Теория вероятностей

Обработка случайных выборок с нормальным законом распределения. Оценка коэффициентов регрессии и доверительных интервалов. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам и корреляционного момента. Построение эмпирической интегральной функции.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 03.05.2011
Размер файла 135,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство высшего образования Российской Федерации

Ижевский Государственный Университет

Кафедра ВТ

Курсовая работа

Вариант Ж - 5

Выполнил: студент гр. 462

Проверил: Веркиенко Ю. В.

2006 г.

Содержание

Цель работы

Задание

1. Генерирование выборок

2. Поиск оценок для выборок

3. Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии

4. Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции

5. Построение эмпирической интегральной функции распределения и теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)

6. Построение эмпирической кривой плотности распределения и теоретической

7. Проверка гипотезы о величине среднего (?), дисперсии (?2), о нормальном законе распределения (по ?2 и по Колмогорову)

8. Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках

9. Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии

10. Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза

11. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам

Выводы

Цель работы

Выполнить все одиннадцать пунктов работы по заданию и сделать выводы.

Задание

На ЭВМ по программе случайных нормальных чисел с законом N(,2) генерировать две выборки объема n

x1,,xn (1)

y1,,yn (2)

Для выборок (1), (2) найти оценки Ex, Sx, wx, wy.

Для (1) построить доверительные интервалы для математического ожидания (считая 2 известной и неизвестной) и дисперсии.

Для (1), (2) построить доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Для (1) построить эмпирическую интегральную функцию распределения и теоретическую (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)

Для (1) построить эмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (x(1), x(n)) на 5-6 интервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.

Проверить гипотезы: о величине среднего (), дисперсии (2), о нормальном законе распределения (по 2 и по Колмогорову).

Проверить гипотезу о независимости выборок (1), (2), об одинаковой дисперсии в выборках.

Для уравнения (модели) с заданными коэффициентами i составить систему условных уравнений, считая и найти по МНК оценки коэффициентов регрессии. Значения брать из равномерного закона или с равномерным шагом на отрезке [-1, 1].

Построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза в точках x=-1, 0, 1.

По доверительным интервалам оценить значимость факторов xi=xi. Фактор считается незначимым, если доверительный интервал накрывает значение, равное нулю.

При выполнении курсовой работы использовать значения: среднее выборок Х и У равно 3, дисперсия выборок равна 1. Уровень значимости = 0.05. С.к.о. ошибки измерений в задаче регрессии 0.2.

1. Генерирование выборок

На ЭВМ по программе случайных нормальных чисел с законом N(,2) генерируем две выборки объема n = 17, где = 3 и 2 = 1

x1,,xn (1)

y1,,yn (2)

Вариационные ряды:

(1) (2)

2. Поиск оценок для выборок

Для найденных выборок (1), (2) находим оценки Ex, Sx, wx, wy.

Выборочное среднее:

Квадрат средне - квадратичного отклонения:

Оценка центрального момента 3-го порядка:

Оценка центрального момента 4-го порядка:

Коэффициент эксцесса:

Коэффициент асимметрии:

Оценка корреляционного момента:

Оценка коэффициента корреляции:

Размах выборки:

3. Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии

Для (1) строим доверительные интервалы для математического ожидания (считая 2 известной и неизвестной) и дисперсии.

Считаем 2 известной.

Считаем 2 неизвестной.

Таким образом, при различных вариантах мmin, мmax имеют почти одинаковые значения.

Подставляем табличные значения 24,7 и 5,01 в знаменатели подкоренного выражения и получаем, что

,

,

4. Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции

Для (1), (2) строим доверительный интервал для коэффициента корреляции.

U = 1,96

Так как , то пусть , отсюда z = 0,693

То есть |z| ? 0,693.

Если z = -0,693 и z = 0,693, то получим доверительный интервал для коэффициента корреляции -0,6 < Rxy < 0,6.

5. Построение эмпирической интегральной функции распределения и теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)

Создание ступенчатой функции, при скачке высотой 1/n.

Построение эмпирических Fx(u), Fy(u) и теоретических интегральных функций распределения. В последних средние и с. к. о. Взяты равными вычисленным оценкам математического ожидания и с. к. о.

Пусть u = 0, 0.001…6, тогда

,

- - - - теоретическая функция распределения.

____ функция для нормального закона с оценками среднего и дисперсии.

6. Построение эмпирической кривой плотности распределения и теоретической

случайный выборка доверительный интервал

Для (1) построить эмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (х(1),х(n)) на несколько подинтервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.

k*sigx - ширина интервалов разбиения, k - коэффициент шага разбиния. взято симметрично от среднего значения по 4 интервала

- - - - теоретическая функция плотности распределения.

____ эмпирическая кривая плотности распределения.

7. Проверка гипотезы о величине среднего (), дисперсии (2), о нормальном законе распределения (по 2 и по Колмогорову)

Проверка по критерию согласия Пирсона:

По данным выборки найдем теоретические частоты , затем, сравнивая их с наблюдаемыми частотами , рассмотрим статистику - случайная физическая величина, имеющая распределение с k степенями свободы. Если сумма , то выборочные данные согласуются с нормальным распределением и нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Определим с степенями свободы:

Как видно условие выполняется.

Проверка по критерию согласия Колмогорова:

Условие:

где , где максимальное значение разности между экспериментальным и теоретическим распределением нормального закона.

при для X, и при для Y.

- критическое значение квантиля распределения Колмогорова.

Так как условие - выполняется, то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждена.

8. Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках

Чтобы из выборки х получить вариационный ряд необходимо осуществить 18 инверсий (т. е. Q=18).

Проверим гипотезу о независимости :

Так как из нормального закона , то

Так как условие - выполняется, то выборки независимы.

Теперь нам необходимо проверить гипотезу об одинаковой дисперсии в выборках

:

так как F< ,то нет оснований, отвергать нулевую гипотезу.

9. Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии.

Для уравнения модели

Генерируем выборку с шагом

h = 1/N, где N = 100

Пусть даны коэффициенты регрессии:

в0 = 0; в1 = 1; в2 = 1; в3 = 0; в4 = 0; в5 = 1;

Значения матрицы плана

Сформируем элементы матрицы А вида:

Формирование правых частей нормальной системы

Где случайная величина, сгенерированная по нормальному закону с учётом коэффициентов регрессии.

Информационная матрица

Решение относительно коэффициентов регрессии.

Для нахождения вида уравнения регрессии необходимо вычислить коэффициенты регрессии данного уравнения.

Уравнение регрессии :

Графики уравнения регрессии и результатов измерений, по которым определялись коэффициенты регрессии:

- - - - уравнение регрессии

____ случайная выборка из нормального закона

10. Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза

Доверительные интервалы будем находить для каждого элемента вектора оценок коэффициентов регрессии .

В случае нормальных ошибок доверительные интервалы находятся из двойного неравенства:

где - остаточная сумма квадратов; - диагональный элемент ковариационной матрицы вида

так как слагаемых в уравнении регрессии шесть.

(1)

(2)

(3)

Строим интервал для коэф-та регрессии:

Доверительный интервал , где из таблицы находим.

k = 6;

Тогда для r = [1…6] будем

брать соответствующий элемент ковариационной матрицы, и находить доверительный интервал с учётом (1) (2) (3).

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

-

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Нахождение доверительного интервала для (фактор ):

Доверительные интервалы для ,, не накрывают значение равное нулю, следовательно, факторы ,, являются значимыми, а факторы ,, - незначимыми.

11. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам

Исключив из уравнения регрессии незначимые факторы, приходим к следующему виду:

Таким образом, из графика видно, что при исключении из уравнения регрессии незначимых факторов график не изменился. Найдем доверительный интервал для остаточной дисперсии

при .

А доверительный интервал найдём из следующего двойного неравенства:

Таким образом, доверительный интервал для остаточной дисперсии есть:

Выводы

Таким образом, в данной курсовой работе были изучены методы обработки случайных выборок с нормальным законом распределения. Так же найдены оценки коэффициентов регрессии и построены доверительные интервалы. В последнем пункте работы были оценены значимости факторов по доверительным интервалам.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Обработка одномерной и двумерной случайных выборок. Нахождение точечных оценок. Построение гистограммы функций распределения, корреляционной таблицы. Нахождение выборочного коэффициента корреляции. Построение поля рассеивания, корреляционные отношения.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 10.06.2013

  • Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.

    задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011

  • Двумерная функция распределения вероятностей случайных величин. Понятие условной функции распределения и плотности распределения вероятностей. Корреляция двух случайных величин. Система произвольного числа величин, условная плотность распределения.

    реферат [325,3 K], добавлен 23.01.2011

  • Определение дифференциальной функции распределения f(x)=F'(x) и математического ожидания случайной величины Х. Применение локальной и интегральной теоремы Лапласа. Составление уравнения прямой линии регрессии. Определение оптимального плана перевозок.

    контрольная работа [149,6 K], добавлен 12.11.2012

  • Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.

    реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015

  • Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.

    шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015

  • Анализ и обработка статистического материала выборок Х1, Х2, Х3. Вычисление статистической дисперсии и стандарта случайной величины. Определение линейной корреляционной зависимости нормального распределения двух случайных величин, матрицы вероятностей.

    контрольная работа [232,5 K], добавлен 25.10.2009

  • Пространство элементарных событий. Совместные и несовместные события. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин. Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики случайной функции. Условие независимости двух событий.

    контрольная работа [30,0 K], добавлен 15.06.2012

  • Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.

    контрольная работа [36,5 K], добавлен 14.11.2010

  • Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.

    контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.