Развитие логического мышления является одним из важнейших элементов воспитания личности. Этому служит математика, и в первую очередь - геометрия. Круг задач, рассматриваемых в геометрии, очень широк. Среди них особое место занимают задачи на построение, которые способствуют развитию у учащихся определенности, последовательности, обоснованности мышления. На этих задачах учатся таким методам познания как анализ и синтез. Задачи на построение являются важным средством формирования у учащихся геометрических представлений в целом. В процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки. В правильности многих математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются также в процессе геометрических построений.

Задачи на построение еще в Древней Греции приобрели важную роль, поскольку любые математические задачи, будь то доказательство свойств фигур или нахождение корней уравнений, решались геометрическими способами. К построениям предъявлялись высокие требования точности, простоты и экономности. Считалось, что самой совершенной линией на плоскости является окружность, а самой простой - прямая. Наиболее ценными считались построения, использующие только эти две линии. Поскольку прямую можно провести при помощи линейки (без делений), а окружность построить циркулем, то мы теперь говорим о задачах на построение с помощью циркуля и линейки. Циркуль позволяет не только построить окружность с указанным радиусом, но и отложить отрезок равный данному, и выяснить, какой из имеющихся отрезков длиннее. С помощью линейки можно провести прямую через две данные точки. (Линейка с делениями, которой мы пользуемся, не годится для измерений длин отрезков, она дает приближенный результат - этого античные математики не могли допустить). А в школе Платона при решении задач на построение не разрешалось использовать никакие другие инструменты, кроме циркуля и линейки. Такое ограничение сыграло большую роль в развитии геометрии, а в дальнейшем и в установлении ее связей с алгеброй.

Задачи на построение - это задачи, которые значительно чаще других поражают красотой, оригинальностью и во многих случаях простотой найденного решения, что вызывает к ним повышенный интерес.

С другой стороны, решение задач на построение нередко вызывает трудности у учащихся.

Все вышесказанное говорит об актуальности выбранной темы.

Объект исследования: процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования: методика обучения решению задач на построение.

Цель исследования - совершенствование методики обучения решению задач на построение, реализующей формирование конструктивных умений и навыков учащихся.

Достижение данной цели потребовало реализации следующих задач:

Подростковый возраст - остро протекающий период от детства к взрослости (13-16 лет), в котором выпукло переплетаются противоречивые тенденции. С одной стороны, для этого сложного периода показательны негативные проявления, дисгармоничность в строении личности, свертывание прежде установившейся системы интересов ребенка, протестующий характер его поведения по отношению к взрослым. С другой стороны, подростковый возраст отличается и множеством положительных факторов: возрастает самостоятельность ребенка, более разнообразными и содержательными становятся отношения с другими детьми и взрослыми, значительно расширяется сфера его деятельности и т.д. Главное, данный период отличается выходом ребенка на качественно новую социальную позицию, в которой формируется его сознательное отношение к себе как члену общества.

Учеба в школе занимает большое место в жизни подростка. Позитивное здесь - готовность подростка к тем видам учебной деятельности, которые делают его более взрослым в его собственных глазах. Такая готовность может быть одним из мотивов учения. Для подростка становятся привлекательными самостоятельные формы занятий. Подростку это импонирует, и он легче осваивает способы действия, когда учитель лишь помогает ему.

Конечно, интерес к учебному предмету во многом связан с качеством преподавания. Большое значение имеют подача материала учителем, умение увлекательно и доходчиво объяснить материал, что активизирует интерес, усиливает мотивацию учения. Постепенно на основе познавательной потребности формируются устойчивые познавательные интересы, ведущие к позитивному отношению к учебным предметам в целом.

геометрическое построение циркуль линейка

В этом возрасте возникают новые мотивы учения, связанные с осознанием жизненной перспективы, своего места в будущем, профессиональных намерений, идеала.

Знания приобретают особую значимость для развития личности подростка. Они являются той ценностью, которая обеспечивает подростку расширение собственно сознания и значимое место среди сверстников. Именно в подростковом возрасте прикладываются специальные усилия для расширения житейских, художественных и научных знаний. Подросток жадно усваивает житейский опыт других людей, что дает ему возможность ориентироваться в обыденной жизни. В то же время впервые подросток начинает сам искать художественные и научные знания. Вместе со сверстниками он ездит в художественные и научно-просветительские музеи, ходит на лекции, в театры.

Эрудированный подросток пользуется авторитетом у сверстников как носитель особого фетиша, что побуждает его приумножать свои знания. При этом сами по себе знания доставляют подростку истинную радость и развивают его мыслительные способности.

Знания, которые получает подросток в процессе учебной деятельности в школе, также могут приносить ему удовлетворение. Однако здесь есть одна особенность: в школе подросток не выбирает сам постигаемые знания. В результате можно видеть, что некоторые подростки легко, без принуждения, усваивают любые школьные знания; другие - лишь избранные предметы. Если подросток не видит жизненного значения определенных знаний, то у него исчезает интерес, может возникнуть отрицательное отношение к соответствующим учебным предметам.

Успех или неуспех в учении также влияет на формирование отношения к учебным предметам. Успех вызывает положительные эмоции, позитивное отношение к предмету и стремление развиваться в этом отношении. Неуспех порождает негативные эмоции, отрицательное отношение к предмету и желание прервать занятия.

Важным стимулом к учению являются притязания на признание среди сверстников. Высокий статус может быть достигнут с помощью хороших знаний: при этом для подростка продолжают иметь значение оценки. Высокая оценка дает возможность подтвердить свои способности. Совпадение оценки и самооценки важно для эмоционального благополучия подростка. В противном случае могут возникнуть внутренний дискомфорт, и даже конфликт.

Понятно, что устойчивые учебные мотивы формируются на основе познавательной потребности и познавательных интересов. Познавательные интересы подростков сильно различаются. У одних они характеризуются неопределенностью, изменчивостью и ситуативностью. У других проявляются применительно к узкому кругу учебных предметов, у третьих - к большинству из них. При этом учащихся могут интересовать различные стороны предметов: фактологический материал, сущность явлений, использование в практике.

Овладение учебным материалом требует от подростков более высокого уровня учебно-познавательной деятельности, чем в младших классах. Им предстоит усвоить научные понятия, системы знаков. Новые требования к усвоению знаний способствуют постепенному развитию теоретического мышления, интеллектуализации познавательной сферы.

Задачи на построение являются важным средством формирования у учащихся геометрических представлений в целом. В процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертёжными инструментами, приобретают графические навыки. В правильности многих математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются также в процессе геометрических построений.

Мышление ребенка сначала имеет практическую направленность. Оно возникает в форме наглядно-действенного мышления, особенностью которого является неразрывная связь с практическими действиями. Такая форма мышления является ступенью для развития других форм мышления. В частности, оно формирует такие звенья мыслительного процесса, как анализ условий задачи с точки зрения цели, сопоставление полученного результата с заданным и т.д.

С течением времени жизнь ставит перед ребенком новые, более сложные задачи, для решения которых необходимо осознание скрытых существенных связей между явлениями. Возникает новая форма мышления - наглядно-образное мышление, характеризуемое способностью манипулировать образами без практических действий.

Далее на основе практического и наглядно-образного опыта у учащихся начинает развиваться логическое мышление, которое выступает в форме абстрактных понятий и суждений

Все большее значение для подростка приобретают теоретическое мышление, способность устанавливать максимальное количество смысловых связей в изучаемом материале.

Надо мыслить самостоятельно, делать относительно глубокие выводы и обобщения. Интенсифицируется формирование абстрактного мышления, произвольной логической памяти, возрастает потребность логически обрабатывать материал для преднамеренного запоминания, приемы запоминания становятся более осознанными, разнообразными и гибкими.

Большое значение для развития образных форм мышления имеют задачи на построение. Создание сначала зрительного образа, а затем способа построения развивает у учащихся способность представить результат своих действий.

Умения и навыки построений с чертёжными инструментами являются решающими для развития пространственного мышления ребёнка, что доказано во множестве психологических исследований последнего полувека.

Однако до сих пор для многих характерна недооценка роли задач данного вида. Многие полагают, что для развития пространственного мышления учащихся следует регулярно пользоваться наглядными моделями геометрических объектов. Действительно, как показали психологические и педагогические исследования, наглядные изображения помогают развитию пространственных представлений, но только на ранних ступенях обучения. В дальнейшем они могут, наоборот, тормозить это развитие, поскольку не требуют, чтобы учащиеся сами видели геометрическую форму предметов, оперировали этой формой с целью её преобразования.

Для решения задачи развития пространственного мышления необходимо методически реализовать и поддержать содержательно (через посредство учебных заданий) транзитивную связь:

Ш Задания на построение

Ш Развитие пространственного мышления

Ш Математическое развитие учащегося

В пользу существования такой транзитивной связи говорит ряд психологических и методических исследований, Отмечающих неоспоримую роль (во многих из них предполагается и доказывается, что эта роль ведущая) задач на построение в развитии математических способностей учащихся; в установлении преемственных связей между геометрическим содержанием отдельных образовательных звеньев, в подготовке школьников к проведению доказательств.

Подростковый возраст характеризуется интенсивным развитием интеллектуальных способностей, формированием профессиональных интересов. Подростки начинают задумываться о своей будущей профессии. В учебной деятельности их интересы перерастают с учетом способностей, практических навыков профессиональной деятельности. В способах усвоения учебного материала познавательные процессы начинают приобретать качественно иную характеристику. В мышлении проявляется способность к абстрагированию, образованию новых понятий. Устойчивый произвольный характер имеют процессы внимания, памяти, интеллектуальной работоспособности. Характерной для данного возраста является склонность к теоретизированию с проявлением признаков личностного эгоцентризма. Подросток пытается выразить свою личную позицию, своё участи в возможных изменениях этих явлений, обнаруживая своеобразный эгоцентризм юношеского мышления.

Произвольность психических процессов позволяет подростку не только накапливать определенный объем знаний по изучаемым учебным дисциплинам, но и систематизировать их с учетом ведущих интересов.

Активное внимание, устойчивая интеллектуальная работоспособность, способность к логическому осмыслению запоминаемого материала и отвлеченности мышления служат показателем уровня развития познавательных процессов в подростковом возрасте. Поэтому не случайно изучение нового предмета "Геометрия" вводится именно в этом возрасте.

Для успешного усвоения темы "Задачи на построение" способствует развитие восприятия, внимания, памяти, воображения подростка. Так к 13 годам развитие восприятия идет по линии нарастания содержания и объема, становится плановым, последовательным, всесторонним. Подросток способен к более сложному анализу и синтезу воспринимаемых предметов и явлений. Можно наблюдать развитие логического восприятия. Кроме того, подросток может хорошо концентрировать внимание в значимой для него деятельности и поэтому внимание становится хорошо управляемым, контролируемым процессом. Учитель может использовать эмоциональные факторы и познавательные интересы (например, без использования транспортира построить биссектрису угла, не используя деления линейки разделить отрезок пополам и т.д.).

К 13-14 годам нарастает способность к абстрагированию, изменяется соотношение между конкретно-образным и абстрактным мышлением в пользу последнего. Заметно развивается критичность мышления.

Анализ, последовательность и умение обосновать и доказать каждый этап при решении задач на построение - это пути развития мышления подростка.

Подросток уже способен управлять своим произвольным запоминанием. Способность к запоминанию (заучиванию) постоянно, но медленно возрастает до 13 лет. С 13 до 15-16 лет наблюдается более быстрый рост памяти. Поэтому в этом возрасте необходимо увеличивать объем информации и рассматривать задачи, решение которых требует использование ранее полученных знаний. Такие формы контроля как тестирование и зачет способствуют переходу от механического запоминания к смысловому. Заодно с формой изменяется и содержание запоминаемого; становится более доступным запоминание абстрактного материала.

В подростковом возрасте воображение может превратиться в самостоятельную внутреннюю деятельность. Подросток может проигрывать мыслительные задачи с математическими знаками, может оперировать значениями и смыслами языка, соединяя две высшие психические функции: воображение и мышление.

Поэтому можно сделать вывод, что 13-14 годам ученик достиг своего развития на таком уровне, что способен решить задачи требующие анализа, абстрактного мышления и логической завершенности какими являются задачи на построение.

§2. Общие методические рекомендации к изучению геометрических построений циркулем и линейкой