Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

В урне 5 белых и 5 черных шара. Из этой урны последовательно извлечены по одному все шары и разложены в ряд. Какова вероятность того, что все шары чередуются?

Решение

Пусть событие А - шары чередуются. Рассмотрим комбинации шаров как перестановки с повторениями, из которых событию А благоприятствуют 2 комбинации. Тогда искомая вероятность Р(A) = .

Ответ: Р = 0,0079.

Задача 2

Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по шоссе, как 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала автомашина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

Решение

Пусть событие А - к бензоколонке подъехала машина. Можно сделать два предположения: В1 - машина грузовая, B2 - машина легковая. Вероятность появления грузовой машины равна а легковой - . Условная вероятность того, что, подъехавшая машина будет грузовой, , а для легковой - . Искомая вероятность того, что к бензоколонке подъехала грузовая машина, по формуле Бейеса равна .

Ответ: Р =

Задача 3

Найти математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания в интервал (1;2).

.

Решение

Найдем дифференциальную функцию распределения f(x) = F'(x).

Математическое ожидание случайной величины Х находим по формуле:

М(Х) =

дисперсию D(x) определим по формуле D(x) = D(x) =

Вероятность попадания в интервал равна приращению интегральной функции на заданном интервале: Р(1<X<2) = F(2) - F(1) =

Ответ: М(Х) = 2.

D(X) = 0,5.

P =

Задача 4

Найти вероятность того, что при n испытания событие наступит ровно k раз.

n = 225, р = 0,64; k =158.

Решение

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа: Вычислим определяемое данными задачи значение х:

По таблице

Ответ: Р = 0,0658.

Задача 5

Дана вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытания событие А появиться не менее k1 раз и не более k2 раз. N = 625; p = 0,8; k1 =480; k2 = 500.

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где ,.

; .

Р625 (480;500)=Ф(0) - Ф(- 2) = 0,4772.

Ответ: Р = 0,4772.

Задача 6

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х (в первой указаны возможные значения величины Х, во второй строке даны вероятности р этих значений). Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2)дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение .

Х	21	20	22	26
р	0,5	0,2	0,2	0,1

Решение

1) М(Х) = = .

2) D(X) = М(Х2) - (М(Х))2 =

3) .

Ответ: М(Х) = 21,5

Д(Х) = 2,65

Задача 7

Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и 200,6 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

Решение

а = 200, , .

Для найдем вероятность попадания в заданный интервал

или 95,44%.

Для или 78,88%.

95,44%. - 78,88% = 16,56%

Ответ: на 16,56%

Задача 8

При выборочном опросе 1000 телезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту:

Возраст (лет)	Менее 20	20- 30	30 -40	40 -50	50-60	60-70	Более 70	Итого
Количество пользователей (чел)	8	17	31	40	32	15	7	150

Найти: а) вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста, полученного по выборке, не более чем на 2 года (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,97 заключена доля телезрителей, возраст которых составляет от 30 до 50 лет;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных сведений о рассматриваемой доле нет.

Решение

Для решения задачи составим расчетную таблицу. В качестве ложного нуля выберем С = 45, h = 10.

	Середина интервала
Менее 20	15	8	-3	-24	72
20 - 30	25	17	-2	-34	68
30 - 40	35	31	-1	-31	31
40 - 50	45	40	0	0	0
50 - 60	55	32	1	32	32
60 - 70	65	15	2	30	60
Более 70	75	7	3	21	63
		150		-6	326

.

а) Вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста в выборке не более чем на 2 года (по абсолютной величине), найдем

б) Учитывая, что Ф(t) = 0,97 и по таблице t = 2,16, найдем предельную ошибку выборки для доли

, ,

Теперь или 0,391 < P < 0,555.

в) Объем бесповторной выборки

По условию Ф(t) = 0,9879. По таблице t = 2,5 и тогда



Если о доли ничего не известно, полагаем Тогда

.

Задача 9

По данным задачи 8, используя критерий - Пирсона, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - возраст телезрителей - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение

. Вычислим теоретические частоты, учитывая, что h = 10.

Составим вспомогательную таблицу:

1	15	- 2,01	0,0529	5,4
2	25	- 1,33	0,1647	16,8
3	35	- 0,65	0,3230	32,9
4	45	- 0,03	0,3988	40,6
5	55	0,71	0,3101	31,6
6	65	1,38	0,1539	15,7
7	75	2,06	0,0478	4,9

Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим вспомогательную таблицу, но так как первая и седьмая группы малочисленные, то объединим их в одну, сложив их частоты.

				()2
1	15	5,4	4,7	22,09	2,14
2	17	16,8	0,2	0,04	0,002
3	31	32,9	-1,9	3,61	0,11
4	40	40,6	-0,6	0,36	0,009
5	32	31,6	0,4	0,16	0,005
6	15	15,7	-0,7	0,49	0,03
	150

По таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы k = 6 - 3 = 3 находим критическую точку правосторонней критической области . Так как , нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении совокупности.

Гистограмма эмпирического распределения телезрителей по возрасту

Нормальная кривая распределения возраста телезрителей

Задача 10

Распределение 5 однотипных малых предприятий по основным фондам, Х (млн. руб.) и себестоимости выпуска единицы продукции У(тыс. руб.) представлено в таблице:

У Х	1,25	1,5	1,75	2,0	2,25	Итого
80-130			1	2	3	6
130-180			1	4	3	8
180-230		4	8	3	1	16
230-280	2	5	4			11
280-330	3	4	2			9
Итого	5	13	16	9	7	50

Необходимо: 1) вычислить групповые средние и , построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости , оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить количество выпускаемой продукции при стоимости одной единицы продукции, равной 2,5 тыс. руб.

Решение

1) Построим корреляционную таблицу, в которую внесем групповые средние:

	1,25	1,5	1,75	2,0	2,25	Всего	Групповые средние
80-130	105			1	2	3	6	2,1
130-180	155			1	4	3	8	2,1
180-230	205		4	8	3	1	16	1,8
230-280	255	2	5	4			11	1,5
280-330	305	3	4	2			9	1,5
Всего	5	13	16	9	7
Групповые средние	285	255	221	206	141

. Построим эмпирические линии регрессии.

2) Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей С1 = 205, С2 = 1,75, h1 =50, h2 = 0,5.

U V	-2	-1	0	1	2
-2			1	2	3	6
-1			1	4	3	8
0		4	8	3	1	16
1	2	5	4			11
2	3	4	2			9
	5	13	16	9	7	n=50

Составим расчетную таблицу

U V	-2	-1	0	1	2		vU
-2			0 1 -2	2 2 -4	6 3 -6	8	-16
-1			0 1 -1	4 4 -4	6 3 -3	10	-10
0		-4 4 0	0 8 0	3 3 0	2 1 0	1	0
1	-4 2 2	-5 5 -5	0 4 4			-9	-9
2	-6 3 6	-4 4 8	0 2 4			-10	-20
	8	13	5	-8	-9		-55
uV	-16	-13	0	-8	-18	-55

Найдем и .

,

Найдем выборочный коэффициент корреляции.

.

Найдем .

.

Найдем : ;

Составим уравнение прямой линии регрессии: и . , ух = - 0,007х + 3,28.

, ху = 78,8у + 351,9.

Вычислим фактическое значение t - критерия: . По таблице tкр(0,05;48)=2,02.

У(2,5) =

Так как Тфакт > tкр, связь между признаками тесная, но обратная. (График прилагается).

Задача 11

На основании информации таблицы составить оптимальный план производства на максимум общей стоимости.

Ресурсы	Нормы затрат на единицу продукции	Затраты
Труд	1	1	44
Сырье	4	2	96
Оборудование	19	1	133
Цена	25	12

Решение

Пусть х1, х2, - продукция соответственно 1-го, 2-го видов. Нам необходимо найти максимум целевой функции

F =25х1 + 12х2 при следующей системе ограничений:

Приведем систему неравенств к системе уравнений, введя свободные неотрицательные переменные х3, х4, х5. Выразим их через основные.

Из рассмотрения целевой функции видно, что ее наибольшее увеличение возможно за счет х1, т.к. она входит в выражение функции с наибольшим коэффициентом. Значит, переменную х1 переведем в число основных. Для того, чтобы выяснить, какую переменную перевести в число не основных, найдем: х1 = min= 7, т.е. х5 перейдет в число не основных.



Увеличим значение функции за счет х2.

, значит х4 перейдет в число не основных.

Дальнейшее увеличение функции F невозможно, т.к. все переменные в ней с отрицательными коэффициентами. Значит, критерий оптимальности достигнут. Наибольшая стоимость F = 581 ден. ед., при этом продукции 1-го вида надо выпустить 5 ед., 2-го вида - 38 ед.

Задача 12

Заполнить схему межотраслевого баланса при заданных матрицах коэффициентов прямых материальных затрат и конечной продукции.

,

Решение

Матрица А имеет неотрицательные коэффициенты и удовлетворяет критерию продуктивности: . Поэтому, для любого вектора конечного продукта У можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле Х = (Е - А)-1. Найдем матрицу полных затрат

S = (E - A)-1.

(Е - А) = ,

значит, матрица (Е - А) невырожденная и имеет обратную матрицу. Построим матрицу (Е - А)/ транспонированную к (Е - А).

(Е - А)/ = . Построим матрицу присоединенную к (Е - А). Для этого найдем алгебраические дополнения.

(Е - А)-1 = ,

Х = .

Заполним схему межотраслевого баланса

	Промежуточное потребление	Конечное использование	Всего использовано
	1	2	3
Промежуточное потребление	1	1108,8	262,5	277	200	1848
	2	369,6	350	55,4	100	875
	3	0	87,5	166,2	300	554
Валовая добавленная стоимость	108,6	175	55,4
Всего ресурсов	1848	675	554

Задача 13

Найти оптимальный план перевозок

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	6	7	3	2	90
А2	5	1	4	3	90
А3	3	2	6	2	170
Потребности	45	45	100	160

математическое ожидание регрессия

Решение

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	6	7	3	2	90
А2	5	1	4	3	90
А3	3	2	6	1	170
Потребности	45	45	100	160	350

Данная модель является закрытой. Исходное опорное решение получим по правилу «северо-западного» угла.

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	6 45	7 45	3	2	90
А2	5	1 0	4 90	3	90
А3	3		6 10	2 160	170
Потребности	45	45	100	160	350

Получили опорный вырожденный план. Число занятых клеток равно 5 не удовлетворяет условию m + n - 1 = 7 - 1 = 6. Поэтому в одну из клеток с наименьшим коэффициентом поместим ноль и будем считать клетку занятой.

Определим потенциалы запасов и потребностей и оценки свободных клеток. Составим уравнения:

Пусть , , .

Наиболее потенциальной является клетка (1;3). Построим для нее цикл. В результате смещения по циклу, получим новый опорный план.

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	6 45	7 45 -	3 +	2	90
А2	5	1 0 +	4 90 -	3	90
А3	3		6 10	2 160	170
Потребности	45	45	100	160	350

Для нового опорного плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	6 45 -	7	3 45 +	2	90
А2	5	1 45	4 45	3	90
А3	3 +		6 10 -	2 160	170
Потребности	45	45	100	160	350

Для нового опорного плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Строим цикл для клетки (3;1). В результате смещения по циклу, получим новый опорный план.

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	6 35	7	3 55	2	90
А2	5	1 45	4 45	3	90
А3	3 10	2	6	2 160	170
Потребности	45	45	100	160	350

Для нового плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Строим цикл для клетки (1;4). В результате смещения по циклу, получим новый опорный план.

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	6	7	3 55	2 35	90
А2	5	1 45	4 45	3	90
А3	3 45	2	6	2 125	170
Потребности	45	45	100	160	350

Для нового плана определим новые потенциалы и оценки свободных клеток.

Пусть тогда

Оценки свободных клеток неотрицательны, следовательно, полученный план является оптимальным.

Минимальные транспортные издержки для этого плана: .

Размещено на Allbest.ru