Решение экономических задач
Определение потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению комплектов елочных украшений, цены единицы продукции, производимой предприятиями отрасли. Решение системы уравнений тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.07.2009 |
| Размер файла | 90,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
6
Задание 1
Предприятию для изготовления наборов елочных украшений необходимо изготовить их составные части - шар, колокольчик, мишура. Эти данные представлены в таблице:
|
Наименование составных частей |
Виды наборов |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
||
|
Шар |
5 |
6 |
8 |
10 |
|
|
Колокольчик |
3 |
4 |
6 |
0 |
|
|
Мишура |
0 |
3 |
5 |
8 |
В свою очередь для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в г), папье-маше (в г), фольга (в г), потребности в котором отражены в следующей таблице
|
Вид сырья |
Составные элементы |
|||
|
Шар |
Колокольчик |
Мишура |
||
|
Стекло |
5 |
0 |
0 |
|
|
Папье-маше |
0 |
4 |
0 |
|
|
Фольга |
3 |
0 |
75 |
Требуется:
1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению комплектов первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x1, x2, x3 и x4 штук;
2) провести подсчеты для значений x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 и x4=200.
Решение: составим условия для определения числа деталей в зависимости от числа и вида наборов. Пусть n1, n2 и n3 - число шаров, колокольчиков и мишуры, соответственно.
Тогда условия будут выглядеть следующим образом:
n1 = 5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4
n2 = 3x1 + 4x2 + 6x3
n3 = 3x2 + 5x3 + 8x4
Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y1, y2 и y3 - потребности в стекле, папье-маше и фольге, соответственно:
y1 = 5n1
y2 = 4n2
y3 = 3n1 + 75n3
Теперь подставим вместо ni - полученные ранее равенства.
y1 = 5· (5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4) = 25x1 + 30x2 + 40x3 + 50x4
y2 = 4· (3x1 + 4x2 + 6x3) = 12x1 + 16x2 + 24x3
y3 = 3· (5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4) + 75· (3x2 + 5x3 + 8x4) = 15x1 + 243x2 + 399x3 + 630x4
Проведем подсчеты для значений
x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 и x4=200.
y1 = 25 * 500 + 30 * 400 + 40 * 300 + 50 * 200 = 46500 г.
y2 = 12 * 500 + 16 * 400 + 24 * 300 = 19600 г.
y3 = 15 * 500 + 243 * 400 + 399 * 300 + 630 * 200 = 350400 г.
Задание 2
Пусть aij - количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi - стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij и bi заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).
,
Решение:
Составим систему уравнений:
Матричное уравнение выглядит следующим образом:
A · X = B
Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1
A-1 · A · X = A-1 · B; E · X = A-1 · B; X = A-1 · B
Найдем обратную матрицу A-1
Д = 12 * 9 * 1 + 6 * 8 * 10 + 15 * 5 * 11 - 15 * 9 * 8 - 6 * 5 * 1 - 12 * 10 * 11 = - 1017
;
=
X =· = =
Решим систему методом Крамера
Д = - 1017
Д1 = = 231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 - 216 * 9 * 8 - 238 * 5 * 1 - - 231 * 10 * 11 = - 9153
Д2 = = 12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 - 15 * 238 * 8 - 6 * 231 * 1 - 12 * 216 * 11 = - 7119
Д3 = = 12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 - 15 * 9 * 231 - 6 * 5 * 216 - 12 * 10 * 238 = - 11187
x1 = Д1/Д = - 9153/ (- 1017) = 9
x2 = Д2/Д = - 7119/ (- 1017) = 7
x3 = Д3/Д = - 11187/ (- 1017) = 11
Решим систему методом Гаусса
=> => =>
=> => = >
Задание 3
Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:
Решение:
Задание 4
Задана функция спроса , где p1, p2 - цены на первый и второй товары соответственно. Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров. В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.
Решение: эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:
эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.
эластичность положительная, следовательно, второй товар - альтернативный.
Товары являются товарами заменителями, т.к рост цен на альтернативный товар приводит к росту спроса.
Задание 5
В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов.
Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую.
Проанализировав чертеж, сделайте выводы.
|
Месяц |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
Товарооборот, (тыс. р) |
18 |
5,6 |
30,5 |
59,3 |
59,3 |
42 |
96,4 |
72,6 |
56,8 |
52 |
38,6 |
33 |
Решение:
Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.
Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):
По исходным данным рассчитываем х, у, ух, х2, у2.
|
t |
y |
x |
yx |
x2 |
y2 |
||
|
1 |
18,0 |
1 |
18 |
1 |
324,00 |
33,662 |
|
|
2 |
5,6 |
2 |
11,2 |
4 |
31,36 |
36,089 |
|
|
3 |
30,5 |
3 |
91,5 |
9 |
930,25 |
38,516 |
|
|
4 |
59,3 |
4 |
237,2 |
16 |
3516,49 |
40,943 |
|
|
5 |
59,3 |
5 |
296,5 |
25 |
3516,49 |
43,37 |
|
|
6 |
42,0 |
6 |
252 |
36 |
1764,00 |
45,797 |
|
|
7 |
96,4 |
7 |
674,8 |
49 |
9292,96 |
48,224 |
|
|
8 |
72,6 |
8 |
580,8 |
64 |
5270,76 |
50,651 |
|
|
9 |
56,8 |
9 |
511,2 |
81 |
3226,24 |
53,078 |
|
|
10 |
52,0 |
10 |
520 |
100 |
2704,00 |
55,505 |
|
|
11 |
38,6 |
11 |
424,6 |
121 |
1489,96 |
57,932 |
|
|
12 |
33,0 |
12 |
396 |
144 |
1089,00 |
60,359 |
|
|
Итого |
564,1 |
78 |
4013,8 |
650 |
33155,51 |
564,13 |
;
;
;
;
Уравнение регрессии:
= 31,235 + 2,427 · х
Рассчитаем по данному уравнению значения для и запишем их в дополнительный столбец исходных данных.
Найдем прогноз на полгода вперед:
= 31,235 + 2,427 * 18 = 74,921 тыс. руб.
Найдем прогноз на год вперед:
= 31,235 + 2,427 * 24 = 89,483 тыс. руб.
Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.
Задание 6
Исследовать на экстремум следующую функцию:
;
Решение:
Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов.
= 4x3 + 2xy2; 4x3 + 2xy2 = 0; 2x (2x2 + y2);
2x = 0 или (2x2 + y2) = 0; точка (0, 0)
= 4y3 + 2x2y; 4y3 + 2x2y = 0; 2y (x2 + 2y2);
2y = 0 или (x2 + 2y2) = 0; точка (0, 0)
Найдем вторые производные и их значения в точке (0; 0)
= 12x2 + 2y2; 12 * 02 + 2 * 02 = 0 = А
= 2xy; 2 * 0 * 0 = 0 = B
= 12y2 + 2x2; 12 * 02 + 2 * 02 = 0 = C
Д = AC - B2 = 0
Следовательно, вопрос об экстремуме остается открытым.
Точка (0; 0) возможный экстремум функции.
Задача 7
Пусть функция полезности задана как
где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 21, В = 37.
Решение: полезность максимальна при равенстве первых производных:
= ; = ; = ; =
Ограничение стоимости задается неравенством 21x + 37y ? 140
Составим систему.
; ; ;
Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 2,14 ед. А и 2,57 ед.в.
Задание 8
Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q: и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения.
и ,
Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:
D (Q) = S (Q); = ; ; - t2 - 6t + 300 = 0
t1 = - 25,12 и t2 = 16,72, t1 - не удовлетворяет условию
; Q = 279,56 ед.
При этом цена составит: Р = 6 * 16,72 = 100,32 ден. ед.
Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:
Sпотр = - 100,32 · 279,56 = - 28045,46 =
= 300 * 279,56 - 5/14 * 279,56 - 28045,46 = 55722,7
Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:
Sпроизв = 100,32 · 279,56 - = 28045,46 - =
= 28045,46 - 4 * 16,723 = 9348,6
Литература
1. Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
2. Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
3. И.А. Зайцев. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1998.
4. Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.
Подобные документы
Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.
лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [161,0 K], добавлен 16.03.2010Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Метод Гаусса–Жордана: определение типа системы, запись общего решения и базиса. Выражение свободных переменных с использованием матричного исчисления. Нахождение координат вектора в базисе. Решение системы уравнений по правилу Крамера и обратной матрицей.
контрольная работа [200,4 K], добавлен 17.12.2010Формирование системы их пяти уравнений по заданным параметрам, ее решение методом Гаусса с выбором главного элемента. Интерполяционный многочлен Ньютона. Численное интегрирование. Решение нелинейных уравнений. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
контрольная работа [115,5 K], добавлен 27.05.2013Решение задач вычислительными методами. Решение нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений (метод исключения Гаусса, простой итерации Якоби, метод Зейделя). Приближение функций. Численное интегрирование функций одной переменной.
учебное пособие [581,1 K], добавлен 08.02.2010Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гауса. Граф состояний марковской системы. Составление уравнений Колмогорова. Предельные вероятности состояний системы. Матричный метод, матрица треугольная, матрица квадратная и решение системы.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 20.07.2010Симплексный метод как универсальное решение задач линейного программирования. Применение метода Жордана-Гаусса для системы линейных уравнений в канонической форме. Опорное решение системы ограничений. Критерий оптимальности. Задача канонической формы.
презентация [2,0 M], добавлен 11.04.2013Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011
