Теория вероятностей
Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.11.2011 |
| Размер файла | 91,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача 1
В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Решение:
Введем обозначения событий: - событие, состоящее в том, что шар, извлеченный из -ой урны оказался белым (). Тогда - событие, состоящее в том, что шар, извлеченный из -ой урны оказался не белым. Так как в 1-ой урне из 10 шаров 8 белые, то (из 10 исходов появлению события благоприятствуют 8), а . Аналогично рассуждая, имеем: и .
Обозначим: - событие, состоящее в том, что после извлечения по одному шару из каждой урны, среди них не оказалось ни одного белого шара, - событие, состоящее в том, что после извлечения по одному шару из каждой урны, среди них оказался один белый шара, - событие, состоящее в том, что после извлечения по одному шару из каждой урны, среди них не оказалось два белых шара.
произойдет тогда и только тогда, когда произойдут события и . Следовательно, =(так как события независимы)= =.
произойдет тогда и только тогда, когда произойдут события и , либо и . Следовательно, =(так как события несовместны)==(так как события независимы)= =.
произойдет тогда и только тогда, когда произойдут события и . Следовательно, =(так как события независимы)= =.
Обозначим: - событие, состоящее в том, что после извлечения из двух (уже извлеченных по одному из каждой урны) шаров, вынутый шар оказался белым. Очевидно,
События (i=1,2,3) образуют полную группу попарно несовместных событий, и по формуле полной вероятности имеем:
- вероятность извлечь белый шар из двух извлеченных по одному из каждой урны шаров.
Задача 2
Случайная величина задана функцией распределения
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , а также вероятность того, что в результате испытания примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее 3; в) не меньшее 3; г) не меньшее 5.
Решение:
Плотность распределения случайной величины найдем из условия . Тогда:
Математическое ожидание найдем по формуле:
.
Дисперсию найдем по формуле:
.
Далее
a) ;
б) ;
в) ;
г) .
Задача 3
Построить гистограмму распределения случайной величины по данному распределению выборки.
Границыинтервалов |
0-0,6 |
0,6-1 |
1-1,4 |
1,4-1,8 |
1,8-2,2 |
2,2-2,6 |
2,6-3 |
3-3,4 |
3,4-3,8 |
|
|
Частоты |
9 |
12 |
18 |
16 |
15 |
12 |
8 |
6 |
4 |
Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
Решение:
. Обозначим - середины интервалов (). Имеем
;;;
; ;;
; ; .
Математическое ожидание:
Дисперсия:
.
Среднее квадратическое отклонение: .
Найдем относительные частоты: . Имеем:
; ; ;
; ; ;
;; .
Для построения гистограммы относительных частот составим таблицу:
|
Границы интервалов |
0-0,6 |
0,6-1 |
1-1,4 |
1,4-1,8 |
1,8-2,2 |
2,2-2,6 |
2,6-3 |
3-3,4 |
3,4-3,8 |
|
|
Частоты |
9 |
12 |
18 |
16 |
15 |
12 |
8 |
6 |
4 |
|
|
Относительные частоты () |
0,09 |
0,12 |
0,18 |
0,16 |
0,15 |
0,12 |
0,08 |
0,06 |
0,04 |
|
|
0,15 |
0,3 |
0,45 |
0,4 |
0,375 |
0,3 |
0,2 |
0,15 |
0,1 |
математическое ожидание дисперсия квадратическое отклонение
Гистограмма относительных частот:
Задача 4
По условию задачи 3 по критерию согласия хи-квадрат при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина имеет распределение Релея. Неизвестный параметр распределения Релея оценить по начальному выборочному моменту второго порядка (Прилож. 4).
Решение:
Распределение Релея задается плотностью:
Функция распределения имеет вид:
В качестве оценки параметра рассмотрим начальный выборочный момент второго порядка. Известно, что математическое ожидание распределения Релея с параметром равно , дисперсия равна . Тогда
и - оценка параметра распределения Релея на основании начального выборочного момента второго порядка. Рассмотрим значения , где - границы интервалов, а
-
функция распределения Релея с параметром .
Составим таблицу:
|
0 |
||||||
|
0,6 |
0,0903 |
0,0903 |
9,03 |
9 |
0,0001 |
|
|
1 |
0,2312 |
0,1409 |
14,09 |
12 |
0,3092 |
|
|
1,4 |
0,4026 |
0,1715 |
17,15 |
18 |
0,0423 |
|
|
1,8 |
0,5733 |
0,1707 |
17,07 |
16 |
0,0668 |
|
|
2,2 |
0,7198 |
0,1465 |
14,65 |
15 |
0,0084 |
|
|
2,6 |
0,8309 |
0,1110 |
11,10 |
12 |
0,0723 |
|
|
3 |
0,9061 |
0,0753 |
7,53 |
8 |
0,0297 |
|
|
3,4 |
0,9521 |
0,0460 |
4,60 |
6 |
0,4279 |
|
|
1 |
0,0479 |
4,79 |
4 |
0,1299 |
||
|
Итого |
1,09 |
Значение находим по методичке А.М. Карлова - Приложение 1 (стр.46-48), с учетом того, что F(-x) =1 - F(x).
При уровне значимости б=0,05 и к=9-1-1=7 степенях свободы по таблице критических точек распределения ч2 находим критическое значение: ч2крит(0,05;7)=14,07 (См. Приложение 2 методички А.М.Карлова (стр. 49)).=> ч2набл=1,09 < ч2крит , и гипотеза о распределении генеральной совокупности по закону распределения Релея в соответствии с критерием ч2 (Пирсона) при уровне значимости б=0,05 принимается.
Число степеней свободы k находят из равенства k=s-r-1 , где s - число групп (частичных интервалов) выборки (в нашем случае s=9);r - число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки (в нашем случае сравниваем с распределением Релея и по выборке оценивали один параметр - ). То есть k=9-1-1=7.
Таким образом, можно считать, что генеральная совокупность, выборка из которой приведена в №3, распределена по закону распределения Релея с параметром .
Литература
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей., М, Высшая школа, 1998.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика., М, Высшая школа, 1998.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике., М, Высшая школа, 1997.
4. Карлов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие., Калининград, БИЭФ, 1998.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.
контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 24.01.2013Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Сущность закона распределения и его практическое применение для решения статистических задач. Определение дисперсии случайной величины, математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Особенности однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [328,2 K], добавлен 07.12.2013
