Элективный курс "Многогранники"

Примерами графов могут служить схемы метрополитена, железных и шоссейных дорог, планы выставок, структурные формулы молекул и т.д., другими словами, схемы, планы, карты без указания масштабов, показывающие лишь связь между принадлежащими им объектами.

Рассмотрим следующие задачи:

Задача 1. О трех домиках и трех колодцах.

Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу?

Решение:

Предположим, что это можно сделать. Отметим домики точками D1, D2, D3, а колодцы точками K1, K2, K3. Каждую точку-домик соединим с каждой точкой-колодцем. Получим девять отрезков, которые попарно не пересекаются (рис.6).

Всякие две точки, изображающие домики или колодцы, будут соединены цепочкой отрезков и, в силу теоремы Эйлера, эти девять отрезков разделят плоскость на пять граней, так как В = 6, Р = 9. Каждая из пяти граней ограничена, по крайней мере, четырьмя отрезками, поскольку по условию задачи ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Поэтому число отрезков должно быть не меньше - , и, следовательно, наше предположение неверно.

Задача 2.

Доказать, что на всякой карте найдется страна, граничащая не более чем с пятью странами (любую карту можно рассматривать как граф, а страны на ней - как грани графа).

Решение.

Если число стран на карте не превосходит шести, то утверждение задачи очевидно. Докажем, что на карте, имеющей больше шести стран, найдутся даже четыре страны, каждая из которых граничит не более чем с пятью странами. Окрасим вершины и ребра исходной карты в черный цвет, а красной краской отметим в каждой стране по одной точке. Всякие две отмеченные точки, лежащие в соседних странах (странах, имеющих общую граничную точку), соединим внутри этих стран красным ребром так, чтобы красные ребра попарно пересекались. Тогда всякие две красные точки будут соединены цепочкой ребер, а поскольку никакие два ребра не будут соединять одни и те же точки, то каждая страна на карте, состоящей из точек и ребер красного цвета, будет ограничена не менее чем тремя ребрами. Если какая-нибудь страна на карте ограничена более чем тремя ребрами, то на ее границе можно выбрать две вершины, не соединенные ребрами, и соединить их красным ребром внутри этой страны. Повторяя несколько раз эту операцию, получим красную карту, на которой каждая страна ограничена ровно тремя ребрами. Так как, кроме того, на этой карте никакие две дуги не соединяют одни и те же вершины и число вершин больше трех, то из каждой вершины выходит не менее трех ребер. Обозначим: Р - число ребер, Г - число стран и, В - число вершин красной карты, А - число вершин, из которых выходит менее чем шесть ребер. Тогда (‹); (‹‹). Из соотношения (‹) и теоремы Эйлера, примененной к красной карте, следует: ; , что показывает . Остается заметить, что если некоторая страна на черной карте имеет больше пяти соседей, то из отмеченной в этой стране красной точки выходит больше пяти ребер, и поэтому, в силу неравенства , на черной карте найдутся четыре страны, каждая из которых имеет не больше пяти соседей.

Задача 3. Задача Эйлера о кенигсбергских мостах.

Во времена Эйлера в г. Кенигсберге (ныне г. Калининград) было семь мостов через реку Прегель (рис.7, где Л - левый берег; П - правый берег; А, Б - острова). Задача заключается в следующем: можно ли, прогуливаясь по городу, пройти через каждый мост точно по одному разу?

Широко известна старая головоломка - обвести контур некоторой фигуры, не отрывая карандаша от бумаги и не обводя ни одной линии контура дважды, т.е. "нарисовать одним росчерком". Такие контуры образуют так называемые уникурсальные графы.

Граф называется уникурсальным, если его можно пройти весь непрерывным движением, не проходя одно и то же ребро дважды. С уникурсальными графами тесно связана и данная задача. Сопоставим с планом города некоторый граф (рис.8).

Для решения задачи понадобятся следующие данные:

Понятие "индекс вершины" - число ребер графа, сходящихся в данной вершине.

Граф уникурсален тогда и только тогда, когда он содержит не более двух вершин нечетного индекса. (Действительно, если граф уникурсален и начало не совпадает с концом, то начало и конец являются единственными точками с нечетным индексом, остальные точки - с четным индексом, так как в каждую точку мы входим и выходим из нее. Если начало совпадает с концом, то точки с нечетным индексом нет. Обратно: пусть граф имеет две точки А и В нечетного индекса. Соединим их ломаной и выбросим эту ломаную из графа. Останутся точки только четного индекса. В этом случае можно начать из любой точки и в нее же вернуться. Выбросив образованный таким образом граф из основного графа, получим граф с четными вершинами и меньшим их количеством. Повторяя эту процедуру, мы обойдем весь граф. Таким образом, граф уникурсален. Значит, имеет не более двух нечетных вершин.)

Решение.

Определим четность всех вершин на графе, изображенном на рис.16, соответствующем плану города. Вершина А имеет четность 5, Б- 3, П- 3, Л-3. Таким образом, граф имеет более двух вершин нечетного индекса и, следовательно, не является уникурсальным. Отсюда следует, что нельзя пройти во время прогулки по городу по всем семи мостам, проходя по каждому только один раз.

Литература

Бекламов Б.В. Применение теоремы Эйлера к некоторым, задачам // Квант, 1974, № 10. C.I7-I9.

Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. Н.: Наука, 1982, C.I7 /Библиотечка «Квант», вып.21.

Болтянский В.Г. Топология графов // Квант, 1981, № 6. C.5-I0.

Болтянский В.Г. Плоские графы // Квант, 1981, № 7.C. 11-I6.

Березина Л.Ю. Графы и их применение: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1979. С.28-41.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М.: Наука, 1981. C.I3I-I34 /Библиотечка «Квант» вып. 8.

Задание на дом.

Общее задание.

Задачи.

1. Дан выпуклый многогранник, все грани которого имеют 5, 6 или 7 ребер, а все многогранные углы - трехгранные. Доказать, что число пятиугольных граней на 12 больше числа семиугольных.

2. Сможет ли экскурсовод провести посетителей по выставке так, чтобы они побывали в каждом зале только один раз. Соответствующий граф приведен на рис.9. Вершины графа - это вход, выход, двери, соединяющие залы, перекрестки, а ребра - залы и коридоры. Где на выставке следовало бы сделать вход и выход, чтобы можно было провести экскурсию по всем залам, побывав в каждом из них в точности один раз?

3. На рис.10 изображен план подземелья, в одной из комнат которого скрыты богатства рыцаря. После смерти рыцаря его наследники нашли завещание, в котором было сказано, что для отыскания сокровищ достаточно войти, в одну из крайних комнат подземелья, пройти через все двери, причем в точности по одному разу через каждую; сокровища скрыты за той дверью, которая будет пройдена последней. В какой комнате были скрыты сокровища?

Индивидуальное задание. Сообщение на тему "История правильных многогранников" / Глейзер Г. И. История математики в школе. IX - X классы. М.: Просвещение, 1983. С.171,172.

ЗАНЯТИЕ № 5. Правильные многогранники

Правильные многогранники с давних времен привлекали внимание людей. Им посвящена ХШ книга "Начал" Евклида. Древнегреческий философ-идеалист Платон считал, что основные элементы природы - атомы имеют форму правильных многогранников, отсюда и название - Платоновы тела. И.Кеплер построил на основе правильных многогранников модель Солнечной системы. Необычайно высок был интерес к правильным многогранникам в средние века, особенно в кругах художников, скульпторов, архитекторов» Ими занимались знаменитые Леонардо да Винчи и к. Дюрер.

На данном занятии учащиеся знакомятся с историей развития представлений о правильных многогранниках. С помощью теоремы Эйлера доказывается, что существует только пять типов правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, гексаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Таким образом, рассматривается еще одно, важное значение теоремы Эйлера, которая служит основой для строгого построения теории правильных многогранников.

В начале занятия дается определение правильного многогранника. Учащимся демонстрируются модели всех правильных многогранников, а также некоторых полуправильных и правильных звездчатых многогранников и предлагается выявить все свойства правильных многогранников, а именно:

все ребра равны;

все плоские углы равны;

все грани- равные правильные многоугольники;

все двугранные углы равны;

все многогранные углы равны;

все многогранные углы имеют одно и то же число граней.

Чтобы выбрать из перечисленных свойств те, которые должны войти в определение правильного многогранника, обратимся к аналогу правильного многогранника - правильному многоугольнику. Рассмотрим его определение.

Определение 1. Многоугольник называется правильным, если:

все стороны равны;

все углы равны.

Проведем аналогию между элементами многоугольника на плоскости и многогранника в пространстве:

Многоугольник	Многогранник
Сторона	Грань
Угол	Двугранный угол
Вершина	Ребро

Отсюда определение правильного многогранника.

Определение 2. Многогранник называется правильным, если:

все его грани- равные правильные многоугольники;

все двугранные углы равны.

Отсюда следует, что все ребра, плоские и многогранные углы правильных многогранников равны.

Далее внимание учащихся обращается на то, что типов правильных многоугольников существует бесконечно много, а правильных многогранников - только пять. Это можно доказать с помощью теоремы Эйлера.

Теорема.

Существует не более пяти типов правильных многогранников.

Доказательство:

Пусть имеется правильный многогранник. Все его грани правильные n-угольники. В каждой вершине сходится m ребер. При этом и .

Пусть Г - число граней, В - число вершин, Р - число ребер правильного многогранника. Тогда . По теореме Эйлера . Подставляя данное соотношение в выражения для Г и В, имеем: , так как и . Итак, необходимо найти значения для n и m.

Рассмотрим n. Известно, что и . Пусть m=3. Тогда . Отсюда . Аналогично можно показать, что .

Рассмотрим все возможные значения для n и m. Для этого заполним следующую таблицу:

m n	3	4	5
3	Г=4 В=4 Р=6 Тетраэдр	Г=8 В=6 Р=12 Октаэдр	Г=20 В=12 Р=30 Икосаэдр
4	Г=6 В=8 Р=12 Куб	Не существует	Не существует
5	Г=6 В=8 Р=12 Додекаэдр	Не существует	Не существует

1) n=3, m=3. Проверим условие - верное неравенство;

2) Проверим: - верное неравенство;

и т.д. Для n=5, например, и m=5 неравенство - неверно, следовательно, многогранник не существует.

Итак, показано, что существует не более пяти типов правильных многогранников. Чтобы доказать существование каждого правильного многогранника, необходимо его построить.

Построение правильных многогранников

В некоторой плоскости строим квадрата ABCD. Через его вершины проводим перпендикуляры к данной плоскости, равные стороне квадрата. Получим точки A1, B1, C1, D1.. Многогранник ABCD A1B1C1D1- куб (у него все грани - равные квадраты, все двугранные углы - прямые).

Интересно, что из данного куба можно получить все остальные правильные многогранники следующим образом.

Возьмем произвольную вершину куба, например D1 (рис. 11,а). Затем возьмем три вершины куба, которые лежат в трех плоскостях, сходящихся в данной точке и лежащих с D1 на одной диагонали. Это вершины B1, A и C . Многогранник D1B1AC - тетраэдр. (Можно предложить доказать это утверждение самим учащимся)

Заметим, что необходимо называть рассматриваемые многогранники "правильный тетраэдр", "правильный октаэдр" и т.д. В данном занятии слово "правильный" опущено, поскольку речь идет только о правильных многогранниках.

Центры граней данного куба являются вершинами правильного многогранника - октаэдра (рис. 11,6).

Через каждое ребро куба проведем плоскость, не имеющую с поверхностью куба других общих точек, кроме точек этого ребра. Получим 12 плоскостей, которые образует некоторый двенадцатигранник. При определенном выборе наклона этих плоскостей к граням куба двенадцатигранник будет правильным додекаэдром (рис. 11,в).

Построив додекаэдр, легко построить икосаэдр. Центры граней додекаэдра служат вершинами икосаэдра (рис. 11,г). На гравюре Эшера “Четыре тела» (рис.12), он изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Из рассмотренного способа построения правильных многогранников вытекает интересное свойство двойственности.

Свойство двойственности правильных многогранников

Рассмотрим таблицу, в которой приведено количество граней, вершин и ребер правильных многогранников.

Название:	Число Ребер	Число вершин	Число Граней
Тетраэдр	6	4	4
Куб	12	8	6
Октаэдр	12	6	8
Додекаэдр	30	20	12
Икосаэдр	30	12	20

Анализ таблицы показывает, что у куба и октаэдра одно и то же число ребер, но у куба столько вершин, сколько у октаэдра граней, и наоборот, у куба столько граней, сколько у октаэдра вершин. Аналогичные соотношения имеют место для додекаэдра и икосаэдра. Если центры граней октаэдра принять за вершины другого многогранника, то последний будет кубом. Куб и октаэдр называются взаимно двойственными многогранниками. Взаимно двойственными многогранниками будут также додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр двойствен самому себе.

Теорема. Около всякого правильного многогранника можно описать сферу. Во всякий правильный многогранник можно вписать сферу. Центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы.

Другими словами, внутри всякого правильного многогранника имеется точка, равноудаленная как от всех вершин, так и от всех его граней; точка эта называется центром правильного многогранника.

Доказательство.

Если провести в правильном многограннике перпендикуляры к двум смежным его граням, например F1 и F2 (рис.13), через их центры O1 и О2, то эти перпендикуляры лежат в плоскости линейного угла двугранного угла (В- середина отрезка A1A2), образуемого, этими гранями, и пересекаются в одной точке. Пусть это будет точка O. Эта точка отстоит на одно и то же расстояние от всех вершин взятых граней, а также на одно и то же расстояние от плоскостей граней, в чем можно убедиться из равенства соответствующих треугольников, а именно:

а) ?ОA1В1 = ?ОA2В1 (треугольники прямоугольные, A1В1= A2В1: ОВ1 - общая), следовательно ОA1= ОA2;

б) ?OO1B1 = ? OO2B1; (треугольники прямоугольные, O1B1 =O2B1; ОB1- общая ), следовательно OO1 = OO2.

Если соединить точку О с серединой третьей смежной грани, то на основании равенства соответствующих треугольников обнаружится, что полученный отрезок перпендикулярен и к этой третьей грани и точка О отстоит от вершин этой третьей грани на такое же расстояние, как и от вершин двух первых граней, и т.д.

Заметим, что отрезки, соединяющие точку О с серединами ребер правильного многогранника, равны, причем каждый из них перпендикулярен соответствующему ребру. Поэтому сфера радиуса OB1, и с центром в точке О касается всех ребер многогранника в их серединах.

Задачи.

Почему не существует платонова тела с гранью в виде правильного шестиугольника?

В правильном тетраэдре попарно соединены середины всех его шести ребер. Какое при этом получится тело?

Ребро правильного октаэдра равно a. Определить расстояние между двумя противоположными вершинами октаэдра (ось октаэдра).

Ребро куба равно а. Вычислить поверхность вписанного в него правильного октаэдра. Найти ее отношение к поверхности вписанного в тот же куб правильного тетраэдра.

Зная длину ребра а правильного тетраэдра и куба, найти радиусы описанной и вписанной в них сфер.

Литература

Березин В.Н. Правильные многогранники // Квант, 1973, № 5. С.26, 27.

Болтянский В.Г. Транзитивные множества и правильные многогранники // Квант, I960, № 7, С.4-9.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М.: Наука, 1981. С.98-102 /Библиотечка «Квант» вып. 8.

Ермолаев Н.К. О правильных многогранниках на занятиях кружка// Математика в школе, 1979, № 3. С.73, 74.

Задание на дом

Общее задание.

Задачи:

Почему гранью правильного многогранника не может быть восьмиугольник?

На рис.14 изображена пространственная фигура, составленная из семи кубов (трехмерный крест). Почему такая фигура не может быть названа правильной? Сколько квадратов ограничивают ее поверхность? Сколько ребер, вершин и трехгранных углов у этой фигуры?

Доказать, что в правильном октаэдре:

противоположные ребра параллельны;

грани попарно параллельны.

Найти двугранные углы каждого из пяти правильных многогранников.

Индивидуальное задание. Сообщение на тему “История открытий полуправильных многогранников - тел Архимеда и правильных звездчатых многогранников - тел Кеплера - Пуансо”/

Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1983. С.175, 176; Савченко В. Полуправильные многогранники// Квант, 1976, №1. С.,2, 3.

ЗАНЯТИЕ № 6. Полуправильные и звездчатые многогранники

Вслед за Евклидом изучением правильных многогранников занимался другой великий математик древности - Архимед. Убедившись в том, что нельзя построить шестой правильный многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, у них сходится одно и тоже число ребер. Это так называемые равноугольно полуправильные многогранники. До нас дошла работа ученого "О многогранниках", в которой подробно описаны 13 таких многогранников, которые позже были названы телами Архимеда.

Равноугольно полуправильные многогранники

Если в определении правильного многогранника оставить без изменения условие 2 (двугранные углы многогранника равны), но ослабить первое условие - рассматривать не все одноименные равные правильные многоугольники в качестве граней, а правильные многоугольники разных типов, то получим равноугольно полуправильные многогранники. Итак,

Определение. Многогранник называется равноугольно полуправильным, если: 1) грани - правильные многоугольники разных типов;

2) все двугранные углы равны.

Рассмотрим все возможные типы таких многогранников. Во-первых, это 13 многогранников, открытых Архимедом,- тела Архимеда. Перечислим их. Первые пять многогранников очень просто получить из пяти правильных многогранников операцией "усечения", которая состоит в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы правильного тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получится усеченный тетраэдр, который имеет восемь граней, из них четыре - правильные шестиугольники и четыре - правильные треугольники, вершин - 12. Многогранник выпуклый, в каждой вершине сходится три ребра. Многогранник называется усеченным тетраэдром (рис.15, а).

Если указанным образом срезать вершины правильных октаэдра и икосаэдра, получим усеченный октаэдр (рис.15, б) и усеченный икосаэдр (рис.15,в).

Из куба и правильного додекаэдра тоже можно получить усеченный куб и усеченный додекаэдр, только их плоскости проходят -не через треть ребра. Усеченный куб (рис. 15, г), усеченный додекаэдр

(рис. 15, д).

Задача 1. Найти длину ребра усеченного куба и усеченного додекаэдра, если длина ребра соответствующих куба и додекаэдра равна а.

Если теперь в кубе провести плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины, получим еще один - шестой равноугольно полуправильный многогранник - кубооктаэдр (рис.16, а). Его гранями являются шесть квадратов и восемь правильных треугольников, т.е. грани куба и октаэдра, отсюда и название многогранника.

Аналогично, если в додекаэдре провести плоскости через середины его ребер, выходящих из одной вершины, получим многогранник, который называется икосододекаэдр. У него 12 граней - правильные пятиугольники и 20 - правильные треугольники, т.е. все грани додекаэдра и икосаэдра (рис.16, б).

К этим двум последним многогранникам также можно применять операцию "усечения" вершин, получим усеченный кубооктаэдр (рис.16, в) и усеченный икосододекаэдр (рис.16, г).

Задача 2. Сколько вершин, граней и ребер и какие грани имеют усеченный кубооктаэдр и усеченный икосододекаэдр?

Затем идут более сложные многогранники. Перечислим их:

ромбокубооктаэдр; он состоит из 26 граней, из них 18 квадратов и 6 правильных треугольников;

ромбоикосододекаэдр; всего 62 грани, из них 30 квадратов; 20 правильных треугольников, 12 правильных пятиугольников;

"плосконосый" (иногда называют "курносый") куб; всего 38 граней, из них 6 квадратов и 32 правильных треугольника;

плосконосый (или "курносый") додекаэдр; всего 92 грани, из них 12 правильных пятиугольников и 80 правильных треугольников.

Изображение этих многогранников можно найти, например, в книге; Веннинджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974.

Интересно отметить, что на протяжении более 2 тысяч лет со времен Архимеда считалось, что таких многогранников - 13. Но совсем недавно, в середине нашего столетия, был открыт еще один равноугольно полуправильный многогранник. Он получается из ромбокубооктаэдра (рис.17, а) поворотом верхней "восьмиугольной чаши" на 45° (рис. 17, б). Новый многогранник получил название псевдоархимедова тела. Иногда его называют "многогранник Ашкинузе", в честь одного из первооткрывателей этого нового типа многогранника - советского ученого Б.Г.Ашкинузе.

Кроме представленных 14 многогранников равноугольно полуправильными являются также правильные n -угольные призмы, все ребра которых равны, т.е. боковые грани которых являются квадратами.

Задача 3. Доказать, что правильная n-угольная призма (n = 3, 4, 5,...) с квадратными боковыми гранями является равноугольно полуправильным многогранником.

Итак, правильные n-угольные призмы с равными ребрами образуют бесконечную серию равноугольно полуправильных многогранников.

Существует еще одна бесконечная серия рассматриваемых многогранников - так называемые антипризмы, например: два правильных шестиугольника, расположенных в параллельных плоскостях, причем один из них повернут вокруг центра относительно другого на 30°. Каждая вершина нижнего и каждая вершина верхнего основания соединена с двумя ближайшими вершинами другого. Расстояние между шестиугольниками подбирается так, чтобы боковые грани были правильными треугольниками (рис. 18). В данном случае это расстояние равно , где (a-длина ребра правильного шестиугольника).

Задача 4. Доказать, что расстояние между основаниями шестиугольной антипризмы равно , где a - длина ребра шестиугольника.

Итак, перечислены все возможные виды равноугольно полуправильных многогранников.

Равногранно полуправильные многогранники

Двойственным понятием к понятию равноугольно полуправильного многогранника является понятие равногранно полуправильного многогранника. Центры граней равноугольно полуправильных многогранников служат вершинами равногранно полуправильных многогранников, у которых все грани равны, а двугранные углы разных типов. Таким образом, можно указать 14 типов равногранно полуправильных многогранников, двойственных 14 равноугольно полуправильным многогранникам, а также две бесконечные серии многогранников, двойственных к правильным n-угольным призмам с равными ребрами и n-угольным антипризмам. Изображение всех типов таких многогранников можно найти, например, в Энциклопедии элементарной математики / Геометрия. 1У. М., 1963. С.438, 439.

Задача 5. Изобразить многогранник, двойственный:

пятиугольной правильной призме с равными ребрами;

четырехугольной антипризме;

кубооктаэдру.

Правильные звездчатые многогранники

Такие многогранники можно получить из правильных многогранников. Заметим, что на плоскости правильные невыпуклые или звездчатые многоугольники можно подучить из правильных выпуклых многоугольников путем продолжения их сторон до самопересечения, например в случае пятиугольника (рис.19, а) или шестиугольника (рис. 19,б).

Поступим также и в случае с многогранниками, т.е. возьмем правильные многогранники, продолжим их ребра или несмежные грани до самопересечения. Естественно, не приведет к цели продолжение ребер треугольных граней и параллельных ребер и граней.

Таким образом, из тетраэдра, у которого все грани треугольные и смежные, октаэдра - у него все грани треугольные, несмежные грани параллельны, куба - у него все несмежные грани и ребра параллельны, не получится звёздчатых правильных многогранников.

Рассмотрим додекаэдр. Продолжение его ребер приведет к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником (рис. 20). Получим многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром.

При продолжении граней правильного додекаэдра (каждая грань продолжается до пересечения с пятью несмежными и непараллельными ей гранями) возникают две возможности. Во-первых, при этом можно рассматривать правильные выпуклые пятиугольники. Получим многогранник, которым называется большой додекаэдр. Во-вторых, в качестве граней можно рассматривать звездчатые пятиугольники, получим многогранник, который называется большой звездчатый додекаэдр.

Итак, правильный додекаэдр имеет три типа правильных звездчатых многогранника.

Рассмотрим теперь правильный икосаэдр. Так как гранями правильного икосаэдра являются треугольники, то продолжение ребер не даст нового многогранника. При продолжении граней правильного икосаэдра имеется один случай, приводящий к многограннику, который называется большим икосаэдром. При этом каждая грань правильного икосаэдра продолжается до пересечения с тремя гранями, смежными с параллельной ей гранью (рис. 21).

Таким образом, существуют четыре правильных звездчатых многогранника, называемых также телами Кеплера - Пуансо, так как два первых (малый и большой звездчатые многогранники) были открыты И.Кеплером, а два других - Л. Пуансо.

Задача 6. Определить число граней, ребер и вершин каждого правильного звездчатого многогранника.

Литература

Савченко В. Полуправильные многогранники // Квант, 1976, №1 С.2-7.

Квант, 1977, № 2(4-я стр. обл.).

Березин В.Н. Правильные многогранники// Квант, 1973, № 5. С.26, 27.

Сложный многогранник // Квант, 1979, № I. C.27. Задание на дом

Общее задание.

Задачи:

На рис. 22 изображены пять многогранников. Многогранники, расположенные в углах рисунка, получены из куба одной и той же операцией, только применяется она в различных случаях по-разному. Что это за операция? Как она применяется в каждом случае? Как называются все изображенные многогранники? Вычислить длины ребер, если длина ребра куба равна а.

На рис. 23 изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром или Stеllа Кеплера. Является ли он правильным звездчатым многогранником? Почему? Как получить этот многогранник с помощью куба?

Индивидуальное задание. Сообщение на тему "Что изучает топология" /Александров А.Д. и др. Геометрия 9-10: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1984, С.466, 467; Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология, М.: Наука, 1982. С.З /Библиотечка ”Квант”, вып. 21.

ЗАНЯТИЕ № 7. Модели многогранников

На предыдущих занятиях мы познакомились с красивыми правильными, полуправильными и звездчатыми многогранниками. Модели этих многогранников являются хорошим украшением и домашнего рабочего уголка, и кабинета математики в школе. Их можно изготовить самим, для этого необходимо иметь набор многоугольников, которые служат гранями некоторого многогранника, и знать, какие их стороны следует вклеивать между собой.

Развертки многогранников

Совокупность многоугольников, соответственно равных граням некоторого многогранника, вместе с указанием того, как их нужно склеивать (какие их стороны и вершины представляют собой одни и те же ребра и вершины многогранника), называется разверткой этого многогранника. Заметим, что изучение разверток представляет собой вопрос геометрия не только в теории многогранников, но и в топологии.

Ясно, что, имея многогранник, всегда можно построить его развертку. Гораздо менее ясно, можно ли, задав заранее набор многоугольников и схему их склеивания, быть уверенным в том, что тем самым определен некоторый многогранник.

Рассмотрим следующие задачи:

Какие фигуры, изображенные на рис.24 можно считать развертками правильного тетраэдра? Почему?

На рис.25 указать фигуры, которые являются развертками куба.

Развертка, какого многогранника изображена на рис.26?

Модели многогранников из разверток (из бумаги и картона) Основные виды работы:

Начертить развертку многогранника (с клапанами для склеивания).

Вырезать развертку.

Согнуть по линиям сгиба (предварительно по линиям сгиба аккуратно по линейке провести лезвием).

Склеить.

Произвести окантовку ребер или окрашивание граней, наклейку на грани многогранника тонкой цветной бумаги и т.д.

Интересной представляется задача окраски граней правильных многогранников так, чтобы число цветов было минимальным и соседние грани имели разный цвет. При этом окрашиваются:

тетраэдр - в четыре цветам

октаэдр - в четыре цвета;

куб - в три цветам

додекаэдр - в четыре цвета;

икосаэдр - в пять цветов.

Существует и другой способ изготовления моделей многогранников. Рассмотрим его.

Модели многогранников из конструктора.

Конструктор состоит из следующих компонентов:

1)Граней будущих многогранников, у которых обрезаны уголки и добавлены отгибающиеся клапаны. На рис.27 показаны грани - правильные многоугольники; 2) Резиновых колечек- основной крепежной детали конструктора.

Когда необходимое количество граней и резиновых колечек готово, можно перейти к непосредственной сборке нужного многогранника. С помощью клапанов и резинок грани легко соединяются друг с другом. Получающиеся модели, конечно, не так прочны, как клееные, однако их проще собрать, а также возможность разборки моделей и повторного их использования окупает этот недостаток.

Демонстрация изготовленных моделей многогранников из разверток и конструктора

Изготовление модели малого додекаэдра.

Модель малого додекаэдра очень просто изготовить из модели правильного додекаэдра. Достаточно изготовить 12 правильных пятиугольных пирамидок с длиной ребра, равной длине ребра правильного додекаэдра, и наклеить их на все грани правильного додекаэдра.

Таким образом, сначала необходимо изготовить модель правильного додекаэдра. Ее можно склеить из развертки (см. рис.26) или воспользоваться другим, очень интересным, способом изготовления, который заключается в следующем: развертку правильного додекаэдра (см. рис.26) разделить на звезды и наложить их одна на другую так, чтобы вышла десятиугольная звезда. Эту звезду следует обвязать резинкой, обходя, ею углы поочередно сверху и снизу и прижимая модель свободной рукой к столу. Спустив теперь руку, увидим, что раскрывшаяся звезда превратится в пространственную модель правильного додекаэдра. Затем строится модель правильной пирамиды, развертка которой показана на рис.28.

Необходимо изготовить 12 таких пирамид по числу граней правильного додекаэдра и наклеить их на грани. Модель малого додекаэдра готова.

Обычно модели многогранников конструируют из разверток. Но есть и другой способ. Математики давно уже доказали возможность построения трехмерных объектов из ленты. На рис.29 показано, как получить тетраэдр, перегибая бумажную ленту по сторонам расчерченных на ней равносторонних треугольников.

Аналогичным способом можно свернуть куб (рис.30). Его грани также выстраиваются в цепочку, а чтобы изменить направление ленты для завершения формообразования, достаточно перегнуть ее по диагонали квадрата (задача на построение куба из ленты публиковалась в журнале "Наука и жизнь" № 10, 1972 г.).

Так, ничем на первый взгляд не примечательная бумажная лента при нанесении на ее поверхность узора превращается в заготовку для построения самых разнообразных многогранников. На основе различных узоров можно создать все правильные многогранники, кроме додекаэдра. Это объясняется отсутствием у плоских узоров осей симметрии 5-го, 7-го и высших порядков - иначе говоря, сплошной узор из пятиугольников построить невозможно.

Построение октаэдра и икосаэдра осуществляется на основе узора из правильных треугольников (рис. 31 и рис. 32). Свернув для октаэдра кольцо из шести, а для икосаэдра - из десяти треугольников, перегибаем ленту в обратную сторону и продолжаем сворачивать такие же кольца.

Узоры наших лент - это частный случай сетей симметрии Шубникова - Лавеса (см. рис. 33). Треугольные ячейки получаются наложением двух пар зеркальных гексагональных решеток, развернутых друг относительно друга на 90°, а квадратные - совмещением квадратных решеток под углом 45° друг к другу. С этих позиций процесс образования многогранников из фокуса превращается в теоретически обоснованное и закономерное явление.

Литература

Матиясевич Ю. Модели многогранников // Квант, 1978, № 1. С.8- 17.

Веннинджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974. С.24-50.

Гамаюнов В. Модели звездчатых многогранников // Квант, 1981, №1. С.39.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М.: Наука, 1981. С.99-101 / Библиотечка «Квант» вып. 8.

Задание на дом.

Общее задание.

Изготовить модель многогранника (по усмотрению учителя).

ЗАНЯТИЕ №8 Равновеликость и равносоставленность

Сначала рассмотрим вопрос равновеликости и равносоставленности на плоскости. Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны. Два многоугольника навиваются равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многоугольников.

Ясно, что если два многоугольника равносоставлены, то они и равновелики. Два многоугольника, равносоставленные с третьим, равносоставлены и между собой.

Действительно, пусть два многоугольника Р и Q равносоставлены порознь третьему многоугольник R. В многоугольнике R проведем все разрезы, разбивающие его на части, из которых складывается Р, и все разрезы, разбивающие его на части, из которых складывается Q. Все эти разрезы вместе разобьют многоугольник на части, из которых можно сложить как Р, так и Q. Отсюда следует, что многоугольники Р и Q равносоставлены. Это свойство называется свойством транзитивности.

Из равносоставленности следует равновеликость. Интересно, верно ли обратное для плоских многоугольников?

Теорема. Равновеликие многоугольники всегда также и равносоставлены.

Доказательство

Разобьем доказательство на три части.

1. Равновеликие параллелограммы всегда равносоставлены.

Рассмотрим сначала два параллелограмма с равными основаниями. По условию они равновелики, значит, имеют равные высоты. Проведем внутри каждого параллелограмма параллельные сторонам другого параллелограмма прямые. Тогда оба параллелограмма разобьются на одинаковое число попарно равных треугольников (рис.29). Если же параллелограммы не имеют равных сторон, строим третий параллелограмм, имеющий с первым одинаковые основание и высоту. Поскольку при этом другую сторону третьего параллелограмма можно выбирать произвольно, сделаем ее равной одной из сторон второго параллелограмма. Тогда третий параллелограмм равновелик и с первым, и со вторым, и с каждым параллелограммом имеет по равной стороне. Следовательно, он равносоставлен и с первым, и со вторым параллелограммом. Отсюда, по свойству транзитивности, первый и второй параллелограммы равносоставлены.

2. Равновеликие треугольники всегда равносоставлены.

Каждый треугольник проведением средней линии преобразуется в равносоставленный параллелограмм (рис. 30).

Тогда два равновеликих треугольника преобразуем в два равновеликих между собой параллелограмма. Согласно доказанному, полученные параллелограммы равносоставлены между собой к с одним из данных треугольников. В силу свойства транзитивности равносоставлены и равновеликие треугольники.

3. Равновеликие многоугольники всегда равносоставлены.

Возьмем один из данных многоугольников и, перенеся одну из его вершин параллельно диагонали на продолжение одной из сторон, этим самым преобразуем многоугольник в равновеликий (с числом сторон на единицу меньшим). Имея в виду, что при этом мы один треугольник заменили другим - равновеликим, а остальная часть многоугольников осталась неизменной, получим, что прежний многоугольник будет равносоставлен с новым. Продолжая этот процесс, мы превратим данный многоугольник в равносоставленный с ним треугольник. Это же преобразование проделаем и с другим многоугольником, который также преобразуется в равносоставленный ему треугольник. Так как первоначальные многоугольники были равновелики, равновеликими будут и полученные треугольники. Но равновеликие треугольники, как доказано выше, равносоставлены. Следовательно, пользуясь свойством транзитивности для равносоставленных фигур, получим, что равно составленными будут и первоначальные многоугольники.

Итак, для многоугольников понятия равновеликости и равносоставленности совпадают.

Задачи:

Данный параллелограмм разрезать на такие части, из которых можно сложить другой параллелограмм о такими же основанием и высотой.

Данный треугольник разрезать на такие части, из которых можно сложить другой данный треугольник о такими же основанием и высотой.

Как перекроить крест в квадрат (рис. 31).

На сторонах произвольного прямоугольного треугольника построены квадраты. Разрезать квадраты, построенные на катетах, так, чтобы ив полученных частей можно было сложить квадрат, построенный на гипотенузе (доказательство теоремы Пифагора).

К задачам на разрезание и складывание фигур примыкают интересные задачи покрытия плоскости многоугольниками. С такими покрытиями мы часто встречаемся в повседневной жизни: полы в комнатах застилают паркетом, стены комнат покрывают плитками, стены зданий украшают орнаментами.

Паркетом называется разбиение плоскости на многоугольники, при котором каждые Два многоугольника либо не пересекаются, либо имеют ровно одну общую вершину, либо имеют общую сторону. Паркет называется правильным, если все многоугольники разбиения правильные, и любую вершину паркета можно перевести в любую другую его вершину некоторым перемещением, отображающим весь паркет на себя. Задача состоит в том, чтобы найти все возможные правильные паркеты. Наметим путь ее решения.

Поскольку вокруг всех вершин паркета многоугольники расположены одним и тем же способом, прежде всего, необходимо исследовать возможные расположения многоугольников вокруг некоторой вершины -назовем ее А. К вершине А не может примыкать менее трех многоугольников, а потому угол многоугольника с наименьшим числом сторон n1, который является и наименьшим углом, примыкающим к вершине А, не может быть более 120° (360°: 3 = 120°). Существуют лишь четыре правильных многоугольника, углы которых не превышают 120°, а именно: равносторонний треугольник, = 60°, n1 = 3; квадрат, = 90°,

n1 = 4; правильный пятиугольник, = 108°, n1 = 5; правильный шестиугольник, = 120°, n1 = 6. Поэтому разобьем все правильные паркеты на четыре группы: в 1-ю отнесем паркеты, в которых многоугольником с наименьшим числом сторон будет правильный шестиугольник, во 2-ю - правильный пятиугольник, в 3-ю- квадрат и в 4-ю - равносторонний треугольник.

В первую группу попадает одно покрытие, состоящее из правильных шестиугольников. Поскольку = 120°, сумма всех остальных углов, примыкающих к вершине А, равна 360°- 120°=240° Так как об, - минимальный угол, то каждый из остальных углов- не менее 120°, т.е. этих углов два по 120° каждый. Такой паркет изображен на рис.32.

= 108°, n1 = 5, тогда сумма остальных углов, примыкающих к вершине А, равна 360°- 108°= 252°. Число этих углов равно двум, так как каждый из них должен быть не меньше 108°. Пусть один из этих углов , а другой . Число сторон соответствующих многоугольников равно n2 и n3. Обозначим стороны правильного пятиугольника в порядке их обхода а1, а2, а3, а4, а5.

Если к стороне а1 примыкает n2-угольник, то к соседней стороне а2 примыкает n3-угольник, а к стороне а3 опять n2-угольник и т.д. Вокруг вершины, общей для сторон а1 и а5 , таким образом, располагаются углы , , и . Значит, выполняется равенство . Тогда , т.е. ==126°. Но правильных многоугольников с углом 126° не существует. Таким образом, во второй группе нет ни одного паркета.

= 90°, n1 = 4. Остальных углов, примыкающих к той же вершине, или три (тогда все они равны 90°), или два. В первом случае ====90°; n1= n2 = n3= n4= 4. Получим паркет, состоящий только из квадратов (рис.33).

Во втором случае меньший из остальных углов должен быть, не менее 90° и не более (360° - 90°): 2 = 135°, т.е. может иметь одно из следующих значений 90, 106, 120, 108°. Соответственно число сторон многоугольника n2, равно 4, 5, 6, 7, 8. Так как , получим пять следующих комбинаций:

=90°,=90°,=180°. Эта комбинация невозможна, потому что не существует правильного многоугольника с углом в 180°.

=90°,=108°,=162°. Такая комбинация также невозможна, поскольку многоугольник с углом 108° есть пятиугольник и рассуждения, проведенные при рассмотрении второй группы паркетов (см. рис. 41), приводят к выводу, что =, а это противоречит полученным числовым значениям.

=90°,=120°,=150°. Эта комбинация дает паркет, состоящий из квадратов (= 90°, n1 = 4), шестиугольников (= 120°, n2 = 6) и двенадцатиугольников (= 150°, n3 = 12) (рис. 34). =90°,,- паркета не существует, потому что не существует травильного многоугольника с углом .

=90°,=135°,=135°- эта комбинация дает паркет, состоящий из квадратов ( = 90°, n1 = 4) и восьмиугольников (==135°, n2 = n3 = 8) (рис.35).

= 60°, n1 = 3 сумма остальных углов равна 360° - 60° = 300°, а их число может быть равно двум, трем, четырем или пяти. Если их пять, то ; каждый из них равен 60°, и получится паркет, состоящий из од их треугольников (рис.36).

Предлагается в домашнем задании закончить дальнейшие рассуждения и описать все правильные паркеты. (Заметим, что всего должно получиться 11 правильных паркетов).

Перейдем к вопросам равновеликости и равносоставленности в пространстве. Свойство равновеликости и равносоставленности многоугольников не имеет себе аналогии в пространстве.

Два многогранника называются равновеликими, если их объемы равны. Два многогранника назывался равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многогранников. Ясно, что два равносоставленных многогранника будут и равновеликими. А вот обратное, вообще говоря, неверно: не всякие два равновеликих многогранника будут равносоставленными. Это было доказано немецким ученым М. Деном в 1901 г. Доказательство было сложным, и через два года русскому математику В.Ф.Кагану удалось упростить доказательство. Из результатов Дека - Кагана вытекает, что при выводе формул объемов многогранников недостаточно пользоваться методом разложения или методом дополнения; в частности, оказывается, что правильный тетраэдр и равновеликий ему куб неравносоставлены, и в то же время их нельзя дополнить до равных или хотя бы равносоставленных многогранников. Именно поэтому при выводе формулы объема пирамиды в курсе средней школы приходится прибегать к теории пределов. Так была решена третья проблема Гильберта. Отсюда следует, что равносоставленность равновеликих многогранников является исключением; как правило, два равновеликих многогранника не будут равносоставлены. Приведем примеры некоторых равновеликих многогранников, которые являются и равносоставленными.

Задачи:

Доказать, что равновеликие прямоугольные параллелепипеды равносоставлены.

Доказать, что равновеликие призмы равносоставлены.

Аналогично с задачами на плоскости и в пространстве можно рассмотреть задачи на разрезание:

Разрезать куб на три равные пирамиды.

Как разрезать параллелепипед на шесть равновеликих пирамид? На три равновеликие пирамиды?

Аналогично тому, как плоскость покрывается многоугольниками, пространство заполняется многогранниками. Из всех многоугольников только треугольники, квадраты и шестиугольники покрывают плоскость. Интересно, какие из правильных многогранников заполняют пространство? Итак, переходим к следующей задаче.

Задача. Какими равными одноименными правильными многогранниками можно заполнить пространство?

Решение. Этот вопрос можно решить экспериментально, взяв набор одинакового размера моделей правильных многогранников и, прикладывая их одна к другой, убедиться, какие из них вплотную прилегают друг к другу. Конечно, интересно решить задачу и теоретически. Пусть - величина двугранного угла правильного многогранника; n - число правильных многогранников, имеющих общее ребро. Тогда n·=360°. Ясно, что данное равенство может выполняться только для одного правильного многогранника - куба, у которого = 90°. (Задача о величине двугранного угла каждого правильного многогранника рассматривалась на занятии № 5). Итак, из правильных многогранников все пространство можно заполнить только кубами.

Однако пространство можно заполнять и другими многогранниками, например усеченными октаэдрами, ромбододекаэдрами или комбинировать многогранники, например тетраэдры и октаэдры; усеченные октаэдры, кубы и ромбокубооктаэдры; ромбокубооктаэдры, усеченные кубы и усеченные тетраэдры (Квант, 1976, № 9. С.25, 1-я стр. обл.).

Литература

Болтянский В.Г. Третья проблема Гильберта. М.: Наука, 1977.

Гамаюнов В. Полуоктаэдры и драпировка потолков//Квант, 1981, № 1. С.18.

Гольцева Р. Заполнение пространства // Квант, 1976, № 9. С.25.

Колмогоров А.Я. Паркеты из правильных многоугольников// Квант, 1986, № 8. С.З, 4, 7.

Михайлов О. Одиннадцать правильных паркетов//Квант, 1979, №2. С.9-14.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М.: Наука, 1981. С.44-50, 94-97 / Библиотечка “Квант” вып. 8.

Задание на дом

Общее задание.

Закончить перечисление правильных паркетов. Сделать рисунки всех 11 правильных паркетов.

Доказать, что правильными тетраэдрами и октаэдрами можно заполнить все пространство.

Задачи:

1) данный прямоугольник разрезать на такие части, из которых можно было бы составить равновеликий квадрат;

2) данный треугольник разрезать на такие части, из которых можно было бы сложить равновеликий квадрат;

3) разрезать данную прямую треугольную призму на три равновеликих тетраэдра.

Индивидуальные задания.

1. Сообщение на тему "Симметрия в природе, искусстве и науке" (Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968. С.35-37; Шаскольская М.П. Очерки о свойствах кристаллов. М.: Наука, 1978, С.39-48; Узоры симметрии. М.: Мир, I960. С.13-30).

2. Сообщение на тему "Что изучает теория групп" (Колмогоров А.Н. Группы преобразований // Квант, 1976, № 10. С.2-5; Садовский Л., Аршинов М. Группы // Квант, 1976, № 10. С. 6-12).

3. Жизнь и творчество ведающегося русского математика и кристаллографа Е.С.Федорова (1853 - 1919) (Шаскольская М.П. Очерки о свойствах кристаллов.)

ЗАНЯТИЕ № 9 Симметрия многогранников

Многие многогранники, прежде всего правильные, полуправильные, правильные звездчатые и другие, формы которых принимают и природные многогранники - кристаллы, снежинки, имеют очень красивые формы. Эти многогранники, по образному выражению выдающегося русского математика и кристаллографа Е.С.Федорова, "буквально блещут симметрией".

Определение: Симметрией фигуры, в частности многогранника, называется свойство, состоящее в том, что существует его перемещение, совмещающее многогранник с самим собой.

Такое перемещение называется преобразованием симметрии многогранника, или его элементом симметрии. Рассмотрим возможные элементы симметрии многогранников центр симметрии, плоскости симметрии и оси симметрии.

Центр симметрии

Точки А и A1 симметричны относительно точки О .

Точка О называется центром симметрии многогранника, если каждая точка X многогранника симметрична относительно точки О некоторой точке Х1 этого же многогранника. Точка О -центр куба (рис.37, а); многогранника, форму которого может принимать кристалл горного хрусталя (рис.37, б).

Плоскость симметрии многогранника

Точки А и А1 симметричны относительно плоскости (рис. 38).

Плоскость называется плоскостыо симметрии многогранника, если каждая точка X многогранника симметрична относительно данной плоскости некоторой точке X1 этого же многогранника. На рис. 39, а изображена одна из плоскостей симметрии куба, на рис. 39, б - плоскость симметрии кристалла горного хрусталя.

Ось симметрии

Точки А и А1 симметричны относительно оси l (pиc.40).

Прямая называется осью симметрии многогранника, если каждая точка Х многогранника симметрична относительно оси l некоторой точке X1 этого же многогранника. На рис.41, а изображена одна из осей симметрии куба, на рис.41, б - ось симметрии кристалла горного хрусталя.

Оси симметрии высших порядков

Поворот вокруг прямой. Представление о повороте в пространстве дает любой вращающийся предмет, например дверь, пропеллер, вал турбины, ворот колодца и т.д. Поворот задается осью, углом и направлением поворота. Поворотом фигуры вокруг прямой l на угол называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой l, происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой l на один и тот же угол в одном и том же направлении. Прямая l называется осью поворота, а угол - углом поворота.

Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180°. При повороте вокруг прямой l на 180° каждая точка А переходит в такую точку А1 , что и AO=OA1. Таким образом, поворот на 180° вокруг прямой является также симметрией относительно этой прямой.

Следовательно, если многогранник имеет ось симметрии, то он совмещается с самим собой при повороте вокруг этой оси на 180°. Такая ось симметрии называется осью симметрии 2-го порядка, так как при полном обороте вокруг этой оси многогранник будет дважды в процессе поворота принимать положение, совпадающее с исходным. Возможны случаи, когда многогранник приходит в совмещение с исходным положением после поворота вокруг некоторой оси на угол, меньший 180°. Таким образом, когда многогранник сделает полный оборот вокруг этой оси, он несколько раз совместится со своим исходным положением. Такая ось называется осью симметрии высшего порядка. Порядком оси симметрии называется число положений многогранника, совпадающих с его исходным. Например, на рис. 41, а изображена ось симметрии куба 4-го порядка, на рис. 41, б - ось симметрии 6-го порядка.

Зеркальный поворот. Если многогранник переходит сам в себя в результате композиции, т.е. последовательного выполнения двух преобразований- поворота вокруг оси l на угол и отражения относительно плоскости , перпендикулярной оси поворота, то говорят, что многогранник обладает симметрией поворотного отражения, а прямую l называют зеркально-поворотной осью n-го порядка.

Интересным примером многогранника, который совмещается сам с собой при зеркальном повороте, является антипризма (об этом многограннике говорилось на занятии № 6. Антипризма, у которой все ребра равны, является примером равноугольно полуправильных многогранников).

Задачи:

В результате каких перемещений переходит в себя правильная пирамида:

а) четырехугольная;

б) n-угольная?

В результате каких перемещений переходит в себя правильная бипирамида:

а) четырехугольная;

б) n-угольная?

В правильном тетраэдре закрасили одну грань. В результате каких перемещений он самосовместится?

Симметрия правильных многогранников

Правильные многогранники характеризуются тем, что они самые симметричные из всех многогранников. Это означает, что если на таком многограннике взять какую-нибудь вершину А, подходящее к ней ребро а и грань , подходящую к этому ребру, и еще любой такой же набор А?, а?, ?, то существует такое самосовмещение многогранника, которое вершину А отображает на А?, ребро а- на ребро а?, грань - на грань ?. Действительно, так как две грани правильного многогранника равны, то существует перемещение, которое одну из них переводит в другую. В результате, поскольку и двугранные углы правильного многогранника равны, многогранник самосовместится или перейдет в многогранник, симметричный исходному относительно второй взятой грани. В этом случае необходимо рассмотреть отражение от этой плоскости.