Развитие мышления и речи на уроках математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

§ 1. Значение преподавания математики для формирования научного мировоззрения школьников

§ 2. Воспитание школьников на уроках математики посредством сообщения им сведений из истории науки

§ 3. Об образования математических понятий

3.1 История формирования понятия числа

§ 4. Развитие мышления и речи на уроках математики

4.1 Развитие мышления

4.2 Развитие речи

§ 5. О математических способностях

§ 6. О математическом творчестве

6.1 Развитие творческих способностей через обучение решению текстовых задач

§ 7. Личный опыт в гимназии №23 г. Владимира во время прохождения практики

Заключение

Список литературы



Введение

В настоящее время общеобразовательная школа выступает в качестве того общественного учреждения, которое самым непосредственным образом отвечает за интеллектуальные ресурсы общества. И от того, как будет функционировать школа, зависят не только настоящие, но и будущие условия жизни людей. В последние годы, как в начальной, так и в средней школе ведется активный поиск инновационных форм, методов и содержания школьного образования, которые могли бы создавать условия для роста интеллектуальных способностей учащихся.

Курс математики основной школы может создать условия для того, чтобы школьники увидели мировоззренческие аспекты математики, осознали генезис математических идей и пути к некоторым математическим открытиям, оценили роль математики в решении прикладных проблем. Тем самым появляется возможность усилить мировоззренческий и ценностно-смысловой аспекты математического образования в современной школе.

Интересы хорошего обучения требуют, чтобы учитель знал не только, чему учить, не только как учить, но и зачем он учит. Ведь главная задача школы не просто дать сумму знаний, а воспитать человека.

А.И. Маркушевич писал: «Нельзя сводить всю проблему математического образования к передаче учащимся только определенной суммы знаний и навыков. Это закономерно ограничивало бы роль математики в общем образовании». Но чтобы воспитывать человека, надо знать какими качествами, должен он обладать.

Можно выделить следующие качества личности, для развития которых много может сделать математика.

1. Качества личности, составляющие умственное воспитание (способность логически мыслить, умение анализировать, умение критически осмысливать материал).

2. Качества личности, составляющие ее творческий характер (способность самостоятельно добывать знания, ставить новые вопросы).

3. Качества личности, связанные с формированием мировоззрения (понимание предмета математических дисциплин, понимание связи математики с действительностью, с другими науками).

4. Качества личности, составляющие ее нравственный потенциал (патриотизм, толерантность и т.д.).

Отсюда следуют следующие направления работы:

1. Воспитание творческого отношения к математическому материалу.

2. Воспитание мировоззрения.

В данной курсовой работе остановимся на вопросах связанных с воспитанием мировоззрения. Этими вопросами занимались многие педагоги, например, Гнеденко Б. В. , Глаголева Е. Г. , Тесленко И. Ф. и др. Для написания своей курсовой работы были использованы статьи, написанные Е. Г. Глаголевой, также книги Гнеденко Б. В. и Тесленко И. Ф. Также была использована книга по истории математики Г.И. Глейзера.

Целью данной курсовой работы является изучение процесса формирования научного мировоззрения учащихся.

Достижение указанной цели реализуется решением следующих исследовательских задач:

- рассмотреть мировоззрения, с помощью сообщения сведений из истории математики на уроках;

- определить сущность и основные составляющие мировоззренческой подготовки учащихся общеобразовательных учреждений;

- выявить, что для формирования научного мировоззрения личности большую роль играет развитие творческих способностей, развитие речи, а также мышления;

- определить основные направления процесса формирования научного мировоззрения учащихся в учреждениях дополнительного образования.



§1. Значение преподавания математики для формирования научного мировоззрения школьников

Под мировоззрением понимают систему взглядов на окружающий нас мир, на возможность его познания человеком, на отношение к обществу и труду. Таким образом, мировоззрение представит собой целый комплекс представлений о реальном мире, о его познаваемости, об отношении человека к труду, к другим людям, к своим обязанностям по отношению к обществу.

Научное мировоззрение, как это легко понять из самого термина, является системой взглядов на природу и общественные явления, основанные на данных науки. Воспитание научного мировоззрения является ответственной и сложной задачей, требующей постоянного и длительного, настойчивого и в то же время неназойливого воздействия всего педагогического коллектива. Внимание этой проблеме не должно ослабевать ни на миг, и каждое уклонение учащихся от принятых нами позиций должно находить ответные шаги, убедительные, яркие, воздействующие как на разум, так и на психику. Мы должны стремиться к тому, чтобы научное мировоззрение стало внутренним убеждением каждого учащегося, которое он готов будет отстаивать и за которое «каждый день готов идти на бой». История науки дает нам многочисленные примеры, когда люди во имя своих убеждений готовы были жертвовать удобствами и отношением окружающих, материальными благами, жертвовать свободой и даже своей жизнью. Достаточно вспомнить имена Н. И. Лобачевского, Джордано Бруно и Галилео Галилея.

Но в философском воспитании никак нельзя ограничиваться только прошлым. Необходимо показывать также, что математические понятия, методы и результаты, разработанные в прошлом, широко используются и в наше время. Но вместе с тем неизбежно появляется потребность в развитии новых направлений науки и создании новых понятий. Особенно важно подчеркивать при этом, что практика не остается на месте, а непрерывно развивается и для своего прогресса требует расширения арсенала уже существующих математических знаний. Конечно, на базе школьной математики это сделать трудно, поскольку ее содержание не очень обширно. Тем не менее, это следует делать, иногда допуская такую вольность, как выход за пределы уже известного учащимся. Например, можно использовать практику космических полетов и их подготовки. Ведь прежде чем осуществить запуск космической ракеты, необходимо провести огромное число расчетов на прочность корпуса, на нагревание поверхности ракеты при полете в атмосфере и на необходимую скорость отведения тепла, запасы горючего. Далее следует создать теорию управления ракетой в процессе полета с целью введения необходимых коррекций при отклонении от расчетного курса. Но все это -- лишь малая доля тех математических задач, которые приходится решать при организации космических исследований.

Можно рассказать и о том, что открытие наличия энергии в ядре атома поставило перед математикой множество новых вопросов. В частности, пришлось проводить огромные, невиданные по своей сложности и громоздкости вычисления. Это явилось стимулом для изобретения новых принципов счета, осуществленных в ЭВМ. Первоначальные скорости счета в первых ЭВМ оказались в настоящее время недостаточными. Десятки и тысячи арифметических операций в секунду для некоторых задач аэродинамики и физики оказываются слишком малыми, так как необходимы десятки и даже сотни миллионов операций. В результате требования практики оказывали и оказывают решающее влияние на прогресс вычислительной техники. Происходит непрерывное взаимное влияние практики и теории.

Воздействие практики на направление развития математики можно проследить во все времена. Но к одному влиянию практики весь научный прогресс сводить ни в коем случае нельзя. Огромную роль играют также стремление к полноте знаний, любознательность, желание формулировать результаты во всей общности.

Воспитание мировоззрения нельзя рассматривать как некоторую дополнительную задачу, не связанную с обучением собственно математике. Очевидно, что формирование мировоззрения школьников при изучении того или иного курса возможно лишь на базе прочно усвоенных ими фактических знаний. С другой стороны, работа по воспитанию мировоззрения, особенно в той ее части, где вскрывается связь математики с действительностью, практикой, способствуют осмысленному, сознательному усвоению материала. Обучение математике, не сопровождаемое такой работой, порождает один из наиболее трудно изживаемых недостатков в знаниях учащихся -- формализм.

Таким образом, важнейшим условием эффективности работы по воспитанию мировоззрения в преподавании математики является органическая связь воспитательных моментов с содержанием изучаемого материала.

Школьник знает, что изучаемые им предметы, а вместе с тем и науки разделяются на две группы -- естественные и общественные. Первые занимаются изучением различных явлений окружающего нас мира, достаточно точно очерченными природными процессами. Так, оптика, являющаяся частью физики, изучает явления, связанные с распространением света. И какой бы метод исследования при этом не применялся, само явление есть центр всех усилий. Рассматриваем ли мы геометрическую, волновую или электромагнитную теорию света, объектом нашего изучения останется одно и тоже явление природы. Точно так же общественные науки - экономика, история, философия, организация производства - изучают определенный, строго очерченный круг явлений. И какой бы метод мы ни использовали при изучении проблем экономики, не метод, а реальная проблема остается в центре нашего внимания. В математике мы не можем указать никаких конкретных явлений природы, общества или техники, которые были бы единственным предметом ее исследования. Она изучает в школьном курсе: числа, функции и действия над ними, геометрические фигуры. К какой же группе дисциплин отнести математику? Очевидно, что она не является ни естественнонаучной, ни общественной дисциплиной. Она является математикой. Это накладывает особенности на метод математического исследования. Эксперимент может быть лишь наводящей формой изучения. Так, если мы хотим доказать теорему Пифагора, то одна экспериментальная проверка, сколь бы обширной она ни была, для этой цели недостаточна.

Часто математику называют естественнонаучной дисциплиной. Однако это ошибочное мнение и от такого взгляда следует отказаться.

Хороший преподаватель оказывает огромное влияние на умы, психику и поведение своих учеников. Они прислушиваются к его словам и стремятся, порой даже бессознательно, следовать тем принципам, которые он разделяет. Поэтому, если учащиеся на уроках математики услышат не только изложение ее формальных основ и доказательства теорем, но и кое-что об ее философских проблемах, они невольно обратят внимание и на эту сторону дела. Беседы учителя математики о методологических вопросах науки, их значении для самой этой науки и ее развития превратят их в сознании учащихся в составную часть математического знания. Одновременно ознакомление с методологией математики и ее общими философскими проблемами позволит учащимся взглянуть на предмет с более широких позиций. Учащиеся смогут определить положение математики в системе знаний, увидеть науку в развитии, движении, задуматься о движущих силах прогресса и понять необходимость все большей общности и абстрактности понятий математики и ее результатов для прогресса самой математики, расширения и углубления поля ее применений. Это поможет учащимся увидеть, что именно абстрактность математики позволяет один и тот же математический результат, одни и те же математические понятия применять к изучению самых разнообразных по своему конкретному содержанию явлений.



§ 2. Воспитание школьников на уроках математики посредством сообщения им сведений из истории науки

Среди целей преподавания математики в школе можно выделить одну - формирование у учащихся представлений о математике как части общечеловеческой культуры. Учителя математики часто считают ее не главной и не уделяют должного внимания соответствующей работе на уроке. Практика работы с историей математики показывает, что именно при помощи истории науки, которая методически правильно включена в урок, достигается вышеуказанная цель. Например, можно заметить, что история науки дает возможность показать учащимся при изучении каждого нового раздела или темы, что математика как наука о пространственных формах и количественных отношениях реального мира возникала и развивается в связи с практической деятельностью человека. Возьмем возникновение и развитие понятия числа, которое происходило вместе с зарождением и развитием математики. Практическая деятельность с одной стороны, и внутренняя потребность математики с другой стороны, определили развитие понятия числа. Так, например, отрицательные числа вошли в использование как «недостаток», а положительные как «наличие». Такого определения отрицательных чисел придерживался Диофант Александрийский. Р.Декарт же, при рассмотрении координатной плоскости истолковал положительные и отрицательные числа как противолежащие направленные отрезки, т.е. дал им геометрическое истолкование. На самом деле, примеров практической значимости математики для человеческой деятельности можно привести множество, что и следует показать ученикам при помощи истории математики. Такая неразрывная связь истории науки и преподавание темы по математике поможет ученикам осознать, что они изучают науку, которая является частью окружающего нас мира, частью нашей истории.

Аналогично, по мере возникновения насущных задач практики, появлялись не только новые понятия, но и создавались математические методы решения таких задач. Из истории человечества видим, что изобретение самолета потребовало решения задачи движения твердого тела в воздухе. Великий русский ученый Н.Е.Жуковский, применив новые математические методы, решил эту задачу, создав основу математической теории полета. А ученики 5-9 классов общеобразовательных школ знают в лучшем случае имена Пифагора, Евклида, Виета, теоремы, которых входят в школьный курс математики. Поэтому я считаю, что ученики должны знать и такие имена, как М.И.Остроградский, Н.И.Лобачевский, Н.Е.Жуковский, К.Э.Циолковский, С.Н.Бернштейн, М.В.Келдыш и многих других отечественных ученых. Их имена вошли в историю науки в связи с решением практических задач, имеющих большое значение для развития народного хозяйства, военной техники, развития науки.

Редко кто из учителей математики, использующий на своих уроках сведения из истории науки, задумывался о пользе этих сообщений в плане воспитания школьников. Самое главное в том, что история науки приучает, а потом заставляет быть закономерным, самостоятельно добывать знания. Также большое воспитательное воздействие окажет на учеников сообщение об огромной роли А.Н.Крылова, С.А.Колмогорова, Н.Г.Четаева и других в создании и совершенствовании новой военной техники. Так, работы А.Н.Колмогорова во время Второй мировой войны способствовали созданию теории артиллерийской стрельбы. А.Н.Колмогоров изучал явления рассеивания артиллерийских снарядов.

Эстетический потенциал математики в практике обучения часто недооценивают. Однако на протяжении веков пути математики и различных видов искусства переплетались. Поэтому исторические сведения предоставляют благодатный материал для развития эстетического вкуса школьников. Зачастую в кругу цифр и математических знаков мы не замечаем всей красоты и логичности доказательств этой науки. Красоту науки когда-то заметил Н.Е.Жуковский. Он писал: «В математике есть своя красота, как в живописи и в поэзии». Многие ученые, занимавшиеся исследованиями в области математики, были не только математиками, но физиками и химиками, как Ньютон, Паскаль и Эйлер, и даже поэтами. Философом и поэтом является известный математик Омар Хайям. Вот одно из его четверостиший:

Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало.

Два важных правила запомни для начала:

Ты лучше голодай, чем что попало ешь,

И лучше будь один, чем вместе с кем попало.

Другой пример - математик Чарльз Л.Доджсон, известный больше под псевдонимом Льюис Кэрролл как автор сказки «Алиса в стране чудес». Как рассказывают биографы, королева Виктория пришла в восторг от этой книги и захотела прочитать все книги, написанные Кэрроллом. Можно представить ее разочарование, когда она увидела на своем столе стопку книг по математике.

И даже известная нам математик-женщина Софья Васильевна Ковалевская обладала незаурядным литературным талантом. Ее перу принадлежат такие произведения: драма «Борьба за счастье», роман «Нигилистка» и другие.

Решать уравнение вида: х-ау=1, умел и Архимед. Недаром Архимед послал в Александрию Эратосфену следующий стихотворный вызов:



Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец

Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных

Их в четырех стадах много когда-то паслось.

Цветом стада различались: блистало много млечно-белым,

Темной морской волны стада другого был цвет.

Рыжим третье было, последнее пестрым. И в каждом

Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,

Все же храня соразмерность такую: представь чужестранец,

Белых быков в точности было ровно…

То, что древние математики были прекрасными поэтами, можно видеть из приведенных примеров. Эти произведения помогут показать ученикам красоту не только самой математики, но и поэзии, прозы и других древних сочинений. При этом исторические сведения помогут сосредоточить и сконцентрировать внимание учащихся на изучении программного материала, помогут надолго сохранить в памяти те факты, которые были красиво описаны с помощью литературы.

В стихах, приведенных выше, также встречаются географические названия: Александрия, Тринакрийская Сицилия и другие. При сообщении учащимся исторических сведений, если учитель приведет карты древние и современные, то ученики наиболее полно представят себе картину времени, когда произошло математическое открытие. При рассмотрении карт ученики могут найти древние города, например, город Александрию, и затем ответить на вопросы: каким морем омывается город? (Средиземным); с какой рекой связаны истории этого города?; к какой стране принадлежит Александрия? (Египет); назвать главную реку Египта и ее природные особенности? (Нил); перечислить известных людей, проживавших в Александрии? (Евклид, Эратосфен, Апполоний, Герон, Гиппарх, Птолемей, Диофант). Такая работа позволяет развивать воображение, мышление учащихся и тем более поможет лучше разобраться в географических местах и надолго отложиться в памяти детей, так как эти знания были добыты путем сопоставления карт. Приведенный в примерах Диофант занимался изучением методов решения уравнений. Уравнения, решаемые в целых числах так и назвали Диофантовыми уравнениями. А также с его именем связаны понятия Ал-джебра и Ал-мукабала:

Ал-джебра При решении уравненья, Если в части одной, Безразлично какой, Встретится член отрицательный, Мы к обеим частям, С этим членом сличив, Равный член придадим, Только с знаком другим, И найдем результат нам желательный.	Ал-мукалаба Дальше смотрим в уравненье, Можно ль сделать приведенье, Если члены в нем подобны, Сопоставить их удобно, Вычтя равный член из них, К одному приводим их.

математика школьник преподавание линейный

После изучения подобных стихов можно выводить современные методы решения линейных уравнений: перенос слагаемых их одной части уравнения в другую, деление и умножение обеих частей уравнения на одно и то же число.

Опытный учитель с привлечением истории математики к объяснению нового материала сможет показать ученикам значимость математики среди других наук, изучаемых в школе, и их неразрывную связь. Из вышеуказанных примеров видно, что при использовании географических карт, литературных произведений, биографий ученых история математики позволяет установить меж предметные связи, которые очень легко можно проследить на каждом уроке.

При распаде СССР многие социалистические республики, отделившись, стали возвращаться к своим традициям и к родному языку. История математики может вернуть нас к истокам исконно русских открытий, познакомить с нашими отечественными учеными и с их вкладом в становление науки - математики. Известный историк-методист И. Я. Депман справедливо утверждает: «Исторические сведения о математике своей Родины и ее достижениях естественно развивают патриотические чувства и любовь в своей стране, к своему народу. Русская математика, как старая, так и новая, дает для этого очень богатые возможности». В изучении простых чисел учеников можно познакомить с отечественным ученым П.Л.Чебышевым, которому наравне с другими исследователями этих чисел удалось вывести формулу, позволяющую приближенно найти число простых чисел. Работа по исследованию простых чисел занимала умы ученых около 2200 лет после Евклида, и своим открытием П. Л. Чебышев прославил русскую науку.

Воспитание нравственности у подростков происходит под воздействием взаимоотношений людей, окружающих школьника, его сверстников, людей старшего и предшествующих поколений. Педагогический процесс всегда связан не только с учителями, но и с «явно не присутствующими учителями». В качестве авторитетных «отсутствующих учителей» успешно выступают различные выдающие личности, деятели науки и культуры, в том числе и ученые-математики. Исторический материал, действуя на сознание, на чувства и помыслы школьников, формирует их нравственные идеалы. Поэтому исторический материал обладает огромным потенциалом для патриотического и интернационального воспитания школьников. В интернациональном воспитании, в формировании уважения к народам нашей страны, большое значение имеет ознакомление учащихся с достижениями великий ученых народов СССР, таких, как Хорезми, Омар Хайям, Насирэддин Туси, Гиясэддин Каши и других.

Неожиданные открытия, обнаруженные математиками, удивляли многие столетия людей своей красотой и вдохновляли на новые исследования. Говоря словами Г.В.Лейбница, «нет ничего более важного, как обнаружить источники нового открытия. Это, на мой взгляд, интереснее самих открытий». Мы еще раз убеждаемся в ценности элементов истории математики для развития учащихся. В этом случае учитель вместе с учениками может рассматривать новый материал, как никому раннее неизвестный, тем самым происходит новое открытие на уровне каждого ученика в отдельности.

Каждый год видим такую картину: от класса к классу интерес к изучению предмета математики у учащихся не возрастает, как хотелось бы, а наоборот, уменьшается, что влечет за собой и ухудшение успеваемости. Кроме воспитательного значения исторических сведений, учителя математики подчеркивают, что история математики повышает интерес учащихся к предмету, к изучению все новых и новых, усложняющихся тем программы.

Наиболее часто применяемыми методическими приемами сообщения исторических сведений являются следующие: рассказ учителя, эвристическая беседа, проблемное изложение, лекция, исследовательская работа учеников. Также выделяется еще один прием, который заключается в решении той или иной задачи различными методами, не исключая существовавших ранее, может быть даже и ошибочных. А также прием выполнения одного математического действия различным образом. Например, при изучении темы умножения десятичных или обыкновенных дробей школьникам в 6 классе можно показать приемы умножения дробей старорусским и другими способами. Эффективным методом сообщения исторических сведений по математике может быть решение задач из классических и старинных сборников задач. При изучении признаков деления на 2, 3, 5, 10 и т.д. можно показать ученикам признак Паскаля. Затем можно будет сказать, что признаки делимости чисел на 2, 3, 5 и 10 - это частные случаи признака Паскаля.

Ознакомление учащихся с элементами истории математики с целью воспитания должно проходить, прежде всего, на уроках математики. Многолетний опыт исследования данной темы показывает, что освещать историю математики даже в самом кратком виде не предоставляется возможным. Поэтому будем говорить только о сообщении учащимся лишь некоторых сведений из истории науки.

Можно использовать нетрадиционный прием сообщения сведений из истории математики - нетрадиционные домашние исследовательские задания. Почти исчезли из обихода русские старинные названия мер длины и веса. Ученики на лето обычно из крупных городов разъезжаются к родственникам, бабушкам и дедушкам, которые живут в деревнях, поселках и просто маленьких городках. Из их обихода эти устаревшие слова еще не вышли. За лето ученики могут выполнить специальное задание - составить словарь по старинным мерам длины по рассказам бабушек и дедушек. А во время урока по теме « Измерение отрезков» могут поделиться с остальными своими словарями и позабавить одноклассников различными интересными названиями, такими как сажень, вершок, аршин. Учитель в этом случае подтвердит сказанное школьниками и расскажет, чему в настоящее время равны эти величины. Интересно будет измерить кабинет математики пядями, локтями и шагами. А также исторический материал может стать индивидуальным средством обучения школьников математике.

Историю математики вводить в школу необходимо по нескольким причинам: это прекрасный и действенный инструмент для повышения интереса учащихся к предмету, развития эстетического вкуса учеников, а также привития нравственных качеств. Главное, чтобы исторические сведения гармонично вписывались в современный урок - урок XXI века. XXI век - это век телевидения, компьютеров и компьютерных сетей. На первый план выходит научно-исследовательская деятельность учеников, которая должна привить им навыки самообразования.



§ 3. Об образования математических понятий

Любые понятия, в том числе и математические, возникают в результате абстрагирования от свойств предметов, реально существующих в природе, или же является абстракциями от уже существующих абстракций. Таким образом, понятия математики отражают некоторые стороны реального мира и содействуют тем самым его познанию, собственно возможность применения математических теорий к изучению реальных явлений объясняется именно тем, что сами эти теории и имеющиеся в них понятия возникли из явлений реального мира и наблюдающихся в нем соотношений.

Ценность и жизненность математических теорий определяются не столько тем, насколько изящно они построены, сколько тем, как глубоко и прочно они связаны с проблемами общественной практики, понимаемой в самом широком смысле этого слова. С этой точки зрения не любые формальные правила действий могут служить предметом математической теории и не любые понятия заслуживают рассмотрения. Они имеют только тогда научное содержание, когда позволяют получать содержательные выводы о каких-либо реальных вещах и явлениях.

Число математических понятий невелико. Если же говорить о школьном курсе математики, то он сводится лишь к следующему: число, пространство, линия, поверхность, точка, функция, производная, вероятность, множество.

3.1 История формирования понятия числа

Несомненно, что для школьной математики число является тем понятием, с которого начинается обучение и которое сопровождает школьника до конца обучения.

Понятие целого числа возникло в незапамятные времена. Вначале это было вызвано необходимостью считать конкретные предметы: пять овец, восемь мужчин данной общины и пр. Только в результате длительной практики счета предметов различной природы возникло абстрактное понятие числа. Но это случилось уже на очень высокой стадии развития, задолго до того, как человечество оставило памятники письменности. Когда же появилась письменность, человечество уже владело довольно развитым искусством счета.

Для того чтобы выяснить хотя бы в основных чертах историю формирования понятия числа, приходится пользоваться косвенными данными, а именно данными этнографии; изучением живых языков, которые сохранили в грамматических особенностях числительных ценные сведения о прошлом. На этом пути также мы сталкиваемся с трудностями, поскольку завоевания и безжалостное вытеснение туземцев привело к почти полному уничтожению ряда племен, а то и целых народов в Южной и Северной Америке, Африке, Австралии, на островах Полинезии. К тому же христианские миссионеры нередко были виновниками уничтожения ценнейших памятников культуры прошлого народов, обращаемых в христианство. В результате из памяти человечества вычеркивались полностью страницы истории. То немногое что удалось собрать путешественникам на протяжении XVI--XIX вв., представляет неоценимое значение для истории науки и дает базу для восстановления процесса образования понятия числа.

Прежде всего выяснилось, что многие племена не могли вести счет и не имели наименований для чисел. Они заменяли счет описанием свойств отдельных предметов. Так, по свидетельству известного полярного исследователя Уильяма Парри (1790--1855), эскимосы в то время не могли правильно сосчитать число своих детей, если их было больше трех. Однако они сразу замечали отсутствие кого-нибудь из них, так же, как могли перечислить каждого, отмечая их отличительные особенности. Точно так же, имея большое число ездовых собак, они не могли назвать их числа, но зато были в состоянии описать каждую из них: собака, родившаяся в голодный год; собака черная с белым пятном и т. д.

Счет предметов и сопоставление численностей нескольких групп предметов представляли огромный труд. В сочинениях ряда исследователей первобытной культуры разбросаны сведения, подтверждающие мнение, что операция счета для первобытных племен представляла тяжелую задачу, от которой они быстро уставали.

Весьма поучительный пример этого рода приводит известный путешественник и этнограф К. Штейнен, исследовавший племя бакаири, жившее в глубинах лесов Амазонки и находившееся на весьма низком уровне развития. Он многократно заставлял туземцев перечислять последовательно зерна из кучки, состоявшей всего-навсего из десяти зерен. При этом они медленно, но правильно досчитывали до шести. При отсчете седьмого и восьмого бакаири становились напряженными, менее веселыми, начинали зевать и жаловаться на головную боль, а затем увиливали от ответов или убегали совсем.

Из приведенных примеров можно сделать заключение: умение считать на первых стадиях формирования искусства счета не связано жестко с наличием специальных наименований для числительных, а тем более специальных обозначений для цифр. Образование числительных и тем более цифровых знаков -- это уже достаточно высокая стадия развития. Специальные слова для обозначения числительных были выработаны позднее того, как появились определенные наименования для обозначения численностей групп определенных предметов. Филологи отмечают, что у некоторых африканских народов существуют различные слова для обозначения трех коров, трех воинов, трех хижин и т.д. Также у некоторых племен западной Канады было отмечено, что числительного три у них не существовало, а для обозначения трех предметов имелись различные наименования: «тхе» три вещи, «тхане» -- три лица, «тхат»-- три раза, «тхатоэн» - в трех местах и т.д. У аборигенов Флориды были слова «на-куа» для обозначения десяти яиц, «на-банара» для обозначения десяти корзин с продовольствием, но отдельного слова «на» для обозначения числительного десять у них не было.

Разумеется, счет с помощью определенных предметов неизбежно приводит к появлению наименований, тесно связанных с орудием счета. Понятно, что в качестве таких орудий счета, помогавших перечислению вещей и запоминанию результата, выбирались предметы, особенно близкие человеку. Как правило, это были органы его тела.

То, что при первобытном перечислении предметов зачастую использовали пальцы, сыграло большую роль в развитии счета на пальцах. До XVIII в. счет на пальцах имел широкое распространение в странах Западной Европы и в России. В начале нашего века этим методом в торговых операциях пользовались китайские и монгольские торговцы. В 1529 г. в Базеле была переиздана книга монаха Бэды Достопочтенного, в которой излагались методы счета на пальцах до миллиона включительно.

Использование пальцев рук и ног в счете должно привести к мысли о том, что числа пять, десять и двадцать должны играть особую роль и, следуя этой роли, должны где-то остаться -- в языках, записях, легендах. И действительно, внимательное изучение наименований числительных подтверждает это.

Особая роль числительного двадцать сохранилась во французском, голландском и английском языках. В скандинавских языках отмечена особая роль пяти. Во французском языке сохранилась традиция счета двадцатками: двадцать (vingt), восемьдесят произносится как четыре-двадцать (quatre-vingts), 90 -- как четыре-двадцать-десять (quatre-vingt-dix), 120 -- как шесть-двадцать.

История сохранила разные системы счисления, в которых основаниями были числа 2, 20, 10, 12, 60. Так, у некоторых племен Судана было отмечено стремление считать группами по двенадцать предметов. Этот пережиток сохранился и сейчас во многих странах Европы: дюжина -- 12, гросс -- 12² -- 144, масса -- 12³ = 12•12².

Изучение особенностей живых языков еще может дать для изучения формирования числового ряда на протяжении истории человечества очень многое. Именно поэтому следует собирать сокровища языка и внимательно их изучать с позиций математика, историка, философа и филолога.

Приведенные мною лингвистические изыскания показывают, что числовой ряд возник не сразу, не целиком. История его формирования весьма длительна, и запас употребительных чисел увеличивался лишь постепенно.

Это лишь часть пути развития числа. Кроме целых положительных чисел, практика заставила ввести также отрицательные числа, нуль, затем дроби, мнимые и комплексные числа. Далее на базе полей действительных и комплексных чисел были построены новые образования -- группы, кольца. Этот процесс никогда не завершится, так как для развития науки и практики нужны новые математические образования, новые понятия.

Задачи, связанные с измерением, разделом имущества и продуктов, привели к необходимости рассмотрения, наряду с целыми положительными числами, также дробных и отрицательных чисел. Но их введение и освоение потребовало длительного времени, и только после того, как оно пройдено, когда остались позади многочисленные трудности в выработке правил деления чисел и действий с дробями, появились возможности формального построения соответствующей теории.

В действительности человечеству потребовались тысячелетия, прежде чем удалось сформулировать абстрактное определение дробного числа, чтобы действиям с дробями обучались школьники. Это великое завоевание человечества. Ведь еще в XVIII в. в гимназиях даже не добирались до действий с дробями. Люди разными путями пытались выбраться из трудного положения, в которое они попадали, когда приходилось оперировать с дробями. Недаром в немецком языке сохранилось выражение «попасть в дроби» (in die Bruche gezahten) употребляемое в тех случаях, когда хотят подчеркнуть, что кто-то попал в безвыходное положение. В одной арабской рукописи XII в. была следующим хитроумным способом решена следующая простая арифметическая задача, лишь бы не иметь дела с дробями: «Разделить поровну между одиннадцатью лицами 100 фунтов (хлеба, зерна, муки -- Б. Г.)». Автор решения предлагает следующий способ: каждое лицо должно получить по 9 фунтов; оставшийся фунт следует поменять на яйца, которых при такой мене будет получена 91 штука. Оставшиеся после деления 3 яйца автор предлагает или поменять на соль, или же отдать за труды тому, кто делил.

Сказанное убедительно показывает, что на всех этапах развития математического понятия числа практика играла решающую роль. Правда, под понятие практики входят при этом различные представления: практика перечисления, практика раздела имущества и измерения длин. Введение иррациональных чисел связано на первых порах с вычислением длины диагонали квадрата по его стороне. Практика решения квадратных уравнений привела человечество к мнимым и комплексным числам.

Мы можем перейти к рассмотрению любого математического понятия и всюду столкнемся с той же самой ситуацией: их введение связано всегда с решением той или иной проблемы, выдвинутой или общественной практикой, или развитием науки.

Итак, когда перед глазами обучающегося или исследователя находится не только сформировавшаяся и уже формализованная математическая теория, но и весь ее исторический путь, тогда становится ясным истинный путь становления и возникновения ее понятий из интуитивных представлений, подсказанных практикой, включающей, естественно, и нужды самой науки. Если же замкнуться в абстрактной и окончательно формализованной математической схеме и за пределами этой схемы не желать ничего видеть, то связи математики, ее задач и введенных в ней понятий с практикой становится незаметными. При таком, и только таком подходе к науке может возникнуть мысль о свободном творчестве математических понятий ученым, его свободным и ничем не связанным разумом. Вот почему так важно обращаться в педагогическом процессе к истории науки, к ее поучительным примерам.



§ 4. Развитие мышления и речи на уроках математики

Способность четко, логически совершенно мыслить и ясно излагать свои мысли в настоящее время требуется каждому. В этих качествах нуждается руководитель предприятия и рабочий, ученый и инженер, педагог и экономист, врач и агроном. Вот почему вопросы развития мышления и речи являются одними из основных в жизни всей школы. Ими должны заниматься все преподаватели, внося в это общее дело каждый свое, присущее его специальности. Математик должен приучить к краткому и логически полноценному изложению, литератор -- к выразительной и эмоционально насыщенной речи, историк -- к последовательному изложению и умению приводить отдельные факты в систему и т. д.

Математика для воспитания привычки к строгому мышлению и четкой, логически совершенной речи имеет большие возможности. Эти возможности проявляются и при изложении теоретического материала, и при решении задач. Чтобы успешно ответить на тот или иной теоретический вопрос, недостаточно только запомнить определение или же рассуждение, которое было услышано на уроке от преподавателя при доказательстве той или иной теоремы. Здесь нужно понимание сути дела и, следовательно, постоянная готовность к дополнительным вопросам преподавателя, к изменению обозначений, смене чертежа. Ученик должен показать в своем ответе не только умение запоминать, а умение разобраться в структуре рассуждений, смысле условий теоремы, выявлении основной идеи доказательства, свою способность самостоятельно мыслить. И при всем этом преподаватель математики должен отучать учащихся от засоряющих речь, излишних предложений, нечетко выраженных и логически необоснованных заключений.



4.1 Развитие мышления

Для того чтобы математическое познание доставляло удовлетворение, необходимо проникнуть в суть идей этой науки и прочувствовать внутреннюю связь всех звеньев рассуждения, что только и позволяет понять глубокую и одновременно прозрачную логику доказательства. Если хотя бы раз ученик достигнет ясности понимания сути дела, внутренней связи понятий и рассуждений, то после этого ему будет трудно удовлетвориться суррогатом знаний, который дает заучивание без понимания, зубрежка без вдохновения. К состоянию полной ясности предмета изучения он станет стремиться сам, без напоминаний и принуждения, поскольку у него появится идеал знания. И тогда к нему придет удивительное открытие: работа мысли требует несомненно меньших усилий и затрат времени, чем зубрежка. Тем самым освобождается масса времени для более глубокого понимания материала, а это в свою очередь облегчает решение задач, самостоятельное проведение доказательств теорем, которые давались с таким трудом при простом заучивании без понимания идейной стороны дела.

На это обращал пристальное внимание один из выдающихся наших математиков и педагогов А. Я. Хинчин. В его очень интересной и содержательной статье «О формализме в преподавании математики» говорится, что «одним из самых распространенных и тяжелых недостатков (математической. - Б. Г.) подготовки до сих пор остается формализм математических знаний и навыков. Этот недостаток почти в равной мере препятствует достижению всех тех целей, которые ставит перед собой преподавание математики в школе. Прежде всего и острее всего это сказывается на непосредственном практическом применении приобретенных знаний и навыков. Тот, кто вынес из школы только внешние, формальные выражения математических методов, не усвоив их содержательной сущности, при встрече с реальной задачей будет, конечно, лишен возможности увидеть, какие из этих методов могут быть применены к ее решению. Он не сумеет, как мы говорим, математически поставить практическую задачу; в значительной мере он окажется беспомощным и в решении этой задачи, так как у него не выработалось привычки реально осмысливать производимые формальные операции, вследствие чего ни интересы стоящего перед ним практического задания, ни даже математическое содержание возникшей проблемы не смогут руководить им при выборе этих операций».

«Не менее тяжким следствием формализма математических знаний мы должны, наконец, признать и почти полную мертвенность, бесполезность такого рода знаний в формировании научного мировоззрения учащихся, которое должно являться одной из важнейших задач нашей общеобразовательной школы. Вряд ли надо доказывать, что знания и навыки, связанные лишь с внешней формой изучаемого предмета и оторванные от его содержания, ни в какой мере не могут влиять на идейное воспитание ученика, на формирование его мировоззрения. В лучшем случае они способны только стимулировать тренировку чисто формальных мыслительных способностей».

А. Я. Хинчин дает исчерпывающее определение формализации знаний, говоря, «что для всех проявлений формализма характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта».

Для того же, чтобы приучить учащихся мыслить самостоятельно, чтобы привить им твердую привычку надеяться в решении возникающих затруднений на собственные силы и привить им уверенность в практически неограниченных возможностях их способностей, необходимо заставить их пройти через определенные трудности, а не подавать им все в готовом и до конца разжеванном виде. К сожалению, нередко школа стремится облегчить путь обучения настолько, что учащиеся проходят дистанцию от первого до последнего дня школьной жизни, ни разу всерьез не продумав узловые моменты теории, не сосредоточив своих умственных сил на самостоятельное преодоление трудностей, встречающихся при решении задач или же осмысливании условий теорем. Основная трудность перекладывается на плечи преподавателей, которые в каждый момент должны быть готовы дать консультацию учащемуся по любому поводу. И вместо того, чтобы приложить к преодолению встретившихся затруднений собственные усилия, учащиеся не так уж редко предпочитают использовать такой доступный и легкий способ, как консультация учителя.

Несомненно, что учащийся, не приученный к самостоятельному преодолению трудностей, к постоянному поиску выхода из затруднений, будет вынужден через всю жизнь нести груз неполноценности, будет использовать потребность иметь под боком кого-то, кто поможет ему, даже в простейших ситуациях. Для общества такой человек будет балластом, потому что он ничего не сможет сделать самостоятельно, а постоянно станет требовать помощи от других, поскольку он привык получать ее в школе от учителей.

Отсутствие формализма в приобретенных знаниях является только необходимым, но далеко не достаточным условием развитого мышления. Оно требует не только отсутствия формализма, но и привычки к полноценной аргументации выдвигаемых положений, к недопустимости логических скачков в рассуждениях, к последовательному проведению всех необходимых доводов для получения окончательного заключения.

Мы прекрасно знаем, как часто при обсуждении даже очень важных дел ограничиваются приведением двух-трех аргументов в пользу того или иного решения и не заботятся о полноте приведенных соображений. Однако зачастую такого аргументирования, как правило, бывает недостаточно. Подобное случается и в науке, особенно когда вновь открытый метод дает прекрасные результаты. Тогда, почти обязательно, этот метод возводится в абсолют и перестают интересоваться условиями его применимости. В частности, нередко при решении прикладных вопросов забывают об основных требованиях, без которых метод не приносит пользы или вообще не используется.

Математические методы и результаты имеют ограниченное поле применимости. Поле действия теоремы определяется теми условиями, которые содержатся в ее формулировке. Теорему Пифагора, доказанную для прямоугольных треугольников на евклидовой плоскости, уже нельзя переносить на другие поверхности. Например, на сфере для прямоугольных треугольников теорема Пифагора не имеет места. Учащиеся должны уяснить, что не любой математический расчет приводит к правильным результатам, а лишь тот, который соответствует реально существующим условиям. Каждый педагог-математик стремится по мере сил и возможностей к развитию мышления учащихся. Очень важно научить учащихся видеть, что из формулировки теоремы нельзя выкинуть ни одного слова, поскольку этим самым будут нарушены логические связи, и можно будет построить контр примеры.

4.2 Развитие речи

В непосредственной связи с развитием мышления находится воспитание культуры речи. Нередко преподаватели внимательны, только к тому содержанию, которое излагает учащийся, но не очень следят за тем, как он говорит. Такой подход не может считаться оправданным. Математик не может быть безразличным не только к содержанию, но и к форме ответа. Нельзя считать, что воспитание культуры речи находится только в руках преподавателей русского языка и литературы. И то, что может сделать учитель математики, порой затруднительно для преподавателя истории или литературы. Действительно, именно на уроках математики школьник должен привыкать к краткой, четкой, логически отточенной речи. Именно в математике следует приучать к тому, что даже в обычной речи следует избегать слов и фраз, не несущих смысловой нагрузки.

Каждому человеку приходится выражать словами свои мысли, желания, впечатления, и во всех случаях нужно добиваться того, чтобы мысль передавалась точно и без искажения. А для этого необходимо, чтобы второстепенные детали и лишние слова не затемняли основного содержания, приучиться произносить только то, что необходимо для понимания дела.

У некоторых учащихся есть склонность к украшательству своей речи. Им кажется, что это красиво, и они приближаются к литературным достоинствам великих мастеров слова.

К сожалению, у многих имеется привычка к «мычанию»: человек не может вовремя найти нужное слово, и перерыв заполняет длительным «ммм...». Этот недостаток легче исправить у детей, чем у взрослых.

Весьма распространено также злоупотребление иностранными словами. Это не только не красит речь, но нередко бывает причиной затруднений у слушателей. Родной язык достаточно богат, чтобы без нужды не пользоваться словами и выражениями, которые не свойственны ему, и его засорение должно считаться признаком бескультурья.

Преподаватель не может проходить без внимания мимо недостатков речи учащихся. И если школьник будет знать, что любой недостаток его речи будет замечен, любая алогичность в его рассуждениях будет отмечена, он станет внимательнее относиться к тому, что и как он говорит, и с детства привыкнет следовать в своей речевой практике замечательной узбекской поговорке: «Человек! Прежде чем пропустить слова через нижнюю часть головы, пропусти их через верхнюю».

Конечно, чтобы воспитывать речь школьника, преподаватель сам должен владеть ею безукоризненно. Каждое слово учителя, каждый сделанный им жест должны содействовать восприятию учащимися предмета изложения, процессу запоминания. Речь не должна быть слишком быстрой, поскольку за ней трудно следить многим учащимся. Но она не может быть и излишне медленной, так как при таком изложении может потеряться нить изложения. Если учитель рассказывает так, что его не приходится переспрашивать, удается сэкономить время на ненужных вопросах и ответах, вызванных торопливым изложением, когда теряется не только время, но и цельность представления о том, что излагает учитель.

Учитель не должен забывать, что четкая речь и мысль доступнее для понимания, чем мысль расплывчатая, речь неправильная, переусложненная множеством придаточных предложений и отвлекающих украшений. Речь учителя должна быть не только грамматически и литературно правильной, но и эмоционально насыщенной. Учащиеся от общения с учителем должны получать внутреннюю убежденность в беспредельной важности того, что он им сообщает, веру в собственные силы, интерес к предмету и стремление к познанию.

Человеческая речь может обладать исключительной выразительностью, она может немногими словами рисовать яркие образы, давать представление о сложнейших движениях мысли людей, помогать пониманию сложнейших явлений, звать на подвиги и оставаться в памяти людей на долгие годы. Но для этого нужные слова должны произноситься в соответствующие моменты и с соответствующей интонацией. И то, что сегодня прозвучало как нечто потрясшее воображение, завтра или в другой обстановке, при другом составе слушателей уже не произведет впечатления.

Математика может в силу своих специфических особенностей, а потому и должна содействовать выработке у учащихся привычки к полноценному мышлению и к четкой, ясной, выразительной и логически полноценной речи. Это им поможет впоследствии в их жизни доносить свои мысли до сознания других людей в неискаженном виде, поможет им избавиться от множества затруднений, которые связаны с неумением правильно и однозначно излагать свои мысли.



§ 5. О математических способностях

Выявление и развитие способностей учащихся является одним из основных назначений школы. Способности могут проявляться в самых разнообразных направлениях -- к какому-нибудь виду мастерства, к литературе, к постановке физических опытов, к спорту и пр. Выявление и развитие математических способностей также следует отнести к одной из важных и ответственных задач педагогических коллективов школ. Это крайне необходимо для жизни современного общества, поскольку в век математизации знаний важно не упустить потенциальные таланты, воспитать их и направить на совершенствование, как самой математики, так и многочисленных ее применений. Хорошо известно, что в наши дни математика превратилась в производительную силу общества, и потому мы не имеем права допускать потерю математических способностей ни у одного школьника.