Когнитивно-визуальный подход к формированию определений охарактеризован визуальной интерпретацией этих определений. Рассмотрим один из них.

Определение 1. Определение вписанного угла

В Приложении 1 изложено еще два примера на формирование определения с помощью когнитивно-визуального подхода (Определение 1.1, Определение 2.1.)

Г.И. Саранцев утверждал: "Обучение доказательству есть обучение анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию доказательства, а так же опровержению предложенных доказательств [42, с.87]

Формированию потребности в доказательствах способствует использованию визуализированных доказательств. Многие ученые говорят что наглядно-образный тип мышления присуще раннему возрасту (7-10 лет) и неэффективен в более старшем возрасте. Мы не согласны с таким мнением, так как их весомость, при четко организованной учителем работы над доказательством, огромна и целесообразна и в среднем возрасте.

Визуализированное доказательство, является одно из частных методов доказательства применяемых на геометрическом материале, образуют одно из составляющих звеньев когнитивно-визуального подхода в обучении.

Рассмотрим некоторые визуализированные теоремы и задачи на доказательство по разным темам 8 класса.

Пример 1. Доказательство задачи будет носить когнитивно-визуальный характер и будет представлено в 4 вариантах.

Учитель не реализует построение на уроке, иллюстрации с помощью Geogebra представлены в готовом виде.

Вариант 1.

С помощью такой визуализации доказательства учащимся легко увидеть, почему при нахождении площади трапеции используется данная формула. Они могут использовать данный способ при решении других задач, будут понимать, что с помощь дополнительного построения можно быстрее решить задачу. На основе данного рисунка учащиеся повторят площадь треугольника.

Вариант 2.

Доказательство продемонстрировано на основе дробления чертежа на уже изученные фигуры: на два различных треугольника и прямоугольник. С помощью такой визуализации, учащиеся поймут вывод формулы площади трапеции и повторят формулу площади треугольника и прямоугольника.

Вариант 3.

Данный вариант визуального представления доказательства теоремы о площади трапеции так же доступно и эффективно показывает вывод формулы трапеции. Происходит дробление, как и в предыдущей задаче. Здесь же идет актуализация знаний в виде площади треугольника и параллелограмма.

Вариант 4.

Доказательство происходит аналогично предыдущим вариантам: с помощью разделения чертежа на фигуры.

Пример 2. Параллелограмм двумя парами прямых, параллельных его сторонам разбит на девять параллелограммов. Площадь исходного параллелограмма равна, а площадь заштрихованного параллелограмма равна

Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна полусумме площадей исходного и заштрихованного параллелограмма, то есть.

Четырехугольник ABCD складывается из заштрихованного параллелограмма и половиной параллелограммов, составляющих рамку.

Пример 3. К двум, касающимся внешним образом окружностям с

Поэтому радиусами 2 см и 3 см, проведены две прямые, касающиеся каждой из окружностей. Найдите расстояние от точки пересечения этих касательных до центра большей окружности.

Перевод условия задачи на язык чертежа приведен в следующем варианте:

Пусть по условию (как прямоугольные треугольники, имеющие по одному равному углу). Составим пропорции сходственных сторон и приравняем их

Тогда

В приложении 1 рассмотрено еще несколько задач на формирование теоремы и задач на доказательство.

Реализация когнитивно-визуального подхода с использованием принципов контекстного подхода при обучении геометрии в 8 классе.

Данный подход подразумевает визуализированные задачи, которые связана с профессиональной деятельностью человека. А.П. Кобылин. в статье "К проблеме о профориентации" пишет: "Понятно, что молодому человеку, вчерашнему школьнику, очень тяжело сделать правильный выбор. Еще в детской саду дети знакомятся с профессиями. Казалось бы, продолжай работу в школе. Но шкало сегодня, к сожалению, ведет эту работу очень слабо. К 9-му классу школьники могут иметь вполне конкретные представления о профессиях самые подробные, если об этом вовремя позаботятся учителя." [29, c.83].

Следовательно, одна из главных задач средней школы - дать учащемуся полноценное разностороннее образование, подвести его к осознанному жизненному самоопределению в социальном плане и в профессиональном самоопределении. Многие авторы пишут о том, что нужно проводить различные кружки, собеседования, доклады на тему профориентации. По нашему мнению, знакомить учащихся с профессиональной деятельностью человека нужно в решении задач, формировании основных определений, теорем и т.д. геометрии. Разработанный подход подразумевает осуществление обучения геометрии в 8 классе в виде задач, которые ежедневно решают специалисты различных сфер деятельности. Таким образом, учащиеся знакомятся с профессиями, "примеряют их на себя" и осознают, хотят ли они заниматься этим в дальнейшем.

В формировании определений школьного курса геометрии можно осуществлять в виде их формулировки и объяснения учащимся, в какой профессии данное понятие могло бы использоваться. Аналогичным образом можно поступать и с теоремами. Интереснее, когда он касается задач. Ниже, мы привели некоторые примеры реализации созданного нами подхода к обучению геометрии 8 класса.

Первый и второй пример лучше использовать как актуализацию знаний перед уроком либо в закреплении свойства прямоугольника и понятии диаметра. Тут учащиеся знакомятся с такими профессиями, как плотник и сантехник.

Пример 1.

На складе имеются четырехугольные деревянные пластины, из которых нужно изготовить прямоугольные дощечки для паркета. Следует проверить, имеют ли эти платины форму прямоугольника. Три плотника предложили различные способы проверки:

А)

Б) -

В)

В 9 классе учащиеся сдают ОГЭ и подготовка должна уже идти с 8 класса. В этом примере представлена задача, которая была преобразована под профессию учителя по математике. При прохождении темы "Подобие треугольников" было бы рационально дать такую задачу для закрепления нового материала.

Пример 2.

Учитель по математике подготовил презентацию для учащихся 8 класса. Он знает, что к нему на урок придет полкласса. Он установил проектор и поставил экран А высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от про - ектора. В результате получилось, что проектор полностью освещает экран А. Через час он узнал, что к нему на урок придет полный класс, и он решил поставить экран побольше. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными? [58].

В приложении 2 рассмотрены задачи на основе когнитивно-визуального с принципами контекстого подхода.

С помощью разработанного подхода у учащихся:

· формируется понимание необходимости изучения геометрии с целью овладения знаниями при выборе профессионального будущего;

· осуществляется ознакомление с профессиональными навыками индивида в различных сферах деятельности;

· происходит "примерка" профессий самих на себя;

· приходит осознание своих личных предпочтений в выборе профессиональной деятельности;

· развиваются творческие способности, познавательная активность и визуальное мышление;

· реализуется воспитание чувства уважения и отвественности к выбору профессии;

· появляется осознание взаимосвязи науки и профессиональной деятельности человека;

· происходит осознание значимости геометрии в жизни общества.

Реализация когнитивно-визуального подхода с использованием принципов генетического подхода при обучении геометрии в 8 классе.

В данном пункте будет рассмотрен когнитивно-визуальных подход с некоторыми принципами генетического подхода. Будут приведены примеры использования подхода к формированию определений, теорем и задач геометрии 8 класса.

По точки зрения Н.М. Бескина: "В вопросе об определениях надо, как и во всех вопросах преподавания математики, исходить из того общего принципа, что ученик должен активно создавать математику, а не только усваивать ее" [7, с.57] Таким образом, в качестве основополагающего он выдвигает следующий принцип обучения: ученики должны давать определения сами. Данный принцип является необходимым при формировании геометрических понятий с использованием когнитивно-визуального с некоторыми принципами генетического подхода.

Учащийся начинает постигать геометрию задолго до начала ее систематического изучения и имеет в своем сознании образы почти всех математических понятий, изучаемых в школьном курсе. Эти первые представления ребенка достаточно смутны, не облечены в логическую форму, границы понятий размыты, но эти представления необходимы, чтобы совершить прыжок на новый уровень абстракции - дать логическое строгое определение понятия. Если же рассматривать определение как исходный пункт, с которого начинается знакомство с понятием, то как бы отрезаем знание, которое существовало ранее. Согласно теории ван Хилс учащийся не может выйти на новый уровень достижений, если он не имеет опыта, который бы позволил ему рассуждать на предшествующем уровне, то есть мы сознательно уничтожаем умения, необходимые для дальнейшего продвижения ученика [60]. У ученика возникает ощущение, что мы не уточняем его знание о мире, а запутываем, заменяя простые, уже сформированный в его сознании образы на череду сложных, бессмысленных слов. Все ощущения, с которых начинается знание, остаются за порогов школьных уроков. Прерывая дорожку, связывающую ощущения с новым уровнем абстракции мы получаем мертвое знание, не способное вернуться обратно, к практике, то есть знание, которое ученик не в состоянии применять в жизнь.

Вводя геометрическое понятие как что-то новое, мы не показываем ребенку недостатки и неточности в его собственных наглядных представлениях и оставляем его один на один с вопросом, почему известные с детства простые понятия стали вдруг такими сложными. При этом образные представления о понятии остаются неизменными, какими они были до введения нового определения, откуда - ошибки учащихся и формализм в знаниях. Все термины в новом определении являются навязанными, каждое слово не придумывается самим ребенком, им не осознается его необходимость, а, часто, и смысл.

Согласно исследованиям В.И. Зыковой в 8 классе при решении задач, знание словесной формулировки определения не обеспечивает усвоение изучаемого понятия учащимся. [26] Таким образом, знание существенный признаков не обеспечивает сознательного использования их при ориентировке в соответствующей деятельности. Мы делаем вывод, что передавать понятие в готовом виде не обеспечивает достаточную продуктивность его усвоения. Учащийся может получить его лишь в результате собственной деятельности, направленной не на слова, а на те предметы, понятие о которых мы хотим у него сформировать.

Основная идея когнитивно-визуального с некоторыми принципами генетического - сделать так, чтобы учащиеся сами принимали активное участие в создании "новой" науки геометрии, показать им данную дисциплину, её возникновение при помощи визуальных форм. Необходимо вовлечь учащихся в процесс образования и создания понятий, продемонстрировать его наглядно.

Ниже приведем примеры когнитивно-визуального подхода с некоторыми принципами генетического подхода к формированию определения учащихся.

Пример. Изучение темы "Четырехугольник". Формирование таких понятий как: Выпуклая и невыпуклая фигура, параллелограмм, трапеция, ромб, квадрат, прямоугольник.

Очень эффективно применять прием классификации при изучении темы четырехугольники. Данная задача осуществляется с помощью Smart - доски посредствам компьютерной программы Geogebra. В данной компьютерной среде по ходу ответов учеников, фигуры собираются в группы так, чтобы в результате возникла схема изучаемых понятий.

Согласно основным принципам генетического подхода, какие-либо новые систематические знания учащихся необходимо связать с старыми известными или интуитивными наглядными представлениями учащихся. Для достижения максимальной эффективности в обучении предлагается вызывать учащихся, чтобы они самостоятельно передвигали фигуры в Geogebra. В конце концов у каждого ученика образуется схема нового понятия. Учащимся предлагается разделить данное множество четырехугольников на две группы, либо же найти два лишних четырехугольника.

Учащиеся определяют, что 15, 10 и 3 лишние. На данном этапе учащимся задаются вопросы: "Почему именно так произошло разделение?" или " Объясните, чем эти три фигуры отличаются от других". Задавая такие вопросы, учащихся можно подвести к формулировке выпуклого четырехугольника.

Далее продолжаем работу с выпуклыми четырехугольниками и просим учащихся найти лишнюю фигуру. Учащиеся замечают, что у некоторых выпуклых четырехугольников противоположные стороны параллельны или попарно параллельны. Будем полезным освежить знания учащихся о параллельных отрезках в начале урока, например, напомнив о них при помощи иллюстраций или повторив определения.

Должно получится следующим образом:

Далее, предложить учащимся продолжить мысль о параллельности отрезков.

Могут быть предложены следующие варианты:

· 2,7,12,13 - все углы прямые, 3,4,5,6,8,9,10,14 - не все углы прямые;

· 2,4,5,6,7,12,13,14 - все противолежащие стороны попарно параллельны,

· 3,8,9,10,12,14 - не все стороны попарно параллельны,

· 4,7,13,6 - все стороны равны, 2,3,5,8,9,10,12,14 - не все стороны равны.

Учителю следует обратить внимание учащихся на второй вариант разбиения.

После такого распределения подвести учащихся к понятию трапеции и параллелограмма такими вопросами как: "Какие особенности у эти двух групп разделения?", "Могут ли у этих двух групп разделения фигур быть какие-нибудь названия?", "Можете ли привести еще примеры к этим двум группам?", " Какими особенностями обладают эти две группы разделения?" и т.д.

Вновь попросить учащихся разделить на группы класс параллелограммов.

Сделать подсказку, что можно сделать следующее разделение:

· Все стороны равны или не все стороны равны;

· Все углы прямые или не прямые.

Учащиеся должны заметить, что квадрат принадлежит одновременно двум группам. Можно подводить такими вопросами: "У квадрата все стороны равны?", "Все углы прямые?".

В заключении должна получится вот такая схема:

На этом этапе определяется понятие квадрата, ромба, прямоугольника. С понятие квадрата и ромба учащиеся уже знакомились до этого, поэтому у учащихся на данном этапе должно сложиться их точно определение. Учитель может задавать такие вопросы как: "Чем является прямоугольник/квадрат/ромб судя по нашему разбиению?", "Каковы отличия этих трех фигур?", "Основываясь на принципе разбиения, постройте определение квадрата/прямоугольника/ромба"и т.д.

Необходимо отметить, что ход работы зависит от ответов учащихся, но так как учащиеся мыслят в рамках адекватных приемов познания, то они в итоге все равно придут к нужному результату

Как было сказано в первой главе, у учащихся возникают трудности при изучении систематического курса геометрии. Как правило, геометрия в представлении учащихся, - это не целостный курс, а какой-то набор отдельных теорем, правил, понятий, связи между которыми либо отсутствуют, либо неочевидны. Из исследуемой литературы нами был сделан вывод, что учащиеся не могут понять границы своих знаний даже после повторения и обобщения пройденного.

Традиционный курс геометрии сводится к разучиванию теорем и доказательств: сначала объявляется теорема, потом она доказывается и в конце завершается фразой "что и требовалось доказать".

Князева О.О. пишет: "На вопрос, как додумались образовать нужные силлогизмы и соединить их так, чтобы они составляли стройное целое, образовали бы последовательность, приводящую к цели, - доказательство теоремы не обязано отвечать, оно доказывает, но не объясняет.

В изложении доказательств нам предлагается проверить ход мыслей и убедиться, что он правилен. Все стальное только есть тайна и секрет изобретателя, остается только покорно за ним следовать.

Дух авторитарности, дух повелевающего самовластья проникает все здание систематического доказательства. но этот дух антипедагогичен и бесчеловечен, он обращает ученика в ломаную лошадь, понимающую лишь связь между данным подергиванием вожжей и данных поворотов, но не осознающей всей необходимой связи всех подергиваний, всех поворотов с конечной целью пути.

Это есть путь приведения в покорность ученика, создание специально прирученного субъекта для усвоения курса" [28, с.175].

Учащиеся не понимают взаимосвязи между изученным и новоизученным материалом, не понимают цели предстоявшей работы, поэтому он вынужден довериться учителю и просто поверить в необходимость изучения каждой отдельной темы, что вряд ли способствует развитию таких качеств личности, как критичность, самостоятельность и инициативность.

Пример 1. Посмотрите на картинку и постарайтесь сделать вывод о том, любой ли четырехугольник можно вписать в окружность? Если нет, то почему?

Для помощи учащиеся учитель начинает задавать такие вопросы как: "Через всякие ли три точки можно провести окружность?". Если учащиеся затрудняются ответить на данный вопрос, то можно воспользоваться программой Geogebra и инструментом Построение окружности по трем точкам.

Учащиеся убедятся, что через любые три точки можно провести окружность.

Учитель задает следующий вопрос: "Основываясь на нашем построении, можно сделать вывод, что любой треугольник можно вписать в окружность?". У учащихся формируется четкое понимание того, что любой треугольник можно вписать в окружность. Кроме того, учащиеся осознают что не через любой четырехугольник можно описать окружность. Любая окружность проходит через три точки. Но если же окружность пройдет через четыре точки, то четырехугольник будет вписанный, если же она не пройдет через четвертую точку, о четырехугольник не будет вписанный. Для учащихся это можно наглядно продемонстрировать с помощью Geogebra.

Итак, вместе с учащимися мы делаем вывод, что описанный четырехугольник - это не любой четырехугольник, а особенный. Около одного четырехугольника мы можем описать окружность, около другого нет. Вполне закономерным будет возникновение у учащихся следующего вопроса: Какие еще признаки отличают вписанный четырехугольник, помимо того, что около него можно описать окружность, при каких условиях около четырехугольника можно описать окружность? Получается, что учащиеся уже на данном этапе осознают, что такая теорема должна существовать.

Что касается пяти и шестиугольников и т.д., то ясно, что достаточно лишь выяснить условие, при котором можно описать окружность около четырехугольника. Если дан пятиугольник ABCDE, то пользуясь этим условием, надо выяснить: можно ли описать окружность около четырехугольника ABCD и четырехугольника ABCE. Если хотя бы на один из этих вопросов последует отрицательный ответ, то описать окружность нельзя, в противном случае можно. Аналогичное замечание и относится к многоугольнику с любым количеством сторон.

Непосредственно после такой подготовки можно приступить к формированию данной теоремы.

Пример 2. Данный пример будет направлен на ознакомление с фактом, отраженным в теореме. Буде реализован путем построения.

Для учащихся будет дано следующее задание:

В моделирующей среде Geogebra выяснить, в любом ли выпуклом четырехугольнике сумма углов составляет n-ое фиксированное количество, и, если оно постоянное, то узнать какое.

Данный пример можно преобразовать таким образом, что учитель будет сам выполнять построение в Geogebrа, а учащиеся наблюдать за учителем со Smart-доски.

В конце, учащиеся придут к выводу, что сумма углов четырехугольника равна 360 градусам.

Данный пример можно преобразовать под теорему о вписанном угле, центральном угле, свойстве вписанного четырехугольника, признаках подобия треугольника и др.

Согласно нашей концепции ученик должен видеть процесс возникновения и развития знания, а значит, для последовательного применения когнитивного подхода с некоторыми принципами генетического подхода к обучению необходимо, чтобы дети самостоятельно конструировали задачу, видели и осознавали процесс её возникновения.

В данной работе рассмотрены некоторые методы обучения школьников данной деятельности, которые развивают и обучают конструированию задач самих детей.

Учителю необходимо поощрять и мотивировать учеников к созданию задач, необходимо решать как можно больше задач, составленных самими детьми или давать их на дом всему классу, чтобы учащиеся видели, что их старания не напрасны. Составление задач - это особый творческий процесс, отсутствие которого не может быть компенсировано решением задач. Для осознания своего продвижения по дороге знания ученик должен видеть структуру не только геометрического материала, но и некоторых элементов самого процесса обучения. Так, учащиеся должны понимать, что после работы с формулировкой новой теоремы, необходимо решать простейшие задачи на ее применение, после введения на уроке определения, нового понятия необходимо для более глубокого его усвоения решать задачи, в которых требуется выявить соответствие данной фигуры введенному понятию (решать задачи на подведение объекта под понятие). Необходимо учить детей анализировать новый материал на предмет самостоятельного выявления задач, которые нужно решать для глубокого усвоения данного материала. В формировании такого навыка будут способствовать такие вопросы как: "Как вы думаете, какие задачи на применение данной теоремы будут больше - на нахождение или на доказательство? Представьте себя автором учебника и подумайте, какие задачи вы бы предложили учащимся для закрепления нового материала? Придумайте как можно больше задач на применение нового материала. В чем отличия составленных вами задач?".

Первичное усвоение нового материала - важнейший этап работы на уроке. При традиционном подходе к преподаванию, предполагается использование только репродуктивных методов обучения. Предложенный в данной работе подход, стимулирует школьников к созданию собственных задач, на этапе первичного закрепления материала позволяет ученикам создавать собственные задания, проявлять себя творчески. В процессах подобного рода тренируются все мыслительные приемы и навыки, которые необходимы для успешного решения задач. Дети лучше понимают структуру задачи в целом, а так же общую стратегию поиска ее решения.

Одним из приемов обучения школьников составлению собственных задач является работа с готовыми чертежами. Где, используя таблицу достаточных признаков неизвестного, можно изменять одно из условий и формировать новые задания. В качестве примера рассмотрим такую задачу:

Задача 1. Как можно задать равенство отрезков АВ и BC в?

1) является равнобедренным треугольником;

2) AB и CB являются радиусами окружности с центом в т. B;

3) 3);

4) В высота BH является биссектрисой;

5) В медиана BH является высотой;

6) В биссектриса BH является медианой;

7) AB=8, BC=8 см;

Далее, можно приступать к составлению новых задач. Учащимся предлагается задача, одно или несколько условий можно было быть скрыть. В данном случае будет представлено несколько вариантов, как это можно было сделать.

Задача 1.

Дана трапеция ABCD. Извесно, что и Докажите, что ABCD - равнобедренная трапеция.

Вариант 1.

Дана трапеция ABCD. Известно, что ВН и HC - радиусы окружности с центром в т. H. Докажите, что ABCD - равнобедренная трапеция.

Вариант 2.

Дана трапеция ABCD. Известно, что и

Докажите, что ABCD - равнобедренная трапеция.

Вариант 3.

Дана трапеция ABCD. Известно, что Докажите, что ABCD - равнобедренная трапеция.

Вариант 4.

Дана трапеция ABCD. Извесно, что и

Докажите, что ABCD - равнобедренная трапеция.

После этого, учащимся можно предложить усложнить четвертую задачу, используя свойство равнобедренного треугольника HBC, может получиться следующим образом:

Вариант 5.

Дана трапеция ABCD. Известно, что и

Докажите, что ABCD - равнобедренная трапеция.

Вариант 6.

Дана трапеция ABCD. Извесно, что и DH - медиана. Докажите, что ABCD - равнобедренная трапеция.

Учитель может организовать подобную творческую деятельность учащихся и при изучении зависимостей, которые выражаются в виде формул.

Учитель должен объяснить детям, что для нахождения одной величины, которые учувствуют в формуле, должны быть известны остальные величины. С помощью изменения неизвестной в формуле, будут получаться различные простейшие задачи на выработку учащихся применять формулу, причем задач будет столько же, сколько и переменных в зависимости.

Задачи такого типа рассмотрены в приложении 3.

При такой работе с формулами учащиеся намного лучше их запоминают. Согласно исследованиям психологов, когда идет работа над материалом в процессе деятельности, цель которой не стоит запоминание, оно осуществляется непроизвольным образом, а это значительнее продуктивнее, чем заучивание определения, теоремы и т.д. Самостоятельное создание задач учащиеся учатся грамотно употреблять математические термины и говорить математическим языком. Подобная деятельность очень увлекает школьников. Мы считаем, что учащиеся, которые не любили геометрию, может понравится предмет, ведь наш подход несет как и образовательную функцию, так и содержит игровой и творческий компонент, который очень любят школьники.

Для еще большего "подогрева" интереса, учитель может предложить создать альбом с лучшими задачами учащихся, которые были придуманы в процессе обучения геометрии. Учитель будет распечатывать задачи учеников и вносить их в альбом, подписывая фамилию создателя.

В итоге, с помощью созданного нами подхода у учащихся:

· формируется целостный взгляд на геометрию, который представляет собой понимание роли и место изучаемого геометрического понятия, аксиомы, теоремы и т.д.;

· повышается интереса к предмету за счет самостоятельного создания задач, поиска и открытия теорем, аксиом и т.д.;

· развивается визуального мышления;

· эффективно усваиваются знания, умения, навыки по предмету геометрия;

· развивается творческий потенциал. Выводы ко второй главе

Во второй главе была рассмотрена методика Далингера и дополнена принципами из контекстного и генетического подхода. То есть на основе когнитивно-визуального были созданы два подхода к обучению геометрии: когнитивно-визуальный с некоторыми принципами генетического подхода и когнитивно-визуальный с некоторыми принципами контекстного. На основе этих трех подходов была разработана методика формирования определений, теорем и задач школьного курса геометрии 8 класса.

Заключение