Краевая задача Гильберта

причем имеют место формулы Сохоцкого

Определение 1.1. (см, напр., [6], с. 174) Если при некотором значении параметра однородное уравнение Фредгольма (1.5) имеет нетривиальное решение, то называется собственным значением, а сами решения (линейно независимые) - собственными функциями ядра или, что все равно, однородного уравнения (1.5).

Следующие три теоремы называют соответственно первой, второй и третьей теоремами Фредгольма.

Теорема 1.3. (см., напр., [6], с. 174). Если не является собственным значением ядра, т.е. если однородное уравнение (1.5) неразрешимо, то неоднородное уравнение (1.4) разрешимо при любой правой части.

О решении однородной задачи Гильберта (2.4)

Рассмотрим сначала случай, когда При этом предварительно найдем одно частное решение следующей простейшей неоднородной задачи Гильберта:

, (2.12)

где под понимается однозначная функция класса .

Известно (см., напр., [13], с. 180), что одним из решений задачи (2.12) является функция

, (2.13)

где - решение интегрального уравнения

. (2.14)

Нетрудно проверить, что единственным решением интегрального уравнения Фредгольма (2.14) является функция

, (2.15)

где .

В силу (2.15) из (2.13) получим частное решение задачи (2.12) в следующем виде

. (2.16)

Замечание 2.2. Из равенства (2.12) вытекает, что для граничных значений аналитической в функции справедливо тождество:

. (2.17)

С учетом (2.17) из (2.4) получим

, . (2.18)

Но, в силу леммы 2.1, общее решение краевой задачи (2.18) задается в виде

или , (2.19)

где - произвольная действительная постоянная.

Таким образом, справедлива

Лемма 2.2. Если , то общее решение однородной задачи Гильберта (2.4) можно задавать формулой (2.19).

Пусть теперь , где - отличное от нуля целое число.

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию . Ясно, что и , .

Как показано выше, функция

, где ,

удовлетворяет условию

. (2.20)

Следуя Г.С. Литвинчуку (см. [13], c. 183) функцию вида

, , (2.21)

будем называть канонической функцией задачи Гильберта (2.4).

Нетрудно проверить, что на справедливо тождество («факторизация коэффициента» ):

, . (2.22)

С учетом (2.22) из (2.4) получим

, . (2.23)

Далее отдельно исследуем два случая: и .

Случай 1. Пусть . Тогда функция может иметь в точке полюс порядка . Поэтому она представима в виде

, (2.24)

где - аналитическая в функция, непрерывная в , а , , - произвольные комплексные постоянные.

В силу (2.24) из (2.23) получаем

, (2.25)

где .

Теперь вводя в рассмотрение функции

, , (2.26)

краевое условие (2.25) можно записать так:

, (2.27)

где .

Но равенство (2.27) представляет собой краевое условие известной задачи о скачке (см., например, [6], с. 107) и ее решение задается в виде

, (2.28)

где - произвольная комплексная постоянная.

Из (2.28) получаем

(2.29)

Поскольку должно выполняться условие «симметрии»

, ,

то в (2.29) , т.е. - действительная постоянная.

Итак, общее решение краевой задачи (2.25) имеет вид:

, (2.30)

где , - произвольные комплексные постоянные, а - произвольная действительная постоянная.

С учетом (2.30) из (2.24) получаем общее решение однородной задачи Гильберта (2.4) при :

. (2.31)

Лемма 2.3. При общее решение однородной задачи (2.4) задается в виде (2.31) и оно зависит от произвольных действительных постоянных.

Случай 2. Пусть теперь . В этом случае из (2.23) видно, что функция является аналитической в круге , причем . Следовательно, в силу леммы 2.1 общим решением задачи (2.23) является произвольная постоянная, т.е. . Но поскольку , то .

Лемма 2.4. Если , то однородная задача Гильберта (2.4) не имеет нетривиальных решений.

Перейдем теперь к решению неоднородной задачи Гильберта (2.2).

Поскольку имеет место факторизация (2.22), то краевое условие (2.2) можно переписать так:

, . (2.32)

Здесь, также как и при решении однородной задачи, отдельно рассмотрим два случая: и .

Случай 1. Пусть . В этом случае функция может иметь полюс порядка в точке . Следовательно, имеет место представление (2.24). С учетом (2.24) краевое условие (2.32) можно переписать так:

, . (2.33)

Поскольку одним из решений краевой задачи

, , (2.33а)

является функция (см., [13], с. 180)

, (2.34)

где - некоторая действительная постоянная, а общее решение задачи (2.27) задается в виде (2.30), то общее решение задачи (2.33) можно задавать так:

, (2.35)

где - произвольная действительная постоянная.

Тогда из (2.24) с учетом (2.35) получим общее решение неоднородной задачи Гильберта (2.2) при :

, (2.36)

где - общее решение соответствующей однородной задачи Гильберта, задаваемое формулой (2.31).

Случай 2. Пусть теперь . В этом случае функция является аналитической в , причем точка является нулем порядка не ниже , т.е. . Поэтому общее решение краевой задачи (2.32) задается в виде (см. [13], с. 180):

, (2.37)

где - произвольная действительная постоянная.

Из (2.37), в случае разрешимости, получаем решение исходной задачи Гильберта (2.2) в виде

. (2.38)

Из формулы (2.38) видно, что при для разрешимости задачи Гильберта (2.2) необходимо и достаточно, чтобы аналитическая в функция

(2.39)

имела в точке нуль порядка не ниже , т.е. .

Для того чтобы найти требуемые условия разрешимости задачи Гильберта (2.2), запишем разложение в ряд Тейлора функции в точке :

. (2.40)

Из (2.40) видно, что для выполнения условия должны выполняться следующие условия:

(2.41)

Очевидно, что условия (2.41) можно переписать в виде следующих действительных условий разрешимости:

, , (2.42)

,

где положено

. (2.43)

Итак, в случае (и с учетом (2.43)), при выполнении действительных условий разрешимости (2.42), единственное решение задачи Гильберта (2.2) можно задавать формулой (2.38), где определяется формулой (2.43).

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Если , то неоднородная задача Гильберта (2.2) безусловно разрешима и ее общее решение задается формулой (2.36), причем оно линейно зависит от произвольных действительных постоянных. Если же , то для разрешимости неоднородной задачи Гильберта (2.2) необходимо и достаточно выполнения действительных условий (2.42). При выполнении указанных условий разрешимости единственное решение этой задачи можно задавать формулой (2.38), где определяется по формуле (2.43).

1.3 Метод регуляризующего множителя для решения задачи Гильберта для аналитических функций в случае произвольной односвязной области

Дан простой гладкий замкнутый контур , ограничивающий область , и действительные функции дуги контура удовлетворяющие условию Гёльдера.

Краевую задачу Гильберта можно сформулировать так. найти аналитическую в области и непрерывную на контуре функцию , предельные значения действительной и мнимой части которой удовлетворяют на контуре линейному соотношению

(3.1)

При будем иметь однородную задачу и при , отличной от нуля, - неоднородную.

Оператор Шварца для односвязной области.

Часто приходится решать задачу об определении аналитической в области функции по заданной на границе области действительной части . В дальнейшем будем эту задачу для краткости называть задачей Шварца. По определяется гармоническая в области функция , а по ней интегрированием полного дифференциала (уравнения Коши - Римана) с точностью до произвольного слагаемого находится сопряженная гармоническая функция . Таким образом, задача Шварца решается с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Решение будет вполне определенным, если задать в какой-либо точке области значение мнимой части искомой аналитической функции. Для решения задачи Шварца введем понятие оператора Шварца.

Под оператором Шварца будем понимать оператор, восстанавливающий аналитическую функцию по граничным значениям ее действительной части.

Пусть на гладком контуре задана некоторая действительная функция , удовлетворяющая условию Гёльдера. Оператором Шварца будем называть оператор, который определяет аналитическую функцию , предельное значение действительной части которой на контуре совпадает с функцией , а мнимая часть в заданной точке обращается в нуль.

Символически это будем записывать так:

Если контур L есть единичная окружность, то оператор Шварца совпадает с известным интегралом Шварца; если - действительная ось, оператор Шварца есть удвоенный интеграл типа Коши. Для произвольного контура можно дать явное выражение оператора Шварца через функцию Грина. Пусть

- функция Грина оператора Лапласа для области , причем , a - гармоническая функция обеих пар переменных и , принимающая значение , когда одна из точек , оказывается лежащей на контуре.

Будем рассматривать как функцию двух комплексных переменных , , изменяющихся каждая в области , и обозначать ее далее .

Из теории гармонических функций известно (см. [1]), что решение первой краевой задачи гармонических функций - задачи Дирихле - дается формулой

(3.2)

где - комплексная координата точки контура, - внутренняя нормаль.

Пусть - гармоническая функция, сопряженная функции по переменной . Она определяется на основании уравнений Коши - Римана формулой

(3.3)

где z₀ - фиксированная точка области .

Так как область односвязная, то функция определяется однозначно, причем на основании формулы (3.3) удовлетворяет условию

Функция

называется комплексной функцией Грина области . Она будет аналитической по переменной всюду, кроме точки , где она имеет логарифмическую особенность.

В силу равенств (3.2) и (3.3) формула

дает гармоническую функцию , сопряженную функции .

Отсюда равенство

определяет аналитическую функцию, действительная часть которой на контуре равна заданной функции , удовлетворяющую дополнительному условию .

Следовательно, оператор Шварца задается формулой

(3.4)

Если отбросить условие , то

(3.5)

где - произвольная постоянная, равная .

Функция называется ядром Шварца для контура . При конформном отображении области на единичный круг она переходит в ядро Шварца для круга

Комплексная функция Грина и оператор Шварца тесно связаны с конформным отображением области на круг. Пусть

есть функция, конформно отображающая область плоскости , ограниченную контуром , на единичный круг плоскости и переводящая некоторую точку области в начало координат. В силу взаимной однозначности отображения никакая другая точка области не переходит в начало, поэтому .

Определение аналитической функции, имеющей полюс, по значениям ее действительной части на контуре (задача А).

В предыдущем пункте определялась аналитическая в области функция по действительной части на контуре. В дальнейшем нам понадобится решение более общей задачи, когда для искомой аналитической функции в некоторой точке области допустим полюс. Задачу эту в дальнейшем, следуя [6], будем именовать задачей А. Дадим ее точную формулировку.

Дан простой гладкий замкнутый контур , ограничивающий внутреннюю область . Требуется определить функцию , аналитическую в области , за исключением точки z₀, где для нее допустим полюс порядка не выше и действительная часть которой на контуре L обращается в заданную функцию .

Соответствующую однородную задачу () назовем задачей А₀. Решение ее будем обозначать .

Дадим сначала решение задачи А₀ для случая, когда контур L есть единичная окружность и .

Выпишем разложение искомой функции в окрестности начала координат:

По условию

Обозначая , получим

В силу единственности разложения в ряд Фурье будем иметь

Отсюда

Следовательно, искомая функция Q(z) имеет вид

(3.6)

где оператор Шварца определяется формулой (3.4), а решение однородной задачи А0 - формулой (3.8).

Как показывают формулы (3.8), (3.9), в решения задач А0 и А входят линейно произвольных действительных постоянных

Для построения обладающей перечисленными выше свойствами функции по предельным значениям на контуре ее мнимой части достаточно заметить, что

(3.10)

Определение регуляризующего множителя.

Пусть - простой гладкий замкнутый контур, ограничивающий внутреннюю область , и

- заданная на нем комплексная функция, удовлетворяющая условию Гёльдера и не обращающаяся в нуль. Произвольная функция , как это уже указывалось, вообще говоря, не является краевым значением функции, аналитической в области .

Выясним, можно ли определить такую удовлетворяющую условию Гёльдера функцию точек контура , умножив на которую функцию , получим краевое значение функции , аналитической в области , т.е.

. (3.11)

Функцию , обладающую указанным свойством, назовем регуляризующим множителем.

Задача в такой постановке не является определенной, так как если она допускает какое-нибудь одно решение, то она, очевидно, допускает и бесчисленное множество других решений, получаемых из данного путем умножения его на краевое значение любой функции, аналитической в. Поэтому постановка задачи нуждается в уточнении. Чтобы задача стала определенной, на регуляризующий множитель нужно наложить некоторые дополнительные условия.

В практике встречаются два вида регуляризующих множителей:

1) с постоянным аргументом;

2) с постоянным модулем;

Без ограничения общности можно в первом случае постоянный аргумент принять равным нулю и считать, следовательно, множитель действительным положительным, а во втором считать модуль равным единице.

Потребуем, чтобы регуляризующий множитель был действительной функцией; обозначая его в этом случае , имеем

(3.12)

Беря индекс обеих частей и учитывая, что индекс равен нулю, получим

Согласно свойствам индекса, будем иметь:

1. При функция не может иметь нулей в области .

2. При функция должна иметь в нулей.

3. При функция не может быть аналитической в , она должна иметь там не менее полюсов.

Желая обеспечить разрешимость, и притом однозначную, задачи отыскания регуляризующего множителя рассматриваемого типа при любом индексе, дадим этому понятию несколько иное определение, при котором у искомой аналитической функции допускается полюс в области D⁺.

Для простоты записи будем считать, что начало координат лежит в области .

Определение 3.3. Регуляризующим множителем комплексной функции, заданной на контуре L, будем называть такую действительную положительную функцию точек контура , что произведение есть краевое значение функции аналитической и имеющей нулевой порядок всюду в области , за исключением разве что начала координат, где ее порядок равен индексу функции .

Последняя формула определяет краевое значение гармонической функции . Сама функция определяется решением задачи Дирихле. Затем из уравнений Коши - Римана определяется сопряженная гармоническая функция, через краевое значение которой выражается искомый регуляризующий множитель .

Проще всего выразить результаты при помощи оператора Шварца.

Согласно (3.5) и (3.15) будем иметь

(3.16)

где на для определенности наложено условие

(3.17)

(3.18)

2. . По определению будем иметь

(3.19)

Взяв модули и аргументы обеих частей, получим

(3.20)

Отсюда

(3.21)

Регуляризующий множитель определится формулой (3.20).

Таким образом, доказана

Теорема. 3.2. (см., напр., [6], с. 277) Произвольная функция точек контура, удовлетворяющая на нем условию Гёльдера и не обращающаяся в нуль, имеет действительный регуляризующий множитель, который при дополнительном условии (3.17) определяется формулами (3.16), (3.18), (3.20), (3.21) единственным образом.

Поэтому краевое условие (3.22) можно записать в двух равносильных формах:

 (3.24а)

(3.24б)

где

(3.25)

- искомая функция.

Индекс функции будем называть индексом задачи Гильберта.

Разделив обе части равенства (3.24а) на регуляризующий множитель функции , приведем его к виду

(3.26)

Рассмотрим отдельные случаи.

1. . В этом случае краевое условие (3.29) есть условие задачи Шварца. В силу единственности решения этой задачи будем иметь в области

(3.27)

где - произвольная постоянная.

2. . Краевое условие (3.26) есть условие задачи А0. На основании этого получим

 (3.28)

где определяется формулами (3.7), (3.8). Следовательно, задача имеет линейно независимых решений.

3. . Решения задачи в аналитических функциях не существует. Задача имела бы решение, если в качестве допустимых брать функции, имеющие в области не менее полюсов.

Неоднородная задача Гильберта.

Запишем краевое условие (3.1) в виде

(3.29)

Аналогично тому, как это делалось для однородной задачи, разделим обе части краевого условия на регуляризующий множитель функции :

(3.30)

Рассмотрим отдельные случаи.

1.. Взяв от обеих частей оператор Шварца и выражая F(z), получим

(3.31)

2.. Краевое условие (3.9) есть условие задачи А

 (3.32)

Так как формулы (3.31) и (3.32) содержат в качестве слагаемых общие решения соответствующих однородных задач, то ясно, что они дают общее решение неоднородной задачи.

3. . Поступая аналогично предыдущему, получим

(3.33)

Ввиду наличия множителя функция, определяемая последней формулой, может иметь полюс порядка . Чтобы аналитическое решение, нужно потребовать, чтобы функция

имела нуль порядка в начале координат. Это даст, как можно показать прямыми выкладками, условий, которым должен удовлетворять свободный член для того, чтобы решение задачи было возможно. Не имея явного выражения оператора Шварца для произвольного контура, нет возможности выписать эти условия разрешимости в общем случае. В тех случаях, когда такое выражение известно, можно выписать эти условия явно.

Сформулируем полученные результаты.

Теорема. 3.3. (см., напр., [6], с. 282) Если индекс комплексной функции , то однородная краевая задача Гильберта (3.22) и неоднородная (3.29) безусловно разрешимы. Однородная задача имеет линейно независимых решений, линейная комбинация которых входит слагаемым в общее решение.

Учитывая, что на контуре, получим, что решение задачи Гильберта представляется следующими формулами:

1) При

(3.36)

2) При

(3.37)

Учитывая, что ядро Шварца сводится к ядру Коши по следующей формуле

из (3.36) и (3.37) получим формулы (2.36) и (2.38). Таким образом, результаты § 2 являются частным случаем результатов настоящего параграфа.

1.4 Решение задачи Гильберта методом сведения к задаче Римана

Рассмотрим способ (указанный Н. И, Мусхелишвили) сведения краевого условия задачи Гильберта к краевому условию задачи Римана путем доопределения по симметрии в дополнительную область решения задачи Гильберта. Этот метод интересен тем, что он сам независимо от изложенного выше метода регуляривующего множителя может служить источником решения задачи Гильберта.

Различие в постановках краевых задач Римана и Гильберта заключается прежде всего в том, что в первой задаче отыскивается кусочно аналитическая функция, определенная во всей плоскости, тогда как в последней ищется функция, определенная только в области , а дополнительная область совершенно не затрагивается. Поэтому, чтобы установить связь между указанными краевыми задачами, исходя из самой их постановки, прежде всего нужно найти целесообразный способ доопределения аналитической функции (являющейся решением задачи Гильберта) в область так, чтобы получить кусочно аналитическую функцию, определенную во всей плоскости.

Так как контур , по условию, окружность, то такое доопределение может быть произведено, как показывает дальнейшее исследование, путем продолжения по симметрии совершенно так же, как это делается в принципе симметрии. Различие будет заключаться лишь в том, что поскольку могут не выполняться условия этого принципа (отрезок прямой или дугу окружности функция должна отображать в отрезок прямой или дугу окружности), то и полученное продолжение, вообще говоря, не будет аналитическим. Это и не требуется, так как речь идет только о построении в области некоторой новой функции , которая была бы так связана с функцией , определенной из краевой задачи Гильберта, что краевое условие последней задачи стало бы равносильным краевому условию задачи Римана, связывающему функции и .

Продолжим по симметрии заданную в области (единичном круге) функцию в область (внешность единичного круга или нижняя полуплоскость), считая, что в точках, симметричных относительно контура, функции принимают сопряженные значения, т.е.

(4.1)

(4.2)

Определенная таким образом функция будет аналитической в области (см. 6).

Совокупность функций и можно рассматривать как одну кусочно аналитическую функцию.

Когда точка из области стремится к точке контура , симметричная ей точка в стремится к той же точке . Поэтому

 (4.3)

(4.4)

Таким образом, предельные значения функций и на контуре комплексно сопряжены друг другу. Следовательно, заданную на контуре функцию можно рассматривать как предельное значение функции .

Теперь уже можно доказать сводимость задачи Гильберта к задаче Римана.

Запишем краевое условие задачи Гильберта

(4.5)

Заменяя на основании изложенного выше на из (4.5) получим краевое условие задачи Римана

(4.6)

Следовательно, решение краевой задачи Гильберта равносильно отысканию функции из решения краевой задачи Римана (4.6) при условии, что для всякого , не лежащего на контуре.

 (4.7)

Способ сведения задачи Гильберта к задаче Римана, изложенный в настоящем пункте, имеет то преимущество перед первым способом, что он не опирается на явное решение этих задач. Поэтому способ этот может быть использован и в том случае, когда таких явных решений не существует, например, в соответствующих задачах со многими неизвестными функциями (см., например, [3], стр. 172).

2.1 Постановка краевой задачи типа Гильберта в классе бианалитических функций

Пусть - произвольная конечная односвязная область, ограниченная простым замкнутым гладким контуром L.