Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).

Первый признак подобия треугольников.

Теорема 1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть АВС и А₁В₁С₁ два треугольника, у которых , .

По теореме о сумме углов треугольника , поэтому, . Таким образом, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А₁В₁С₁. Так как и , то по следствию (Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.).

и .

Из этих равенств получаем: . Аналогично используя равенства , , получим . Итак, сходственные стороны треугольников АВС и А₁В₁С₁ пропорциональны, следовательно, треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников.

Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство. Пусть АВС и А₁В₁С₁ - два треугольника, у которых , . Докажем, что АВС~А₁В₁С₁.

Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что .

От луча АВ в полуплоскость, не содержащую точку С, отложим угол 1, равный углу А₁, а от луча ВА в туже полуплоскость отложим угол 2, равный углу В₁.

Т. к. , то , поэтому стороны углов 1 и 2, не принадлежащие прямой АВ, пересекаются в некоторой точке С₂ (рис. б). Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . С другой стороны, по условию теоремы . Из этих двух равенств получаем: АС = АС₂. Следовательно, треугольники АВС и АВС₂ равны по первому признаку равенства треугольников (АВ - общая сторона; АС = АС₂,, т. к. и ). Отсюда следует, что , а т. к. , то .

Третий признак подобия треугольников.

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

Доказательство. Пусть АВС и А₁В₁С₁ - два треугольника, стороны которых пропорциональны:

(3)

Докажем, что АВС~А₁В₁С₁. Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что . Аналогично доказательству предыдущей теоремы (рис. б) построим треугольник АВС₂ так, чтобы , , . Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . Сравнивая эти равенства с равенством (3), получаем: ВС=ВС₂, СА=С₂А. Следовательно, треугольники АВС и АВС₂ равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует, , а т. к. , то . Таким образом, АВС~А₁В₁С₁ по второму признаку подобия треугольников.

Рассмотренные признаки подобия треугольников являются основными признаками, имеются и другие признаки, позволяющие установить подобие треугольников на основе равенства каких - то углов и пропорциональности каких - то отрезков или величин связанные с треугольниками.

Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны, если выполняется хотя бы одно из условий.

1. АВ>АС, , ;

2. , ;

3. , где BM, B₁M₁ - медианы треугольников;

4. , , где BH и B₁H₁ высоты треугольников.

§5. Опытная работа

Цель опытной работы: выявление методических особенностей изучения темы «Подобные треугольники» в средней школе.

Идея: для выявления методических особенностей необходимо провести несколько уроков по разработанной методики, в конце обучения провести контрольную работу, при анализе которой можно судить о достижении цели.

Нами была изучена документация: журналы, характеристики учеников; проводились беседы с учителями, директором школы с целью знакомства с классом составление о нём первичных представлений.

Условия развития: опытная работа проводилась в средней школе №1 Завьяловского района села Завьялово в 8 классе. Состав класса 23 человека, успеваемость средняя (13 человек учатся на отлично и хорошо), учащиеся активны в познавательной деятельности, трудолюбивы, но не внимательны.

Проанализировав тематический план на период прохождения педагогической практики, в связи с ограниченностью во времени, опыт проводился в ходе 5 уроков по следующим темам «Определение подобных треугольников», «Первый признак подобия треугольников», «Второй признак подобия треугольников», «Решение задач», «Контрольная работа».

Рабочая гипотеза: если в процессе изучения темы «Подобные треугольники» использовать специально разработанную методику, направленную на решение задач устного характера, которая будет способствовать развитию учащихся за счет повышения уровня логического мышления, памяти, речи и внимания, то можно выявить методические особенности изучения темы «Подобные треугольники».

Основные задачи:

1) Выполнить теоретический анализ математической, учебной и методической литературы по вопросам выявления методических особенностей изучения темы «Подобные треугольники».

2) Создать доступную методику изучения темы «Подобные треугольники».

3) Выяснить влияние проводимых уроков на качество знаний учащихся.

4) Определить методические особенности изучения темы «Подобные треугольники».

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы:

· изучение, анализ, сравнение математической, учебной и методической литературы по проблеме опытной работы;

· наблюдение за деятельностью учащихся и учителей;

· организация и проведение уроков по теме;

· количественная и качественная обработка данных, полученных при проведении опытной работы.

Экспериментальные материалы: разработки 5 уроков включающие в себя текст контрольной работы, наглядный материал для организации устной работы.

Ход: на уроке по теме «Определение подобных треугольников» учащиеся знакомятся с понятием, термином и определением подобных треугольниках. Вспоминают, в ходе устной работы, известные знания о треугольниках. Осмысляют и первично закрепляют учебный материал решением задач несущих дидактическую функцию. На следующем уроке учащиеся знакомятся с формулировкой и доказательством первого признака подобия треугольников. Вспоминают в ходе устной работы, ранее изученные сведения на которые, опирается доказательство признака. Осмысляют и первично закрепляют учебный материал решением задач несущих дидактическую функцию. Проводится самостоятельная работа с целью определения уровня усвоения знаний. В ходе изучения второго и третьего признака учащиеся решают много устных задач по готовым чертежам с целью развития у учащихся логического мышления, памяти, речи и внимания, а так же для повторения изученного материала. На уроне посвящённому решению задач осуществляется вторичное осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков по их применению. Проводится тест - самоконтроль с целью выявления уровня обученности учащихся. На пятом уроке поуровневая контрольная работа, которая позволяет закрепить и систематизировать знания, а так же определить степень и качество усвоения материала.

Результаты: после обработки результатов контрольной работы (оценка по 5-ой шкале) проведённой в экспериментальном классе, отметки, выставленные в порядке возрастания, составляют следующий вариационный ряд: 222 333333 4444444444 5555

Для удобства аналогичные данные обычно представляют в табличной форме.

Частотное распределение отметок учащихся за контрольную работу

Вариант	«2»	«3»	«4»	«5»
Частота	3	6	10	4

Таким образом, качество знаний в данном классе 61%.

Аналогично рассуждая строиться полигон распределения по результатам контрольной работы в классе, в котором не проводилась разработанная методика. Здесь качество знаний - 32%.

Если сравнить полученные результаты, то в экспериментальном классе результаты лучше.

Вывод: в ходе проделанной работы были выявлены методические особенности темы, которые ранее не были замечены и учтены. Ошибки, допускаемые при приведении разработанной методики, придется корректировать учителю по средствам индивидуальных занятий. В целом опыт показал, что устные задания способствуют хорошему усвоению материала, повышению работоспособности учащихся, появляется интерес к предмету, что способствует познавательной активности, развитию речи и способности не бояться рассуждать всё это благотворно влияет на весь процесс обучения в целом. Следует учитывать, что избыток устных упражнений приводит к недостаточному количеству времени на решение письменных задач.

Тема урока: Определение подобных треугольников

Цели урока:

ввести понятие, термин и определение подобных треугольников, закрепить данные знания при решении задач;

развивать связную математическую речь, логическое мышление;

воспитывать мотивацию к учению.

Тип урока: изучение нового материала

Формы работы на уроке: фронтальная, работа в парах, устная, коллективная, письменная.

Оборудование: учебник Геометрия 7-9 Л. С. Атанасяна, карточки с заданиями для устной работы в парах, чертежи для устной работы.

План проведения урока

Организационный момент (1 мин)

Подготовительный этап (15 мин)

Изучение нового материала (10 мин)

Закрепление изученного материала (15 мин)

Подведение итогов (2мин)

Домашнее задание (2 мин)

Ход урока

I. Организационный момент

Цель: создать обстановку для нормальной работы, психологически подготовить учащихся к работе на уроке.

Деятельность: приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, выяснение отсутствующих.

II. Подготовительный этап

Цель: активизировать познавательную деятельность учащихся, подготовить их к изучению нового материала.

Деятельность:

Учитель	Ученик
Мы с вами уже почти 2 года изучаем геометрию. В курсе геометрии мы познакомились с новыми фигурами, их свойствами. Но одной фигуре мы уделяли больше всего внимания. Как вы думаете, о какой фигуре идет речь? Сейчас я предлагаю провести аукцион, посвященный треугольнику. Давайте попробуем вспомнить все, что нам известно о треугольнике. Оказывается, это еще очень маленькая часть того, что мы должны знать и узнаем в будущем. Я хочу прочитать вам маленькую притчу. “Усталый пришел северный чужеземец в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному дворцу фараона, что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн природы. -- Кто ты? - спросил верховный жрец? -- Зовут меня Фалес. Родом я из Милета. Жрец надменно продолжал: -- Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее? - жрецы согнулись от хохота. - Будет хорошо, -- насмешливо продолжал жрец, -- если ты ошибешься не более, чем на сто локтей. -- Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра. Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужестранец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они - жрецы Великого Египта. -- Хорошо, сказал фараон. - Около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство”. После сегодняшнего урока вы должны предложить свой способ измерения высоты пирамиды, а пока вернемся к нашему треугольнику. Показывает 2 равных треугольника. Какие это треугольники? Как проверить, что они равны? Показывает еще 2 треугольника, которые не являются равными (но являются подобными). А что это за треугольники? Я предлагаю провести маленькую практическую работу. (Раздаю по рядам наборы подобных треугольников).	Конечно, треугольник Называют определение, виды треугольников, признаки равенства треугольников, медианы, биссектрисы, высоты, сумма углов треугольника, внешний угол, теорема Пифагора и т. д. Равные Треугольники должны совместиться наложением.

1 ряд	2 ряд	3 ряд
Рис. 1	Рис. 3	Рис. 5
Рис. 2	Рис. 4	Рис. 6

Учитель	Ученики
Исследуйте свои пары треугольников. Подумайте, что вы можете сказать об их соответствующих элементах. (Делаю записи на доске под диктовку детей).	Работают в парах и делают выводы.
Д	2 ряд	3 ряд
А = А1=50о	К = К1=40о	M = M1=20о
В = В1=65о	S = S1=90о	P = P1=135о
С = С1=65о	O = O1=50о	E = E1=25о
AB/A1B1=BC/B1C1=AC/A1C1=1/2	K1S1/KS=K1O1/KO=S1O1/SO=2	M1E1/ME=M1P1/MP=P1E1/PE=2

Учитель	Ученики
Как вы думаете, как их можно назвать? Называются эти треугольники подобными треугольниками. Тема нашего урока: “Подобные треугольники”.	Равноугольные. Похожие. Открывают тетради, записывают дату и тему урока.

III. Изучение нового материала

Деятельность:

Учитель	Ученики
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Сходственные стороны это стороны лежащие напротив равных углов. То есть для того чтобы узнать, подобны треугольники или нет, какие условия надо проверить? А сейчас я хочу посмотреть, как вы поняли новую тему. Давайте решим несколько задач. IV. Закрепление изученного материала Задача 1 Дано: ABC, A1B1C1; А=63о; В=56о; AB=4, BC=3, AC=6; A1=63о; B1=56о; A1B1=8, B1C1=6, A1C1=12. Определить, подобны ли треугольники. Задача 2 Дано: ABC ~ A1B1C1; А=30о; B=85о; С=65о; Найти: А1; B1; С1. Задача 3 Дано: ABC ~ A1B1C1; AB=3, BC=4, AC=6, А1В1=12. Найти: B1C1, A1C1. Задача 4 № 542 (из учебника) В подобных треугольниках АВС и KMN стороны АВ и KN, ВС и MN являются сходственными. Найдите стороны треугольника KMN, если АВ = 4 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, КМ/АВ = 2,1.	Чертят в тетради два подобных треугольника и записывают АВС ~А1В1С1 1) 1) А = А1, В = В1, С = С1 2) AС/A1C1=AB/A1B1=BC/B1C1=k, где k - некоторое число, коэффициент подобия. Надо чтобы выполнялись оба условия определения. Данные треугольники подобны, так как выполняются оба условия определения. А1=300; B1=850; С1=650 по определению подобных треугольников. Так как треугольники подобны, то АВ/А1В1= ВС/В1С1, 3/12=4/ В1С1, В1С1=16 см. Аналогично рассуждая А1С1=24 см.

V. Подведение итогов

Деятельность:

Учитель	Ученики
Что нового узнали на уроке? Сформулируйте его. Как определить какие стороны являются сходственными? Оцените степень понимания темы. Запишите на полях тетради один из вариантов: всё усвоил хорошо; усвоил, но не всё; не совсем усвоил; не усвоил.	Определение подобных треугольников. Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Сходственные стороны лежат напротив равных углов.

VI. Домашнее задание

Придумать способ измерения высоты пирамиды.

№ 541, п. 57, Атанасян Л. С., “Геометрия 7 -- 9 класс”

№541.

Подобны ли треугольники АВС и DEF, если А=106^о, B=34^о,Е=106^о,

F=40^о, АС = 4,4 см, АВ = 5,2 см, ВС = 7,6 см, DE = 15,6 см, DF = 22,8 см, EF = 13,2 см?

Способ измерения высоты пирамиды.

- Мой рост три царских вавилонских локтя (около 555 мм). А вот моя тень. Её длина такая же. И какой бы предмет не взял именно в это время, тень от него, если ты поставишь его вертикально, точно равна длине предмета. Этот предмет и его тень образуют прямоугольный треугольник; знай же, что такие треугольники подобны. А теперь измерим длину этой тени от основания пирамиды, прибавим к ней половину этого основания, и получим высоту пирамиды. Основание точный квадрат, а тень перпендикулярна его основанию. Фалес вынул из - под хитона тонкую верёвку, разделил её узелками на равные части. Расстояние между ними соответствовало царскому локтю. Он закрепил верёвку в конце тени и протянул её к середине основания пирамиды - 56 локтей. Прибавил 207 локтей - половину измеренного расстояния - к 56 он сказал - 263 локтя - такую высоту имеет пирамида.

Заключение

Понятие подобия является одним из важнейших в курсе планиметрии. Поэтому изучение данной темы является одной из основных задач обучения геометрии в школе.

В ходе решения задач, поставленных в этой работе были получены следующие результаты:

На основе теоретического анализа математической, учебной и методической литературы, определены основные понятия, предложения и методика их введения, структура изложения материала.

Разработана доступная методика изучения темы «Подобные треугольники» основанная на заданиях устного характера.

Организованны и проведены пять уроков по теме «Подобные треугольники», одна самостоятельная и контрольная работа по разработанной методики.

В результате проводимых уроков выяснилось, данная методика повышает уровень знаний учеников, что показывает анализ контрольных работ в двух классах.

На основе теоретического анализа математической, учебной, психологической и методической литературы и проведенной опытно-экспериментальной работы, следует, что если в процессе изучения данной темы использовать специально разработанную методику, направленную на решение задач устного характера, то можно выявить методические особенности изучения темы «Подобные треугольники». Применение данных методов стимулирует познавательную деятельность, способствует развитию учащихся за счет повышения уровня логического мышления, памяти, речи и внимания.

Таким образом, в результате выполненной работы была подтверждена гипотеза и достигнута цель - выявлены методические особенности изучения темы «Подобные треугольники» в средней общеобразовательной школе.

Из всего сказанного можно сделать вывод, что применение данных рекомендаций делает более доступной для учеников эту тему и позволяет вводить ее в соответствии с тем местом, которое она занимает в научной геометрии.

Список литературы

1. Александров А.Д. Геометрия 7-9.-М.: Просвещение, 1992

2. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. - М.: Просвещение, 1990 Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. средн. Шк. / Л.С.Атаносян, С.Б.Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1990.

3. Атанасян Л.С. Геометрия: Учебное пособие для студентов физ. мат. факультетов пед.институтов. - М.: Просвещение, 1987

4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: методические рекомендации к учебнику. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 2003

5. Атанасян Л. С., Денисова Н. С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии. - М.:Сантакс-Пресс,1997,ч.1.

6. Бевз Г.П. Геометрия 7-11.-М.: Просвещение, 1992

7. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Санкт-Петербург: Специальная литература, 1997, часть 1

8. Глейзер Г.И. История математики в школе 7-8 классы: Пособие для учителей.- М.: Просвещение, 1982

9. Гусева Т.М. Признаки подобия треугольников.- М.// Первое сентября, приложение «Математика», 1999, №28

10. Жохов В.И., Карташёва Г.Д., Крайнева Л.Б. Уроки геометрии в 7-9 классах: методические рекомендации для учителей к учебнику Атанасяна Л.С. -М.: Вербум-М, 2003

11. Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский А.Т. Задачи по геометрии. - М.: Просвещение, 2000

12. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Методические рекомендации к учебнику: книга для учителя/ Л.С. Атанасян и др.-М.: Просвещение, 2003

13. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.2-М.: Наука,1968

14. Кукарцев Г.И. Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах для 7-9 классов. - М.: Аквариум, 1999

15. Моденов П.С. Геометрия преобразования. - М.: Издательство московского университета, 1961

16. Никольский С.Н. Подобные треугольники. - М.//1-ое сентября, приложения «Математика», 1999, №3

17. Никулин А.В. Геометрия на плоскости. - Минск: Попурри, 1996

18. Перепёлкин Д.И. Курс элементарной геометрии. - М.: Гостехиздат,1949

19. Погорелов А.В. Геометрия 7-11.-М.: Просвещение, 1993

20. Погорелов А.В. Элементарная геометрия. - М: Наука,1974

21. Преобразования и построения: учебное пособие. / Л. В. Львова. - Барнаул: Изд-во БГПУ, 2002.

22. Шапиро И.М. Практикум по дидактике математики.- Барнаул: издательство БГПУ, 1997