Обработка статистической информации о надежности линии привода 3-го формирующего ролика 1-й моталки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обработка статистической информации о надежности исследуемого объекта

Первое, что необходимо иметь - это документ, в котором зарегистрированы моменты отказов оборудования. Виды таких документов рассмотрены в первой главе пособия.

Такой документ будем называть первичной статистической совокупностью. Рассмотрение и осмысление такого документа затруднительно с целью представить себе характер распределения.

Первый шаг к осмыслению материала - это его упорядочение, расположение в порядке возрастания значений наработок. Полученный ряд будем называть упорядоченной статистической совокупностью. По упорядоченной статистической совокупности уже можно построить статистическую функцию распределения.

Характерной особенностью работ при проведении испытаний на надежность в процессе эксплуатации изделий является повышенная опасность грубых ошибок. Для статистической информации о надежности сравнительна высока вероятность попадания в выборку аномальных реализаций либо как результат ошибки, например в фиксации момента отказа, либо как результат ошибки при классификации отказов.

Исходные данные:

Вариант №4

Линия привода 3-го формирующего ролика 1-й моталки.

Наработки, сут.: 14,8,8,7,9,36,75,41,70,48,22,15,18,8,23,57.

1. Упорядочение исходной выборки наработок до отказа

Упорядочим исходную выборку:

7,8,8,8,9,14,15,18,22,23,36,41,48,57,70,75

N=16 шт.

Проверка принадлежности необычайно малой или большой наработки к исходной выборке может быть осуществлена с помощью F-распределения для заданного уровня значимости и фактического числа наработок (табл. 1 прил.) [1]

Если выполняется равенство

(1.1)

то наработка необычно малая и не должна приниматься во внимание.

Если выполняется равенство

(1.2)

то наработка необычно большая и ее следует отбросить,

где r - число наработок до отказа;

t_min - минимальное значение наработки;

t_max - максимальное значение наработки.

Процентили F-распределения находятся из табл. 1 прил. [1]

В соответствии с формулой (1.1) находим:

выборка статистический экспоненциальный распределение

Из табл. 1 прил. для =0,05

Следовательно, наработка до отказа t₁ = 7 сут. не является необычно малой и ее нельзя исключать из выборки.

По формуле (1.2) находим:



По табл. 1 прил. для =0,05 [1]

Вывод - наработка t = 75 сут. не является необычно большой и ее нельзя исключать из выборки.

2. Проверка статистических гипотез

2.1 Проверка статистической гипотезы о соответствии экспоненциальному распределению

Для проверки статистической гипотезы наиболее мощным является критерий Бартлетта:

, (2.1)

где - оценка средней наработки до отказа;

r - число наработок до отказа;

t_i - значение i-той наработки.

Все вычисления сведем в таблицу:

Таблица 1

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
	7	8	8	8	9	14	15	18	22	23	36	41	48	57	70	75	28,7	-
	2	2,1	2,1	2,1	2,2	2,6	2,7	2,9	3,1	3,2	3,6	3,7	3,9	4	4,2	4,3	-	48,6

Выполняется условие:

;

где для заданного уровня значимости , числа отказов r находится из табл. 5 прил., следовательно гипотеза о принадлежности выборки к экспоненциальному распределению не отвергается.

Проверку можно осуществить и с помошью критерия Пирсона:

, (2.2)

где - теоретическая частота, - число интервалов.

Все вычисления сведем в таблицу:

Таблица 2

	1-12	12-24	24-36	36-48	48-60	60-75
	5	5	1	2	1	2
	0.31	0,31	0,0625	0,125	0,0625	0,125
	0.14	0,14	0,06	0,0077	0,06	0,0077	0,425

Число интервалов - .

Протяженность интервалов - .

Теоретическая частота -

Для и к-2=6-2=4 по табл. 5 прил. находим -

Так как соблюдается неравенство:

,

то гипотеза о принадлежности выборки к генеральной совокупности, описываемой экспоненциальным распределением, не отвергается.

2.2 Проверка статистической гипотезы о ее соответствии распределению Вейбулла

Возможность принадлежности исходной выборки к распределению Вейбулла проверяем по критерию «S-статистика»:

, (2.3)

где - весовой коэффициент, значения которого берутся из табл. 4 прил. [1]

- означает, что берется целая часть числа.

Вычисления сведем в таблицу:

Таблица 3

N
1	7	1,9	0,47	1,03	0,46	6,5
2	8	2,1	0	0,535	0
3	8	2,1	0	0,4	0
4	8	2,1	0	0,3	0
5	9	2,2	0,12	0,24	0,5
6	14	2,6	0,44	0,21	2,07
7	15	2,7	0,06	0,19	0,31
8	18	2,9	0,2	0,18	1,06
9	22	3,1	0,2	0,17	1,16
10	23	3,13	0,04	0,17	0,24
11	36	3,6	0,46	0,17	2,7
12	41	3,7	0,12	0,18	0,7
13	48	3,9	0,16	0,19	0,80
14	57	4,04	0,17	0,23	0,73
15	70	4,25	0,07	0,33	0,2
16	75	4,32

Из табл. 5 прил. для q=0.9 и r=16 находим:

Следовательно гипотеза о принадлежности выборки к распределению Вейбулла не отвергается.

2.3 Проверка статистической гипотезы о соответствии выборки нормальному или логарифмически нормальному распределению

Проверка осуществляется с использованием критерия Пирсона:

, (2.4)

Осуществим разбиение на интервалы:

.

.

Вычисление теоретических частот сведем в таблицу:

Таблица 4

	Границы интервалов	Середина интервалов
1	1-12	6		-1,17	-0,50	-0,38	0,3	0,31
2	12-24	18	-1,17	-0,59	-0,38	-0,22	0,14	0,06
3	24-36	30	-0,59	0	-0,22	0	0,06	0,06
4	36-48	42	0	0,59	0	0,22	0,19	0,25
5	48-60	54	0,59	1,17	0,22	0,38	0,9	0,12
6	60-75	68	1,17		0,38	0,5	0,5	0,19

из табл. 5 прил.

Определим критерий согласия Пирсона:

Следовательно, гипотеза о принадлежности исходной выборки к нормальному распределению отвергается.

3. Оценивание параметров распределений

3.1 Аналитические методы получения точечных оценок

Экспоненциальное распределение

Для получения точечной оценки параметра экспоненциального распределения используют статистику:

- при плане [NUN]

. (3.1)

Распределение Вейбулла

Для получения точечных оценок параметров «а» и «b» распределения Вейбулла используются статистики при плане [NUN]:

; ; (3.2)

Вычисление параметров «а» и «b» по формулам (3.2) сведем в таблицу:

Таблица 5

N
1	7	1,9	0.017	0,033	-0.043	-0,08
2	8	2,1	0.022	0,046	-0.046	-0,1
3	8	2,1	0.027	0,056	-0.047	-0,1
4	8	2,1	0.032	0,08	-0.047	-0,1
5	9	2,2	0.036	0,08	-0.046	-0,1
6	14	2,6	0.041	0,11	-0.044	-0,11
7	15	2,7	0.047	0,127	-0.041	-0,12
8	18	2,9	0.052	0,15	-0.036	-0,11
9	22	3,1	0.058	0,18	-0.030	-0,09
10	23	3,13	0.064	0,2	-0.022	-0,07
11	36	3,6	0.071	0,256	-0.012	-0,042
12	41	3,7	0.079	0,30	0.002	0,008
13	48	3,9	0.088	0,34	0.021	0,0081
14	57	4,04	0.099	0,4	0.048	0,19
15	70	4,25	0.114	0,5	0.094	0,4
16	75	1,9	0.147	0,64	0.252	1,1
= 3,41	=0, 098

; .

Нормальное распределение

Для получения точечных оценок параметров нормального распределения и используют статистики:

- при плане [NUN]

; , (3.3)

Получим:

;

.

3.2 Графическое оценивание параметров распределений

Графическое оценивание параметра экспоненциального распределения.

Значения эмпирической функции распределения для экспоненциального распределения рассчитываются по зависимости:

, (3.4)

Получим:

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; .

Наносим на вероятностную сетку (см. прил. 1) точки с координатами:

[7; 6], [8; 12], [8; 18], [8; 24], [9; 30], [14; 36], [15; 42], [18; 48], [22; 54], [23; 60], [36; 66], [41; 72], [48; 78], [57; 84], [70; 90], [75; 96] и проводим через них прямую. Абсцисса точки с ординатой 63.8 соответствует величине 28.7, тогда параметр:

.

Графическое оценивание параметров распределения Вейбулла.

Оценивание параметров распределения Вейбулла можно найти по вероятностной сетке (см. прил. 2), используя зависимость:

; (3.5)

,

где - накопленная интенсивность отказов.

Вычисление накопленной частоты отказов производят в следующей последовательности:

- наработки до отказа и до цензурирования выстраиваются в вариационный ряд;

- для каждого значения вычисляются соответствующие значения оценки накопленной интенсивности отказов:

; ,

где - инверсионный номер изделия, то есть ранг, отсчитанный с конца вариационного ряда.

Если точки с координатами [lni; lnti] на вероятностной сетке удовлетворительно апроксимируются прямой, то переходят к оценке точечных значений параметров a и b.

Пересечение полученной прямой с линией, проведенной параллельно оси абсцисс из точки с ординатой y=0, дает точку, абсцисса которой характеризует точечную оценку параметра а.

Точка пересечения прямой, проведенной из специальной точки А параллельно построенной прямой, со шкалой b дает искомую оценку параметра b.

Оценка параметра а равна абсциссе точки пересечения построенной прямой и линией, проведенной из точки с ординатой F(x)=0,623 или у=0.

Вычисления накопленной частоты сведем в таблицу 6.

Наносим на вероятностную сетку точки с координатами [x=t; y=lnЛ_i] и проводим через них прямую.

Пересечение прямой с линией, проведенной параллельно оси абсцисс из точки с ординатой y=0, дает оценку параметра а:

а=33.

Из точки А проводим луч параллельно построенной прямой до пересечения со шкалой b. Точка пересечения дает оценку параметра b=1.35.

Таблица 6

I
1	16	7	0,063	0,063	-2,76
2	15	8	0,066	0,129	-2,05
3	14	8	0,071	0,20	-1,61
4	13	8	0,077	0,27	-1,28
5	12	9	0,083	0,36	-1,02
6	11	14	0,091	0,45	-0,80
7	10	15	0,10	0,55	-0,60
8	9	18	0,11	0,66	-0,40
9	8	22	0,13	0,79	-0,20
10	7	23	0,14	0,93	-0,07
11	6	36	0,17	1,10	0,09
12	5	41	0,20	1,30	0,26
13	4	48	0,25	1,55	0,44
14	3	57	0,33	1,88	0,63
15	2	70	0,50	2,38	0,87
16	1	75	1,00	3,38	1,22

Графическое оценивание параметров нормального распределения.

Значения эмпирической функции распределения для нормального распределения рассчитываются по зависимости:

. (3.6)

Получим:

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; .

На вероятностную сетку (см. прил. 3) наносим точки с координатами:

[17; 4], [25; 10], [29; 16], [43; 22], [57; 28], [96; 35], [115; 41], [142; 47], [155; 53], [170; 59], [174; 65], [180; 72], [190; 78], [230; 84], [235; 90], [260; 96].

4. Оценивание показателей безотказности

Значения показателей безотказности, определяемые по результатам испытаний, являются оценками показателей надежности.

За значения показателей надежности принимают точечную оценку или границы доверительного интервала (нижнюю (НДГ) и верхнюю (ВДГ) границы).

Экспоненциальное распределение.

Средняя наработка:

сут. (4.1)

Нижняя доверительная граница средней наработки:

, (4.2)

сут.

Значения критерия хи-квадрат приведены в табл. 5 прил [1]

Гамма-процентная наработка:

сут. (4.3)

Вероятность безотказной работы:

. (4.4)

Интенсивность отказов:

.

Распределение Вейбулла.

Средняя наработка:

сут. (4.5)

Значения гамма-функция Г(х) приведены в табл. 6 прил. [1]

Нижняя доверительная граница средней наработки:

сут. (4.6)

Значения квантили распределения статистики приведены в табл. 7 прил. [1]

Гамма-процентная наработка:

сут. (4.7)

Вероятность безотказной работы:

(4.8)

Интенсивность отказов:

 (4.9)

5. Восстановление работоспособного состояния

Металлургическое оборудование является восстанавливаемой системой и поэтому, время ее функционирования во много раз больше средней наработки на отказ.

В этом случае среднее число отказов на интервале [0, t] приближенно равно:

отказа, (5.1)

Если система восстанавливается путем замены входящего в его состав отказавшего элемента и функционирует время , то необходимое число запасных элементов , необходимых для непрерывной работы системы до момента времени равно:

, (5.2)

Распределение Вейбулла.

- для года

шт.

- для месяца

шт.

Для определения гарантированного количества запасных частей, используется распределение Пуассона, которое позволяет подсчитать вероятность отказов менее или равных r:

, (5.3)

Вероятность того, что в год 4 запасных частей достаточно составляет 70%.

И вероятность более 4 отказов за год составляет:

Вывод: выполнив данную курсовую работу, я провела анализ исходных данных с целью установления закона распределения отказов, дала точечную оценку параметров распределений, оценила показатели безотказности. Оценку параметров распределений провела двумя способами: аналитически и графическим методом. Так как графический метод наиболее точен, то установили, что совокупность наработок принадлежит к распределению Вейбулла с параметрами: а=33 и b=1.35.

Литература

1. Методические указания по выполнению практических занятий для студентов

специальности 15.04.00. «Металлургические машины и оборудование», Магнитогорск: МГТУ, 2007. 46 с.;

2. Жиркин Ю.В. Надежность, эксплуатация и ремонт металлургических машин:

Учебник. - Магнитогорск: МГТУ, 2002. 330 с.

Размещено на Allbest.ru