Подготовка школьников к итоговой аттестации в форме ЕГЭ

Но больше всего в учебнике заданий на построение графиков и описание их свойств.

Однако на нахождение значений функций заданий в учебнике дано мало, всего 16 заданий уровня А. Свойства сложных функций также требуется описать в 56 заданиях.

Производная функции представлена в полной мере. Есть задания на геометрический и физический смыслы производной, таблицы производных, производные суммы, произведения и частного двух функций. Всего на эту тему отводится 156 заданий уровня А и 300 заданий уровня В.

На исследование функции с помощью производной отводится 96 простых заданий и 220 заданий более трудного уровня сложности. Однако исследование проводится только аналитически, в учебнике нет ни одного задания на исследование функции по графику производной. Это является большим недостатком так как после изучения этой темы у учащихся остается пробел, который они самостоятельно заполнить не смогут.

Первообразная представлена полностью. На каждый вопрос из перечня контролируемых вопросов содержания отведено большое количество заданий.

Числа и вычисления. Этой теме, особенно заданиям уровня А, уделяется не большое внимание, так как все вопросы данного раздела были пройдены учащимися ранее. Но обычно задания этого раздела даются на вступительных экзаменах, поэтому целесообразно увеличение количества заданий, особенно по теме: «Решение текстовых задач».

3.3 Количественные характеристики заданий по отдельным темам и уровням

Всего в учебнике содержится 4086 заданий, соответствующих общему перечню контролируемых вопросов содержания. Количество заданий уровня В, в среднем, в два раза больше, чем заданий уровня А. В разделе «Выражения и преобразования» содержится 18% от общего количества заданий. Но не надо забывать, что преобразования используются и при решении уравнений и неравенств и в теме «Функции» и др. Поэтому их доля значительно больше.

Диаграмма 1. Распределение заданий по темам в учебнике

Темы «Уравнения и неравенства» и «Функции» занимают главенствующее место в курсе алгебры и начал анализа 10-11 классов, что и показано на диаграмме 1. Конечно, 5% от общего количества заданий по теме «Числа и вычисления» это очень мало.

Диаграмма 2. Выражения и преобразования



Диаграмма 3. Уравнения и неравенства

Диаграмма 4. Функции

Диаграмма 5. Числа и вычисления

Количество заданий по теме «Выражения и преобразования» распределяются в соответствии с важностью тем изучаемых в курсе алгебры 10 - 11 классов, что и подтверждает диаграмма 2.

В разделе «Уравнения» самый большой процент количества заданий соответствует теме «Решение уравнений». Эта тема является одной из самых ведущих в курсе алгебры. Большинство уравнений и неравенств, предлагаемых не школьном экзамене, а особенно на конкурсном экзамене а ВУЗы, трудно отнести к какому-то одному виду. Чаще всего они смешанные, там есть и тригонометрия, и логарифмы, и иррациональность и т.п. Поэтому так важно знать общие способы решения уравнений. Так как одно и тоже уравнение может быть решено различными способами. В связи с этим целесообразно при обобщающем повторении сгруппировать уравнения по способам решения, что позволит учащимся лучше подготовиться к вступительным экзаменам в ВУЗы.

Количественное распределение задач (диаграмма 4) в разделе «Функции» соответствует важности изучения рассматриваемых тем.

Проанализировав задания представленные в учебнике «Алгебра и начала анализа, 10-11» Колмогорова А.Н. и др. можно сделать вывод, что при обучении по этому учебнику учащиеся могут успешно сдать выпускной экзамен за курс средней школы. В данном учебнике достаточно полно представлена трехуровневая система заданий по всем разделам школьного курса алгебры и начал анализа. Из 4844 заданий представленных в учебнике 4086 заданий соответствуют общему перечню контролируемых вопросов содержания, а 758 заданий связаны с вопросами, выходящими за рамки перечня.

Вместе с тем, хотелось бы, что бы в этом учебнике, по которому многие десятилетия занимаются учащиеся российских школ, было бы больше заданий которые отражали бы специфику ЕГЭ.

Во-первых, желательно дополнить учебник заданиями уровня А, имеющими тестовую форму. Конечно учитель может составить такие задания сам, но лучше воспользоваться книгой Л.О. Денищевой и др. «Единый государственный экзамен: Математика: Сборник задач» [22].

Во-вторых, учебник необходимо дополнить заданиями направленными на развитие у учащихся умения решать уравнения, неравенства и их системы с использованием графиков. Хотя в данном учебнике присутствуют несколько таких заданий, но их не достаточно для полного понимания учащимися этого метода решения.

В-третьих, при обобщающем повторении хотелось бы, чтобы в учебнике уравнения были распределены по методам решения, это позволило бы учащимся лучше справиться с частями В и С из ЕГЭ. Этот недостаток легко устранить, если воспользоваться учебником под редакцией Никольского С.М.

При анализе заданий учебника не рассматривалось их соответствие уровню С, так как данный учебник рассчитан на четыре учебных часа в неделю и предназначен для общеобразовательных школ, а не для школ с углубленным изучением математики. Тем не менее, у учебнике содержится около 300 задач (глава 6 учебника), соответствующих уровню С, что позволяет учащимся успешно справиться не только с выпускными экзаменами, но и со вступительными в ВУЗы, не предъявляющих высоких требований к уровню математической подготовки учащихся.

В настоящее время ни один учебник для общеобразовательных школе может обеспечить весь набор упражнений для вступительных экзаменов, так как очень велик разрыв между уровнями заданий выпускных и вступительных экзаменов. В связи с введением ЕГЭ возможно удастся избежать заданий направленных не на развитие математического мышления, а содержащих лишь только технические трудности, не отражающие основные методы и понятия математики.

4. Система работы учителя по подготовке учащихся к успешной сдаче ЕГЭ в современных условиях

С введением новой процедуры аттестации и проведения конкурсного экзамена в ВУЗ перед учителем старших классов стоит важная задача подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ при условии существования итоговой аттестации за курс основной школы и текущего контроля в другой форме. При этом их нужно не «натаскивать», а как уже говорилось научить мыслить, работать самостоятельно.

Рассмотрим некоторые упражнения, которые по нашему мнению нужно рассмотреть с учащимися для успешной сдачи ЕГЭ, так как такие упражнения и методы их решения не представлены в современных учебниках для старшей школы.

4.1 Упражнения и методические рекомендации для подготовки учащихся к сдаче заданий уровня А

Каждое из заданий первой части ЕГЭ состоит из условия и четырех вариантов ответов. При этом ответы к заданиям первой части удовлетворяют таким правилам:

1. Приводится всегда четыре варианта ответов.

2. Среди ответов всегда имеется правильный.

3. Правильный ответ всегда единственен.

При подготовке к экзамену и при выполнении заданий важно знать и учитывать правила проверки и оценивания заданий этой части экзамена.

1. Каждое задание, выполняемое правильно школьником, оценивается одним и тем же числом баллов.

2. За неправильные ответы школьник не наказывается (не осуществляется вычитание баллов из тех, которые ученик набрал за правильные решения заданий).

3. Все задания этой части ЕГЭ учитываются как при выставлении отметки в аттестат зрелости, так и при выставлении отметки в сертификат.

4. Описание решений и их обоснования, выполняемые школьником, не проверяются и не оцениваются. Важен только номер ответа, внесенного в специальный бланк.

Анализ содержания заданий из первой части ЕГЭ показывает, что за кажущейся простотой здесь часто появляются задачи, требующие специальной подготовки для их решения. И даже в математических классах не следует упускать возможности анализа подобных задач с учащимися. Покажем теперь, как при обобщающем повторении можно многие из этих заданий решить способами, с которыми учащиеся не встречались при изучении математики в средней школе, или используя другие методы и источники информации. При новом порядке оценивания можно, например не решать традиционно задания, а воспользоваться правилами проверки, сэкономив при этом время, которое потребуется для выполнения заданий третьей части ЕГЭ. Немаловажно также, что успешное выполнение заданий первой части экзамена окрыляет учащихся, задает тон всей последующей работе, помогает ученикам успокоиться, преодолеть экзаменационное напряжение.

Рассмотрим задания первой части из различных вариантов ЕГЭ по различным содержательно - методическим линиям и дадим общую характеристику методов решения.

Задание 1. Упростите выражение .

1) 1; 2) 19; 3) 1; 4) 19.

Решение. Кроме традиционного способа - применить основное тригонометрическое тождество - возможен иной подход к решению.

Заметим, что ни один из ответов не зависит от х, поэтому в исходное выражение вместо х подставим любое «удобное» число. Пусть, например, х=0. Тогда, подставляя в исходное выражение, получим:

Задача решена: только один ответ совпадает с 1, поэтому он и является правильным ответом в задании. Верный ответ - первый.

Задание 2. Упростить выражение

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Первое решение. Пусть а=32. тогда значение выражения равно . Только при подстановке в первый вариант ответа а=32 мы получим ответ .

Второе решение. Обозначим . Тогда . Теперь Итак, верный ответ - первый.

Задание 3. Вычислите если

1) ; 2) -1; 3) 4; 4) .

Первое решение. Из условия находим: . Тогда

Второе решение. Верный ответ - второй.

Задание 4. Найдите все решения уравнения

1) 2) 3) 4)

Первое решение. Заметим, что и выражается через следовательно, уравнение сводится к простейшему относительно . А если это так, то наиболее вероятным является третий ответ.

Второе решение. Поскольку во всех ответах , то положим n=0. ответы примут вид: 0; 0. Первый и четвертый отпадают, поскольку при этих значениях уравнение не определено, а второй ответ моментально устраняется проверкой (левая часть является иррациональным числом, а правая - рациональным). Верный ответ - третий.

Задание 5. Найдите область определения функции .

1) 2) 3) 4)

Первое решение. Большие по модулю отрицательные х не могут входить в область определения потому, что в этом случае это означает, что первый и четвертый ответы не могут быть правильными.

В третий ответ входит х=0, которое не входит во второй ответ. Проверка показывает, что х=0 принадлежит области определения. Отсюда следует правильный ответ - третий.

Второе решение. Пусть D(y) - область определения функции. Тогда,

Задание 6. Решить неравенство

1) 2) 3) 4) .

Решение. Заметим, что х=0 не является решением неравенства, однако в варианты ответов 1, 3, 4 это число входит. Поэтому верный ответ - второй.

Задание 7. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) 2) 3) 4)

Решение. В этом случае уравнение может иметь два корня. Но из того, что правильный ответ единственен, следует: при существовании двух корней оба корня принадлежат одному промежутку. Это значит, что вновь можно подобрать только один корень и промежуток, которому он принадлежит.

Легко проверить, что является корнем, поэтому правильным будет третий ответ.

Задание 8. Найдите область определения функции

1) 2) 3) 4)

Решение. Так как функция четная, то искомая область определения должна быть симметрична относительно 0, поэтому варианты ответов 2 и 3 отпадают. Первый ответ следует отбросить потому, что любая из граничных точек не входит в область определения. Верен четвертый ответ.

Задание 9. Укажите первообразную функции .

1) ; 2) 3) 4)

Решение. Это задание проще решать, дифференцируя функции, предъявленные в ответах. При дифференцировании не происходит удвоение аргумента, поэтому 1 и 3 ответы отпадают. Четвертый ответ отпадает, поскольку производная не совпадает с . Остается единственный ответ - второй.

Рассмотрев эти задания можно сделать следующие выводы:

1. Задания первой части вполне доступны для всех учеников, но в то же самое время весь набор задач, рассматриваемый как единое целое, позволяет достаточно быстро определить, достоин ли экзаменуемый положительной оценки по математике, без которой невозможно получить аттестат о среднем образовании.

2. Эксперимент по ЕГЭ предусматривает проведение единого экзамена, как для учащихся, общеобразовательных классов, так и для учащихся физико-математических и математических классов. Раньше выпускникам таких классов предлагались абсолютно разные по сложности задания. Теперь же все пишут единый экзамен. Так вот отметим, что прежде всего эта единость отражена в заданиях первой части, т.е. она в идеале должна быть доступна абсолютно всем учащимся, начиная с тех, у кого на математику пять часов в неделю и заканчивая теми, у кого восемь и более часов в неделю в старших классах. Вот почему становится очевидной необходимость и целесообразность продумывать систему упражнений, нацеленную на подготовку к успешному выполнению заданий первой части всеми школьниками. Отметим также, что эта работа не должна осуществляться только в 10-11 классах, как это делается теперь из-за того, что поменялась система аттестации. Необходимо начинать с 7 класса. Скажем, хорошее знание и применение свойств степенной функции должна обеспечивать программа 7 класса, а свойства квадратичной функции - программа 8 класса и т.д.

Приведем наборы некоторых упражнений с различными решениями, которые можно использовать при работе с учениками для подготовки к ЕГЭ. Сделаем комментарии к приведенным решениям.

Проведем анализ заданий по содержательно - методическим линиям.

Выражения и преобразования. В связи с тем, что выражения и преобразования используются при решении многих типов заданий, остановимся только на нескольких.

Задание 1. Упростить выражение .

1) ; 2) 3; 3) 0; 4) .

Первое решение. Последовательно преобразуем:

.

Правильным является первый ответ.

Второе решение. Пусть Тогда и выражение примет вид

Третье решение. Обозначим исходное выражение через F(b).

1. Вычислим значение выражения при b=1:

Тогда

и выражение примет

Сразу видно, что ответы 2 и 3 не могут быть верными.

Теперь вычислим значение первого и четвертого ответов при b=1:

и

Отсюда следует, что правильным является первый ответ.

Комментарий.

Первое решение обычно без всяких проблем приводят школьники, которые твердо усвоили программу и умеют контролировать свои действия. Такое решение аналогично решению, которое выполняют ученики при написании письменной контрольной работы после изучения темы. Если задание будет несколько усложнено (увеличено число элементов и их разнообразие), то время выполнения может серьезно возрасти. Для реализации такого решения требуется твердое знание формул сокращенного умножения и хорошие навыки выполнения преобразований. Это решение не учитывает правил проверки и оценивания первой части ЕГЭ.

Второе решение имеет смысл рекомендовать тем школьникам, которые допускают вычислительные ошибки и не всегда видят «нужные» формулы. При увеличении сложности время выполнения возрастет незначительно. Реализация такого решения предполагает умение увидеть нужную замену и использовать формулы. Такое решение частично учитывает правила проверки и оценивания этой части ЕГЭ.

Третье решение существенно отличается от первых двух и полностью учитывает правила составления, проверки и оценивания первой части ЕГЭ. Оно реализовано с учетом следующего соображения: если при каком-то допустимом значении переменной значение исходного выражения и ответа отличаются, то этот ответ не является правильным. Отсюда следует, что если при каком-то значении переменной все значения ответов, кроме одного ответа, отличаются от значения исходного выражения, то правильным и будет тот ответ, значение которого равно значению исходного выражения.

По поводу такого решения можно высказать следующие соображения:

Это не совсем математическое решение. Но, в случае правильных вычислений, по правилам проверки и оценивания первой части ЕГЭ, оно приведет к положительной оценке.

После специальной подготовки (к принятию решений в определенных условиях) такое решение целесообразнее потому, что его реализация приводит к серьезной экономии времени.

Задание 2. Упростить выражение

1) 1; 2) ; 3) ; 4) 0.

Решение. Найдем значение выражения при . Легко видеть, что значение равно 1. Только первый вариант ответа при равен 1, поэтому верным является первый ответ.

Комментарий.

Отметим то, что требуется уметь и знать школьникам, чтобы получить правильный ответ при решении заданий такого типа:

Уметь выделять функции, фигурирующие в задании и знать области определения основных функций

Знать значения основных функций при «больших» и «малых» значениях аргумента.

Уметь выявлять и использовать различия ответов.

Уравнения

Задание 1. Укажите промежуток, на котором лежит корень уравнения

1) [-2; 0] 2) [2; 4] 3) (4; 9) 4) (0; 2).

Решение. Левая часть уравнения представляет возрастающую функцию, поэтому уравнение может иметь единственный корень.

Имеет смысл подобрать корень (в любом случае, даже при выполнении третьей части ЕГЭ, это полезно потому, что корень может быть использован для самоконтроля). При подборе имеет смысл использовать целые значения х.

х=0. Приводит к равенству 9+3+1=39. неверное равенство, следовательно, х=0 не корень.

х=1. Приводит к равенству 27+9+3=39. Верное равенство, поэтому х=1 - корень.

Верным является четвертый ответ: 1(0; 2).

Комментарий.

Такое решение основано на:

знании свойств функций, фигурирующих в задании,

умении подбирать корни.

Задание 2. Найти число корней уравнения

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.

Первое решение. Подбором легко найти, что если, или , то х, являющийся корнем этих уравнений, корень исходного уравнения.

Уравнение имеет единственный корень (х=1)

Уравнение не имеет корней. Следовательно, верным является первый ответ.

Второе решение. Пусть . Тогда Уравнение примет вид: а (а+5)=-4 и, следовательно, и . Теперь находим корни уравнений и . Это единственный корень х=1.

Комментарий.

Второй метод решения следует разбирать в 8 классе, при изучении темы «Уравнения, сводящиеся к квадратным».

Для обучения учащихся методам самоконтроля имеет смысл учить подбирать корни.

Подсказкой замены, использованной во втором решении, служит повторение элемента . Замена сделана для того, чтобы упростить вычисления.

Задание 3. Пусть - корни уравнения . Найти .

1) -2; 2) 2; 3) -6; 4) 6.

Первое решение. Корнями уравнения служат . Отсюда .

Второе решение. По теореме Виета . Тогда .

Третье решение. Так как - корни уравнения, то и . Сложим эти равенства: . Так как , то .

Правильным является четвертый ответ.

Комментарий.

Эти задания следует решать сразу после изучения теоремы Виета, Понятно, что вместо можно брать любое выражение от и , которое не меняется при смене на , и на .Следует периодически предлагать такие задания школьникам.

Задание 4. Укажите количество корней уравнения .

1) 0; 2) 2; 3) 3; 4) 4.

Первое решение. Пусть Тогда . Уравнение примет вид , откуда и . Следовательно,

Верен четвертый ответ.

Второе решение. Ясно, что следует искать . Так как 4>0 и -5<0, то квадратное уравнение относительно имеет два положительных корня. Следовательно, исходное уравнение имеет 4 корня.

Комментарий.

С этими двумя решениями следует знакомить школьников, начиная с 8 класса.

Задание 5. При каких а уравнение имеет один корень?

1) a=3; 2) а=1; 3) а?3; 4) а>3.

Решение. Уравнение имеет один корень при всех а, поэтому оно будет иметь единственный корень в двух случаях:

также корень уравнения а-2х=0, т.е. при а=3;

корень уравнения а-2х=0 не входит в область определения уравнения , т.е. <0, следовательно, а<3. Поэтому верным является третий ответ.

Задание 6. Найти произведение корней уравнения

1) 189; 2) -189; 3) 21; 4) -21.

Первое решение. Возведем обе части уравнения в куб и используем формулу Уравнение примет вид:

Так как нас интересуют х, для которых то уравнение следует переписать так: Убедимся в том, что эти х являются корнями исходного уравнения: а

. Отсюда Действительно, является корнем исходного уравнения. Найдем произведение корней:

Верным является второй ответ.

Второе решение. Пусть, тогда Уравнение принимает вид теперь перенесем а из одной части в другую и возведем обе части уравнения в куб: Найдем х:



Произведение этих корней равно -189.

Третье решение. ОДЗ уравнения - всё действительные числа.

Пусть и Для определения а, b получаем систему уравнений

Так как то систему можно записать так:

Выразив а из первого уравнения и подставив во второе уравнение, найдем, что Тогда

Система имеет два решения и

Таким образом, корни исходного уравнения совпадают с корнями двух уравнений: и

(При этом важно, что эти х, если они существуют, удовлетворяют исходному уравнению. Это значит, что не потребуется проверка корней.)

Из первого уравнения получаем: и из второго

Вновь произведение корней равно 189.

Комментарий.

С данным (и аналогичными ему) уравнением следует знакомить в 10 классе. При этом важно понять, что в результате реализации первых двух решений (не в нашем случае) может появиться посторонний корень, поэтому проверка корней является необходимым элементом решения. Иногда проверка выполняется просто, а в общем случае (к примеру, если корни иррациональные) проверка затруднительна, поэтому желательно иметь более простой способ отделения посторонних корней.

Разберемся в этом. Запишем уравнение в общем виде: А+В= - С. После возведения обеих частей в куб, получим: Заменяя А+В на , приходим к уравнению: или Левую часть можно представить так:

Отсюда получаем два уравнения: А+В+С=0 и Первое из этих уравнений содержит корни исходного уравнения, поэтому, посторонние корни (если они есть) могут содержаться среди корней второго уравнения. Решениями уравнения служат те и только те значения х, которые удовлетворяют системе: . Отсюда отделение посторонних корней может быть выполнено так.

1. Решаем систему .

2. Если эта система не имеет решений, то в результате реализации первого метода посторонний корень не появляется.

3. Если решение системы существует, то его следует проверить и отбросить посторонние корни.

Например, если вернуться к уравнению из задания 17, то система принимает вид .

Легко проверить, что данная система не имеет решения. Это значит, что при решении исходного уравнения первым методом не будут получены посторонние корни.

Неравенства

Задание 1. Решите неравенство

1) ; 2) ; 3) ; 4)

Решение. «Большие» положительные являются решениями, поэтому остаются только два кандидата: третий и четвертый ответы. 0 является решением. Поэтому правильным ответом является третий (в четвертый 0 не входит).

Комментарий.

При изучении соответствующих тем должны отрабатываться полные решения, а другие варианты решений должны быть использованы для самоконтроля

Задание 2. Решить неравенство х (х-5) ?-6.

1) (; 2]; 2) [3;+); 3) [1; 6]; 4) [2; 3]

Первое решение.

Верным является четвертый ответ.

Второе решение. 1 не является решением, так как входит в первый и третий ответ, поэтому эти ответы следует отбросить. «Большие» положительные х не являются решением, поэтому второй ответ следует отбросить. Т.е. верным является четвертый ответ.

Комментарий.

В 8 классе следует учить школьников выполнять первое решение (с полным описанием и обоснованием). Соображения, которые использовались во втором решении, следует рекомендовать учащимся для самоконтроля.

Задание 3. Указать функцию, областью значений которой является промежуток .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) - первый ответ следует отбросить;

2) при х=0, 0 не принадлежит интервалу , поэтому второй ответ следует отбросить;

3) - третий ответ следует отбросить; Верным следует признать четвертый ответ.

По правилам проверки рассуждения в пунктах 1-3 не записывают. Такой вариант следует рекомендовать в 11 классе.

Задание 4. Какое неравенство имеет решение.

1) <0; 2) <; 3) >3; 4) .

Решение. Сразу же видно, что не могут быть отрицательными или равны 0, поэтому верным ответом следует признать третий.

Такое задание следует предлагать школьникам, для ознакомления с разными формулировками (в данной формулировке достаточно найти одно правильное, которое имеет решение и его назвать правильным). Важно, чтобы школьники на такие задания не тратили времени и выполняли их точно.

Задание 5. Решить неравенство: <

1) 2) 3) 4)

Первое решение. Пусть = а >0, тогда , следовательно:

<а+2,

<0,

(а + 1) (а ) < 0.

-1< а<2. <<2. х<

Верным следует признать четвертый ответ.

Второе решение. Так как растет «быстрее» , то «большие» х не могут быть в ответе. Не могут быть верными первые два ответа.

Если заметить, что х=0 является решением, но входит только в четвертый ответ, то рассуждение упрощается.

Комментарий.

Следует учить школьников использовать соображения с «большими», «маленькими», «большими по модулю отрицательными». Эти соображения позволяют точно и быстро выполнить различные задания из первой части ЕГ'Э.

Задание 6. Решить неравенство >0.

1) 2) 3) 4) (-4; - 2).

Решение. Проверка показывает, что х=0 служит решением, но 0 не входит во все ответы, кроме второго. Правильным ответом является второй ответ.

Функции и их свойства

Практически во всех трех частях ЕГЭ встречаются задания, связанные с проверкой свойств функций. Понятно, что сложность этих заданий очень различна. Но сам факт включения заданий с функциями в разные разделы говорит о том, что авторы измерителей считают функции и все, что с ними связано, одной из важнейших частей школьной программы по математике. Отсюда следует, что подготовке к выполнению заданий, связанных с функциями, требуется уделить особое внимание. Приведем типовые задания и упражнения, которые можно использовать для подготовки к сдаче первой части ЕГЭ.

Задание 1. Даны функции и . Если и , то чему равно ?

1) 2-4; 2) х-3; 3) х-4; 4) 2х-3.

Первое решение. Так как , то, приняв , последовательно получим и Тогда Отсюда

Правильным является первый ответ.

Второе решение. Так как , то Отсюда

Задание 2. При каких а функция определена на всей числовой оси?

Решение. Выделим полные квадраты в подкоренных выражениях Функция будет определена на всей числовой оси в том и только в том случае, если а удовлетворяет системе неравенств:

Решая эту систему, получаем:

Правильным является третий ответ.

Задание 3. Известно, что -четная и - нечетная функции. Чему равно , если и ?

1) 7; 2) -7; 3) 3; 4) -3.

Решение. Так как по условию и , то равенства переписываем так: и .

Вычитая из второго равенства первое, получим: , .

Правильным является четвертый ответ.

Задание 4. Дана функция . Если и для всех положительных а и b, то чему равно ?
1) 12; 2) 5; 3) 7; 4) 8.

Решение. Так как при положительных а и b выполняется равенство , то последовательно получаем

.

Правильным является третий ответ.

Следующие задания связаны с исследованием функции и служат подготовкой к выполнению третьей части.

Задание 5. Найти длину промежутка возрастания функции .

Первое решение. Определим множество значений функции . в том и только в том случае, если уравнение разрешимо относительно х. .

Пусть . Тогда . Данное квадратное уравнение разрешимо в том и только в том случае, если . Отсюда . При этом Это позволяет высказать предположение что функция возрастает на [-1; 1] и убывает в промежутках и . Так как функция нечетна, то достаточно доказать, что она возрастает на промежутке [0; 1]. Воспользуемся определением. Выберем любые , такие, что Тогда Функция возрастает на промежутке [0; 1]. Так как функция нечетна, то она возрастает на промежутке [-1; 1]. Аналогично доказывается, что функция убывает в промежутках и . Следовательно, длина промежутка возрастания равна 2.

Ответ: 2.

Второе решение. Исследуем функцию на монотонность с помощью производной Отсюда х=1 и х=-1 - критические точки функции. Исследовав знаки производной, получаем, что только в промежутке [-1; 1] функция возрастает. Следовательно, длина промежутка равна 2.

Третье решение. Пусть Тогда . Из свойств функции следует, что она возрастает от до , то есть исходная функция возрастает для всех х от -1 до 1. Следовательно, длина промежутка равна 2.

Задание 6. Найти наименьшее значение функции

Первое решение. Так как функция определена при всех х и принимает положительные значения, то функции у и принимают наименьшие значения при одних и тех же значениях х. Найдем значение х, при котором принимает наименьшее значение: , где и . Так как и принимают наименьшее значение при х=0, то принимает наименьшее значение при х=0. Отсюда .

Ответ: 2.

Второе решение. Известно, что если a?0, b?0, то . При этом равенство достигается в том и только в том случае, если . Тогда . В нашем случае равенство достигается только при . При х=0 функция принимает наименьшее значение. Отсюда получаем, что наименьшее значение исходной функции равно 2 и достигается оно при х=0.

Третье решение. Перепишем формулировку, заданную функцию следующим образом: . В декартовой системе координат рассмотрим точки . Тогда

1)

2) Точка D расположена на прямой .

З) Значение исходной функции равно сумме расстояний AD+BD.

В таком случае все сводится к решению известной геометрической задачи: на прямой СD найти такую точку D, чтобы сумма расстояний АD+ВD была наименьшей.

Для решения отображаем А симметрично относительно СD. Обозначим новую точку Теперь соединим точки В и . Расстояние B и будет наименьшим. Так как АВ=1, А, то При этом легко доказать, что прямая B проходит через точку С.

Четвертое решение. Для определения наименьшего значения применим производную: .

Найдем критические точки: .

Комментарий.

Решая данное уравнение, получаем, что х=0. Исследовав значения производной, приходим к выводу, что в этой критической точке - наименьшее значение функции.

Теперь видно, что стандартное исследование поведения функции по производной достаточно сложно (попробуйте его реализовать). Поэтому подготовка учащихся к ЕГЭ должна предусматривать обучение поиску наибольшего и наименьшего значений без производных (это должно проводиться в 8-10 классах).

Задание 7. Найдите наименьшее значение функции .

Решение. Сразу видно, что применение производной приведет к серьезным осложнениям. Поступим иначе. Рассмотрим функции и . Легко убедиться, выделяя квадрат подкоренного выражения и учитывая свойство монотонности функции , что первая функция имеет наименьшее значение при х=1. Так как при всех х, то вторая функция имеет наименьшее значение 0, и оно достигается при , т.е. при х=1+2n, . Среди чисел вида х=1+2n, содержится число 1. Отсюда следует, что функции и принимают свои наименьшие значения при х=1. Следовательно, исходная функция принимает наименьшее значение при х=1. .

Ответ: 2.

Задание 8. Найти множество значений функции .

Решение. Видно, что применение производной связано с техническими трудностями потому, что уравнение, задающее функцию, достаточно сложное. Предварительно преобразуем уравнение . Введем новую переменную . Так как , то по свойству показательной функции, с основанием большим 1, z принимает все значения, большие 20. Относительно аргумента z уравнение, задающее функцию, принимает вид или , где z>20. При возрастании z знаменатель увеличивается, дробь уменьшается и, следовательно, функция возрастает.

При . Если же z неограниченно возрастает (), то функция приближается к 1, оставаясь меньше 1. Так как функция непрерывна, то она принимает все значения из интервала (0,2; 1).

Ответ: (0,2; 1).

Задание 9. Найти множество значений функции , заданной на отрезке .

Решение. Известно, что . Так как функция возрастает на отрезке [-1; 1], нечетна и -0,5<-0,25, то или .

Из свойств функции следует, что . Получаем .

Отсюда следует, что на отрезке принимает наибольшее значение при х=0 и это значение равно 1.

Для определения наименьшею значения функции из свойств функции следует, что оно принимается на концах отрезка, и поэтому требуется сравнить значения функции на концах отрезка:

Так как -0,68<, то -0,68 является наименьшим значением функции на .

Так как функция непрерывна на отрезке, заданном в условии, то она на этом отрезке принимает все значения между наименьшим и наибольшим значениями.

Ответ: [-0,68; 1].

Задание 10. Найти множество значений функции , если .

Решение. Функция определена при всех х больше либо равных -2, кроме 0.

1. Пусть . Тогда и уравнение, задающее функцию примет вид: или . Из свойств показательной функции следует, что эта функция непрерывна и убывает в этом промежутке. Из непрерывности следует, что на этом промежутке она принимает значения (-2; 1).

2. Пусть х>0. Тогда . Применяя свойства показательной функции с основанием большим 1, получаем, что при х>0 множество значений функции совпадает с промежутком .

Таким образом .

Ответ: .

4.2 Упражнения и методические рекомендации для подготовки учащихся к сдаче заданий уровней В и С

Вторая часть существенно отличается от первой части. Основное отличие состоит в следующем.

1. Предлагается 10 задач без вариантов ответа. В каждой задаче следует получить и записать ответ.

2. Задачи данной части более сложные. Сложность задач связана с тем, что решение каждой из них это, как правило, решение двух - трех стандартных задач, объединенных одной формулировкой. К примеру, предлагается не просто решить тригонометрическое уравнение, а требуется найти количество корней на заданном отрезке (или их сумму).

З. Не все задания этой части равноценны. Часть из них достаточно «близки» к задачам из третьей части, с той лишь разницей, что при выполнении задач этой части не требуется оформлять решение и обосновывать ход решения, достаточно привести верный ответ.

4. При выполнении заданий второй части можно использовать любые факты, даже малоизвестные в школьной практике, смело пользоваться ими для экономии времени, не рискуя при этом абсолютно ничем. Заметим, что при выполнении третьей части это мало возможно (там каждый факт нужно обосновывать).

Приведем факты, позволяющие экономить время выполнения заданий второй части.

1. Подобрать корень многочлена F(х) и разделить многочлен на разность получив его разложение.

2. Знать и уметь применять формулу сложных процентов.

3. Уметь решать достаточно сложную по формулировке задачу графически. При этом допускаются готовые шаблоны. К примеру, построение графика функции начинать с построения вертикальной и горизонтальной асимптот ( и соответственно).

4. Использовать любые известные формулы, а не только те, которые представлены в учебнике. Например,

()

или

Тем более, нет смысла игнорировать тот факт, что наименьшее (наибольшее) значение квадратичной функции при а>0 (a<0) принимается в точке и равно . Успешная подготовка к выполнению заданий второй части немыслима без знания теоремы Виета как для квадратного, так и для кубического уравнений.

Теперь иную окраску принимает проведение уроков, посвященных решению одной задачи разными способами с последующим сравнением этих решений по разным критериям:

ь Вероятность допустить ошибку;

ь Возможность осуществить самоконтроль;

ь Затраты времени;

ь Эстетика решения;

ь Возможность обобщения;

ь Широта применяемости.

Рассмотрим типы заданий, которые целесообразно разобрать с учащимися при подготовке к экзамену.

Задание 1. Пусть - решение системы . Найти .

Решение. Подробное решение этой системы займет не менее 10 минут. Опытный учитель посоветует своим ученикам выполнить это задание за … 10 секунд: подбором решения системы. Корнями системы, как правило, являются целые числа. Заметим, что пара чисел х=5, у=2 - решение системы. Поэтому ответ в задании .

Задание 2. Найдите значение выражения .

Решение. Пусть . Тогда Кроме того, Теперь исходное выражение примет вид

Ответ: 57.

Задание 3. Найдите наименьшее целое значение функции

Решение. После очевидных преобразований получаем

Так как и функция монотонно возрастает, то или . Отсюда видно, что наименьшее целое значение функции равно 2.

Комментарий.

Так как это задание из второй части, то приведенное решение придется признать вполне корректным. Думается, что это слишком сложная задача, поскольку для полного и строгого ее решения у школьника просто недостаточно знаний. Приведем полное обоснование решения. После неравенства следовало написать: функция непрерывна на отрезке , принимает значения Поскольку исходная функция непрерывна, то она принимает (хотя бы по одному разу) и все промежуточные значения от до . Наименьшим целым значением на промежутке будет число 2.

Решение задания показывает, что следует познакомить школьников с этой теорией, не проводя доказательство, а лишь опираясь на ее геометрический смысл.

Задание 4. Найдите сумму целых решений уравнения

Решение. Левая часть уравнения - сумма расстояний на числовой оси от точек -2 и 6 до точки х. Отсюда следует, что решениями служат все x, принадлежащие отрезку . Этот отрезок содержит такие целые числа: -2; -1; 0; 1: 2; 3; 4; 5; 6. Сложив их, получим второй ответ.

Комментарий.

Подобные задания следует предлагать постоянно, чтобы школьники не забывали различные методы решения таких уравнении.

Задание 5. Укажите промежуток, которому принадлежит положительный корень уравнения .

Решение. Так как х>0, то и уравнение можно записать так . Возводим обе части в квадрат и преобразуем: , тогда и . Проверка показывает, что х=5 является корнем исходного уравнения, а - посторонний корень. Правильным является второй ответ.

Комментарий.

Уравнение могло быть решено подбором корня. Следует организовать разбор решения таким образом, чтобы возник вопрос о решении уравнения, т.е. поиске всех корней исходного уравнения. В этом случае упражнение готовит к выполнению задании третьей части ЕГЭ.

Задание 6. Сколько корней имеет уравнение ?

Решение. Известно, что . При этом равенство достигается в том и только в том случае, если х удовлетворяет неравенству . Так как при всех допустимых х, то решениями исходного уравнения служат решения системы . Уравнение системы имеет два корня и. Из этих значений х только удовлетворяет неравенству , поэтому уравнение имеет единственное решение.

Правильным является третий ответ.

Комментарий.

Готовить учащихся к выполнению таких заданий следует после изучения свойств модуля. Важно, чтобы школьники последовательно и многократно отрабатывали умения анализировать, выявлять и использовать особенности уравнений для выбора оптимальных алгоритмов решения. Естественно, что задания с выборочным ответом следует использовать постоянно. Но при этом в контрольных работах необходимо предлагать задания, в которых школьники должны приводить полные решения (постепенная подготовка учащихся к выполнению заданий третьей части ЕГЭ).

Школьники легко могут составить аналогичные задания самостоятельно. Данный прием следует использовать, чтобы повысить интерес учащихся к выполнению заданий. Важно, чтобы учитель оперативно проводил анализ заданий, составленных учениками, направляя их творчество таким образом, чтобы они предложит «нужные» ему задания.

Задание 7. Пусть . Сколько корней имеет уравнение ?

Решение. Прежде всего, используя определение функции, записываем уравнение так: или после преобразований .

Теперь, применив рассуждения, описанные в предыдущем задании, убеждаемся, что «кандидатами» на корни могут быть названы х=0 и х=2. Проверка показывает, что только х=0 является корнем уравнения. Правильный ответ - второй.

Комментарий.

Школьников следует постепенно готовить к тому, что прежде следует составить уравнение, а потом его решать, Особенно следует предлагать такие задания в классах (и тем ученикам), которые «не любят вычислять и допускают много ошибок».

Задание 8. При каких значениях а уравнение имеет только два корня?

Решение. , т.е. левая часть уравнения, равная сумме расстояний на числовой оси от точек -6 и 4 до точки х, не меньше 10. Из геометрических представлений ясно;

если левая часть меньше 10, то решений нет;

если правая часть равна 10, то решений бесконечно много (решениями являются все х, лежащие между -6 и 4);

если левая часть больше 10, то решений два (одно слева от -6, другое справа от 4).

Отсюда следует, что решениями служат те и только те а, при которых а²+2а>0. Легко убедиться, что решениями служат а>0 и а<-2.

Верным является четвертый ответ.

Задание 9. Указать целый корень уравнения

Первое решение. С помощью проверки убеждаемся, что х=0 не является корнем уравнения, а х=1 является. Верный ответ - второй.

Второе решение. Пусть Тогда исходное уравнение принимает вид а²+7а-8=0. Получаем и Остается решить уравнения и Первое уравнение имеет единственный корень х=1, а второе не имеет корней.

Верным является второй ответ.

Задание 10. Указать промежуток содержащий корень уравнения

Решение. Так как корни определены в том и только в том случае, когда подкоренные выражения неотрицательны, то область определения состоит из единственного значения х, равного 4. Проверка показывает, что х=4 является корнем уравнения.

Верным является третий ответ.

Комментарий.

Начинать знакомить школьников с использованием области определения при решении уравнений следует с 8 класса. Не лишним будет напомнить, что в 8-9 классах задания следует предлагать в такой форме, чтобы ученикам пришлось выполнять обоснованное решение. Далее этот метод следует повторять при изучении других тем.

Задание 11. Найти произведение корней уравнения (х²-4х+3) (х²-12х+35)+15=0.

Решение. Левую часть уравнения представим, разложив квадратные трехчлены на множители так: (х-1) (х-3) (х-5) (х-7)+15=0. Теперь, перемножив первую и четвертую, вторую и третью скобки, получим следующее уравнение (х²-8х+7) (х²-8х+15)+15=0. Пусть х²-8х+11=а. Тогда уравнение принимает вид (х-4) (х+4)+15=0 или откуда и а₂=-1. Остается решить еще два уравнения х²-8х+12=0 и х²-8х+10=0. Оба уравнения имеют действительные корни. Произведение корней первого уравнения равно 12, а произведение корней второго уравнения равно 10. При этом квадратные уравнения не имеют общих корней. Следовательно, произведение корней исходного уравнения равно 120.

Верный ответ - четвертый.

Комментарий.

С учениками следует обсудить эвристики, которые подсказывают целесообразность каждого из действий, выполненных в процессе решения. Кроме того, желательно остановиться на выборе замены и проанализировать другие замены: х²-8х=z,

Один важный момент - следует варьировать обозначений новых переменных, а не ограничиваться только обозначениями типа у, z.

Кроме того, следует обратить внимание на то, что не нужно выполнять «лишней» работы - в данном случае находить корни уравнения.

Задание 12. Решить неравенство: >5.

Первое решение. х+3=0 при х=. Следует рассмотреть два случая: х и х>.

. Неравенство примет вид >5. Его решениями служат значения х <.

х>>. Неравенство примет вид: х+3>5. Его решениями служат значения х > 2.

Верным является четвертый ответ.

Второе решение. Так как обе части неравенства неотрицательны, то исходное неравенство равносильно неравенству: >

Приведем решение без комментариев и обоснований:

>>0

>>0

Третье решение. - расстояние на числовой оси от точки х до -3.

Требуется найти те х, которые находятся на расстоянии больше 5 от точки -3.

Точки -8 и 2 находятся на расстоянии 5 от точки -3. Следовательно, дальше находятся те х, для которых верны неравенства х<-8 или х>2.

Комментарий.

Все решения этого простого задания должны отрабатываться с 7 класса и периодически повторяться.

Следует предлагать и такие случаи заданий:

1) <-1; 2) ?-1; 3) >0; 4) ?0.

Позднее задания, в которых модуль «спрятан»: >1; < и др.

Кроме того имеет смысл сообщить общие утверждения о неравенствах <а, >а (при ).

Задание 13. Найти наименьший член последовательности

Решение. Исследуем последовательность на монотонность:



Так как 0<1<<, функция возрастает в первой четверти, <1, то

<<.

Отсюда следует то, что >0.

Итак, последовательность возрастает, поэтому наименьшим является первый член. Верным является четвертый ответ.

Задание 14. Найти максимальный элемент последовательности .

Решение. Вновь исследуем последовательность на монотонность. Так как >0, то исследуем отношение к :

Отсюда делаем вывод, что:

>1 при n?2008,

<1 при n?2010,

=1 при n=2009.

Таким образом, наибольшими являются два номера и . Верным является четвертый ответ.

Комментарий.

Последние два задания показывают, что среди заданий первой части ЕГЭ могут быть такие, в которых требуется проводить исследование. Такие задания можно предлагать школьникам сразу в виде заданий с закрытыми ответами.

Понятно, что такие задания можно составить на материале любой темы.

Заключение

Поставленная цель была достигнута, задачи поставленные для достижения цели были решены.

Для решения первой задачи все задания учебника «Алгебра и начала анализа» А.Н. Колмогорова и др. были проанализированы и разбиты по темам и уровням сложности с учетом перечня контролируемых вопросов содержания и заданиям входящим в ЕГЭ. Были сделаны выводы, что при обучении по этому учебнику учащиеся могут успешно сдать выпускной экзамен за курс средней школы. В данном учебнике достаточно полно представлена трехуровневая система заданий по всем разделам школьного курса алгебры и начал анализа. Из 4844 заданий представленных в учебнике 4086 заданий соответствуют общему перечню контролируемых вопросов содержания, а 758 заданий связаны с вопросами, выходящими за рамки перечня. Так же в учебнике содержится около 300 задач (глава 6 учебника), соответствующих уровню С, что позволяет учащимся успешно справиться не только с выпускными экзаменами, но и со вступительными в ВУЗы, не предъявляющих высоких требований к уровню математической подготовки учащихся.

Для решения второй задачи было проведено сравнение процедур проведения традиционного экзамена и ЕГЭ. В результате этого сравнения были выявлены возможные психологические трудности, с которыми может столкнуться ученик, эти трудности были охарактеризованы и предложены пути их предупреждения. Для преодоления этих трудностей были разработана система занятий направленная на снятие психологического напряжения у учащихся во время сдачи экзамена.

Для решения третей задачи весь учебный процесс был разбит на три составляющие: педагогическая составляющая - целенаправленная деятельность всех педагогов, образовательная составляющая - совместная деятельность учителей и учащихся непосредственно на уроках, развивающая составляющая - система работы направленная на приобщение учащихся к творческой деятельности и учитывающая индивидуальные особенности, склонности и интересы учащихся. Для качественного функционирования первой составляющей была выявлена модель ученика. Для качественного функционирования второй составляющей были выявлены основные задачи обучения, воспитания и развития учащихся отдельно для основной и старшей школ. Для качественного функционирования третей составляющей были сделаны выводы о том, что процесс познания и развития в школе не может ограничиваться рамками уроков, поскольку сама программа по школьным предметам - минимум из всего богатства мировой науки и культуры.

Чтобы наиболее эффективно содействовать развитию способностей и склонностей, учесть особенности характера и темперамента, помочь ученикам сориентироваться в выборе профессии, развить психологическую основу для успешной учебы и продолжения образования, необходимы, во-первых, квалифицированная работа всего школьного коллектива, включая психолога; во-вторых, продуманная и отлаженная система внеклассной работы.

С учетом этого были сделаны выводы о том, что подготовка учащихся к ЕГЭ не должна быть самоцелью учителя в работе с учениками и, тем более, не должна сводиться только к ней. Учить рассуждать и доказывать, правильно применять необходимые и достаточные условия, учить индукции и дедукции, анализу и синтезу, обобщению и конкретизации, умению строить примеры и строить контрпримеры, развивать грамотную математическую речь, изучать яркие факты из истории математики и жизни математиков, обучать исследовательскому подходу, самостоятельной исследовательской деятельности - как были, так и остаются основными задачами изучения математики в старшей школе.

Для решения четвертой задачи были рассмотрены задания из вариантов ЕГЭ. По каждому уровню задач были предложены типы заданий с решениями и методическими рекомендациями которые помогут учителю при подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ. Рассмотрены наиболее часто встречающиеся ошибки допускаемые учениками и предложены пути их преодоления. Из этой части были сделаны выводы о том, что при подготовке учащихся акцент должен быть сделан на повторение и отработку общих методов решения задач (решение задачи по известному алгоритму, замена задачи, разбиение решения задачи на решение системы задач, перевод задачи на другой язык, использование аналогий, ассоциаций, метод неопределенных коэффициентов, метод оценки и др.). Качественная подготовка к ЕГЭ требует особого повторения не только в 11 классе. Состав методических средств, подготовленных для обучения общим методам, должен включать такие компоненты: идея самого метода; примеры задач, решаемых этим методом; система упражнений на усвоение метода (для каждого класса, начиная с 7-го, а возможно, и с 5-го); различные способы анализа условий задачи, выводящих на этот метод решения; средства самоконтроля деятельности по реализации данного метода; эвристики, позволяющие определить целесообразность применения метода; способы составления задач, которые можно решить изученным методом.

Работа по подготовке к ЕГЭ будет эффективной, если в систему работы школы и каждого класса в отдельности будет включено проведение, как минимум, один раз в месяц тренингов с последующим качественным анализом выполняемых работ. Однако анализ работ учащихся не должен сводиться к выставлению баллов и показу правильного решения - он должен включать всех возможных способов решений каждой задачи и сравнение этих способов с учетом их эффективности, эстетики и временных затрат. Особенно следует при этом продумывать те варианты решений, которые не были реализованы школьником, и рассказать им об упущенных возможностях.