Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе

Задачи о гаданиях.

По преданию, когда - то в сельских местностях России среди девушек существовало гадание. Одна из подруг зажимала в руке шесть травинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу, а другая связывала эти травинки попарно между собой сверху и снизу. Если при этом все шесть травинок оказывались связанными в одно кольцо, то это должно было означать, что девушка в текущем году выйдет замуж.

Задача (для самостоятельного решения).

Какова вероятность того, что травинки при завязывании наудачу образуют кольцо?

Ответ. 8/15.

Приложение 2

История развития теории вероятностей

Начало систематического исследования задач, относящимся к массовым случайным явлениям, и появление соответствующего математического аппарата относятся к XVII веку. В начале XVII века знаменитыйфизик Галилей уже пытался подвергнуть научному исследований ошибки физических измерений, рассматривая их как случайные и оценивая их вероятности. К этому же времени относятся первые попытки создания общей теории страхования, основанной на анализе закономерностей в таких массовых случайных явлениях, как заболеваемость, смертность, статистика несчастных случаев и т. д. Необходимость создания математического аппарата, специально приспособленного для анализа случайных величин, вытекала и из потребностей обработки и обобщения обширного статистического материала во всех областях науки.

Однако теория вероятностей как математическая наука сформировалась, в основном, не на материале указанных выше задач: эти задачи слишком сложны; в них законы, управляющими случайными явлениями, проступают недостаточно отчетливо и затушеваны многими осложняющими факторами. Необходимо было сначала изучить закономерности случайных явлений на более простом материале. Таким материалом исторически оказались "азартные игры". Эти игры с незапамятных времен создавались рядом поколений именно так, чтобы в них исход опыта был независим от поддающихся наблюдению условий опыта, был чисто случайным. Само слово "азарт" (фр. "lehasard") означает "случай". Схемы азартных игр дают исключительные по простоте и прозрачности моделей случайных явлений, позволяющие в наиболее отчетливой форме наблюдать и изучать управляющие ими специфические законы; а возможность неограниченно повторять один и тот же опыт обеспечивает экспериментальную проверку этих законов в условии действительной массовости явлений. Вплоть до настоящего времени примеры из области азартных игр и аналогичные им задачи на "схему урн" широко употребляются при изучении теории вероятностей как упрощенной модели случайных явлений, иллюстрирующие в наиболее простом и наглядном виде основные законы и правила теории вероятностей.

Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века и связано с исследованиями Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Гюйгенса (1629-1695) в области теории азартных игр. В этих работах постепенно сформировались такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание; были установлены их основные свойства и приемы их вычисления. Непосредственное практическое применение вероятностные методы нашли прежде всего в задачах страхования. Уже с конца XVII векастрахование стало производится на научной математической основе. С тех пор теория вероятностей находит все более широкое применение в различных областях.

До конца XVII века наука так и не подошла к введению классического определения вероятности, а продолжала оперировать только с числом шансов, благоприятствующих тому или иному событию. В 30 - е годы XVIII столетия классическое понятие вероятности стало общеупотребимым.

Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654-1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей - так называемый закон больших чисел, а также в трактовке Бернулли “ Искусств предположений “ присутствуют уже обе концепции вероятности - классическая и статистическая, обе они изложены не очень четко, но существенно то, что они уже введены в рассмотрения и использования.

Еще до Якова Бернулли многие отмечали как эмпирический факт ту особенность случайных явлений, которую можно назвать " свойством устойчивости частот при большом числе опытов". Было неоднократно отмечено, что при большом числе опытов, исход каждого из которых является случайным, относительная частота появлений каждого данного исхода имеет тенденцию стабилизироваться, приближаясь к некоторому специальному числу - вероятности этого исхода. Например, если много разбросать монету, относительная частота появления герба приближается к; при многократном бросании игральной кости частота появления грани с пятью очками приближается к и т. д. Яков Бернулли - простейшая форма закона больших чисел - устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления; при достаточно большом числе опытов можно с практической достоверностью ожидать сколь угодно близкого совпадения частот с вероятностью.

Однако уже в первой половине XVIII века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеет ограниченную область применения и возникают ситуации, когда оно не действует, а потому необходимо его расширение. Таким толчком послужили работы французского естествоиспытателя Ж. Бюффона ( 1707 - 1788 ), в которой он сформулировал знаменитую задачу о бросании иглы на разграфленную плоскость и предложил ее решение.

В XX веке интерес к геометрической вероятности не ослабел, а вырос, поскольку, помимо чисто математического интереса, они приобрели и серьезное прикладное значение в физике, биологии, медицине, инженерном деле и др.

Другой важный этап в развитии теории вероятностей связан с именем Моавра (1667-1754). Этот ученый впервые ввел в рассмотрение и для простейшего случая обосновал своеобразный закон, очень часто наблюдаемый в случайных явлениях: так называемый нормальный закон (иначе - закон Гаусса). Нормальный закон, как мы увидим далее, играет исключительно важную роль в случайных явлениях. Теоремы, обосновавшие этот закон для тех или иных условий, носят в теории вероятностей общее название "центральной предельной теоремы".

Выдающаяся роль в развитии теории вероятностей принадлежит знаменитому математику Лапласу (1749-1827). Он впервые дал стройное и систематическое изложение основ теории вероятностей, дал доказательство одной из форм центральной предельной теоремы (теорема Моавра - Лапласа) и развил ряд замечательных приложений теории вероятностей к вопросам практики, в частности к анализу ошибок наблюдений и измерений.

Значительный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с именем Гаусса (1777-1855), который дал еще более общее обоснование нормальному закону и и разработал метод обработки экспериментальных данных, известный под названием " метода наименьших квадратов". Следует также отметить работы Пуассона (1781-1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Для всего XVIII и начала XIX века характерны бурное развитие теории вероятностей и повсеместное увлечение ею. Теории вероятностей становится "модной" наукой. Ее начинают применять не только там, где это применение правомерно, но и там, где оно ничем не оправдано. Для этого периода характерны многочисленные попытки применить теории вероятностей к изучению общественных явлений, к так называемым "моральным" и "нравственным" наукам. Во множестве появились работы, посвященные работам судопроизводства, истории, политики, даже богословия, в которых применялся аппарат теории вероятностей. Для всех этих псевдонаучных исследований характерен чрезвычайно упрощенный, механический подход к рассматриваемых в них общественным явлениям. В основу рассуждения полагаются некоторые произвольно заданные вероятности ( например, при рассмотрении вопросов судопроизводства склонность каждого человека к правде или лжи оценивается некоторой постоянной, одинаковой для всех людей вероятностью), и далее общественная проблема решается как простая арифметическая задача. Естественно, что все подобные попытки были обречены на неудачу и не могли сыграть положительную роль в развитии науки. Напротив, их косвенным результатом оказалось то, что примерно в 20-х - 30-х годах XIX века в Западной Европе повсеместное увлечение теорией вероятностей сменилось разочарованием и скептицизмом. На теории вероятностей стали смотреть как на науку сомнительную, второсортную, род математического развлечения, вряд ли достойную серьезного изучения.

Замечательно, что именно в это время в Росси создается та знаменитая Петербургская математическая школа, трудами которой теории вероятностей была поставлена на прочную логическую и математическую основу и сделана надежным, точным и эффективным методом познания. Со времени появления этой школы развитие теории вероятностей уже теснейшим образом связано с работами русских, а в дальнейшем - советских ученых.

Среди ученых Петербургской математической школы следует назвать В. Я. Буняковского (1804-1889) - автора первого курса теории вероятностей на русском языке, создателя современной русской терминологии в теории вероятностей, автора оригинальных исследований в области статистики и демографии.

Учеником В. Я. Буняковского был великий русский математик П. Л. Чебышев (1821-1894). Среди обширных и разнообразных математических трудов П. Л. Чебышев заметное место занимают его труды по теории вероятностей. П. Л. Чебышеву принадлежит дальнейшее расширение и обобщение закона больших чисел. Кроме того, П. Л. Чебышев ввел в теорию вероятностей весьма мощный и плодотворный метод моментов.

Учеником П. Л. Чебышева был А. А. Марков (1856-1922), также обогативший теорию вероятностей открытиями и методами большой важности. А. А. Марков существенно расширил область применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы, распространив их не только на независимые, но и на зависимые опыты. Важнейшей заслугой А. А. Маркова явилось то, что он заложил основы совершенно новой ветви теории вероятностей - теории случайных, или "стохастических", процессов. Развитие этой теории составляет основное содержание новейшей, современной теории вероятностей.

Учеником П. Л. Чебышева был А. М. Ляпунов (1857-1918), с именем которого связано первое доказательство центральной предельной теоремы при чрезвычайно общих условиях. Для доказательства своей теоремы А. М. Ляпунов разработал специальный метод характеристических функций, широко применяемых в современной теории вероятностей.

Характерной особенностью работ Петербургской математической школы была исключительная четкость постановки задач, полная математическая строгость применяемых методов и наряду с этим тесная связь теории с непосредственными требовании практики. Трудами ученых Петербургской математической школы теория вероятностей была выведена с задворок науки и поставлена как полноправный член в ряд точных математических наук. Условия применения ее методов были строго определены, а самые методы доведены до высокой степени совершенства.

Современное развитие теории вероятностей характерно всеобщим подъемом интереса к ней и резким расширением круга ее практических применений. За последние десятилетия теория вероятностей превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся наук, теснейшим образом связанную с потребностями практики и техники. Советская школа теории вероятностей, унаследовала традиции Петербургской математической школы, занимает в мировой науке ведущее место.

Здесь мы назовем только некоторых крупнейших советских ученых, труды которых сыграли решающую роль в развитии современной теории вероятностей и ее практических приложений.

А. Я. Хинчин (1893-1959) известен своими исследованиями в области дальнейшего обобщения и усиления закона больших чисел, но главным образом своими исследованиями в области так называемых стационарных случайных процессов.

До недавнего времени теория вероятностей представляла собой еще не сложившуюся математическую науку, в которой основные понятия были недостаточно четко определены. Естественно, что приложения теории вероятностей к изучению явлений природы были слабо обоснованы и встречали порой резкую критику. Однако эти обстоятельства мало смущали естествоиспытателей, и их наивных теоретико-вероятностных подходов в различных областях науки приводило к крупным успехам. Развитие естествознания в начале прошлого столетия предъявило к теории вероятностей повышенные требования. Возникла необходимость в систематическом изучении основных понятий теории вероятностей и выяснении тех условий, при которых возможно использование ее результатов. Вот почему особенно важное значение приобрело формально- логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение. При этом в основу теории вероятностей как математической науки должны быть положены предпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта.

В современной математике принято аксиомами называть те предположения, которые принимаются за истинные и в пределах данной теории не доказываются. Все остальные положения этой теории должны выводится чисто логическим путем из принятых аксиом. Формулировка аксиом, т.е. тех фундаментальных положений, на базе которых строится обширная теория, представляет собой не начальную стадию развития математической науки, а является результатом длительного накопления фактов и логического анализа полученных результатов с целью выявления действительно основных первичных фактов. Именно так складывались аксиомы геометрии, первоначальное знакомство с которыми дается в курсе элементарной математики. Подобный же путь прошла и теория вероятностей, в которой аксиоматическое построение ее основ явилось делом сравнительно недавнего прошлого. Впервые задача аксиоматического построения теории вероятностей как логически совершенной науки была поставлена и решена в 1917 году известным математиком С.Н. Бернштейном, а также он существенно расширил область применения предельных теорем.. При этом С.Н. Бернштейн исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности.

Имеется иной подход, предложенный А.Н.Колмогоровым. этот подход тесно связывает теорию вероятностей с современной метрической теорией функций, а также теорией множеств. Аксиоматическое построение теории вероятностей отправляется из основных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического и статистического определений. Аксиоматическое определение вероятности, таким образом, как частные случаи включает и классическое и статистическое определения и преодолевает недостаточность каждого из них. На этой базе удалось построить логически совершенное здание современной теории вероятностей и в то же время удовлетворить повышенные требования к ней современного естествознания.

А.Н. Колмогоров дал наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей, связав ее с одним из важнейших разделов современной математики - метрической теории функций. Особое значение имеют работы А. Н. Колмогорова в области теории случайных функций (стохастических процессов), которые в настоящее время основой всех исследований в данной области. Работы А. Н. Колмогорова, относящиеся к оценке эффективности легли в основу целого нового научного направления в теории стрельбы, переросшего затем в более широкую науку об эффективности боевых действий.

В. И. Романовский (1879-1954) и Н. В. Смирнов известны своими работами в области математической статистики, Е. Е. Слуцкий (1880-1948) - в теории случайных процессов, Б. В. Гнеденко - в области теории массового обслуживания, Е. Б. Дынкин - в области марковских случайных процессов, В. С. Пугачев - в области случайных процессов в применении к задачам автоматического управления.

Развитие зарубежной теории вероятностей в настоящее время также идет усиленными темпами в связи с настоятельными требовании практики. Преимущественным вниманием пользуются, как и нас, вопросы, относящиеся к случайным процессам. Значительные работы в этой области принадлежат, например, Н. Винеру, В. Феллеру, Д. Дубу. Важные работы по теории вероятностей и математической статистики принадлежат Р. Фишеру, Д. Нейману и Г. Крамеру.

За последние годы мы стали свидетелями рождения новых и своеобразных методов прикладной теории вероятностей, появление которых связано со спецификой исследуемых технических проблем. Речь идет, в частности, о таких дисциплинах, как "теория информации" и "теория массового обслуживания". Возникшие из непосредственных потребностей практики, эти разделы теории вероятностей приобретают общее теоретическое значение, а круг их приложения постоянно увеличивается

Связь теории вероятностей с практическими потребностями, как уже было отмечено, была основной причиной бурного развития ее в последние десятилетия. Многие ее разделы были развиты как раз в связи с ответами на запросы практиков. Здесь кстати вспомнить слова основателя отечественной школы теории вероятностей П. Л. Чебышева

"Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных… если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий ее, то она еще более приобретает открытием новых методов, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике".

Размещено на Allbest.ru