ч₁ (F)

а если функция G(z₁,z₂) аналитична в бицилиндрической области D₁D₂ и непрерывна в ее замыкании, то равенства ч₁=ч₂=0 равносильны тому, что G(z₁,z₂) не обращается в пуль в замыкании D₁D₂.

Задача Римана для односвязной области

1. Постановка задачи.

Даны простой гладкий замкнутый контур L, делящий плоскость комплексного переменного на внутреннюю область D⁺ и внешнюю DП, и две функции точек контура G(t) и g(t), удовлетворяющие условию Гёльдера, причем G(t) не обращается в нуль.

Задача Римана: Найти две функции: Ф⁺(z) - аналитическую в области D⁺, и ФП(z) - аналитическую в области DП, включая z = ?, удовлетворяющие на контуре L линейному соотношению

Ф⁺(t)=G(t) ФП(t) (однородная задача) (_*)

Или Ф⁺(t)=G(t) ФП(t) + g(t) (неоднородная задача).

Функцию G(t) будем называть коэффициентом задачи Римана, а функцию g(t) - ее свободным членом.

2. Отыскание кусочно-аналитической функции по заданному скачку.

Заданную на замкнутом контуре произвольную функцию ц(t) удовлетворяющую условию Гёльдера, можно единственным образом представить в виде разности функций Ф⁺(t), ФП(t), являющихся краевыми значениями аналитических функций Ф⁺(z), ФП(z) при дополнительном условии ФП(?) = 0.

Если отбросить дополнительное условие ФП(?) = 0, то решение задачи, как легко видеть, будет даваться формулой

3. Каноническая функция.

Пусть N₊, N_- - число нулей искомых функций соответственно в областях D⁺, DП. Взяв индекс обеих частей равенства (_*) получим

N₊+ N_- = Ind G (t) = ч.

Индекс ч коэффициента задачи Римана будем называть индексом задачи.

Канонической функцией Х(z) будем называть функцию, удовлетворяющую краевому условию (_*) и кусочно-аналитическую всюду в плоскости, за исключением бесконечно удаленной точки, где порядок ее равен индексу задачи.

Эту функцию можно построить приведением к случаю нулевого индекса. Запишем краевое условие в виде Ф⁺(t)=G(t) ФП(t)

Представляя имеющую нулевой индекс функцию G(t) как отношение краевых значений аналитических функций:

 ,

легко получим выражение для канонической функции:

Из X⁺(t)=G(t)X П(t) следует, что коэффициент задачи Римана может быть представлен в виде отношения канонических функций:

(_**) .

Иногда вместо X П(t) берут (порядок при этом меняет знак на противоположный) и получают представление коэффициента в виде произведения G(t)=Х⁺(t)XП(t). Такое представление называют факторизацией. Однако при этом окончательные формулы решения теряют симметрию.

4. Решение однородной задачи.

Пусть x=IndG(t) есть любое целое число. Представляя G(l) по формуле (_**), приведем краевое условие (_*) к виду

В левой части последнего равенства стоит краевое значение функции, аналитической в D⁺; в правой - краевое значение функции, имеющей на бесконечности порядок не ниже -ч.

При ч>0, обозначая многочлен степени ч с произвольными коэффициентами Р_ч(z), получим решение в виде

Ф{z) = Р_ч{z)Х(z),

или (_***)

Теорема: Если индекс ч краевой задачи Римана неотрицателен, то однородная задача (_*) имеет ч+1 линейно независимых решений

Общее решение содержит ч+1 произвольных постоянных и определяется формулой (_***). При отрицательном индексе задача (_*) неразрешима.

5. Решение неоднородной задачи.

Заменяя коэффициент G(t) краевого условия Ф⁺(t)=G(t)ФП(t)+g(t) отношением краевых значений канонической функции однородной задачи

;

Функция удовлетворяет условию Гёльдера. Заменим ее разностью краевых значений аналитических функции:

, где .

Тогда краевое условие можно будет записать в виде:

Заметим, что при ч?0 функция будет иметь на бесконечности полюс, а при ч<0 нуль порядка ч.

Теорема:

В случае ч?0 неоднородная задача Римана разрешима при любом свободном члене и ее общее решение дается формулой

(_****),

где Р_ч{z) - полином степени ч с произвольными комплексными коэффициентами. Если ч= -1, то неоднородная задача также разрешима и имеет единственное решение.

В случае ч < -1неоднородная задача, вообще говоря, неразрешима. Для того чтобы она была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы свободный член задачи удовлетворял -ч-1 условиям: . При выполнении последних, единственное решение задачи дается формулой (_****), где нужно положить Р_ч (z) = 0.

Исключительные случаи задачи Римана

Проведем исследование задачи, допуская, что функция G(t) в отдельных точках контура обращается в нуль или бесконечность целых порядков. Для простоты будем предполагать, что контур L состоит из одной замкнутой кривой.

1. Однородная задача.

Запишем краевое условие однородной задачи Римана в виде

 (_*)

Здесь (k = 1,2, ...,n), (j=1,2,.. .,v) - некоторые точки контура; m_k, р_j - целые положительные числа; G₁(t) - функция, удовлетворяющая условию Гёльдера и не обращающаяся в нуль. Точки будут нулями функции G(t). Точки будем называть ее полюсами, т.к. функция G(t) неаналитическая, то применение термина полюс не вполне правильно. Мы употребляем этот термин для кратности, понимая под этим точку, где неаналитическая функция обращается в бесконечность целого порядка. Обозначим

Решение будем искать в классе функций, ограниченных на контуре. Пусть Х(z) есть каноническая функция задачи Римана с коэффициентом G₁(t). Подставим в (_*) и запишем краевое условие в виде

(_**)

Применим к последнему равенству теорему об аналитическом продолжении и обобщенную теорему Лиувилля. Точки , не могут быть особыми точками единой аналитической функции, так как это противоречило бы предположению об ограниченности Ф⁺(t) или ФП(t). Следовательно, единственной возможной особенностью является бесконечно удаленная точка. Порядок на бесконечности ХП(z) есть ч, а порядок равен -р. Отсюда порядок на бесконечности функции есть -ч+p. При ч-p?0 согласно обощенной теореме Лиувилля

откуда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если ч-p<0, то нужно положить P_ч-p(z)?0 и, следовательно, задача не имеет решений.

Назовем краевую задачу с коэффициентами G₁(t) приведенной задачей. Индекс приведенной задачи к назовем вместе с тем и индексом данной задачи. Формулы (_***) показывают, что степень многочлена P{z) па р единиц меньше индекса задачи ч.

Отсюда следует, что число решений задачи (_*) в классе функций, ограниченных на контуре, не изменяется от наличия нулей у коэффициента задачи и уменьшается на суммарный порядок всех полюсов. В частности, если индекс оказывается меньше суммарного порядка полюсов, то задача неразрешима.

2. Неоднородная задача.

Запишем краевое условие в форме

 (_****)

Легко видеть, что краевое условие не может быть удовлетворено конечными Ф⁺(t), ФП(t), если допустить, что g(t) имеет полюсы в точках, отличных от , или если в последних точках порядки полюсов g(t) превышают р_j. Исходя из этого, примем как условие, что g(t) может иметь полюсы только в точках и порядки их не превышают p_j.

Для применимости дальнейшей теории нужно потребовать, чтобы функции G₁(t) и в исключительных точках были дифференцируемы достаточное число раз.

Заменим, как и в однородной задаче, G₁(t) отношением канонических функций и запишем краевое условие (_****) в виде

Функция будет интегрируемой. Заменив ее разностью краевых значений аналитических функций

где

Приведем краевое условие к виду



Применяя теорему об аналитическом продолжении и обобщенную теорему Лиувилля, получим

(_*****)

Последние формулы дадут решения, которые, вообще говоря, будут обращаться в бесконечность в точках , .

Для того, чтобы решение было ограниченным, необходимо, чтобы функция имела нули порядков р_j в точках , а функция - нули порядков m_k в точках . Эти требования наложат т+p условий на коэффициенты многочлена . Если коэффициенты многочлена подберем согласно наложенным условиям, то формулы (_*****) дадут решение неоднородной задачи (_****) в классе ограниченных функций.

Канонической функцией Y(z) неоднородной задачи (_****) называется кусочно-аналитическая функция, удовлетворяющая краевому условию (_****), имеющая всюду в конечной части плоскости (включая и точки , нулевой порядок и обладающая на бесконечности наивысшим возможным порядком.

При построении канонической функции будем исходить из решения, даваемого формулами (_*****).

Построим многочлен Q(z) так, чтобы он удовлетворял следующим условиям:

Где - значения производных i-го и l-го порядков в соответствующих точках. Таким образом, Q(z) есть интерполяционный многочлен Эрмита для функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

с узлами интерполяции , кратностей соответственно p_j, m_k

Известно, что такой многочлен определяется единственным образом и его степень с равна с=m+p-1. Каноническая функция неоднородной задачи выражается через интерполяционный многочлен:

(_******)

Для построения общего решения неоднородной задачи (_****) воспользуемся тем, что это общее решение складывается из некоторого частного решения неоднородной задачи и общего решения однородной. Используя формулы и (_******), получим

Задача Римана для многосвязной области

1. Постановка задачи.

Пусть L=L₀+L₁+…+L_m - совокупность m+1 непересекающихся контуров, причем контур L₀ содержит внутри себя все остальные (рис. 2). D⁺ назовем (m+1)-связную область, лежащую внутри контура L₀ и вне контуров L₁,…,L_m. Обозначим DП дополнение D⁺+L до полной плоскости. Для определенности будем считать начало координат расположенным в области D⁺. Положительным обходом контура L считается тот, который оставляет область D⁺ слева, т.е. контур L₀ нужно обходить против часовой стрелки, а контуры L₁,...,L_m -- по часовой.

Прежде всего укажем, что задача о скачке решается той же формулой

что и в случае односвязной области.

рис.2

Для однородной и неоднородной задачи Римана обозначим . Индексом задачи назовем величину



Если , для внутренних контуров равны нулю, то решение задачи имеет совершенно тот же вид, что и для односвязной области.

Для приведения общего случая к простейшему вводим функцию где z_k - некоторые точки, лежащие внутри контуров Учитывая, что

, если , и ,

легко получим

Отсюда .

Вычислим изменение аргумента функции по контуру L_0:

Так как начало координат лежит в области D⁺, то

 .

Поэтому

2. Решение задачи.

1) Однородная задача.

Запишем краевое условие Ф⁺(t)=G(t) ФП(t) в виде

(_*)

Каноническая функция задачи будет даваться формулами

Теперь краевому условию (_*) придадим вид

Применяя теорему об аналитическом продолжении и обобщенную теорему Лиувилля, получим

(_**)

Решение отличается от полученного ранее решения задачи для односвязной области лишь наличием у функции Ф⁺(z) множителя При дополнительном условии в формулах (_**) нужно брать многочлен .

1) Неоднородная задача.

Представим краевое условие Ф⁺(t)=G(t) ФП(t) + g(t) в виде

Отсюда получаем общее решение

или , (_***)

если на решение наложено условие .

При ч?0 неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия

(_****)

где если ищутся решения, ограниченные на бесконечности, и если считать, что .

При выполнении условий (_****) решение можно получить из формул (_****), полагая в них .

Краевая задача Римана со сдвигом

1. Постановка задачи и общие замечания.

Дан простой замкнутый контур L, делящий плоскость на внутреннюю область D⁺ и внешнюю DП. На нем заданы функции G(t), g(t), удовлетворяющие условию Гёльдера, и функция б(t), отображающая контур L взаимно однозначно па себя с сохранением направления и имеющая производную б'(t), удовлетворяющую условию Гёльдера и не обращающуюся в нуль; б (t) будем называть функцией сдвига,

Требуется определить функцию Ф⁺(z), аналитическую в области D⁺, и функцию Ф^П(z), аналитическую в области DП, предельные значения которых на контуре непрерывны и удовлетворяют линейному соотношению

(однородная задача)

Или (неоднородная задача).

индекс задача риман односвязный сдвиг

Сформулированная задача представляет собой обобщение краевой задачи Римана. В частном случае, когда б(t) есть краевое значение аналитической в области D⁺ функции, задача может быть сведена к задаче Римана. Для этого достаточно ввести новую искомую кусочно-аналитическую функцию

Задача со сдвигом в общем случае также может быть сведена к обыкновенной краевой задаче Римана. Однако предварительно нужно дать решение задачи о скачке:



Последнее основывается на исследовании простейшей задачи о нулевом скачке:

(_*)

В основе решения обыкновенной задачи Римана лежит подобная же задача

,

но последняя решается непосредственно на основании теоремы об аналитическом продолжении и теоремы Лиувилля. В отличие от этого, задача (_*)решается не элементарно, и рассмотрение ее требует привлечения теории интегральных уравнений Фредгольма.

2. Задача с нулевым скачком.

Требуется определить кусочно аналитическую функцию Ф(z), удовлетворяющую на контуре краевому условию и дополнительному условию .

Составим интегральное уравнение задачи.

Имея в виду исследование разрешимости получаемого уравнения, введем две новые аналитические функции, взяв искомые функции за плотности интегралов типа Коши:

На основании формул Сохоцкого будем иметь на контуре:



Правая часть равенств будет справедлива тогда и только тогда, когда будут краевыми значениями аналитических в D^± функций. Составим уравнение относительно Ф^П(t), для сего образуем выражение

Исключим теперь из последнего равенства функцию Ф⁺. Для этого во втором интеграле сделаем подстановку , затем переменную ф₁ снова обозначим ф. В результате получим для определения Ф^П(t) интегральное уравнение

Лемма 1: Обобщенная задача с нулевым скачком при дополнительном условии неразрешима.

Лемма 2. Однородное интегральное уравнение Фредгольма

неразрешимо.

3. Задача с заданным скачком.

Рассмотрим теперь краевую задачу



Несколько обобщим постановку задачи, отыскивая ее решение в классе функций, допускающих па бесконечности полюс заданного порядка п.

(_**)

где - многочлен, представляющий собой главную часть функции Ф^П(z) на бесконечности.

Вводя подобно предыдущему кусочно-аналитическую функцию

запишем условия (_**) в виде дробных неравенств:

придем к неоднородному уравнению Фредгольма относительно Ф^П(t):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть R(t,ф) резольвента этого уравнения.

Тогда его решение ожжет быть представлено в виде:

где

Резольвента R(t,ф) уравнения может быть представлена в виде суммы интеративных ядер. Итерация неособых ядер улучшает их свойства, как и у ядра. Особый интеграл с ядром Коши переводит функции, удовлетворяющие условию Гельдера, в себя.

Из краевого условия

определим краевое значение Ф⁺(t):

После чего по формуле Коши построим Ф⁺(t), ФП(t).

Теорема: Задача о скачке в классе функций, имеющих на бесконечности заданную главную часть, разрешима безусловно и однозначно.

4. Однородная задача с нулевым индексом.

Пусть

(_*)

Будем искать решение, удовлетворяющее условию . Покажем, что в случае ч=0 ненулевое решение нигде не обращается в нуль, так что функции будут аналитическими и однозначными. Логарифмируя поэтому соотношение , получим

Для кусочно аналитической функции получим краевое условие типа с дополнительным условием .

Задача имеет единственное решение, определяемое формулами:

где R(t,ф) - резольвента интегрального уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Примеры

Решение краевой задачи Римана сводится в основном к двум операциям:

Представление произвольной функции, заданной на контуре, в виде разности краевых значений функций, аналитических в областях D⁺ и DП (Задача о скачке).

Представление неисчезающей функции в виде отношения краевых значений аналитических функций (Факторизация).

При этом вторая операция может быть сведена к первой путем логарифмирования. Некоторые осложнения при нулевом индексе вносит только неоднозначность логарифма. Первая операция для произвольной функции равносильна вычислению интеграла типа Коши. В связи с этим решение задачи выражается явно через интегралы типа Коши.

В общем случае нет простого алгоритма для вычисления таких интегралов. Нужно применять какой-нибудь из приемов приближенного вычисления интегралов, что сопряжено с весьма трудоемкими вычислениями.

Решим задачу Римана:

при условии, что ФП(?)=0 и L - произвольный гладкий замкнутый контур следующего вида:

а) контур L содержит внутри себя точку z₁=0 и не содержит точек z₂=1, z₃=-1;

В данном случае (рис. 3)

и записываем краевое условие в виде:

.

рис. 3

Отсюда

и значит имеем: ,

Общее решение задачи содержит одно произвольное постоянное. Находим:

где с - произвольное постоянное.

Заменяя с на с-1, можно решению придать еще и такую форму:

б) контур L содержит внутри себя точки z₁=0, z₂=1 и не содержит точки z₃=-1.

Здесь

Размещено на http://www.allbest.ru/

то задача имеет единственное решение:

в) контур L содержит внутри себя точки, z₂=1, z₃=-1, z₁=0

В данном случае

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение задачи существует лишь при выполнении условий разрешимости

Вычисляя этот интеграл, находим

Условие разрешимости, таким образом, выполняется, и единственным решением задачи будет



г) контур L содержит внутри себя точки, z₂=1, z₃=-1 и не содержит точки z₁=0

В этом случае

Для разрешимости задачи необходимо выполнение двух условий:

, .

Вычисляя этот интеграл при k=1, находим

Таким образом, условие разрешимости не выполнено, и потому задача не имеет решения.

Заметим, что если формально вычислить функцию Ф(z), то она будет иметь полюс в бесконечно удаленной точке и, следовательно, не может являться решением задачи. Когда контур L конечен и, следовательно, область D⁺ ограничена, указанный способ решения применим также и в том случае, когда p(l), q(t) не многочлены, а целые функции.

Пусть p₊(l), q₊(t) - многочлены, имеющие в D⁺ своими корнями нули соответственно функций p(l), q(t) с теми же кратностями.

Тогда, представляя р и q в виде

получим краевое условие в виде:

Список использованных источников

1. Ф.Д. Гахов. Краевые задачи. Москва, 1977.

2. Чарльз Генри Эдвардс. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. 2008

Размещено на Allbest.ru