Факультативный курс по теме "Элементы комбинаторики" для 8 класса

Начальное общее образование призвано помочь учителю реализовать способности каждого ученика и создать условия для индивидуального развития школьников.

Чем разнообразнее образовательная среда, тем легче раскрыть индивидуальность личности ученика, а затем направить и скорректировать развитие школьника с учетом выявленных интересов, опираясь на его природную активность.

Личностно-ориентированное обучение строится на принципе вариативности, т.е. признания разнообразия содержания и форм обучения, выбор которых осуществляется с учетом развития ребенка и его педагогической поддержки. Пытаясь создать условия для личностно ориентированного обучения, школа предоставляет учащимся право выбора предметов по интересам и склонностям.

В соответствии с требованиями была разработана программа факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики» для 8 класса.

2.2 Программа факультативного курса

Пояснительная записка

В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.

Один из разделов теории вероятности - комбинаторика

На современном этапе развития науки невозможно полноценное ее изучение и понимание без минимальной вероятностно-статистической грамотности. Элементы комбинаторики включены в Федеральный компонент государственных образовательных стандартов основного общего образования по математике.

Данная программа факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики» предназначена для учащихся 8 класса. Курс рассчитан на 11 часов. Он ведется в рамках предмета «Алгебра» 8 класса общеобразовательной школы. Данный факультативный курс расширяет учебный материал, представленный в обязательном минимуме содержания учебной программы курса математики.

Цель факультативного курса: расширение представлений учащихся о науке «Комбинаторика».

Основная задача курса состоит в том, чтобы научить учащихся применять формулы комбинаторики к решению комбинаторных задач.

В целом содержание курса нацелено на изучение пособия «Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей» авторов Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк, под редакцией С.А.Теляковского (М: Просвещение, 2005г).

В ходе изучения факультативного курса учащиеся должны будут подготовить и защитить доклады.

Обучение предполагает теоретическую, практическую и самостоятельную работу учащихся. Основные формы теоретических занятий: лекция, комбинированные уроки, практикумы по решению задач.

В ходе обучения значительное место отводится практическим и самостоятельным работам учащихся.

Текущий контроль осуществляется в разных формах: устная, письменная, фронтальная (в зависимости от темы).

Итоговый контроль - контрольная работа.

В результате изучения факультативного курса учащийся должен:

знать:

- основные понятия и формулы комбинаторики;

- приемы решения задач.

уметь:

- применять формулы комбинаторики к решению комбинаторных задач.

Тематический план факультативного курса

Наименование тем	Общее количество часов	Количество часов	Самост. работа
		Всего	Аудит. занятия	Практ. занятия
Введение	1	1	1	-	-
Тема 1. Поиск закономерностей	1.5	1	1	-	0,5
Тема 2. Перебор возможных вариантов. Дерево возможных вариантов	1.5	1	1	-	0,5
Тема 3. Правило суммы и правило произведения	3.5	2	1	1	1,5
Тема 4. Размещения	3.5	2	1	1	1,5
Тема 5. Перестановки	1.5	1	1	-	0,5
Тема 6. Сочетания	5.5	3	1	2	2,5
ВСЕГО	18	11	7	4	7

Содержание программы факультативного курса

Введение (1 час)

Понятия «Комбинаторика», «Комбинаторные задачи». Исторические сведения о комбинаторике. Список тем для докладов и сообщений.

Тема 1. Поиск закономерностей (1 час)

Понятие «закономерность». Основные виды закономерностей. Выявление закономерностей в расположении фигур. Выявление закономерностей в числовых рядах.

Самостоятельная работа

Подбор закономерностей

Тема 2. Перебор возможных вариантов.

Дерево возможных вариантов (1 час)

Способы решения комбинаторных задач: перебор возможных вариантов, дерево возможных вариантов. Специальная схема для решения комбинаторных задач.

Самостоятельная работа

Составление задач.

Тема 3. Правило суммы и правило произведения (1 часа)

Правило суммы. Правило произведения.

Практическое занятие №1 (1 час)

Решение задач. Проверочная работа по темам: «Поиск закономерностей», «Перебор возможных вариантов. Дерево возможных вариантов», «Правило суммы и правило произведения».

Тема 4. Размещения (1 час)

Основные понятия. Размещения с повторениями. Размещения без повторений. Кортеж. Порядок элементов. Факториал. Формулы. Множество.

Самостоятельная работа

Подготовка сообщений и докладов. Решение задач.

Практическое занятие №2 (1 час)

Тест по теме «Размещения»

Тема 5. Перестановки (1 час)

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями. Порядок элементов. Формулы.

Самостоятельная работа

Подбор задач по теме «Сочетания»

Тема 6. Сочетания (1 час)

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями. Порядок элементов. Формулы. Подмножество.

Самостоятельная работа

Подготовка сообщений. Решение задач. Подбор задач.

Практическое занятие №3 (1 час)

Решение задач. Подготовка к контрольной работе.

Практическое занятие №4 (1 час)

Контрольная работа

Литература и средства обучения

Учебно-методическая литература

Основная литература

1. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. - М.: Наука, 1969. - 328с.

2. Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений. - М.: Издательский центр «Академия», 1997. - 464с.

3. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. - 2004. - №15. - с. 28-32.

4. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. - 2004. - №16. - с. 19-22.

5. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. - 2004. - №17. - с. 22-27.

Дополнительная литература

1. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки /Под ред. М. К. Потапова. - 2е изд. - М.: Наука, 1981. - 208с.

2. Перельман Я. И. Занимательные задачи и опыты. - Д.: ВАП, 1994. - 527с.

3. Русанов Н. В. Математический кружок младших школьников: Книга для учителя. - Оса: Росстани-на-Каме, 1994. - 144с.

4. Цыганов Ш. Комбинаторика от А до Я//Математика. - 2001. - №25. - с. 16-24. 5. Цыганов Ш. Комбинаторика от А до Я //Математика. - 2001. - №26. - с. 9-13.

6. Цыганов Ш. Комбинаторика от А до Я//Математика. - 2001. - №27. - с. 11-19.

Справочная литература

1. Комбинаторика //Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1985. - 352с.

2. Математическая энциклопедия /Под ред. И. М. Виноградова и др. - М.: Советская энциклопедия, 1977. - 1152 с.

Средства обучения

1. Учебные и методические пособия, справочная литература.

2. Тематические тесты и проверочные работы.

3. Доклады и сообщения.

Тематика докладов

1. Комбинаторная геометрия

2. Историческая справка о науке «Комбинаторике»

3. Бином Ньютона

4. Блез Паскаль

5. Пьер Ферма

6. Треугольник Паскаля

7. Леонард Эйлер

8. Г. Лейбниц

9. Галилео Галилей

10. Некоторые свойства числа сочетаний

11. Правила решения комбинаторных задач

12. Дж. Кардано

13. Н. Тарталье

14. Магические квадраты

Факультативные занятия играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числе математического образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, в широких пределах варьировать объем сложности изучаемого материала.

Программа факультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы ее могут изучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе.

Таким образом, данная программа факультативного курса разработана в соответствии с требованиями. К ней прилагаются разработки всех занятий, осуществляется промежуточный и итоговый контроль. Предложены темы для докладов и сообщений (приложение 2).

Заключение

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Комбинаторные задачи - это задачи, связанные с подсчетом числа всевозможных комбинаций из элементов данного конечного множества.

Включение комбинаторных задач в курс математики оказывает положительное влияние на развитие учащихся. Решение комбинаторных задач дает возможность расширить знания учащихся о процессе ее решения, а также подготовить к решению жизненных практических проблем.

В обучении математики роль комбинаторных задач постоянно возрастает, так как в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Специфика комбинаторных задач и методов их решения требует от учителя определенного уровня математической подготовки. Прежде всего, он должен, решая несложные комбинаторные задачи, уметь грамотно осуществлять перебор возможных вариантов и при этом быть уверенным в том, что перебор осуществлен правильно.

Учителю надо знать общие правила комбинаторики (в частности, правила суммы и произведения), некоторые виды комбинаций, число которых может быть подсчитано с помощью формул.

Таким образом, в данной работе были рассмотрены все правила решения комбинаторных задач: правило суммы и правило произведения, а также все виды комбинаций с повторениями и без повторений: размещения, перестановки и сочетания.

С целью формирования и развития математических способностей у школьников и их интереса к математике будет актуальным такой способ обучения как факультативный курс.

Назначение факультативных занятий состоит в развитии способностей и интересов учащихся в сочетании с общеобразовательной подготовкой; зарождение интереса к математике на первичном уровне, поддержка его до познавательного уровня и тем самым создание основы для выбора профиля.

Факультативные занятия являются одной из форм дифференцированного обучения. Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Основная задача факультативных занятий: учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить знания по предмету, обеспечить усвоение ими программного материала, ознакомить школьников с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть приложения математики на практике.

Факультативные занятия школьники посещают по желанию, следовательно, педагогу необходимо создать условия, при которых способные ученики смогут реализовать свои возможности, а остальные учащиеся смогут решать посильные для них задачи или, пользуясь помощью учителя, более трудные задания.

Факультативные занятия играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числе математического образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, в широких пределах варьировать объем сложности изучаемого материала.

Программа факультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы ее могут изучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе.

В ходе работы была изучена различная литература, разработаны занятия факультативного курса. Также был осуществлен анализ учебников по математике 5-9 классов на наличие в них комбинаторных задач. Он показал, что только в учебниках Дорофеева Г. В. (6 класс) и Мордковича А. Г. (9 класс) имеются элементы комбинаторики. А, именно, разбираются два способа решения комбинаторных задач: перебор и дерево возможных вариантов, а также рассматриваются правила сложения и произведения.

Было проведено анкетирование учителей школ г. Кунгура. Оно показало, что не во всех школах используются комбинаторные задачи на уроках математики, хотя учителя понимают, что такие задачи нужны, так как они развивают логическое мышление.

Таким образом, в соответствии с требованиями и методическими рекомендациями была разработана программа факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики» для 8 класса; изучена методическая и научная литература по теме исследования; показана методика обучения решению комбинаторных задач.

А, следовательно, цель реализована, задачи решены.

Данная программа и методические разработки уроков помогут учителю математики в организации и проведении занятий данного факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики».

Выпускная квалификационная работа может стать методическим пособием для студентов Кунгурского педагогического училища, как при подготовке докладов, сообщений на эту тему, так и при проведении пробных уроков или преддипломной практики. А также ею могут воспользоваться учителя математики, преподающие в средней школе, которые стремятся вызвать интерес к урокам математики с помощью факультативного курса по теме «Элементы комбинаторики».

Литература

1. Арифметика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 2003. - 255с.

2. Белокурова Е. Е. Методика обучения решению комбинаторных задач //Начальная школа. - 1994. - №12. - с.43-47

3. Белокурова Е. Е. Характеристика комбинаторных задач //Начальная школа. - 1994. - №1. - с.34-38.

4. Болотов В. А. О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы //Математика. - 2004. - №44. - с.45-47.

5. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. - М.: Наука, 1969. - 328с.

6. Гнеденко Б. В., Журбенко И. Г. Теория вероятностей и комбинаторика //Математика в школе. - 2007. - №6. - с. 67-70.

7. Гусев В. А. Внеклассная работа по математике в 5-8 классах. /Под. ред. С. И. Шварцбурга. - М.: Просвещение, 1977. - 288с.

8. Дихтярь М., Эргле Е. Исторические комбинаторные задачи и комбинаторные модели //Математика. - 2007. - №14. - с. 23-24.

9. Загородных К. А. Возможности использования графов при обучении в начальной школе //Начальная школа. - 2004. - №11. - с. 87-91.

10. Когаловский С. Р. Роль комбинаторных задач в обучении математике //Математика в школе. - 2004. - №7. - с. 18-23.

11. Комбинаторика //Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1985. - 352с.

12. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Чесноков, С. И. Шварцбург. - 6-е изд. - М.: Мнемозина, 1998. - 384с.

13. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, И. Ф. Шарыгин и др.; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 302с.

14. Нурк Э. Р., Тельгман А. Э. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк. - 4-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1994. - 304с.

15. Овсянникова Л.В. Факультативный курс по математике //Начальная школа. - 2005. - №9. - с. 29-33.

16. Перельман Я. И. Занимательные задачи и опыты. - Д.: ВАП, 1994. - 527с.

17. Романова Н. В. Комбинаторно-геометрическо-арифметические задачи на стыке начальной и основной школы //Математика в школе. - 2006. - №4. - с. 42-45.

18. Русанов Н. В. Математический кружок младших школьников: Книга для учителя. - Оса: Росстани-на-Каме, 1994. - 144с.

19. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. - 2004. - №15. - с. 28-32.

20. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. - 2004. - №16. - с. 19-22.

21. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. - 2004. - №17. - с. 22-27.

22. Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений. - М.: Издательский центр «Академия», 1997. - 464с.

23. Стойлова Л. П. Способы решения комбинаторных задач //Начальная школа. - 1994. - №1. - с. 72-77.

24. Ткачева М. В. Домашняя математика. - М.: Просвещение, 1994. - 255с.

25. Факультативный курс //Большая советская энциклопедия /Сост. В. А. Юдин. - М.: Советская энциклопедия, 1985. - с. 573.

26. Цыганов Ш. Комбинаторика от А до Я //Математика. - 2001. - №26. - с. 9-23.

27. http://cito-web.yspu.yar.ru/link1/metod/theory/node4.html

28. http://combinatorica.narod.ru/second.htm

29. http://festival.1september.ru/articles/416112/

30. http://vipkro.wladimir.ru/elkursy/html/math/&3.doc

31. www.5ballov.ru

32. www.pstu.ac.ru/ files/ file/ Resurs_matematika/ KombinVeroyatn.doc