Элективный курс "Многогранники"

Рассмотрим элементы симметрии правильных многогранников.

Тетраэдр

Шесть плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро и середину противоположного ребра (рис. 42, а).

Четыре оси 3-го передка, проходящие через вершины и центры противоположных им граней (рис. 42, б).

Три зеркальные оси 4-го порядка, проходящие через середины противоположных ребер (рис. 42, в).

Куб

Центр симметрии - центр куба.

Плоскости симметрии - три плоскости симметрии, перпендикулярные ребрам в их серединах (рис.43, а); шесть плоскостей симметрии, проходящие через противоположные ребра (рис. 43, б).

Оси симметрии - три оси симметрии 4-го порядка, проходящие через центры граней (рис. 44, а); шесть осей симметрии 2-го порядка, проходящие через середины противоположных ребер (рис. 44, б);

четыре зеркальные оси 6-го порядка, проходящие через противоположные вершины (рис.45, а).

Последний вид симметрии можно представить следующим образом. Сечение куба плоскостью, перпендикулярной диагонали куба, и проходящей через его центр, представляет собой шестиугольник, вершины которого лежат в серединах шести ребер (рис.45, б). При повороте куба на 60° этот шестиугольник отображается на себя, а куб в целом нужно еще отразить в плоскости этого шестиугольника.

Октаэдр

Октаэдр двойственен кубу, поэтому у него те же элементы симметрии с той лишь разницей, что плоскости и оси симметрии, проходящие у куба через вершины и центры граней, у октаэдра проходят наоборот - черва центры граней и вершины. Икосаэдр

Центр симметрии - центр икосаэдра.

Оси симметрии - шесть осей симметрии 5-го порядка, проходящие через противоположные вершины (рис.46, а); 10 осей симметрии 3-го порядка, проходящие через центры противоположных граней икосаэдра (рис.46, 6); 15 осей симметрии 2-го порядка, проходящие через середины каждых двух противоположных ребер, симметричных относительно центра икосаэдра (рис.46, в).

Плоскости симметрии - 15 плоскостей симметрии, перпендикулярные осям симметрии 2-го порядка и проходящие через центр многогранника.

Зеркально-поворотные оси - каждая ось 5-го порядка является и осью симметрии 10-го порядка, плоскость отражения перпендикулярна соответствующей оси симметрии 5-го порядка и проходит через центр многогранника. Таким образом, икосаэдр имеет шесть зеркально-поворотных осей 10-го порядка.

Далее, каждая ось симметрии 3-го порядка является также зеркально-поворотной осью 6-го порядка, Плоскость отражения перпендикулярна соответствующей оси симметрии 3-го порядка и проходит через центр многогранника. Таким образом, икосаэдр имеет еще десять зеркально-поворотных осей 6-го порядка.

Додекаэдр

Додекаэдр двойственен икосаэдру, поэтому у него те же элементы симметрии, только, как и в случае рассмотрения двойственных многогранников - куба и октаэдра - плоскости и оси симметрии, проходящие у икосаэдра через вершины и центры граней, у додекаэдра проходят, наоборот - через центры граней и вершины.

Задачи.

В результате каких перемещений переходит сам в себя куб, у которого окрашена одним цветом: одна грань? Две грани?

В результате каких перемещений переходит сам в себя - куб, у которого срезаны по углам равные правильные треугольные пирамиды: с одного угла, с двух углов?

Группа симметрии

Перемещения фигуры, совмещающие ее саму с собой, называются преобразованиями симметрии. Совокупность всех преобразований симметрии фигуры, в частности многогранника, включал и тождественное преобразование, называется его группой симметрии. При этом композиция, т.е. последовательное выполнение двух преобразований симметрии, и обратное данному преобразованию симметрии, тоже являются преобразованиями симметрии. Рассмотрим и докажем этот факт.

Теорема. Если перемещения совмещают фигуру саму с собой, то их композиция также совмещает эту фигуру саму с собой. Если, какое-либо перемещение совмещает фигуру саму с собой, то обратное перемещение тоже совмещает ее саму с собой.

Доказательство:

Пусть f и g два перемещения, по отдельности совмещающие многогранник М сам собой. Тогда при перемещении f многогранник М совместится сам с собой. Поэтому, применяя к нему перемещение g, получим, что g опять совместит М с самим собой.

Таким образом, композиция g?f совмещает многогранник М с самим собой. Композиция перемещений есть перемещение. Поэтому g?f есть перемещение, совмещающее М с самим собой.

Покажем это и для обратного перемещения. Пусть f совмещает М с самим собой. Произведем перемещение f , а потом обратное перемещение . Оно производится с тем же многогранником М, так как f совместило его с самим собой. Вместе с тем, поскольку - обратное отображение, то оно вернет М в прежнее положение. Таким образом, совместит М с самим собой.

Итак, композиция двух преобразований симметрии многогранника и преобразование, обратное данному преобразованию симметрии многогранника, являются преобразованиями симметрии данного многогранника.

Задачи:

Может ли множество самосовмещений некоторого многогранника содержать ровно три перемещения?

У четырехугольной пирамиды все боковые ребра равны и противоположные плоские углы при вершине равны. Какова группа симметрии этой пирамиды?

Образует ли группу симметрии куба все отображающие его на себя осевые симметрии?

Симметрия кристаллов

Природные формы кристаллов правильны и симметричны, это правильные многогранники, призмы, пирамиды, параллелепипеды, полуправильные и звездчатые многогранники. Внешняя форма кристаллов обусловлена их внутренним строением. Основной характерной особенностью структуры кристаллов является свойство симметрии. Основными элементами симметрии кристаллов, как и многогранников, являются: плоскости симметрии, оси симметрии и центр симметрии. Кроме основных элементов симметрии возможны и другие, получающиеся композицией основных симметрии. Полный набор всех элементов симметрии образует группу, которая называется группой симметрии данного кристалла. Каждый кристалл характеризуется своей группой симметрии.

Основной вклад в изучение симметрии кристаллов внес выдающийся русский математик и кристаллограф Е.С.Федоров, который строго математически в 1890 г. вывел все возможные группы симметрии кристаллов. Это было за 10 лет до открытия рентгеновских лучей, когда само существование атома ставилось под сомнение. Только через 27 лет с их помощью на опыте было доказано существование кристаллической структуры и тем самым подтверждено блестящее предвидение Е.С.Федорова. Ученым было выведено 230 групп симметрии кристаллов. Таким образом, была проведена полная классификация всех кристаллов.

Литература

Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968.

Колмогоров А. Группы преобразований // Квант, 1976, № 10. С.2-5.

Кузнецова Л.И. Группы самосовмещения тетраэдров // Математика в школе, 1977, № 3. С.68, 69.

Окунев А.К. Симметрия правильных многогранников // Математика в школе, 1976, № 6. С.54-58.

Садовский Л., Аршинов М. Группы // Квант, 1976, №10. С.6-12.

Узоры симметрии. М.: Мир, 1980.

Шаскольская М.П. Очерки о свойствах кристаллов. М.: Наука, 1978. С.39-71.

Задание на дом.

Общее задание. Задачи:

Назвать элементы симметрии правильных октаэдра и додекаэдра.

Может ли многогранник иметь два центра симметрии?

В правильном тетраэдре закрасили две грани одним цветом. В результате каких перемещений он самосовместится?

Образует ли группу симметрии тетраэдра все отображающие его на себя осевые симметрии? Образует ли группу симметрии куба все отображающие его на себя зеркальные симметрии?

Индивидуальные задания.

Кристаллы на уроках физики (6, 7, 9-е классы).

Кристаллы на уроках химии (7, 8, 9-е классы).

Применение кристаллов в технике и медицине / Шаскольская М.П. Очерки о свойствах кристаллов. М.: Наука, 1978. С.135, 144-157.

Заключение

В Концепции профильного обучения на старшей ступени образования предусмотрены элективные курсы -- обязательные для посещения курсы по выбору, входящие в состав профиля обучения.

В работе представлен элективный курс "Многогранники", который посвящен систематическому изложению учебного материала, связанного с понятием многогранника. На этих занятиях, помимо углубленного изучения программного материала, большое внимание было уделено историческим и методологическим вопросам развития теории многогранников, зародившейся в глубокой древности и связанной с именами Пифагора, Евклида, Архимеда, Кеплера, Л. Эйлера и других ученых.

Была показана связь теории многогранников с современными разделами математики: топологией, теорией графов.

Для курса характерна практическая направленность. Введены элементы истории и практических приложений. Изложение практических приемов решения сопровождается необходимыми теоретическими сведениями.

Элективный курс "Многогранники" способствует воспитанию чувства красоты математики посредством широкого использования многогранников в архитектуре, живописи, декоративно-прикладном искусстве. Изготовление моделей правильных, полуправильных и правильных звёздчатых многогранников служит развитию пространственного воображения и конструктивных навыков учащихся. Изучение свойств многогранников позволяет успешно справиться с заданиями единого государственного экзамена.

Литература

1. Александров, А. Д. Выпуклые многогранники / А. Д. Александров. - М.; Л.: Гостехиздат, 1950. - 428 с.

2. Базылев, В. Т., Дуничев, К. И. Геометрия: Часть 2. - М.: Просвещение, 1975. С. 193-234, 276-304.

3. Гамаюнов, В. Н. Модели звездчатых многогранников // Квант, 1981, №2. С. 39-43.

4. Гамаюнов, В. Н. Тайна геометрических чертежей // Квант, 1976, №1. С. 9-11.

5. История математики. Том 3. Математика 18 столетия / Под ред.

6. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1972. С. 201-205.

7. Математика: Школьная энциклопедия / Гл. ред. С.М. Никольский. - М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996. - 527 с.

8. Математический энциклопедический словарь / Советская Энциклопедия, 1988.

9. Минковский, Г. Общие теоремы о выпуклых многогранниках // Успехи математических наук, 1936, вып. 2. С. 56-71.

10. Многогранники. Факультативный курс: Методические разработки - И. М. Смирнова. - М.: МГПИ, 1988. 95 с.

11. Правильные многогранники. - (kvant. mccme. ru)

12. Советская Энциклопедия. - М. - 1979.

13. Узоры симметрии / Под ред. М. Сенешаль и Дж. Флерка. Пер. с англ. Ю. А. Данилова под ред. Акад. Н. В. Белова и проф. Н. Н. Шефталя. - М.: Мир, 1980. - 271 с.

14. Федоров, Е. С. Симметрия и структура кристаллов: Основные работы / Ред. А. В. Шубникова, И. И. Шафрановского. Симметрия правильных систем точек. - М.: АН СССР, 1949. - 378 с.

15. Черенков, А., Храмов, В. Многогранники из ленты // «Наука и жизнь», 1989, №16. С. 5-17.

16. Энциклопедия элементарной математики. IV - Геометрия. - М.: Гос. Изд-во физ-матем. литературы, 1963. - 472 с.