Использование мультимедийных средств при изучении свойств степенной функции в общеобразовательной школе

Информационные технологии - совокупность средств и методов преобразования информационных данных для получения информации нового качества (информационного продукта). Компьютерные технологии обучения - совокупность средств и методов создания педагогических условий работы на основе компьютерной техники, средств телекоммуникационной связи и интерактивного программного продукта, которые моделируют часть функций педагога по обработке информации, организации контроля и управления познавательной деятельностью [22].

Когда речь заходит о применении компьютера на уроке, возникает сразу несколько вопросов [22]:

1. Целесообразность применения компьютера. Решение о применении техники на каком-то уроке каждый учитель принимает сам. Из каких соображений он делает такой вывод:

· компьютер применяется там, где есть возможность автоматизировать деятельность и сэкономить время для обработки результатов (всевозможные контролирующие, тестирующие программы);

· компьютер применяется для обучения (Здесь речь идет о применении всевозможных обучающих программ, к выбору которых надо подходить очень ответственно. Не все программные продукты, производимые сейчас, имеют хорошие рекомендации. Применять обучающие программы или нет, какие применять - принимает решение сам учитель. Сколько применять - в соответствии с санитарными нормами.);

· применяется для демонстрации.

2. Исходя из целесообразности, формируются подходы к организации уроков с использованием информационных технологий:

· используется один компьютер, как правило, для демонстрации при объяснении нового материала, показа моделей, опытов, которые опасно проводить в реальной жизни;

· используется компьютерный класс. Применяется обычно для контроля знаний учащихся, когда за короткое время большое количество учеников проверяют свои знаний. Или же для обучения учащихся. И, конечно же, на уроках информатики.

3. Средства для применения на уроках

· использование готовых мультимедийных программ;

· создание собственных разработок с помощью стандартного программного обеспечения. Опять-таки к созданию этих средств надо подходить очень ответственно. К программам такого рода предъявляются определенные требования, о которых упоминается выше.

Итак, компьютер может применяться на следующих этапах урока и учебного процесса в целом [22]:

1. этап объяснения нового материала;

2. этап первоначального закрепления материала;

3. этап контроля и проверки знаний.

Учителя должны активнее использовать компьютеры в преподавании математики. Даже если техника в кабинете несовершенна и нет готовых программных продуктов, существует возможность создания таких программ как обучающие, тренажеры и тесты. Их можно использовать на уроках, в работе кружков и интегрированных факультативов.

В частности учитель может использовать программные продукты: Macromedia Flash и Power Point.

При изучении темы “Степенная функция” в 9 классе можно использовать обучающую программу “Свойства степенной функции”, в частности мультимедийное пособие, в котором демонстрируются основные виды и свойства степенной функции.

При грамотном и рациональном использовании качественных компьютерных программных средств повышается эффективность процесса обучения, что позволяет разнообразить традиционные формы обучения.

5. Использование технологии Macromedia Flash при разработке учебных пособий

В разработке учебных пособий и демонстраций популярна технология Macromedia Flash.

На уроках математики Macromedia Flash целесообразно использовать при изучении функциональной линии школьного курса. На уроках, посвящённых исследованию функций учителю, как правило, приходится рисовать на доске множество различных графиков и дополнительных построений к ним. Это занимает много времени и достаточно утомительно. Применение Macromedia Flash в таких случаях экономит время на уроке. Векторный подход к рисованию может повысить точность изображения, а повысить наглядность позволяет анимация. В нужное время масштабируемый и динамично прорисовывающийся график гораздо наглядней статичной картинки на доске. При помощи интерактивности и Action Script появляется возможность варьировать параметры кривых и других элементов чертежа.

Трудно переоценить преимущества векторной графики в занятиях геометрией. Снова экономиться время за счёт готовых чертежей, демонстрируемых с компьютера. Анимация особенно пригодится при изучении преобразований, в стереометрии. Решение задач построения становится на порядок нагляднее.

В физике наглядность Macromedia Flash, наверное, проявляется в полной мере. Иллюстрацию к любому динамическому процессу в физике можно создать, использую Macromedia Flash. Используя достаточно развитые средства рисования и анимации можно создавать достаточно сложные ролики. Хотя это всё возможно при помощи и других средств. Но не стоит забывать об Action Script. Именно использование языка программирования поднимает презентацию по физике на качественно новый уровень. Как правило, большинство демонстраций в физике связано с координатами, рассчитываемыми по определённым законам. Action Script имеет богатый математический аппарат для описания таких законов, и возможность изменять координаты объектов на экране. Теперь тело, двигающееся под углом к горизонту, летит не по кривой, нарисованной от руки, а по той траектории, которая была бы на самом деле. Добавьте сюда возможность изменять параметры прямо по ходу демонстрации и получим полностью смоделированный и подконтрольный эксперимент. Даже время не останется неизменным. Есть возможность замедлять, ускорять, или вообще останавливать проигрывание ролика.

Можно привести ещё массу примеров использования Macromedia Flash в физике. Но и в остальных предметах найдётся место для применения этой прогрессивной технологии. В географии - анимированные карты, в химии - иллюстрации процессов на молекулярном и атомном уровнях, в черчении - анимированные чертежи и разрезы, в биологии - клетки и поведение простейших, и т. д.

И, в заключение, несколько слов о перспективах. Технология Macromedia Flash давно вышла за рамки одной программы. Регулярное обновление версий делает Macromedia Flash современным в любой момент времени. Её используют в массе инструментальных средств. Одним из таких средств стала программа «Macromedia Director», симбиоз Macromedia Flash и PowerPoint с уклоном в сторону обучающих средств. Эта программа специально предназначена для разработки именно обучающих средств с использованием инструментария и возможностей Macromedia Flash. Единственным препятствием на пути её освоения стоит достаточно высокая сложность и почти полное отсутствие литературы. Но уже сейчас можно сказать, что Macromedia Director займёт прочное положение среди средств разработки мультимедийных обучающих систем [12].

Среда Macromedia Flash удобна для создания мультимедийных пособий, поэтому наше пособие создавалось в Macromedia Flash. Важную роль, в первую очередь, играет содержание пособия. В дальнейших параграфах перейдем к методическому анализу содержания темы “Свойства степенной функции”.

§3. Методика изучения темы “Свойства степенной функции”

1. Анализ учебной литературы по теме: “Свойства степенной функции”

Изучение степенной функции начинается еще с 7 класса, с частных случаев и продолжается на протяжении всего курса алгебры. Вплоть до 11 класса, знания о степенной функции обобщаются, расширяются и систематизируются.

Анализ учебной литературы необходимо проводить за 9 класс, чтобы на основе этого анализа учебной литературы построить содержание дидактического пособия.

Учебник: “Алгебра. 9 класс”. Мордкович А. Г., Семенов П. В. (Мнемозина, 2009г.)

В учебнике рассматриваются степенные функции с целым показателем. Теоретический материал по теме «Степенная функция» включен в главу «Числовые функции» отдельными параграфами, в которых рассматриваются как сами функции, так и их свойства и графики.

Доступное для школьников изложение материала, включено большое число примеров с детальными и обстоятельными решениями в 1-й части (в учебнике), а упражнения для самостоятельной работы помещены во 2-й части (в задачнике).

Структура изучения материала:

ГЛАВА 3. Числовые функции

§12. Функции , их свойства и графики.

§13. Функции , их свойства и графики.

§14. Функции , ее свойства и график.

В § 12 автор напоминает, что в 7-8-ых классах школьники изучили графики функций, четные и нечетные функции.



Далее определяются степенные функции, как функции с натуральным показателем (сначала приводятся частные случаи степенных функций, затем выявляется общая формула). Рассматриваются степенные функции с четным показателем степени, их графики, по которым позже выявляют свойства (область значения и область определения функции, четность и нечетность, монотонность, непрерывность, наибольшее и наименьшее значение функции, выпуклость). Далее рассматриваются степенные функции с нечетным показателем степени, а так же их графики и свойства.

В § 13 определяют степенные функции с отрицательными показателями: сначала четные функции, затем нечетные. Аналогично степенным функциям с натуральным показателем приводятся частные случаи:

После чего выявляется общая формула, так же рассматриваются графики и свойства

В § 14 вводится функция

ее свойства и график, как частный случай степенной функции с рациональным показателем n =

Преобразование графиков (симметрия) сводится к тому, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной относительно начала координат. Поэтому, для степных функций рассматривается данная функция на определенном луче, строится ее график и, используя симметрию, строится график на всей числовой прямой. Далее производится чтение графика, т. е. по графику перечисляются свойства функции по схеме:

1) область определения;

2) четность, нечетность;

3) монотонность;

4) ограниченность снизу, сверху;

5) наименьшее и наибольшее значения функции;

6) непрерывность;

7) область значений;

8) выпуклость.

При построении графиков функции автор в решении выделяет два этапа, в которых:

а) переходит к вспомогательной системе координат с началом в точке, в которой получены значения при х = 0 и у = 0.

б) «привязывает» функцию к новой системе координат.

Пример 3. Построить график функции

Решение. Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1;-2) (пунктирные прямые на рис. 117) и «привяжем» функцию к новой системе координат. Получим требуемый график (рис. 117)

В задачнике “Алгебра. 9класс.” под редакцией Мордкович А. Г. и Семенова П. В. представлена разнообразная система упражнений. Набор упражнений делится на два блока: первый содержит задания двух базовых уровней: устные (полуустные) и задания средней трудности; второй блок содержит задания уровня выше среднего или повышенной трудности. К большинству задач второго и третьего уровней приведены ответы. Задачник содержит большое количество разнообразных заданий на построение графиков различных видов степенной функции и определении свойств функции по ее графику. Например:

№ 12.10. Постройте график функции:

№ 12.15. Решите графически уравнение

а)

б) ; г) .

№ 12.19. Постройте и прочитайте график функции

а)

б)

в)

г)

Постройте и прочитайте график функции

№ 12.27.

№ 12.30.

Учебник: “Алгебра. 9 класс”. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. (Просвещение, 2006г.)

Данный учебник предназначен и для общеобразовательных классов, в которых дополнительные материалы и сложные задачи можно не рассматривать. Если же имеется достаточно часов, если класс проявляет интерес к математике, то за счет дополнений в конце глав учебника, а также пунктов и отдельных задач со звездочкой, необязательных в обычных общеобразовательных классах, можно расширить и углубить содержание изучаемого материала до объема, предусмотренного программой для классов с углубленным изучением математики. То есть учебник можно использовать как в обычных, так и в классах с углубленным изучением математики.

Структура изучения материала:

ГЛАВА II. Степень числа

§4. Корень степени

4.1 Свойства функции

4.2 График функции

4.3 Понятие корня степени

4.4 Корни четной и нечетной степеней

4.5 Арифметический корень

4.6 Свойства корней степени

4.7 *Корень степени из натурального числа

4.8 *Функция

Изучение темы начинается со свойств функции (на примере n = 2 и n = 3) и ее графика. Затем изучаются корень степени n, арифметический корень и свойства корней степени n, а также их применение к преобразованию выражений. В классах с углубленным изучением математики дополнительно рассматриваются темы: «Функция », «Степень с рациональным показателем и ее свойства».

Утверждается, что функции имеют ряд одинаковых свойств (область определения, нули функции, четность, нечетность, непрерывность, промежутки монотонности). Поэтому целесообразно рассмотреть в общем случае функцию , где - некоторое натуральное число, . Введение определения графика функции ведется через определение параболы. Т. е., по известному факту, что график функции - парабола, далее этот график называют параболой второй степени, график функции , называют параболой - й степени или, коротко, параболой . Свойства функции рассматриваются только для неотрицательных с некоторыми доказательствами.

Изучение построение графика функции начинается с изображения графиков функций на одной координатной плоскости только для неотрицательных значений .

Далее рассматривается построение функции на всей области ее определения, т. е. для всех принадлежащих интервалу , с обобщением всех ранее полученных знаний.

Изучение функции основывается на полученных ранее знаниях об арифметическом корне степени . Построение графика функции ведется в декартовой системе координат . Для начала рассматривается степенная функция и построение ее графика в системе координат О. Таким образом, доказывается, что график функции есть часть параболы степени .

Далее производится чтение графика, т. е. по графику перечисляются свойства функции:

1) Если х = 0, то у = 0.

2) Если , то .

3) Функция возрастает.

4) Если , то .

5) Функция непрерывна.

Система упражнений по теме «Степенная функция» разнообразна. Она содержит тренировочные задания как устные, так и письменные. Например:

№ 316. Дана функция

Исследуйте эту функцию и постройте ее график.

№ 318. Постройте график функции

а) ; б) .

№ 321. В одной системе координат постройте графики функций

и

№ 441. Постройте график функции для:

№ 442. Постройте график функции для :

Учебник: «Алгебра. 9 класс». Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова (Просвещение, 2009г.)

Данный учебник предназначен для общеобразовательных школ.

Структура изучения материала:

ГЛАВА IV. Степень с рациональным показателем

§9. Степенная функция

21. Четные и нечетные функции

22. Функция

§10. Корень n-й степени

23. Определение корня n -й степени

24. Свойства арифметического корня n -й степени

§11. Степень с рациональным показателем и ее свойства

25. Определение степени с дробным показателем

26. Свойства с рациональным показателем

27. Преобразование выражений содержащих степени с дробными показателями

Изучение степенной функции начинается с введения понятий четных и нечетных функций на примерах сравнения значений функции при двух противоположных значениях аргумента. Далее дается определение четной и нечетной функции с построением соответствующих графиков.

Далее рассматривается функция, заданная формулой , где х - независимая переменная, а - натуральное число. Такую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем.

Говорится, о том, что степенные функции при = 1, 2 и 3 (т. е. функции ) их свойства и графики, изучены ранее. Далее выясняются свойства степенной функции и особенности ее графика при любом натуральном . Рассматривают функции, когда показатель n - четное число, затем n - нечетное. Разбирают свойства на примерах , , по схеме:

1. Область определения;

2. Область значения;

3. Нули функции;

4. Четность;

5. Нечетность;

6. Монотонность функции.

Следующий параграф главы посвящен корню n-й степени, в котором вводится определение, и рассматриваются свойства.

Повторяется определение: квадратным корнем из числа а называется такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень любой натуральной степени n : корень n-й степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а. Для этого рассматривается степенная функция сначала с нечетным показателем n и ее график, по которому показывается, что для любого числа а существует единственное значение х, n-я степень которого равна а. Затем рассматривается степенная функция с четным показателем n, причем, если , то существует два противоположных значения х, при такое число одно (число 0), при таких чисел нет.

В заключение главы рассматривается степень с рациональным показателем и ее свойства.

Система упражнений разнообразна. Например:

№503. Изобразите схематически график функции

№508. Решите графически уравнение

а) ;

б) ;

в)

№513. Используя график функции решите уравнение

№580. Постройте график функции

№643. Постройте график функции

№644. Постройте график функции f , зная, что она нечетная и что ее значение при могут быть найдены по формуле

№643. Постройте график функции

№663. Постройте график функции . Пользуясь графиком, сравните значение корней

№669. Постройте график функции

Учебник: «Алгебра. 9 класс». Ш.А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. (Просвещение, 2009г.)

При изучении данной темы особое внимание уделяется свойствам функций и отображению этих свойств на графиках. Одновременно формируются начальные умения выполнять простейшие преобразования графиков функций.

Структура изучения материала:

ГЛАВА III. Степенная функция

§12. Область определения функции

§13. Возрастание и убывание функции

§14. Четность и нечетность функции

§15. Функция

§16. Неравенства и уравнения, содержащие степень

Основной целью данной главы, является не только познакомить учащихся со степенной функцией, но и расширить известные сведения о свойствах функции в целом (область определения, монотонность, четность и нечетность функции), выработать умение исследовать по заданному графику функции , , , , ,

При изучении материала данной главы углубляются и существенно расширяются функциональные представления учащихся.

В §12 формулируется определение функции, аргумента и области определения функции. Напоминается определение графика функции способы его построения, в том числе и с помощью элементарных преобразований.

В §13 идет знакомство с понятием степенной функции. На примерах и выявляется область определения; напоминаются определения возрастающей и убывающей функции, и даются определения возрастания и убывания степенной функции.

Представление о четной и нечетной функции учащимся дается на наглядном уровне. В учебнике рассмотрены две задачи, в которых требуется построить графики функции и. Изучаются свойства данных функций и на основе симметричности даются понятия о четности или нечетности функции.

В §15 учащиеся получают представление о функции при различных значениях k, учатся строить график функции и читать его (т. е. определять свойства функции по ее графику). С помощью функции уточняется понятие обратной пропорциональности, о котором лишь упоминалось в курсе алгебры 8 класса.

При изучении функции при k > 0 сначала функция , представляется, как частный случай степенной: с учетом изменения параметра k.

В параграфе рассматриваются четыре задачи, в которых требуется построить графики функций. В задаче 1 для построения графика функции используются все свойства функции, изученные в предыдущих параграфах. В задаче 2 при построении графиков функций и применяется уже известное растяжение графика функции по оси абсцисс в 2 раза. И, с опорой на эти две задачи, формулируются свойства функции при и .

В задаче 4 требуется построить графика функции (опора на задачи 1-2), т. е. график этой функции можно построить, сдвигая график функции вдоль оси Ох вправо на единицу и вдоль оси Оу вниз на 2 единицы.

В системе упражнений представлены различные типы заданий: как обязательные, так и дополнительные задачи повышенной сложности.

Среди заданий на построение графиков степенных функций можно выделить следующие упражнения:

№ 164. Построить график и найти промежутки возрастания и убывания функции



№ 166. Нарисовать эскиз графика функции при

№ 171. Построить график и найти промежутки возрастания и убывания функции

1) ; 2)

№ 174. Построить эскиз график функции

№ 179. Выяснить свойства функции и построить ее график

№ 180. Построить график функции

1) ; 2)

№ 191. Построить график функции

1) ;

2) ;

3) ;

4)

№ 218. Выяснить, является ли функция четной или нечетной

1)

2)

Учащиеся по изучение материала овладевают такими понятиями, как область определения, четность и нечетность функции, возрастание и убывание функции на промежутке.

Понятие возрастания и убывания функции учащиеся встречали в курсе алгебры 8 класса, но лишь при изучении данной темы формируются определения этих понятий, а следовательно, появляется возможность аналитически доказать возрастание или убывание конкретной функции на промежутке (однако проведение подобных доказательств не входит в число обязательных умений). Учащиеся учатся находить промежутки возрастания функции с помощью графика рассматриваемой функции.

При изучении темы примеры степенной функции с дробным показателем не рассматриваются, так как понятие степени с рациональным показателем в данном курсе не вводится.

При изучении каждой конкретной функции (включая и функции , ) учащиеся смогут изобразить эскиз графика рассматриваемой функции и по графику перечислить ее свойства.

Учебник: “Алгебра. Углубленное изучение. 9 класс.” Мордкович А. Г. (Мнемозина, 2006г.)

Взяли учебник за 2006 год, так как в этом учебнике, в отличие от более поздних изданий, включена тема степень с рациональным показателем. Вообще говоря, в настоящее время, эта тема изучается в старшей школе, но в мультимедийном пособии мы включили как пропедевтический материал.

Книга предназначена для углубленного изучения курса математики в 9-м классе средней школы. Этот учебник написан на базе учебника 9-го класса для общеобразовательных учреждений (А. Г. Мордкович. Алгебра-9). В нем реализована та же программа, а отличие состоит в более глубоком изучении соответствующих вопросов курса: простые примеры заменены более сложными и интересными.

Структура изучения материала:

ГЛАВА 4. Степенные функции. Степени и корни

§17. Степень с отрицательным целым показателем

§18. Функции , их свойства и графики

§19. Понятие корня n-й степени из действительного числа

§20. Функции , их свойства и графики

§21. Свойства корня n-й степени

§22. Преобразование выражений, содержащих радикалы

§23. Обобщение понятия о показателе степени

§24. Функции , их свойства и графики

В § 18 речь идет о степенных функциях с целочисленным показателем, т. е. о функциях и т. д. Этот параграф разбивается на пункты:

Функция

Автор напоминает, что простейший случай такой функции рассматривали в 7-м классе - это была функция . Данный пункт начинается с рассмотрения функции . Строится график и перечисляются свойства данной функции по определенному порядку: 1) область определения; 2) четность, нечетность; 3) монотонность; 4) ограниченность снизу, сверху; 5) наименьшее и наибольшее значения функции; 6) непрерывность; 7) область значений; 8) выпуклость.

Свойства были прочитаны по графику, теперь предлагается доказать существование ряда этих свойств аналитически.

Автор делает вывод о том, что график любой степенной функции , похож на график функции , только его ветви круто направлены вверх и более прижаты к оси х на отрезке и отмечает, что кривая касается оси х в точке (0;0).

В конце пункта приводится пример построения графика функции Построение: 1) переход к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2); 2) построение кривой .

1) Функция

Свойства и график степенной функции с нечетным показателем сначала исследуются на примере функции , графиком которой является кубическая парабола.

Автор делает вывод о том, что график любой степенной функции , похож на график функции , только чем больше показатель, тем более круто направлены вверх (и соответственно вниз) ветви графика и отмечает, что кривая касается оси х в точке (0;0).

Далее приводится пример использования графика степенной функции для решения уравнения Решение проходит в 4 этапа: 1) рассматриваются две функции: и ; 2) построение графика функции ; 2) построение графика линейной функции ; 4) находят точку пересечения и выполняется проверка.

2) Функция

Речь идет о степенных функциях с отрицательным целым показателем (четным). Сначала рассматривается пример функции . Строится график и перечисляются свойства данной функции. В частности, доказывается свойство убывания функции при .

мультимедийный наглядность функция школа математика

Автор делает вывод о том, что график любой степенной функции похож на график функции , и отмечает, что кривая асимптотически приближается к осям координат.

3) Функция

В этом случае рассматриваются степенные функции с отрицательным целым показателем (нечетным): и т. д. Автор напоминает, что одну такую функцию уже изучили в 8-м классе - это . Напоминаются ее свойства и график (гипербола), и делается вывод о том, что график любой функции похож на гиперболу.

В § 19 дается понятие корня n-й степени из действительного числа и, в частности отмечается, что из любого неотрицательного числа можно извлечь корень любой степени (второй, третьей, четвертой и т. д.), а из отрицательного числа можно извлечь корень любой нечетной степени.

В § 20 говорится о функции заданной при , исследуются ее график и свойства на частном примере (при ). По рисунку, на котором изображены график функции и график функции , определяется и, затем, подтверждается аналитически симметрия этих графиков.

Далее автор формулирует общий вывод о том, что при график функции симметричен графику функции относительно прямой и, из соображений симметрии, выводит свойства функции при .

В этом же параграфе рассматривается функция в случае нечетного для любых значений . Говорится о свойствах данной функции и строится график.

Вывод

· если - четное число, то график функции имеет вид, представленный на рис. 1;

· если - нечетное число, то график функции имеет вид, представленный на рис. 2.

рис. 1

рис. 2

В § 24 рассматривается функция вида , - любое действительное число (ограничиваемся случаями рационального показателя ).

Автор напоминает, что целый ряд таких функций уже изучили:

1. Если - натуральное число , то получаем функцию (графики и свойства известны)

2. Если , то получаем функцию , т. е. . В случае четного график имеет вид, изображенный на рис. 3а, в случае нечетного график имеет вид, изображенный на рис. 3б

рис. 3а рис. 3б

3. Если , т. е. речь идет о функции , то это функция, где

Далее рассматривается пример функции , исследуются ее свойства (с учетом того, что показатель степени данной функции 2 < 2,5 < 3) и строится график.

Примерно так же обстоит дело для любой степенной функции вида , где:

1. - неправильная дробь (числитель больше знаменателя). Ее графиком является кривая, похожая на ветвь параболы. Чем больше показатель , тем «круче» устремлена эта кривая вверх. Строится график и приводятся свойства.

2. - правильная дробь () (§ 20). Строится график и приводятся свойства.

3. ()

Строится график и приводятся свойства.

В задачнике “Алгебра. Углубленное изучение. 9 класс.” Завича Л. И., Рязановского А. Р. представлена разнообразная система упражнений. Сложность заданий повышается по мере возрастания их порядковых номеров. Задачник содержит большое количество разнообразных упражнений на построение графиков различных видов степенной функции, исследовании и применении ее свойств.

Например:

№ 17.05. Постройте на одном чертеже графики функций

Постройте графики функций

№ 17.08

№ 17.11

№ 17.35. Постройте график функции

и с помощью графика укажите промежутки ее монотонности, точки экстремума, экстремумы и количество ее нулей.

Постройте графики функций:

№ 17.46.

№ 17.47

а)

б)

в)

г)

№ 17.48

а)

б)

№ 17.49

а)

б)

№ 19.01. Постройте на одном чертеже графики функций

№ 19.04. Постройте графики функций

№ 19.22. Постройте графики и проведите исследование функций

а)

б)

№ 21.01. Постройте на одном чертеже графики функций , при и , при и перечислите свойства функции : а) область определения D(y); б) множество значений E(y); в) нули функции; г) промежутки монотонности; д) промежутки выпуклости; е) точки экстремума; ж) экстремумы; з) четность или нечетность; и) наибольшее и наименьшее значения.

№ 21.03. Постройте графики и исследуйте следующие функции

№ 21.11. Постройте на одном чертеже графики функций

на отрезке

№ 21.17. Постройте графики функций

)

№ 25.01. Постройте на одном и том же чертеже эскизы графиков следующих пар функций

№ 25.05. Постройте графики функций и опишите их свойства

№ 25.06. Постройте на соседних чертежах графики функций

№ 25.18. Постройте графики функций

а)

б)

в

№ 25.30. Постройте графики функций

а)

б)

в

Анализ учебной литературы позволяет сделать некоторые выводы

Рассматривая стандарт основного общего образования по математике, мы видим, что учащиеся должны изучить следующие виды степенной функции:

• частные случаи (прямая, обратная пропорциональность, квадратичная функция),

• с натуральным показателем,

• с целым показателем,

• с положительным рациональным показателем,

• с рациональным показателем,

• с иррациональным показателем,

• с действительным показателем.

Важную роль в данной теме играет формирование образа графиков функций. Также ученики должны уметь: определять свойства функции по ее графику; описывать свойства изученных функций, строить их графики. Рассмотрение стандарта позволяет сделать вывод, что тема “Степенная функция” включена в обязательный минимум знаний, умений и навыков школьников и, следовательно, наше внимание к ней вполне оправдано.

Для того чтобы сформировать прочные умения и навыки о степенной функции, необходимо изучить методику темы «Свойства степенной функции», к которой мы и переходим.

2. Методические основы изучения темы “Свойства степенной функции” в школе

Степенная функция принадлежит к классу элементарных функций.

Целью ее изучения является не только знакомство учащихся со степенной функцией, но и расширение известных им сведений о свойствах функций в целом.

При изучении темы «Степенная функция» в основном пользуются аналитическим и графическим методом исследования функций. В тех случаях, когда аналитическое исследование трудно воспринимается учащимися, используют графические методы, однако последние не могут служить доказательствами.

Учащимися выполняется большое количество графических работ, при этом обращается внимание не только на точность и аккуратность их выполнения, но и на рациональные приемы построения графиков.

Сформировать прочные умения в построении и чтении графиков степенной функции, добиться, чтобы каждый ученик мог выполнять основные виды заданий самостоятельно, можно только при условии выполнения учащимися достаточного числа тренировочных упражнений.

Например, в журнале “Математика в школе” Лопатина, Л.В. предлагает следующий урок-мастерскую:

Урок-мастерская нацеливает учащихся на то, чтобы они собственным трудом добывали знания. В этом - основной лейтмотив развивающей педагогики. Тема «Степенная функция» очень подходит для творческой работы всего класса, так как степенная функция (, где -- любое рациональное число) - это фактически множество функции, имеющих различные свойства в зависимости от показателя степени.

Обсуждение этих свойств лучше всего организовать по группам. Для этого класс целесообразно поделить на шесть групп.

Прежде всего, учителю необходимо представлять себе последовательность работы в «мастерской»:

I этап - индукция - обращение к предыдущему опыту;

II этап - обсуждение темы в группах, а далее со всем классом;

III этап - разрыв - момент, когда учащиеся должны осознать, что в их знаниях имеются пробелы, которые они сами должны восполнить;

IV этап - рефлексия - определение степени усвоения.

Опишем подробнее каждый из этапов урока.

I этап - индукция. Учитель напоминает о том, что в классе уже изучали функции , их свойства и графики. Эти функции можно в общем виде задать формулой: , где - -некоторое целое число. Такая функция называется степенной. Перед классом ставится следующая задача: перечислить вопросы, на которые мы должны ответить, изучая новую функцию.

Класс обсуждает эти вопросы по группам, а потом все вопросы ох групп собираются в единый список:

· Какими свойствами обладает данная функция?

· Каков ее график?

· В каких ситуациях она используется?

Начнем с ответа на последний вопрос. Приведем примеры нескольких ситуации, в которых появляется степенная функция.

Три ученика поочередно выходят к доске и делают сообщения, подготовленные дома.

Первый ученик рассматривает функцию , где - площадь поперечного сечения провода диаметром . Слушатели замечают, что эта степенная функция фактически представляет собой квадратичную, но с ограничениями на значение аргумента .

Второй ученик рассказывает о том, что сила притяжения двух тел с массами и выражается формулой . Это функция расстояния между этими телами. В классе найдется ученик, который заметит, что мы уже строили график функции такого вида, хотя специально ее не изучали.

Третий ученик анализирует дальность расстояния горизонта от наблюдателя: . Эта функция высоты, на которую поднят наблюдатель над уровнем моря. Если ребята сами этого не заметили, то учитель должен подчеркнуть, что здесь величина не может возрастать неограниченно. Действительно, как бы ни был высоко поднят наблюдатель, он не может увидеть больше, чем позволяют возможности его зрения и выпуклость Земного шара. Этот пример особенно показателен, так как позволяет судить о целесообразности ограничений на значения функции. Здесь какие-то ограничения мы должны наложить на значения функции , хотя значения , теоретически говоря, могут возрастать неограниченно.

II этап -- обсуждение темы. Учащимся предоставляется некоторое время для того, чтобы они разобрали свойства одной из выбранных ими степенных функций. Главная проблема здесь в выборе функции. Одна группа склонна упрощать задачу, ограничиваясь функцией вида , которая всем учащимся хорошо известна. Другая группа слишком усложняет свою работу, занявшись функцией вида или , а то и обеими вместе, хотя общий подход к вопросу учащимся еще не ясен.

В конце концов, находятся группы, избравшие функции, графики которых уже рассматривались ранее, хотя на них не делалось нужного акцента.

Первая группа рассматривала функцию вида ; отметила область ее определения: и нулевое значение функции при . Ребята особо остановились на том, что функция возрастает на всей области определения. Выделили промежутки, на которых функция больше или меньше нуля. Выступавшие особо подчеркнули, что эта функция нечетная и не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

От этой группы выступает перед классом один ученик, который рассказывает о результатах исследований в группе.

Вторая группа выбрала для рассмотрения функцию . Ребята заметили, что теперь придется исключить из области определения функции число 0, т.е. . В отличие от предыдущей, эта функция не имеет нулей. Но, как и рассмотренная выше, эта функция положительна при и отрицательна при . Она убывает на всей области определения.

Представитель этой группы особо подчеркивает различия между функциями и .

Еще двое учеников рассказывают о функциях .

Во время своих выступлений все докладчики должны продемонстрировать графики рассмотренных функций.

Во время III этапа урока учащиеся должны обобщить свои знания. А сделать это они должны самостоятельно, удивившись разнообразию рассмотренных функций. «Почему им дано одно название, если их так много и они разные?» - вот вопрос, который должны поставить перед собою учащиеся. Задача учителя - незаметно подвести учащихся к этому вопросу. Наступает момент так называемого разрыва, когда ребята должны осознать недостатки своих знаний, их ограниченность или неполноту. Действительно, одна функция из рассмотренных имеет нули, другая нет. Одна возрастает на всей области определения, другая - то возрастает, то убывает. Какую же характеристику мы должны дать всей степенной функции, чтобы она охватывала как можно больше частных случаев?

В поиске ответа на этот вопрос кто-то из ребят в конце концов догадывается, что вид степенной функции удобно связать с четностью или нечетностью показателя степени .

Теперь уместно снова дать задание группам обсудить свойства функций

где - нечетное;

где -- четное;

где -- нечетное;

где -- четное.

Еще раз отмечаем план исследования функции:

Указать область определения.

Определить четность или нечетность функции (или отметить, что она не является ни четной, ни нечетной).

1. Найти нули функции, если таковые существуют.

2. Отметить промежутки знакопостоянства.

3. Найти промежутки возрастания и убывания.

4. Указать наибольшее или наименьшее значение функции.

В завершении учащимся представляются графики рассмотренных функций , = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти графики выполняют представители каждой из групп.

Теперь вместе с классом строим графики функции , , где натуральное число и .

Отмечается общее свойство этих функций: они обе имеют область определения - промежуток . Они обе являются ни четной, ни нечетной. Они обе больше нуля.

Но у этих функций есть и различия. Ребята их называют особо: функция вида возрастает на своей области определения, а функция вида убывает на той же области. Функция вида имеет нулевое значение при , а функция вид, а не имеет нулей.

На IV этапе учащиеся должны заняться рефлексией, т.е. определением степени усвоения материала. Весь класс получает следующее задание по рис. 3.

На рис. 3, а-з схематически изображены графики функций, которые заданы формулами

Установите, какая формула из данного списка примерно соответствует каждому из графиков а-з [24].

В журнале “Математика в школе” Петрова, Н.П. предлагает проект «Изучение свойств степенной функции с помощью программы Excel»:

Описанный в статье учебный проект по теме «Изучение свойств функций и с помощью электронных таблиц Excel» проводился учителями математики и информатики нашего лицея в IX классе и был рассчитан на пять уроков.

Целью проекта было предоставление учащимся самостоятельности и инициативы при изучении новой темы и применении на практике изученного ранее материала.

В процессе выполнения проекта девятиклассники должны были показать:

· умение грамотно формулировать задачи проекта;

· умение анализировать информацию и делать выводы;

· умение грамотно интерпретировать полученные результаты и применять их в практической деятельности.

Перед учащимися стояла задача исследовать поведение графиков функций и средствами программы Excel, а затем на основе полученных данных описать свойства функций.

По результатам проекта девятиклассники должны были усвоить общий вид графиков функций и , научиться строить и «читать» эти графики, а также решать графически уравнения вида = f(x).

Заметим, что работа над данным проектом была призвана способствовать развитию у школьников умения сравнивать, выделять общие признаки и различия в графиках степенной функции при разных значениях .

Приведем поэтапное описание проекта.

Этап I. Подготовка (поисковый этап)

Пробуждение у учащихся интереса к теме проекта происходит в процессе беседы. Ученикам предлагается решить известными им способами уравнения

1.

2.

3.

4.

5.

Выясняется, что уравнение ребята могут решить двумя способами: аналитическим и графическим, уравнение - графическим способом. Остальные уравнения они решить затрудняются, но если бы были знакомы с графиками функций , то решили бы задачу графически.

Итогом беседы является формулировка проблемного вопроса: как выглядят графики функций и , где ? После этого определяются направления дальнейшей работы, формулируются задачи:

1. Выясните с помощью программы Excel, как выглядит график функции при четном п и опишите свойства этой функции.

2. Выясните с помощью программы Excel, как выглядит график функции при нечетном п и опишите свойства этой функции.

3. Выясните с помощью программы Excel, как выглядит график функции при четном п и опишите свойства этой функции.

4. Выясните с помощью программы Excel, как выглядит график функции при нечетном п и опишите свойства этой функции.

Затем происходит разбиение класса на рабочие группы. Учитель предлагает учащимся самостоятельно разделиться на четыре группы (по желанию) и выбрать в каждой группе руководителя. Когда группы сформированы, они выбирают одно из направлений работы в проекте (согласно перечисленным выше задачам).

Этап II. Планирование (аналитический этап)

Учитель помогает группам составить план работы по решению выбранной задачи и рекомендует источники получения информации. Учащиеся самостоятельно распределяют роли в группах. Примерное распределение ролей в группе указано в следующей таблице. Количество учащихся в группе зависит от количества учеников в классе.

Ф.И. ученика	Роль в группе	Материал, подготовленный для защиты
Ученик 1	Руководитель группы	Компьютерная презентация
Ученик 2	Докладчик
Ученик 3	Демонстратор
Ученик 4	Докладчик
Ученик 5	Оформитель презентации
Ученик 6	Оформитель презентации

На этом же этапе обсуждается форма представления результатов работы. В данном случае была выбрана компьютерная презентация с использованием PowerPoint.

Этап III. Исследование (практический этап)

Учащиеся выполняют задания в соответствии с намеченным планом работы. Учитель наблюдает за их деятельностью, при необходимости консультирует учеников.

В качестве примера приведем план работы группы № 1.

1. Построение графиков функций , , , средствами программы Excel.

2. Сравнение графиков, формулирование вариантов рекомендаций для построения графика функции при натуральном четном п.

3. Определение свойств функции по графику.

4. Разбор примеров практического применения графика функции .

На основе проведенного исследования учащиеся делают вывод, что графики функций вида при натуральном четном п являются кривыми, похожими на параболу , и дают рекомендации для построения графика: следует учитывать, что график симметричен относительно оси Оу, поэтому достаточно составить таблицу значений функции для положительных значений аргумента х.

Кроме того, на данном этапе создается общий сценарий презентации, который будет уточняться по ходу проекта. В этом сценарии, в частности, определяются количество слайдов, назначение каждого из них, а также основные объекты, которые следует разместить на слайдах.

Этапы IV и V. Защита проекта, оценка результатов (презентационный и контрольный этапы)

Защита проектов (по группам) происходит на последнем из запланированных уроков.

Приведем теперь поурочный график работы над данным проектом и содержание каждого урока.

Урок 1 (математика)

· Постановка проектной задачи. Определение направлений работы, формулирование задач проекта.

· Разбиение на рабочие группы, выбор руководителя в группах.

· Составление плана работы по решению поставленных задач, распределение ролей в группах, выбор формы представления результатов.

Урок 2 (информатика)

· Разговор о назначении электронных таблиц Excel.

· Повторение построения графиков различных функций средствами Excel.

· Построение графиков изучаемых функций средствами Excel. Анализ полученной информации, формулирование выводов.

· Составление рекомендаций по построению графика изучаемой функции.

· Оформление выводов и рекомендаций в текстовом редакторе Word. Распечатка полученных результатов.

Урок 3 (математика)

· Построение и «чтение» графиков функций и

· Решение уравнений вида , где графическим способом.

· Создание сценария презентации.

Урок 4 (информатика)

· Повторение назначения и принципов работы программы Power Point.

· Создание презентации.

Урок 5 (математика)

· Защита проектов.

Приведем также общий план урока - защиты проекта.

1. Организационный момент.

2. Мотивация к применению знаний через выявление проблемы.

Вступительное слово учителя

На сегодняшнем уроке главным объектом изучения являются функции и , где , их свойства и графики. Вы уже умеете решать уравнения первой степени (линейные) и второй (квадратные) по формулам корней. Для уравнений 3-й степени также имеются специальные формулы корней, но они очень громоздкие и на практике применяются редко. Для уравнений, степень которых выше третьей, общих формул корней нет. Возникает проблема: как же можно решить такие уравнения? Оказывается, если не аналитически, то графически. А чтобы применять графический способ для решения уравнений вида и , надо уметь строить графики функций и , где .

Исследованием графиков этих функций занимались четыре группы. Сейчас каждая из них познакомит нас с результатами проделанной работы.

3. Выступления групп.

Представление (защита) проекта каждой группой, ответы на вопросы оппонентов.

4. Самооценка и оценка каждого выступления остальными группами (по пятибалльной шкале).

Перечислим основные критерии оценки:

· соответствие содержания заявленной теме, точность, законченность изложения;

· отсутствие ошибок;

· оформление (дизайн): насколько разметка слайдов отвечает эстетическим требованиям;

· легко ли читается текст; соответствует ли изображение содержанию и т.д.;

· убедительность, аргументированность выступления; грамотность речи, владение терминологией;

· полнота ответов на вопросы.

Отдельно оценивается взаимодействие в группе: коммуникабельность, уважение и внимание к другим участникам, активность.

Подсчитывается общее количество заработанных баллов и рейтинговая оценка (среднеарифметический балл); на их основе выставляется оценка за участие в проекте.

5. Обсуждение вклада в проект каждого ученика и выставление оценок.

6. Подведение итогов (рефлексия).

7. Заключительное слово учителя

В ходе проектной деятельности по данной теме вы ответили на вопрос, что представляют собой графики функций и , и дали рекомендации по их построению. Теперь вы можете решать некоторые уравнения вида и графическим методом. Благодарим всех учащихся за творческую и плодотворную работу, которая способствовала достижению целей проекта [32].

Учитывая вышесказанное, в своем пособии мы попытались отразить системный подход к изучению степенной функции. Для того чтобы минимизировать трудности работы с компьютером постарались сделать удобную и естественную навигацию и учесть требования, предъявляемые к дидактическим программным средствам.

Глава 2. Мультимедийное пособие по теме «Свойства степенной функции»

§1. Основные характеристики пособия

Данное мультимедийное пособие направлено на повторение и обобщение знаний учащихся о свойствах степенной функции. При анализе школьной литературы было выяснено, что в большинстве учебников данная тема рассматривается с 7 по 11 класс. В 7-8 классах изучаются некоторые частные случаи степенной функции: , , , в 9 классе - с целым, с положительным рациональным показателем, с иррациональным показателем, с действительным показателем (ограничиваемся случаями рационального показателя ). В 10 и 11 классах повторяются и углубляются знания. Интерактивное пособие направлено на систематизацию знаний учащихся.

Интерактивное пособие разрабатывалось с учётом требований, предъявляемых компьютерным программным средствам, использующимся в учебном процессе: дидактических, педагогических, методических и эргономических.

Данная тема «Свойства степенной функции» выбрана не случайно. Это обширная тема присутствует в программе 7-11 класса. Она перекликается с другими разделами математики и трудна для восприятия школьниками. В данном пособии основные виды степенной функции систематизированы. Поэтому пособие можно использовать как при изучении конкретного вида степенной функции, так и на этапе обобщения и систематизации знаний учащихся о степенной функции в целом.

Данное пособие можно использовать на различных этапах урока. Просмотр представленного flash-фильма целесообразно организовывать как на уроках изучения нового материала в качестве вспомогательного демонстрационного пособия, так и на уроках закрепления, при этом просматривая лишь его фрагменты. Кроме того, пособие можно использовать в качестве дополнения к учебнику для самостоятельного просмотра учениками.

Предложенный продукт может быть использован на занятии, проводимом объяснительно-иллюстративным методом в качестве наглядной демонстрации свойств объектов, как в качестве первичного закрепления введенных понятий, так и при обобщении и систематизации знаний. При этом возможно использование пособия учениками самостоятельно, в качестве дополнительного источника знаний (справочника), связанных с разделом «Степенная функция».

Объем flash ролика составляет 1,12 Мб.

Системные требования:

· Pentium;

· CD ROM x 4

· Windows 95/98/2000/XP

· Macromedia Flash Player от 6

Структура flash-фильма.

Flash-фильма состоит из пяти блоков:

1. Функции , их свойства и графики.

2. Функции , их свойства и графики.

3. Функции , их свойства и графики.

4. Задачи на распознавание видов графиков степенной функций.

5. Тест (на знание и применение к практическим задачам свойств степенной функции).

Просмотр flash-фильма может осуществляться несколькими способами.

Первый вариант, ориентированный на самостоятельный просмотр учащимися без помощи и управления со стороны преподавателя, предполагает просмотр сцен в порядке, указанном в содержании. Пользователь просматривает теоретическую информацию, содержащуюся во flash-фильме, используя в основном кнопки перехода на следующую страницу или возращения к содержанию flash-фильма.

Каждый теоретический раздел содержит перечисление основных свойств степенной функции указанного вида, и, подкреплен конкретными примерами графиков таких функций.

Кроме теоретической части пособие содержит визуальные задачи и тест, посредством которых учащимся предоставляется возможность закрепить полученные знания на практике. Визуальные задачи направлены на распознавание графиков различных видов степенной функции. А тест способствует проверке знаний учащихся о свойствах степенной функции и формирует навык применения этих знаний к практическим задачам (причем, по ходу выполнения ряда тестовых заданий, учащийся может, при желании, получить графическую подсказку).

Второй вариант просмотра может быть организован учителем на уроке алгебры. В этом случае учитель вызывает сцены в порядке, соответствующем его методике изложения материала. А практические задачи, содержащиеся в пособии, могут обсуждаться в рамках фронтальной беседы со всем классом. Переход от одной сцены к другой осуществляется возвратом к содержанию с последующим переходом к нужной сцене. Ниже подробнее рассмотрим способы организации работы с пособием.

Схема, отражающая полное содержание flash - фильма



Для того, чтобы управлять данным мультимедийным пособием, используются следующие элементы навигации: