Математические игры, как средство развития логического мышления

В начале урока учитель рассказывает правила игры. А затем рассматривает пример: Игра "отгадай слово" впервые появилась на свет в конце 60-х годов, почти одновременно с "быками и коровами", о которой будет рассказано позже, и до сих пор пользуется большой популярностью, в нее охотно играют школьники, студенты, научные сотрудники.

Действительно, как мы сейчас увидим, эта увлекательная игра значительно богаче и глубже большинства известных словесных игр. Для успеха в ней важен не только большой запас слов, лексикон играющих, но и умение логически рассуждать.

Играют двое. Один игрок задумывает слово из пяти букв, а другой должен его отгадать. С этой целью он называет одно за другим слова, состоящие из произвольного числа букв, на каждое из которых партнер в ответ сообщает число, означающее, сколько раз буквы задуманного слова входят в названное; при этом каждая буква задуманного слова учитывается в ответе столько раз, сколько она содержится в названном.

Естественно, слова задумывают оба игрока, причем они стараются выбрать их потруднее для отгадывания. Побеждает тот, кто отгадал слово противника, то есть получает ответ "отгадал", за меньшее число ходов.

Как и в большинстве игр в слова, и задуманное слово, и "ходы" должны быть существительными, нарицательными, в единственном числе. Чтобы избежать лишних споров, лучше всего сразу договориться о том, какие разрешается использовать словари.

Очевидно, игра "отгадать слово", как и "быки и коровы", является тестовой. Выбор слов-ходов, приводящий к цели, по существу, есть тест для отгадывания задуманного противником слова (шифра), и задача игрока состоит в том, чтобы построить тест как можно короче. Конечно, игру легко обобщить, разрешая задумывать слова другой длины, однако длина пять является оптимальной (подобно четырем цифрам в "быках и коровах" - разнообразие пятибуквенных слов очень велико, и отгадать их совсем не просто).

Делать ходы (назвать тестовые слова) не обязательно по очереди, важно общее число ходов. При большом количестве партий в каждой из них можно учитывать не только то, кто раньше отгадал слово, но и на сколько ходов быстрее. Для того чтобы лучше ознакомиться с игрой, почувствовать ее тонкости, рассмотрим несколько партий, то есть выражаясь шахматным языком, прокомментируем их. Всюду предполагается, что слово задумывает ваш партнер, и нам надо его отгадать. Рядом с названными словами указываются ответы противника на них.

Приведем пример. Пусть наш воображаемый партнер задумал слово КОЛБА, а мы своим ходом назвали слово ОБОРОНА. Тогда он должен ответить числом 5. В самом деле, буквы К и Л задуманного слова не входят в названное (или иначе - входят 0 раз), буква О входит 3 раза, буквы А и Б - по 1 разу. Итого: 0+0+3+1+1=5.

Называя некоторое слово и получая на него ответ, мы всякий раз делаем определенные выводы относительно задуманного слова. Так, ответ противника на слово ОБОРОНА означает, что задуманное слово, пока не известное нам, обязательно содержит букву О (в противном случае максимальный ответ был бы равен 4), а так же две буквы из четырех Б, Р, Н, А. Рассмотрим другие возможности. Ответ 0 свидетельствовал бы о том, что в отгадываемом слове нет ни одной из пяти букв, входящих в слово ОБОРОНА; ответ 1 или 2 - что в нем содержится соответственно одна или две буквы из четырех - Б, Р, Н, А и нет буквы О; ответ 3 - что в нем есть О и нет Б, Р, Н, А, или, наоборот, есть три из этих четырех букв и нет О; наконец, при ответе 4 делаем вывод, что задуманное слово содержит букву О и одну букву из четырех остальных или все эти четыре буквы вместе, но тогда отсутствует О.

Извлекая на каждом ходу ту или иную информацию о задуманном слове противника, мы делаем следующий ход и т.д., пока не получим ответ "отгадал".

Давайте рассмотрим одну партию вместе.

Партия 1

Учитель начинает игру: Я загадываю слово и противник на первое свое слово получает ответ 2. Что это значит?

ПЕРЕВАЛ 2

Ученики анализируют и приходят к умозаключению: В данной партии первый ход позволяет сделать следующий вывод: либо в задуманном слове есть буква Е и нет букв П, Р, В, А, Л, либо есть две буквы из этой пятерки, но нет Е.

Учитель: Цель второго хода - разобраться в ситуации. Противник называет следующее слово и получает ответ 0.

СВАЛКА 0

Ученики вновь анализируют и приходят к выводу: Ответ 0 дает возможность выбросить из рассмотрения целый ряд букв. В данном случае после второго хода мы видим, что в задуманном слове нет букв В, А, Л (и, конечно, С и К), и значит, с учетом первого хода, оно содержит либо Е, либо одновременно П и Р.

Учитель: Каким словом можно определить точное наличие, например буквы П?

Школьники, не долго думая, выдают ответ: ПОП.

Учитель: На это слово ответ будет 0. Что это значит?

ПОП 0

Ученики: Итак, второй вариант отпадает, буквы П, а вместе с ней и Р в слове нет, а есть Е.

Учитель вновь предлагает новое слово к рассмотрению: На новое слово противника ответ будет 4. Какой вывод мы можем сделать из этого, если вспомнить, что отсутствие некоторых букв мы уже определили?

ФАКУЛЬТАТИВ 4

Ученики вспоминают те буквы, которых уже нет и делают вывод: Так как мы уже знаем, что букв А, К, Л, В в слове нет, то последний ход и ответ на него означают, что фактически нам надо проанализировать следующую ситуацию с фиктивным словом-ходом: ФУЬТТИ 4.

Учитель: Предположим, что в задуманном слове нет Т. Что это значит?

Ученики: Тогда оно содержит все четыре оставшиеся буквы, то есть Ф, У, Ь, И. поскольку буква Е уже найдена раньше, искомое слово должно состоять из букв Ф, У, Ь, И, Е.

Учитель: А можно ли из этих букв составить слово?

Учащиеся проводят анализ (это уже не логический анализ, а чисто словесный), и приходят к умозаключению: Из этих букв собрать слово невозможно. Таким образом, в задуманном слове обязательно присутствует буква Т, кроме того, в нем есть Е и две буквы из четырех Ф, У, Ь, И.

Учитель делает некоторые выводы: Очередными ходами мы бы могли определить две эти буквы и недостающую пятую. Однако сначала попробуем извлечь побольше информации, не делая ходов, а только основываясь на полученных ответах (самое тонкое место партии!). Две буквы из четырех можно выбрать шестью способами, . Добавляя к каждой паре уже известные буквы Е и Т, получаем шесть возможных комбинаций:

1) Ф, У, Е, Т;

2) Ф, Ь, Е, Т;

3) Ф, И, Е, Т;

4) У, Ь, Е, Т;

5) У, И, Е, Т;

6) Ь, И, Е, Т. Какие же из комбинаций даже при добавлении третьей буквы не могут образовать слово?

Школьники анализируют и выдвигают гипотезу: Последние три комбинации при любом добавлении пятой буквы не могут образовывать никакого слова. Что же касается первых трех комбинаций, то, добавляя к первой из низ букву Б, ко второй Н или к третей Ш, получаем три возможных слова: БУФЕТ, НЕФТЬ, ФЕТИШ.

Учитель: Конечно, анализ требует большого перебора вариантов, но зато мы не сделали ни одного лишнего хода!

Итак, нам осталось выяснить, какая буква из трех букв - Б, Н, Ш - выходит в задуманное слово. Попытаемся справиться с этой задачей за один ход. Для этого используем такой прием: поберем слово, в котором одна из этих букв не содержится вовсе, а две другие содержатся, но в разном количестве. Следующий ход удовлетворяет требованиям. Ответ на который 1. Какой же вывод мы можем сделать?

БАНАН 1

Ученики: Ответ показывает, что в слове есть буква Б, и следующий ход заканчивает игру.

БУФЕТ Отгадал

Учитель предлагает рассмотреть другие варианты: Что значило бы, если при ответе на пятом ходу 0.

Ученики: Задуманным оказалось бы слово ФЕТИШ.

Учитель: А при ответе 2.

Ученики: НЕФТЬ.

Так же учитель делает замечание: Кстати, неточным был бы, например, пятый ход СНОБ, а так как при ответе 1 мы не смогли бы решить, какая из двух, Н или Б, входит в задуманное слово.

Далее учитель предлагает детям поиграть, задумывает слово, а дети отгадывают.

Партия 2

Школьники называют первое слово и получают ответ 3

КАРЕЛ 3

Учитель задает наводящие вопросы: Каким должно быть следующее слово, чтобы определить наличие какой-либо буквы?

Ученики приходят к умозаключению: Слово должно отличаться от предыдущего всего несколькими буквами.

Ученики называют следующее слово, на которое получают ответ 2.

КРЕОЛ 2

Учитель вновь предлагает подумать и сделать вывод.

Ученики анализируют и приходят к выводу: Поскольку четыре буквы у этих двух столбцов общие, а ответы разные, делаем вывод, что буква А в искомом слове есть, а буквы О нет.

Учитель: А что мы можем сказать об остальных буквах?

Ученики приходят к умозаключению: Из ответа на второй ход следует, что из четырех букв К, Р, Е, Л в искомом слове содержится две.

Ученики записывают шесть возможных вариантов следующим образом:

1) А, К, Р (Е, Л, О);

2) А, К, Е, (Р, Л, О);

3) А, К, Л (Р, Е, О); (1)

4) А, Р, Е, (К, Л, О);

5) А, Р, Л, (К, Е, О);

6) А, Е, Л (К, Р, О).

Здесь перед скобками записаны буквы, которые искомое слово может содержать. А внутри скобок буквы, которых при этом в слове точно нет.

Ученики называют следующее слово и получают ответ 3.

БЕКОН 3

Ученики анализируют и делают вывод: Так как буквы О в слове нет, то нужно выбрать три буквы из четырех. Это можно выбрать четырьмя способами :

1) Б, Е, К (О, Н);

2) Б, Е, Н (К, О);

3) Б, К, Н (Е, О); (2)

4) Е, К, Н (Б, О).

Учитель помогает детям провести анализ: Комбинируя шесть вариантов (1) с четырьмя вариантами (2), получаем 6Ч4=24 комбинации. Однако не все они "совместимы". Так, несовместимые являются первые возможности в (1) и (2). С одной стороны, буква Е содержится в искомом слове - первый вариант в (2), а с другой - нет - первый вариант в (1).

Далее школьники сами продолжают анализировать и приходят к умозаключению: Анализ показывает, что из 24 вариантов совместимыми являются только шесть:

К, А, Р, Б, Н, (Е, Л, О);

К, А, Е, Б (Р, Л, О, Н);

К, А, Е, Н (Б, Р, Л, Н);

К, А, Л, Б, Н (Р, Е, О);

А, Р, Е, Б, Н (К, Л, О);

А, Е, Л, Б, Н (К, Р, О).

Школьники вновь называют слово, на которое получают ответ 1

АБРИС 1

Ученики анализируют и делают вывод: Учитывая, что в искомом слове есть А, находим, что в нем нет Б, и, значит, из последней подборки, содержащей шесть слов, остается только третья возможность - искомое слово содержит четыре буквы К, А, Е, Н.

На следующий ход ученики получают ответ 1.

БРОШЬ 1

Учащиеся приходят к умозаключению: Букв Б, Р, О в задуманном слове нет, и мы получаем, что в нем есть Ш или Ь. итак, имеем две возможные пятерки букв: К, А, Е, Н, Ь или К, А, Е, Н, Ш. Из первой пятерки слова образовать нельзя, а из второй можно - КАШНЕ. Следующий ход завершает партию.

КАШНЕ

Учитель признает, что партия закончена. И дает слово одному из учеников, который приготовил интересную задачу:

Докладчик 1: Найти слово, которое состоит из пяти разных букв, содержащихся в указанном количестве в таких шести строках:

АБРИС 1

БРОШЬ 1

БАРИН 2

КРЕОЛ 2

БЕКОН 3

КАРЕЛ 3

Вот решение упражнения, приведенное в журнале "Наука и жизнь". Слова БАРИН и АБРИС имеют четыре общие буквы, при этом БАРИН содержит две буквы задуманного слова, а АБРИС - одну. Из этого следует, что Н входит в него, а С - нет. Аналогично, сравнивая слова КАРЕЛ и КРЕОЛ, находим, что А входит в задуманное слово, а О - нет. Из слова АБРИС по условию в искомое слово входит ровно одна буква. Поскольку, как мы установили, оно содержит А, то букв Б, Р, И, С в нем нет. так, как в слове нет букв Б, Р, О, из слова БЕКОН в него обязательно входит Е, К, Н, а из слова БРОШЬ - Ш или Ь. итак, пятью буквами задуманного слова являются либо Н, А, Е, К, Ш, либо Н, А, Е, К, Ь. Из второго набора слова не получается, а первый дает слово КАШНЕ, которое и требовалось найти.

Вторая партия получилась довольно "напряженной". Наш пятый ход был, вообще говоря, неточен. Действительно, при ответе 0 выяснилось бы, что в слове нет ни Ш, ни Ь, однако оно может содержаться П и Д (ПЕНКА, ДЕКАН). Легко придумать слово, расшифровывающее сразу три буквы - Ш, П, Д, например ДЕДУШКА.

И вновь новая партия, учитель загадывает слово.

Партия 3

На первое слово ученики получают ответ 6.

ПЕРЕВОД 6

Ученики анализируют и приходят к умозаключению: В искомом слове точно есть буква Е (без нее максимальный ответ 5), а также четыре буквы из пяти П, Р, В, О, Д. Итак, имеем пять возможностей:

1) Е, П, Р, В, О;

2) Е, П, Р, В, Д;

3) Е, П, Р, О, Д;

4) Е, П, В, О, Д;

5) Е, Р, В, О, Д.

Школьники анализируют все варианты и приходят к выводу: Слово можно составить только из последней комбинации букв - ВЕДРО. Фактически партия продолжается всего один ход!

ВЕДРО

Учитель отмечает: Слово отгадано. Если пять букв уже найдены, это еще не означает окончания партии. Ведь не исключено, что из этой пятерки букв можно составить не одно слово, а несколько. Слова, образованные из одних и тех же букв, называются анаграммами, а набор таких слов - блоками анаграмм. Если, определив пять букв, мы "натолкнулись" на такой блок, придется сделать дополнительные ходы, чтобы выяснить, какое именно слово задумано.

Партия 4

ТАПОК 5

КАПОТ 5

ПОКАТ 5

ТОПКА Отгадал

В последнем примере, который можно считать эндшпилем (заключительная часть партии) некоторой более длинной партии, определив на первом же ходу все пять букв задуманного слова, мы затем сделали еще три, чтобы найти само слово, то есть дела сложились не самым лучшим образом.

Может показаться, что загадывать слова-анаграммы выгодно, поскольку даже при отгадывании всех букв нашего слова дальнейшие действия партнеру придется вести наобум - от него уже ничего не зависит. Но надо учесть, что, чем больше слов в блоке анаграмм, тем меньше используется редких букв и, значит, тем легче найти пятерку букв. Блок пятибуквенных анаграмм (нас интересуют сейчас только такие) может содержать от двух слов до шести. Вот уникальный набор анаграмм, состоящий из шести слов (единственный в русском языке): АВТОР, ТОВАР, ТАВРО, ОТВАР, РВОТА, ВТОРА.

Далее учитель предлагает рассмотреть несколько задач:

В игре "отгадать слово" возникают интересные и оригинальные задачи со словами. Рассмотрим несколько таких задач. По некоторым задачам ученики приготовили доклады, а остальные разберем вместе.

Докладчик 2: По правилам игры ходы представляют собой слова русского языка (как уже говорилось, существительные, нарицательные, в единственном числе). А что изменится, если снять это ограничение, то есть разрешить делать ходы, так сказать, абстрактными словами - состоящими из произвольного набора букв? Может показаться, что такое изменение правил не имеет особого значения, однако из решения следующей задачи следует, что игра при этом "вырождается".

Задача 1. За сколько ходов можно угадать слово (или пять букв анаграммы), если разрешается ходить "абстрактными" словами?

Эта задача носит чисто математический характер, и ответ на нее довольно неожиданный - требуется всего один ход! Он может быть, например, таким:

Данное "слово" содержит все 33 буквы алфавита, причем букву А - 1 раз. Ответ на ход, сделанный таким словом, позволяет сразу определить пять букв. Действительно, если в задуманном слове есть А, то последней цифрой ответа будет 1, если же в нем нет, то на конце стоит 0. Если слово содержит букву Б, то на втором месте справа (количество десятков) стоит 1, в противном случае - 0. Если слово содержит В, то на третьем месте справа (количество сотен) стоит 1, в противном случае - 0 и т.д. Таким образом, число, которое мы получим в ответ на наш ход, состоит из многих нулей (28, если в слове есть буква Я) и ровно пяти единиц, которые и определяют пять нужных букв.

Приведем пример. Пусть в ответ на наше абстрактное слово получено число 100 101 011. Это значит, что в задуманном числе имеются буквы: А (1 на правом конце), Б (1 на втором конце), (1 на четвертом месте справа), Е (1 на шестом месте справа) и З (1 на девятом месте справа). Итак, задумано слово ЗАБЕГ.

"Волшебное" слово имеет астрономическую длину, но в данной задаче важно лишь само существование универсального хода.

Учитель предлагает рассмотреть еще одну задачу: Вернемся к обычному варианту игры "отгадать слово". Часто в процессе отгадывания возникает необходимость определить, содержится ли в слове та или иная конкретная буква. В связи с этим любопытна следующая задача.

Задача 2. Для каких букв алфавита можно определить за один ход, содержатся они в задуманном слове или нет?

Здесь предполагается, что никакой информацией о задуманном слове мы пока не располагаем. Идея очень проста - "подозрительная" буква должна выделяться числом вхождений в тестовое слово. Проще всего использовать трехбуквенные слова с двумя одинаковыми буквами. Получая ответ на такой ход, мы сразу определяем, есть ли две этих буквы в задуманном слове или нет. Пусть сделан первый ход ДЕД. Если ответ 0, то в задуманном слове нет ни Д, ни Е. Если ответ 1, то Е есть и нет Д, если ответ 2, то есть Д и нет Е, наконец, если ответ 3, то есть и Д, и Е.

Школьники анализируют и приходят к умозаключению:

Почти две трети алфавита - 20 букв из 33 - требуют всего одного хода для выяснения вопроса об их наличии (таблица 1). Всего трехбуквенными словами такого вида удается определить 10 букв. Еще для десяти используются слова большей длины. Девять искомых тестовых слов устроены так: они содержат подозреваемую букву и еще две пары других букв. В результате нечетный ответ (1, 3 или 5) свидетельствует о наличии данной буквы в задуманном слове, а четный (0, 2 или 4) - об ее отсутствии.

Таблица 1

Учитель подводит итог: Была составлена таблица, точно определяющая наличие буквы. Так же были и другие варианты для отгадывания.

Для отгадывания буквы А тот же прием потребовал семибуквенного слова (в нем три пары посторонних букв). Можно использовать и более короткое пятибуквенное слово АТАКА. Здесь идея отгадывания несколько иная - ответ 3 и больше говорит о том, что буква А есть, а меньший ответ, что нет.

Конечно, пятибуквенное слово, которое служит для разгадки одной из букв, может не помочь для определения других его букв. Так, если ответом на ход ДОВОД служит число 2, то мы знаем, что в задуманном слове нет В, а есть Д или О, но какая именно из этих букв - не известно. Другое дело, если бы какое-нибудь пятибуквенное слово содержало только две буквы (одну - 2 раза, а другую - 3), тогда они определились бы сразу, однако такого слова нам найти не удалось.

Даже если все буквы снова имеют разное число вхождений, оно тем не менее может оказаться не пригодным для определения каждой из них. Так, слово БАОБАБ содержит три буквы в разном количестве, но при неудачном для нас ответе на него мы не сможем точно сказать, какая из его букв содержится в заданном слове. Действительно, ответ 0 говорит о том, что в слове нет букв А, Б и О, ответ 1 - что в слове есть О, но нет А и Б, ответ 2 - что в слове есть А, но нет Б и О, однако ответ 3 не вносит полной ясности - из него следует, что либо в слове есть Б и нет А и О, либо, наоборот, нет Б и есть А и О. Цель может быть достигнута, если три буквы, которые мы хотим разгадать, содержится в слове-ходе в таких количествах: 1, 2, 4 или 2, 3,4. Однако существуют ли такие слова в русском языке, нам тоже неизвестно. Об этом детям предложили подумать дома.

Учителем: Давайте еще раз вспомним некоторые моменты. Для каждой буквы алфавита ответить на следующий вопрос: за какое наименование число ходов можно точно определить, содержится ли эта буква в задуманном слове или нет?

Ученики: Любую букву (исключая Ъ) можно найти не более чем за два хода! Необходимую пару слов для отгадывания 12 букв можно образовать так: одно слово составить из букв второго слова с добавлением искомой буквы. Одинаковые ответы на эти слова покажут, что в задуманном слове данной буквы нет, а разные, что есть. Например, одинаковые ответы на ходы РАЙ и АР означают, что буквы Й в задуманном слове нет, а разные (они могут отличаться только на 1), что есть. Всего данным приемом определяется 12 букв (таблица 1).

Для Ъ удалось найти только трехходовое решение. Интересно, что если буквы Е и Ё не различить, то и для Ъ достаточно двух слов - МОПЕД, ПОДЪЕМ.

Учитель подводит итог: На практике, конечно, редко стремятся найти какую-то одну определенную букву задуманного слова. В процессе игры возникают различные ситуации, и не стоит гнаться за одной буквой, а лучше попытаться извлечь больше информации о задуманном слове противника.

В третьей партии, сыграв словом из семи букв, мы сразу отгадали задуманное слово, хотя при этом пришлось провести определенный анализ. В следующем примере определить задуманное слово по семибуквенному ходу не так легко.

ПАРАПЕТ 7

Полученный ответ сразу дает нам пять букв: П, А, Р, Е, Т и вместе с ними слово ПАТЕР.

Теперь можно сформулировать такую интересную задачу.

Задача 4. Придумать как можно более длинное слово, которое на первом же ходу (при удачном для вас ответе противника) поможет отгадать нам задуманное слово.

Поскольку семибуквенное тестовое слово мы уже знаем, искать следует слова из восьми, девяти и более букв.

О решении этой задачи вы подумаете дома.

Итак, нами была рассмотрена игра отгадай слово. Мы попытались найти оптимальную стратегию, для более быстрого определения загаданного слова. Так же можно сделать вывод, что начале игры, по-видимому, имеет смысл ходить словами, в которых побольше гласных - гласных в алфавите меньше, чем согласных, и, значит, есть шансы быстрее отгадать их. Для выявления одной конкретной буквы лучше всего сыграть словом с большим числом ее вхождений. Например, на слово ОБОРОНОСПОСОБНОСТЬ ответ, меньший семи, означает, что буквы О в задуманном слове нет, а ответ 7 или больше, что она почти наверняка в нем есть. Конечно, вопрос о букве О решает и ход ОКО (или БОБ), но он дает нам намного меньше информации об остальных буквах.

Замечание: Играя в отгадай слово школьники анализировали то, какими словами лучше играть, чтобы за меньшее число ходов угадать задуманное слово. С помощью учителя были разобраны несколько партий и в каждой новой партии школьники быстрее приходили к умозаключениям. Школьниками были рассмотрены несколько задач. Например, в задаче, в которой было предложено поменять правила игры и вместо русских слов (существительных, нарицательных, в единственном числе) делать ходы наборам букв, школьники учились оперировать абстрактными понятиями. В другой задаче учащиеся пытались найти слова, точно определяющие наличие буквы в слове. Делая это они группировали (проводили классификацию) по нескольким группам: те которые можно определить с помощью одного слова и те которые можно определить с помощью двух-трех.

Так как эта игра связана со знанием русского языка некоторым школьникам, знающим более хорошо русский язык, было интересно, они себя чувствовали более сильными, в ситуации успеха. Но с другой стороны здесь приходилось проводить логический анализ.

2.5 Быки и коровы (3ч)