Предположим, что задача решена. Пусть точка О - центр искомой окружности (рис.48). Проведем ОА и ОС - радиусы окружности. Прямоугольные треугольники АВО и СВО равны по катету и гипотенузе (АО=СО=R, ВО - общая). Из равенства треугольников следует, что АВО=СВО, т.е. ВО - биссектриса угла АВС.

Рис.48.

Построение. Проведем биссектрису АВС и перпендикуляр к стороне ВА, проходящий через точку А. Точка О пересечения биссектрисы и перпендикуляра является центром искомой окружности.

4. Построить треугольник АВС по периметру р, углу В, равному , и высоте h, опущенной из вершины А.

Пусть задача решена и АВС построен (рис.49). Отложив на прямой ВС отрезки DВ=АВ и СЕ=АС, получим равнобедренные треугольники АВD и АСЕ.

Рис.49.

Исходя из приведенных выше рассуждений, построение можно осуществить в следующей последовательности:

1. Проводим прямую и на ней откладываем отрезок DE=р.

2. На расстоянии h от прямой DE проводим прямую l, параллельную DE.

3. С вершиной в точке D строим угол АDЕ, равный . Точка А - одна из вершин искомого треугольника.

4. Проводим серединные перпендикуляры к отрезкам AD и АЕ. Точки В и С пересечения этих серединных перпендикуляров с прямой DE - две другие вершины искомого треугольника.

9.3 Построение отрезков, заданных алгебраическим способом

Можно рассмотреть случаи построения отрезков, определенных следующими формулами:

1.

2. , где

3. , где - натуральные числа;

4. (построение четвёртого пропорционального к трём данным);

5. ;

6. ;

7. где .

Учитель предлагает учащимся методику построения данных отрезков, а учащиеся должны доказать, что построенный отрезок - искомый.

Построение отрезка х=а (частный случай построения x=).

На луче ОА откладываем отрезок ОВ=3а, затем на луче ОD (этот луч выбирается произвольно) отрезок 4b, где b - какой-нибудь отрезок. Конец Е отрезка 4b соединяется с В и затем через точки на ОЕ проводятся прямые параллельные ЕВ, точка пересечения этих прямых с ОА делят отрезок ОВ на равные части, длина каждой из которых равна х=а (рис.50).

Рис.50.

Построение отрезка х=.

Проводим из общей точки О два луча ОА и ОD, и на них откладываем отрезки ОР=а, ОВ=с и ОЕ=b. Соединим точки Е и В прямой и через точку Р проводим прямую параллельную ЕВ. Пусть Q-точка пересечения этой прямой с ОD. Тогда, ОQ=х, это следует из подобия треугольников ОВЕ и ОQР. Имеем =, отсюда OQ= (рис.51).

Рис.51.

Построение отрезка х=.

На отрезке АВ=а+b, где AD=a и DB=b строим полуокружность. Проводим через D перпендикуляр к АВ.

Пусть С-точка его пересечения с окружностью, тогда СD=х. это следует из подобия треугольников АСD и СDB. Имеем: , отсюда СD==x (рис.52).

Рис.52.

Построение отрезка х=а.

На сторонах h и k угла hk откладываем отрезки ОС=1; ОА=а; ОD=1, ОВ=а. Проводим отрезок ВС и затем через точку А проводим прямую параллельную ВС. Пусть Е-точка пересечения этой прямой с лучом k, тогда ОЕ= а.

Действительно треугольники ОВС и ОЕА подобны (они имеют общий угол О и ВС¦ЕА) и поэтому , или , т.е. ОЕ= а (рис.53).

Рис.53.

Рассмотрим решение нескольких задач.

Задача. Пусть a, b, c, d - данные отрезки.

Построить отрезок x, заданный формулой

.

Решение. Построение отрезка x выполняем в следующей последовательности.

1) Строим отрезок y, заданный формулой (для этого дважды выполняем построение отрезка, заданного формулой 5).

2) Строим отрезок z, заданный формулой

(построение отрезка, заданного формулой 6).

3) Строим отрезки u и v по формулам: и (построение отрезка, заданного формулой 4).

4) Строим отрезок x по формуле (построение отрезков, заданных формулой 4).

Задача. Построить отрезок, длина которого в выбранной единице измерения равна .

Решение. Требуется построить отрезок x, длина которого выражается формулой или.

Пользуясь построением отрезков, заданных формулами 1-7 стоим последовательно отрезки y, z, и u: , а затем строим искомый отрезок x по формуле .

Алгебраический метод решения задач на построение состоит в следующем. Задачу формулируют так, чтобы в качестве данных фигур и искомой фигуры были отрезки. Используя подходящие теоремы, выражают длину искомого отрезка через длины данных отрезков и по найденной формуле строят искомый отрезок.

Рассмотрим пример.

Задача. Дан треугольник ABC. Построить три окружности с центрами соответственно в точках А, В и С так, чтобы они попарно касались друг друга внешним образом.

Решение.

Анализ. Пусть АВС - данный треугольник, - его стороны (АВ=c, ВС=a, СА=b), а - радиусы искомых окружностей (рис.54).

Рис.54.

Задача будет решена, если мы сможем построить отрезок по известным отрезкам . Имеем: x+y=c, x+z=b, y+z=a. (*) Отсюда получаем: . Построив отрезок по этой формуле, проводим окружность (А,x), а затем две другие окружности: (В, c-x) и

(С, b-x).

Построение и доказательство опустим.

Исследование. Из формул (*) находим:

. (**)

Из этих формул видно, что задача всегда разрешима, так как в треугольнике АВС и отрезки могут быть построены по формулам (**).

Формулы (**) дают единственные значения радиусов искомых окружностей, поэтому задача имеет единственное решение.

9.4 Задачи, неразрешимые циркулем и линейкой

Материал данного параграфа может использоваться на факультативных занятиях. Он может быть представлен ученикам, как в форме лекции, так и в форме докладов учеников.

Большое внимание привлекали к себе в течение многих столетий задачи, которые с давних времен известны как "знаменитые задачи древности". Под этим названием обычно фигурировали три знаменитые задачи:

1) квадратура круга,

2) трисекция угла,

3) удвоение куба.

Все эти задачи возникли в глубокой древности из практических потребностей людей. На первом этапе своего существования они выступали как вычислительные задачи: по некоторым "рецептам" вычислялись приближенные значения искомых величин (площадь круга, длина окружности и др.). На втором этапе истории этих задач происходят существенные изменения их характера: они становятся геометрическими (конструктивными) задачами.

В Древней Греции в этот период им придали классические формулировки:

1) построить квадрат, равновеликий данному кругу;

2) разделить данный угол на три равные части;

3) построить ребро нового куба, объем которого был бы в два раза больше данного куба.

Все эти геометрические построения предлагалось выполнять с помощью циркуля и линейки.

Простота формулировок этих задач и "непреодолимые трудности", встретившиеся на пути их решения, способствовали росту их популярности. Стремясь дать строгие решения указанных задач, древнегреческие ученые "попутно" получали многие важные результаты для математики, что способствовало превращению разрозненных математических знаний в самостоятельную дедуктивную науку (особенно заметный след в то время оставили пифагорейцы, Гиппократ Хиосский и Архимед).

Задача об удвоении куба.

Обоснование неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки.

Задача удвоения куба состоит в следующем: зная ребро данного куба, построить ребро такого куба, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба.

Пусть а - длина ребра данного куба, х - длина ребра искомого куба. Пусть - объем данного куба, а - объем искомого куба, тогда согласно формуле вычисления объема куба имеем, что: =, , а так как, согласно условию задачи , то приходим к уравнению .

Из алгебры известно, что рациональные корни приведенного уравнения с целыми коэффициентами могут быть только целыми и содержаться среди делителей свободного члена уравнения. Но делители числа 2 служат только числа +1, - 1, +2, - 2, и ни одно из них не удовлетворяет исходному уравнению. Следовательно, уравнение рациональных корней не имеет, а это значит, что задача удвоения куба не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Приближенное решение задачи с помощью циркуля и линейки.

Задача удвоения куба с помощью циркуля и линейки может быть решена лишь приближенно. Приведем один из самых простых способов приближенного решения этой задачи.

Пусть АВ=ВС=а, причем АВВС. Строим AD=АС, тогда CD с точностью до 1%. В самом деле, CD 1,2586…. В тоже время =1,2599….

Задача о квадратуре круга.

Обоснование неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки.

Задача о квадратуре круга состоит в следующем: построить квадрат равновеликий кругу.

Пусть - радиус данного круга, -длина стороны искомого квадрата. Тогда , отсюда .

Следовательно, задача о квадратуре круга будет решена, если мы построим отрезок длиной . Если радиус данного круга принять за единичный отрезок (=1), то дело сведется к построению по единичному отрезку отрезка длиной .

Как известно, зная единичный отрезок, мы можем циркулем и линейкой строить только такие отрезки, длины которых выражаются через рациональные числа с помощью конечного множества рациональных операций и извлечением квадратных корней и, значит являются числами алгебраическими. При этом будут использованы далеко не все алгебраические числа. Например, нельзя построить отрезок длиной и т.д.

В 1882 г. Линдеманн доказал, что - трансцендентное. Отсюда следует, что циркулем и линейкой нельзя построить отрезок длиной и, следовательно, этими средствами задача о квадратуре круга неразрешима.

Приближенное решение задачи с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим один из приемов приближенного построения отрезков длиной . Этот прием состоит в следующем. Четверть окружности АВ с центром в точке О и радиусом, равным единице, делим пополам точкой С. На продолжении диаметра CD откладываем отрезок DE, равный радиусу. Из точки Е проводим лучи ЕА и ЕВ до пересечения с касательной в точке С. отсекаемый отрезок АВ приближенно равен длине дуги АВ, а удвоенный - полуокружности.

Нетрудно подсчитать это приближение. Пусть в треугольнике АСЕ Е=, тогда АС=3tg. В треугольнике АОЕ по теореме синусов имеем 2sin=sin (45-) и следовательно, tg=. Таким образом, 4АС=12tg =123,1344465…

Относительная погрешность этого приближения не превышает 0,227%.

Задача о трисекции угла.

Обоснование неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки.

Задача о трисекции угла состоит в следующем: разделить данный угол на три равные части.

Ограничимся решением задачи для углов, не превышающих 90. Если - тупой угол, то =180-, где <90, так что , и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла .

Заметим, что (при наличии единичного отрезка) задача о построении угла (90) равносильна задаче о построении отрезка х=соs . В самом деле, если угол построен, то построение отрезка х=соs сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.

Обратно. Если построен отрезок х, то построение такого угла , что х=соs , сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

Пусть - данный угол, - искомый угол, так что =. Тогда cos=cos 3. Известно, что cos 3= 4cos-3cos . Поэтому, полагая cos =, а cos =, приходим к уравнению:

cos =4cos-3cos ,

,

.

Отрезок , а следовательно, и угол могут быть построены лишь в том случае, когда это уравнение имеет хотя бы один рациональный корень. Но это имеет место не при всяком , и поэтому задача о трисекции угла, вообще говоря не разрешима с помощью циркуля и линейки. Например. При =60 получим =1 и найденное уравнение принимает вид: . Легко проверить, что это уравнение не обладает никаким рациональным корнем, откуда следует невозможность деления угла в 60 на три равные части с помощью циркуля и линейки. Таким образом, задача о трисекции угла не разрешима циркулем и линейкой в общем виде.

Приближенное решение задачи с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим один из способов приближенного решения задачи с помощью циркуля и линейки, предложенный Альбертом Дюрером (1471-1528).

Пусть дан угол ASB. Из вершины S произвольным радиусом описываем окружность и соединяем точки пересечения сторон угла с окружностью хордой АВ. Делим эту хорду на три равные части в точках R и R (А R= R R= RВ). из точек А и В, как из центров, радиусами А R= RВ описываем дуги, пересекающие окружность в точках Т и Т. Проведем RSAB. Радиусами А S= BS проводим дуги, пересекающие АВ в точках U и U. Дуги АТ, SS и TB равны между собой, так как стягиваются равными хордами.

Чтобы найти точки трисекции угла X и X, Дюрер делит на три равные части отрезки RU и RU точками PV и PV. Затем радиусами AV и BV проводим дуги, которые пересекают окружность в точках X и X. Соединив эти точки с S, получим деление данного угла на три равные части с хорошим приближением к истинным величинам.

Заключение

В данной выпускной квалификационной работе изложен методический материал по теме "Задачи на построение циркулем и линейкой". В работе рассмотрены основные построения, изучаемые в СОШ, приведено много практических примеров, разработаны планы уроков и факультативных занятий с методическими рекомендациями. Установлен объём, в котором построения циркулем и линейкой изучаются в СОШ. В соответствии с этим разработано поурочное планирование по данной теме. Предлагаемые факультативные занятия можно использовать как уроки, если учитель работает в классах с углубленным или расширенным изучением математики, или для дополнительных занятий с одарёнными учащимися.

В исследовании использовались различные методы: анализ учебной и учебно-методической литературы, учебных программ; обобщение и систематизация материала по теме "Задачи на построение циркулем и линейкой"; изучение опыта учителей; проектирование уроков по теме "Задачи на построение циркулем и линейкой".

Ценность данной работы заключается в том, что, она может помочь учителю не только отработать у школьников конструктивные навыки, но и развить у учащихся пространственное и логическое мышление.

Данная работа полезна начинающим учителям СОШ и студентам при прохождении педагогической практики в школе.

Литература

1. Абрамова Г.С. Возрастная психология. - М.: Академия, 1999. - 290 с.

2. Александров А.Д. Геометрия 7-9. Учеб. для 7-9кл. общеобразоват. учреждений - М.: Просвещение, 2003. - 298 с.

3. Алферов А.Д. Психология развития школьника. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2000. - 320с.

4. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости, второе издание. - М.: Просвещение, 1975. - 380 с.

5. Аргунов Б.И. Преобразования плоскости - М.: Просвещение, 1982. - 270с.

6. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9, пятое издание. Учеб. для7-9кл. общеобразоват. учреждений - М.: Просвещение, 1995. - 335 с.

7. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия (часть 2). - М.: Просвещение, 1975. - 370 с.

8. Бевз Г.П., Бевз В.Г. Геометрия 7-11. Учеб. для 7-11кл. общеобразоват. учреждений - М.: Просвещение, 1992. - 450 с.

9. Белошистая А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии. // Математика в школе: научно - теоретический и методический журнал. 2002. №9. - М.: Школьная пресса. - 60 с.

10. Карнацевич Л.С., Грузин А.И. Изучение геометрии в 6 классе. - М.: Просвещение, 1983-276 с.

11. Корнеева В.Е. Решение задач на построение методом спрямления. // Математика в школе: научно - теоретический и методический журнал. 1995. №5. - М.: Школьная пресса. - 60 с.

12. Мельникова Н.Б., Мищенко Т.М. Геометрия в 6 классе. - М.: Просвещение, 1986-250 с.

13. Мухина В.С. Возрастная психология. - М.: Академия, 1999-370 с.

14. Никитин Н.Н., Фетисов А.И. Геометрия 6-9. Учеб. Для 6-9кл. общеобразовательных учреждений - М.: Просвещение, 1982. - 350 с.

15. Нильме Д.В. Циркулем и линейкой. // Квант: научно - теоретический и методический журнал. 1975. №6. - М.: Школьная пресса. - 80 с.

16. Погорелов А.В. Геометрия 6-10. Учеб. для 6-10кл. общеобразоват. учреждений - М.: Просвещение, 1982. - 390 с.

17. Рыбалко Е.Ф. Возрастная и дифференциальная психология-СПб.: Питер, 2001. - 160 с.

18. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 7-9. Учеб. для 7-9кл. общеобразовательных учреждений - М.: Просвещение, 1999. - 400 с.

19. Чистякова Л.С. Приемы формирования практических умений и навыков при обучении геометрии. // Математика в школе: научно - теоретический и методический журнал. 1987. №4. - М.: Школьная пресса. - 60 с.

20. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9. Учеб. для 7-9кл. общеобразоват. учреждений - М.: Просвещение, 2002. - 450 с.

Приложения

Приложение 1

Задачи на построение в 7классе по учебнику Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. "Геометрия 7-9"

Задачи к разделу "Основные построения" 1. (№150)

Задача: Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы АМ=PQ. Всегда ли задача имеет решение?

Решение:

Начертим окружность, точку А, не лежащую на ней, и отрезок PQ.

Построение:

Проведём окружность с центром в точке А и радиусом PQ. Пусть точка М - одна из точек пересечения построенной и данной окружностей. Тогда М - искомая точка, так как точка М принадлежит данной окружности и АМ=PQ.

Исследование: Выясним, всегда ли задача имеет решение. Возможны три случая:

а) Построенная окружность пересечёт данную окружность в двух точках М и М. В этом случае задача имеет два решения.

Рис.55.

б) Построенная окружность имеет с данной окружностью одну общую точку М. Задача имеет одно решение.

Рис.56.

в) Построенная окружность не имеет общих точек с данной окружностью. Задача не имеет решений.

Рис.57.

2. (№151)

Задача: Даны острый угол ВАС и луч XY. Построить угол XYZ так, чтобы YXZ=2ВАС.

Решение:

Начертим острый угол ВАС и луч XY.

Построение:

Рис.58.

1. От луча АС отложим угол САD, равный углу ВАС так, чтобы точки В и D были по разные стороны от прямой АС. Получится угол ВАD; так как угол ВАС - острый, то ВАD=2ВАС.

2. Отложим от луча XY угол YXZ, равный углу ВАD.

Угол YXZ - искомый, так как XYZ=2ВАС по построению.

3. (№152)

Задача: Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОX так чтобы углы XOA и XOB были равными тупыми углами.

Решение:

Начертим данный угол АОВ.

Построение:

1. Построим биссектрису ОС угла АОВ.

2. Построим луч ОX, дополнительный к лучу ОС. Луч ОX - искомый.

Доказательство:

Убедимся в том, что задача решена правильно. По построению ОС - биссектриса угла АОВ, поэтому АОС=СОВ=АОВ. Так какАОВ - тупой, то АОС иСОВ - острые. По построению углы АОС и АОX - смежные, АОС+АОX=, АОX=-АОС. Аналогично, ВОX=-ВОС.

Так как АОС и ВОС равные острые углы, то из предыдущих равенств следует, что АОX и ВОX - равные тупые углы.

4. (№153)

Задача: Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а.

Решение:

Рис.59.

Построим окружность с центром М, пересекающую прямую а в двух точках, которые обозначим буквами А и В. Затем построим две окружности с центрами А и В, проходящие через точку М. Эти окружности пересекутся в точке М и ещё в одной точке N. Проведём прямую МN и докажем, что эта прямая искомая.

В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём сторонам, поэтому 1=2. Отсюда следует, что отрезок МС (С - точка пересечения прямых а и МN) является биссектрисой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой. Таким образом, МNАВ.

5. (№154)

Задача: Дан треугольник АВС. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту CH треугольника.

Решение:

Рис.60.

Построение:

а) Построение биссектрисы АК производится по задаче о построении биссектрисы угла.

б) Для построения медианы ВМ необходимо построить точку М так, чтобы она являлась серединой отрезка СА (по задаче о построении середины отрезка).

в) Построим прямую а так, чтобы Са и аАВ (по задаче №153). Прямая а пересекает отрезок АВ в точке H. CH - искомая высота.

6. (№155)

Задача: С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) ; б) .

Решение:

Рис.61.

Построение:

1. С помощью треугольника строим угол АОВ равный .

2. Построим биссектрису ОЕ, получили .

3. Построим OF - биссектрису AOE, получим .

Дополнительные задачи

7. (№180)

Задача: Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.

Рис.62.

Решение:

Ход построения:

1. Построим окружность с центром в точке А и радиусом R.

2. Эта окружность пересечёт прямую в двух точках; в одной точке или не пересечёт.

3. В зависимости от этого задача будет иметь два, одно решение или не иметь решений.

Рассмотрим все три случая:

1случай

Рис.63.

Значит, центр искомой окружности может быть или точка В, или точка С. Задача имеет два решения. Искомые Окр (В; R), Окр (С; R), АОкр (В; R) и АОкр (С; R).

2случай

Рис.64.

Центр искомой окружности D. Задача имеет одно решение. Искомая Окр (D; R) AОкр (D; R).

3случай

Рис.65.

Задача не имеет решения. На прямой нет точки, которая бы была удалена от А на расстояние R.

8. (№181)

Задача: Постройте окружность данного радиуса PQ, проходящую через две данные точки A и B.

Рис.66.

Решение:

Построение:

1. Построим окружность с центром в точке А радиусом PQ и окружность с центром в точке В и радиусом PQ.

2. Эти окружности пересекутся в точках О и О1, в точке О или не пересекутся.

3. В зависимости от этого задача имеет два или одно или не имеет решений.

Рассмотрим все три случая:

1случай

Если AB<2PQ, то центр искомой окружности может быть или О или О1. Задача имеет два решения. Искомые Окр (О; PQ), Окр (О1; PQ).

2случай

Если AB=2PQ, то центр искомой окружности О. Задача имеет одно решение. Искомая Окр (О; PQ).

3случай

Если АВ>2PQ, то задача не имеет решения.

9. (№182)

Задача: Даны прямая а, точки А, В и отрезок PQ. Построить треугольник АВС так, чтобы вершина С лежала на прямой а и АС= PQ.

Рис.67.

Решение:

Ход построения:

1. Построим окружность с центром в точке А и радиусом, равным длине отрезка PQ.

2. Окружность пересечёт прямую а в двух точках (а может получиться и в одной точке, а может и не пересекать). Обозначим эти точки С иС1.

3. Соединим отрезками точки А, В, С и А, В, С1, получим треугольники АВС и АВС1. Оба эти треугольника соответствуют требованиям задачи. Значит, задача имеет два решения.

Эта задача может иметь одно решение и ни одного.

Пример:

А)

Рис.68.

Задача имеет одно решение.

Б)

Рис.69.

Получим отрезок, а не треугольник. Задача не имеет решения.

10. (№183)

Задача: Даны окружность, точки А, В и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы вершина С лежала на данной окружности АС=PQ.

Рис.70.

Решение:

Ход построения:

1. Построим окружность с центром в точке А и радиусом, равным длине отрезка PQ.

2. Данная окружность и построенная пересеклись в точке С.

3. Соединим отрезками точки А, В, С. Получим треугольник АВС.

Эта задача может иметь два решения или ни одного решения.

Пример:

А)

Рис.71.

Треугольники АВС и АВС1 - искомые решения.

Б)

Рис.72.

Получим отрезок, а не треугольник. Задача не имеет решения.

11. (№184)

Задача: На стороне ВС треугольника АВС постройте точку, равноудалённую от вершин А и С.

Решение:

Рис.73.

Ход построения:

1. Построим две окружности с центром в точке А и в точке С и одинаковыми радиусами (больше АС).

2. Эти окружности пересекутся в точках Е и N.

3. EN и BC пересекаются в точке D - искомая точка.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник АDC, DO - серединный перпендикуляр, значит, треугольник АDC - равнобедренный, тогда, AD=AC.

Но эта задача может не иметь решения.

Пример:

Рис.74.

EN и BC не пересекаются. Нет такой точки DBC, чтобы AD=DC.

12. (№185)

Задача: С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равные части.

Решение:

Чтобы разделить отрезок на четыре равные части надо:

1. Разделить его пополам.

2. Каждую половину ещё раз пополам.

Задачи к разделу "Построение треугольника по трём элементам"

1. (№286)

Задача: Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

Рис.75.

Решение:

Анализ:

Рис.76.

Ход построения:

1. Строим отрезок АВ=а.

2. Строим угол А=.

3. Строим биссектрису АD=l.

4. Соединяем точки B и D прямой.

5. Прямая BD пересечёт сторону угла А в точке С.

6. Получим искомый треугольник АВС.

2. (№287)

Задача: Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.

Рис.77.

Решение:

Анализ:

Рис.78.

Ход построения:

1. Строим отрезок АВ=а.

2. Строим угол BAD=.

3. Строим AD=m.

4. Соединим прямой точки B и D.

5. Отложим отрезок CD, равный BD.

6. Соединим отрезком точки А и С.

7. Треугольник АВС - искомый.

3. (№288)

Задача: Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник АВС так, чтобы: а) AB=PQ, , б) AB=PQ, , .

Рис.79.

Решение:

а) Анализ:

Рис.80.

Ход построения:

1. Построим отрезок АВ=PQ.

2. Построим угол В, равный углу hk.

3. Постоим угол А, равный 1/2 угла hk.

4. Стороны углов А и В пересекутся в точке С.

5. Получим искомый треугольник АВС.

б) Анализ:

Рис.81.

Ход построения:

1. Строим отрезок AB=PQ.

2. Строим угол В, равный углу hk.

3. Строим угол А, равный 1/4 угла.

4. Стороны углов А и В пересекаются в точке С.

5. Получим искомый треугольник АВС.

Чтобы построить 1/2 угла hk, надо построить биссектрису угла hk.

Чтобы построить 1/4 угла hk, надо построить биссектрису угла hk, а затем биссектрису его половины.

4. (№289)

Задача: Даны два угла hk и hk и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы АВ=PQ, , .

Рис.82.

Решение:

Анализ:

Рис.83.

Ход построения:

1. Построим отрезок АВ=PQ.

2. Построим угол В равный углу hk.

3. Построим угол А равный 1/2 угла hk.

4. Стороны А и В пересекаются в точке С.

5. Получим искомый треугольник АВС.

5. (№290)

Задача: Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам;

Рис.84.

б) по катету и прилежащему к нему острому углу.

Рис.85.

Решение:

а) Анализ:

Рис.86.

Ход построения:

1. Построим прямой угол С.

2. На одной стороне отложить отрезок АС=а, а на другой СВ=b.

3. Соединить отрезком точки А и В.

4. Получим искомый треугольник АВС.

б) Анализ:

Рис.87.

Ход построения:

1. Построим прямой угол С.

2. Отложить на стороне угла отрезок АС=а.

3. Построим угол А равный .

4. Стороны А и С пересекутся в точке В.

5. Получим искомый треугольник АВС.

6. (№291)

Задача: Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию;

Рис.88.

б) по основанию и углу при основании;

Рис.89.

в) по боковой стороне и углу при основании;

Рис.90.

г) по основанию и боковой стороне;

Рис.91.

д) по основанию и медиане, проведённой к основанию.

Рис.92.

Решение:

а) Анализ:

Рис.93.

Ход построения:

1. Построим угол В равный .

2. На сторонах угла отложим отрезки ВА=ВС=а.

3. Соединим полученные точки А и С.

4. Получим искомый треугольник АВС.

б) Анализ:

Рис.94.

Ход построения:

1. Построим отрезок АС=b.

2. Построим А=С=.

3. Стороны углов А и С пересекаются в точке В.

4. Получим искомый треугольник АВС.

в) Анализ:

Рис.95.

Ход построения:

1. Построим отрезок АВ=с.

2. Построим угол А равный .

3. Построим угол В равный .

4. На стороне угла В отложим отрезок ВС=с.

5. Соединим точки А и С.

6. Получим искомый треугольник АВС.

г) Анализ:

Рис.96.

Ход построения:

1. Построим отрезок АС=а.

2. Построим две окружности с центрами в точках А и С и радиусом b.

3. Окружности пересекутся в точке В.

4. Соединим отрезками А и В, В и С.

5. Получим искомый треугольник АВС.

д) Анализ:

Рис.97.

Ход построения:

1. Построим отрезок АС=а.

2. Построим точку D - середину отрезка АС.

3. Так как медиана равнобедренного треугольника является высотой, то построим .

4. На стороне угла D отложим DB=m.

5. Соединим отрезками А и В, В и С.

6. Получим искомый треугольник АВС.

7. (№292)

Задача: Даны отрезки PQ, PQ, PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы: а) АВ= PQ, ВС= PQ, СА=2 PQ; б) АВ=2 PQ, ВС= PQ, СА=3/2 PQ. Всегда ли задача имеет решение?

Рис.98.

Решение:

а) Анализ:

Рис.99.

Ход построения:

1. Построим отрезок АВ= PQ.

2. Построим окружность с центром в точке А и радиусом R= PQ.

3. Построим окружность с центром в точке В и радиусом R= 2 PQ.

4. Эти две окружности пересекутся в точке С.

5. Получим искомый треугольник АВС.

б) Анализ:

Рис.100.

Ход построения:

1. Построим отрезок ВС= PQ.

2. Построим окружность с центром в точке В и радиусом R=2 PQ.

3. Построим окружность с центром в точке С и радиусом R= 3/2 PQ.

4. Эти две окружности пересекутся в точке А.

5. Получим искомый треугольник АВС.

Чтобы задача имела решение надо помнить, что сумма длин двух её сторон должна быть больше длины третьей стороны.

8. (№294)

Задача: Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к одной из этих сторон.

Рис.101.

Решение:

Анализ:

Рис.102.

Ход построения:

1. Построим прямой угол D.

2. На одной из его сторон отложим отрезок DC=h.

3. Построим окружность с центром в точке С и радиусом R=a.

4. Окружность пересечёт другую сторону угла D в точке А.

5. Отложим отрезок АВ=b.

6. Получим искомый треугольник АВС.

9. (№295)

Задача: Постройте треугольник по двум сторонам и медиане к одной из этих сторон.

Рис.103.

Решение:

Анализ:

Рис.104.

Ход построения:

1. Построим отрезок АВ=а.

2. Построим точку D - середину отрезка AD.

3. Построим окружность с центром в точке D и радиусом R=m и окружность с центром в точке А и радиусом R=b.

4. Окружности пересекутся в точке С.

5. Соединим отрезком точки В и С.

6. Получим искомый треугольник АВС.

Дополнительные задачи

10. (№313)

Задача: Постройте треугольник по двум сторонам AB и BC и медиане ВО, проведённой к третьей стороне.

Решение:

АВ=PQ,

BC=PQ,

BO=PQ.

Рис.105.

Ход построения:

1. Возьмём произвольную прямую а и произвольную точку Аа.

2. Строим точку D так, что Da и AD=PQ.

3. Строим окружность с центром в точке А и радиусом PQ и окружность с центром в точке D и радиусом 2 PQ.

4. Эти окружности пересекаются в точке В.

5. Строим точку О - середину отрезка BD (по задаче о построении середины отрезка).

6. Строим прямую АО.

7. Строим точку С так, что АО=ОС.

8. Получим искомый треугольник АВС.

11. (№314)

Задача: Постройте прямоугольный треугольник по: а) гипотенузе и острому углу;

Рис.106.

б) по катету и противолежащему углу;

Рис.107.

в) гипотенузе и катету.

Рис.108.

Решение:

Рис.109.

а) Ход построения:

1. Возьмём произвольную прямую а и произвольную точку Аа.

2. Строим (по задаче о построении угла, равного данному).

3. Находим точку В, чтобы Вb и AB=PQ (по задаче об откладывании отрезка, равного данному).

4. Проводим прямую с, чтобы Вс и са.

5. Прямая с пересекает прямую а в точке С.

6. Получим искомый треугольник АВС.

Рис.110.

б) Ход построения:

1. Возьмём произвольную прямую а и произвольную точку Аа.

2. Строим (по задаче о построении угла, равного данному).

3. Находим прямую с, чтобы с¦а и расстояние между а и с было равно PQ.

4. Прямая с пересекает прямую l в точке В.

5. Строим прямую d, чтобы Вd и dc (по задаче о построении перпендикулярных прямых).

6. Прямая d пересекает прямую а в точке С.

7. Получим искомый треугольник АВС.

Рис.111.

в) Ход построения:

1. Возьмём произвольную прямую а и произвольную точку Ва.

2. Находим точку С, чтобы Са и ВС= PQ (по задаче об откладывании отрезка, равного данному).

3. Строим прямую b, чтобы Cb и ab (по задаче о построении перпендикулярных прямых).

4. Строим окружность с центром в точке В и радиусом, равным PQ.

5. Окружность пересекает прямую b в точке А.

6. Получим искомый треугольник АВС.

12. (№315)

Задача: С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) .

Решение:

Рис.112.

а) Ход построения:

1. Возьмём произвольную прямую а и произвольную точку Аа.

2. Строим прямую b, чтобы Аb и ab (по задаче о построении перпендикулярных прямых).

3. Находим точку В, чтобы Вb и АВ - произвольной длины.

4. Строим окружность с центром в точке В и радиусом, равным 2АВ.

5. Окружность пересекает прямую а в точке О.

6. Получим искомый треугольник АВС.

Доказательство:

Треугольник АОВ - прямоугольный (по построению) и АВ=1/2ОВ (по построению), следовательно, по свойству АОВ=.

б) Угол в построен в пункте а) одновременно с углом в (это ОВА).

в) Построенный в пункте а) угол в следует разделить пополам (по задаче о построении биссектрисы угла).

г) Поскольку =-, этот угол построен в пункте а) - это угол смежный углу АВО.

д) Поскольку =-, этот угол построен в пункте а) - это угол смежный углу АОВ.

е) Поскольку =+, следует построить две перпендикулярные прямые и один из полученных прямых углов разделить пополам (по задаче о построении биссектрисы угла).

ж) Поскольку =-, это угол, смежный построенному в пункте в) углу в .

з) Поскольку =-, следует построить угол в и затем построить перпендикуляр к одной из сторон построенного угла, проходящий через его вершину. Один из полученных углов составит .

и) Поскольку =+, это другой из углов, полученных в пункте з).

13. (№316)

Задача: Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

Рис.113.

Решение:

Рис.114.

Ход построения:

Строим две параллельные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном данной высоте треугольника. На одной из прямых отмечаем точку А и откладываем отрезок АВ, равный данной стороне треугольника. Строим окружность с центром А и радиусом, вдвое большим данной медианы треугольника. Строим середину М отрезка AD, где D - точка пересечения окружности и второй прямой, и проводим прямую ВМ до пересечения со второй из параллельных прямых в точке С. Треугольник АВС - искомый.

14. (№317)

Задача: Дан треугольник АВС. Постройте отрезок DE, параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и E лежали на сторонах АВ и ВС и DE=АD+СE.

Решение:

Рис.115.

Ход построения:

1. Строим прямую а - биссектрису угла А (по задаче о построении биссектрисы угла).

2. Строим прямую с - биссектрису угла С (по задаче о построении биссектрисы угла).

3. Прямая а пересекается с прямой с в точке О.

4. Строим прямую b, чтобы Оb и bАС.

5. Строим прямую d, чтобы db и Оd (по задачи о построении перпендикулярных прямых).

6. dAB в точке D, dBC в точке E.

7. Отрезок DE - искомый.

15. (№318)

Задача: Дан равносторонний треугольник АВС и точка В на стороне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки А и С так, чтобы треугольник АВС был равносторонним.

Решение:

Рис.116.

Ход построения:

1. Проводим окружность с центром в точке В и радиусом ВС.

2. Эта окружность пересекает ВС в точке А.

3. Проводим окружность с центром в точке А и радиусом ВС.

4. Эта окружность пересекает АВ в точке С.

5. Треугольник А В С.

Доказательство:

1) Треугольник АВС - равносторонний, следовательно, =, АВ=ВС=АС.

2) А В=АС - ВС, ВС=АВ-А С, СА=ВС-ВА, АВ=АС=ВС (по доказательству), ВС=АС=В А (по построению), следовательно, АВ=ВС=СА

3) = (по доказательству), АС=ВА=СВ (по построению), АВ=ВС=СА (по доказательству), следовательно, ДАСВ= ДВАС= ДСВА (по двум сторонам и углу между ними), следовательно, ВС=АС=АВ

Треугольник АВС - равносторонний. Чтд.

Приложение 2

Дидактические материалы по геометрии для 7 класса

Варианты:

1, 2 - предлагаются задачи, для успешного решения которых учащиеся должны применить знания на уровне минимальных программных требований.

3, 4 - задачи среднего уровня сложности. Решение этих задач предусматривает умение распознавать понятия в стандартных ситуациях, применять знания в стандартных условиях или при небольших отклонениях от них. Соответствует по сложности большинству основных задач учебника.

5, 6 - предназначены для наиболее подготовленных учащихся. При их решении требуется уметь применять знания в усложнённых ситуациях, иметь достаточно высокий уровень развития вычислительных навыков и навыков проведения тождественных преобразований. По сложности эти задачи примерно соответствуют наиболее трудным из основных и дополнительных задач учебника.

7, 8 - состоят из задач, при решении которых требуется творческое применение знаний. Здесь приходится анализировать сложные нестандартные геометрические ситуации, самостоятельно открывать новые факты, устанавливать отношения между ними. По сложности эти задачи примерно соответствуют разделу "Задачи повышенной трудности" учебника.

Задания у 7, 8 вариантов могут быть даны учащимся после выполнения ими основной работы наравне со всеми учащимися класса в оставшееся время или использованы в качестве необязательных заданий для домашней работы, а также на занятиях математического кружка.

Основные построения

1. а) Даны острые углы АВС и МON. От стороны АВ во внешнюю область угла АВС отложите угол, равный углу MON.

б) Постройте прямой угол и его биссектрису.

2. а) Даны острый угол MNK и тупой угол АВС. От стороны АВ во внутреннюю область угла АВС отложите угол, равный углу MNK.

б) Постройте отрезок, соединяющий середины двух данных отрезков.

3. а) Начертите произвольный остроугольный треугольник АВС и постройте точку пересечения высоты BD и биссектрисы AL этого треугольника.

б) От данного луча отложите угол, равный ј данного угла.

4. а) Начертите произвольный остроугольный треугольник АВС и постройте точку пересечения высоты АD и биссектрисы ВМ этого треугольника.

б) От данного луча отложите угол, который в полтора раза больше данного угла.

5. а) Постройте угол, равный . От его вершины А на сторонах отложите два равных отрезка АВ и АС и постройте окружность, проходящую через точки А, В и С.

б) Дан треугольник АВС. На прямых АС и ВС постройте точки X и Y, такие, что XA=XB и YA=YB.

6. а) Постройте угол, равный . От его вершины В на сторонах отложите отрезки ВА и ВС, такие, что ВА=2ВС. Постройте окружность, проходящую через точки А, В и С.

б) Дан треугольник FEK. На прямых EK и FK постройте точки M и N, такие, что ME=MF и NE=NF.

7. а) Постройте точку, равноудалённую от точек А и В и удалённую от точки С на расстояние, равное PQ. Выясните число решений этой задачи в зависимости от расположения данных точек и длины отрезка PQ.

б) Как с помощью циркуля и линейки можно разделить угол в на 3 равные части?

8. а) С помощью циркуля и линейки постройте точку М, такую, чтобы она была удалена от точки А на расстояние, равное PQ, и так, чтобы (OE=OF). Выясните число решений этой задачи в зависимости от длины отрезка PQ.

б) Как с помощью циркуля и линейки можно разделить угол в на 7 равных частей?

Построение треугольника

1. а) Дан треугольник MPK. Постройте треугольник ABC, в котором , AB=MP, AC=2MK.

б) Постройте равносторонний треугольник, у которого сторона вдвое меньше данного отрезка.

2. а) Дан треугольник MPK. Постройте треугольник ABC, в котором , , AВ=2MK.

б) Постройте равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна данному отрезку, а основание вдвое меньше боковой стороны.

3. а) Даны произвольный угол и отрезок. Постройте треугольник, у которого одна сторона в два раза больше другой и равна данному отрезку, а угол, заключённый между этими сторонами, равен данному углу.

б) Постройте остроугольный равнобедренный треугольник по основанию и разности двух неравных сторон.

4. а) Даны два острых угла и отрезок. Постройте треугольник, у которого сторона равна половине данного отрезка, а прилежащие к ней углы - двум данным углам.

б) Постройте равнобедренный треугольник по периметру и боковой стороне.

5. а) Постройте треугольник АВС со стороной АВ, равной данному отрезку, и с углами А и С, равными и соответственно.

б) В треугольнике АВС биссектрисы ВМ и СК пересекаются в точке О. Постройте треугольник АВС по отрезкам ОМ и ОК.

6. а) Постройте треугольник АВС со сторонами АВ и АС, равными соответственно данным отрезкам, так, чтобы , .

б) В треугольнике АВС высоты пересекаются в точке О. Постройте треугольник АВС по отрезкам ОА, ВО, АВ.

7. а) Даны прямая а и отрезок АВ, пересекающий эту прямую. Постойте на прямой а точку С так, чтобы эта прямая содержала биссектрису угла треугольника АВС.

б) На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки M, P, K так что МК ВС, РКАВ. Как построить треугольник АВС по отрезкам КМ, КВ, КР и углу РКС?

8. а) Даны угол А и точка М внутри его. Постройте на сторонах угла точки В и С так, чтобы отрезок АМ был медианой треугольника АВС.

б) Даны отрезки PQ, P₁Q₁, P₂Q₂ и луч hk. Как построить треугольник АВС, в котором отрезок АМ, равный PQ, лежал бы на стороне АВ, отрезок СЕ, равный P₁Q₁ - на стороне ВС, АС-МЕ= P₂Q₂, МЕАС, ?

Приложение 3

Задачи на построение в 8 классе по учебнику Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. "Геометрия 7-9"

1. (№394)

Задача: Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

Решение:

Построение:

1) Соединим точки А, В, С отрезками, получим треугольник АВС;

2) Проведём прямые l₁BC; l₂AB; l₃AC;

3) l₁ l₂ =D, l₁ l₃ =D₁; l₂ l₃=D₂;

4) ABCD, AD₁BC, ABD₂C - искомые параллелограммы.

Рис.117.

Следовательно, можно построить 3 параллелограмма, удовлетворяющие данному условию.

2. (№395)

Задача: Даны острый угол hk и два отрезка P₁Q₁ и P₂Q₂. Постройте параллелограмм АВСD так, чтобы расстояние между параллельными прямыми АВ и DC равнялось P₁Q_1, АВ= P₂Q₂ и .

Решение:

Построение:

1) построили ;

2) восстановили перпендикуляр в точке В к лучу АВ;

BNAB, BN P₁Q₁;

3) через N проведём прямую lAB;

4) lh=D, от D отложим отрезок, равный P₂Q₂, DC= P₂Q₂;

Рис.118.

5) соединим ВС, получили ABCD - параллелограмм.

3. (№397)

Задача: Постройте равнобедренную трапецию ABCD:

а) по основанию AD, углу А и боковой стороне АВ;

б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.

Решение:

а) Построение:

1) строим отрезок АD;

2) строим угол А;

3) строим АВ, на стороне угла;

4) ;

5) строим DC=AB;

Рис.119.

6) ABCD - искомая трапеция.

б) Построение:

1) строим отрезок ВС;

2) строим окружности с центром В и С и радиусам АВ;

3) строим окружность с центром в В и радиусом BD.

4) Попарное пересечение этих окружностей даст точки А и О.

Рис.120.

5) ABCD - равнобедренная трапеция.

Построение возможно только тогда, когда из отрезков ВС, АВ и BD можно построить треугольник.

4. (№398)

Задача: Постройте прямоугольную трапецию ABCD по основаниям и боковой стороне ВD, перпендикулярной к основаниям.

Решение:

Построение:

1) строим отрезок ВС;

2) строим BDBC;

3) через D проведём lBC;

4) DAl;

Рис.121.

5) получаем трапециюABCD.

5. (№413)

Задача: Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.

Решение:

а) Построение:

1) ;

2) на луче n отрезок, равный a;

3) на луче m отрезок, равный b;

4) через A и B провести l₁m и l₂n;

5) l₁ l₂=C;

Рис.122.

6) OABC - искомый прямоугольник.

б) Построение:

1) ;

2) на луче n отрезок, равный a;

3) строим окружность (А; d);

4) окр. (А; d) m=C;

5) через С провести прямую l₁n;

6) через А провести прямую l₂m;

7) l₁ l₂=B;

Рис.123.

8) OABC - искомый прямоугольник.

в) Построение:

Строим .

Рис.124.

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, следовательно от точки О в разные стороны отложим отрезки, равные 1/2 d: OA=OB=OC=OD=1/2d.

ADBC - искомый прямоугольник.

6. (№414)

Задача: Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу.

Решение:

а) Построение:

Диагонали ромба перпендикулярны, следовательно, ab, также диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, значит, на прямой b от О отложим ОА=ОВ=ОС=1/2 d₁.

Рис.125.

ABCD - искомый ромб

б) Построение:

1) строим ;

2) проведём АВ=а;

3) через b проведём l₁n;

4) проведём ВС=а;

5) через С провести прямую l₂m;

6) n l₂=D;

Рис.126.

7) ABCD - искомый ромб.

7. (№415)

Задача: Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.

Решение:

а) Построение:

1) построим nm;

2) nm =A;

3) на прямой n отложим AB=a;

4) на прямой m отложим AD=a;

5) через B и D провести l₁m и l₂n;

6) l₁ l₂=C;

Рис.127.

7) ABCD - искомый квадрат.

б) Построение:

1) построим nm;

2) nm =О;

3) так как диагонали взаимно перпендикулярны, равны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, отложим на m: OA=OC=1/2d;

4) на n: OB=OD=1/2d

Рис.128.

5) ABCD - искомый квадрат.

8. (№585)

Задача: Начертите отрезок АВ и разделите его в отношении: а) 2: 5; б) 3: 7; в) 4: 3.

Решение:

а) АВ делим на 7 равных частей.

Проводим произвольный луч АС, откладываем 7 равных отрезков. Соединяем ВМ. Через точки М₁, М₂,. М₆ строим прямые, параллельные прямой ВМ. По теореме Фалеса имеем: AD₁=D₁D₂=D₂D₃=D₃D₄=D₄D₅=D₅D₆=D₆B; AD₂: D₂B=2: 7.

б) и в) - аналогично.

9. (№586)

Задача: Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведённой из вершины меньшего из данных углов.

Решение:

Построение:

1) ;

2) проведём биссектрису , AD=l;

3) строим ;

4) сторона пересечёт сторону угла А в точке С.

5) строим угол смежный с ;

6) сторона этого угла пересечёт другую сторону угла А в точке В;

Рис.129.

7) треугольник АВС - искомый.

10. (№587)

Задача: Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.