Математические игры, как средство развития логического мышления

В мастермайнде на любом месте может стоять колышек любого цвета (из шести возможных), то есть всего 6⁴=1296 вариантов.

Учитель: Давайте вернемся к быкам и коровам. Определим сколько различных чисел может быть загадано в быках и коровах.

Ученики делают вывод: Загадывая число в "быках и коровах", его первую цифру можно выбрать десятью способами, вторую - девятью (одна цифра занята), третью - восемь, наконец, четвертую - семь, всего имеем 10Ч9Ч8Ч7=5040 различных чисел.

Учитель: Итак, мы определили, что в "быках и коровах" имеется 5040 различных чисел, которые можно загадывать и которыми можно ходить. А сколько существует различных ответов? Все они указаны во втором столбце таблицы 3, их 14 (очевидно, ответ 3б 1к невозможен). Горизонтальной чертой в таблице разделены случаи, в которых обнаружены все четыре цифры, три цифры, две, одна и ни одной. В третьем столбце указано количество чисел, которые могут дать соответствующий ответ на первом ходу. Самый приятный ответ, конечно, 4б, сразу заканчивающий игру. Как мы видим, наибольшее разнообразие возможных чисел остается при ответе 1к - 1440.

Таблица 3

Разумеется, результат игры, то есть количество ходов, за которое отгадывается задуманное число, в какой-то степени зависит от случая. Но многое определяется и искусством играющих. Здесь возникает вопрос: что понимать под мастерством игры в "быки и коровы"? Ведь даже начинающий игрок уже первым ходом может случайно отгадать задуманное число, но это еще не говорит о его умении.

Предположим, игроки А и Б сыграли матч из трех партий. Игрок А во всех трех партиях отгадал число партнера за 5 ходов. Игрок Б в двух партиях отгадал число за 4 хода, а в одной за 9. Кто играл лучше? Игрок Б выиграл матч со счетом 2: 1, но ведь общее число ходов у него больше. Если, скажем, в шахматах важна сама победа независимо от продолжительности партии, то в "быках и коровах" именно скорость отгадывания, количество затраченных ходов собственно и составляют результат игры. Тем самым, если считать по общему числу ходов, то одержал победу игрок А.

Давайте теперь поиграем, один из вас будет загадывать число, а я буду его отгадывать. Остальные ученики будут анализировать игру. Для определенности я всегда буду начинать с числа 1234.

Будут рассмотрены несколько партий. Разобрав их, получится неплохая иллюстрация тонкостей игры в "быки и коровы". Будут изучены все ситуации, когда ответ противника на первый ход - для определенности число 1234 - совпадает с одним из первых пяти в таблица 2. При ответе 4б партия продолжается всего один ход, а для каждого из четырех других случаев будет указан способ игры, гарантирующий отгадывания задуманного числа за наименьшее количество ходов. Другими словами. За сколько ходов число противника будет точно отгадано, каким бы оно ни было.

Партия 1. На первый ход 1234 ученик дал ответ: 2б 2к.

Учитель задает вопрос: Какое наименьшее количество ходов гарантирует отгадывание задуманного числа?

Ученики анализируют и приходят к умозаключению: Только шесть задуманных чисел в ответ на первый ход 1234 могут дать ответ 2б 2к (таблица 4, первый столбец), и при любом втором ходе по крайней мере три из них дадут одинаковый ответ.

Таблица 4

Учитель делает второй ход и одновременно анализирует: Вторым ходом сыграем 1356 (вместо цифр 5 и 6 можно было бы взять и другие, отличные от 1, 2, 3,4). Какие могут быть ответы?

Ученики анализируют все возможные варианты и приходят к умозаключению: Может быть три возможных ответа. Все возможные ответы находятся во втором столбце таблицы. Ответ 2б сразу определяет задуманное число - 1324 (у других чисел другой ответ), ответ 1б 1к оставляет два варианта, а ответ 2к - три.

Ученик на ход 1356 дал ответ: 2к.

Учитель делает третий ход: Третий ход 3256.

Ученики вновь анализируют: Третий ход (с учетом второго) вносит полную ясность - все пять чисел-кандидатов дают разную пару ответов. Прочерк в таблице 3 (и всех последующих таблицах) означает, что при соответствующем ходе "реакция" на него данного числа нас уже не интересует. Таким образом, на четвертом ходу гарантировал ответ 4б и партия длится не более четырех ходов.

Ученик дает ответ: 2к.

С этим ответом учитель сразу отгадывает число: 2134.

Так же учитель делает замечание к этой партии: Типичная и совершенно не очевидная ошибка, которую допускают многие, кто решают эту задачу, состоит в использовании для игры чисел, содержащих только цифры 1, 2, 3,4. Логика здесь простая - раз все цифры известны, то зачем подключать новое? Однако при таком подходе задуманное число с гарантией определяется на пятом ходу (ответ 4б).

Партия 2. Новая партия, вновь ход учителя 1234, но ответ на первый ход: 1б 3к.

Ученики анализируют и делают вывод: На первый ход 1234 восемь чисел могут дать ответ 1б 3к (таблица 5).

Учитель делает второй ход: 1256.

При этом ходе учитель получает ответ: 1б 1к.

Учитель предлагает проанализировать: Какие возможные варианты ответов могут быть на второе число?

Ученики анализируют и выдвигают гипотезу: При любом втором ходе хотя бы одна четверка чисел дает один и тот же ответ.

Учитель подводит итог: Для выяснения ситуации понадобятся еще два хода. При втором ходе 1256 числа разделяются на две группы; для чисел первой группы (ответ 1б 1к) сделаем третий ход 1563, а для чисел второй группы (ответ 2к) - ход 2564. Так как я получил ответ 1б 1к, я делаю ход 1563.

Учитель получает ответ: 1б 1к.

Ученики анализируют и приходят к выводу: После этого остаются две пары чисел в каждой группе, требующие еще одного хода.

Учитель делает четвертый ход: Четвертый ход 1564 полностью проясняет картину. Таким образом, вторая партия делится не более пяти ходов.

И действительно, он получает ответ: 2к.

Учитель с легкостью определяет число: 4213.

Таблица 5

Партия 3. Новая партия, вновь ход 1234, но ответ на первый ход другой: 4к.

Ученикам вновь предлагается проанализировать. И они приходят к умозаключению: В ответ на первый ход 1234 девять чисел могут дать ответ 4к (таблица 6).

Учитель делает второй ход: 3102.

Ученики анализируют и приходят к выводу: 3102 расшифровывает два числа, а остальные семь делит на две группы.

Учитель подтверждает это и подводит итог: В одной группе решает ход 4153, а в другой - 2456. Четвертый ход завершит партию (будет получен ответ 4б).

И действительно, на ход 4156, учитель получил ответ: 1б 2к.

Сделал новый ход: 4153.

Получил ответ: 3б.

Это и решило исход игры, учитель с легкостью отгадал число: 4123.

Таблица 6

Партия 4. Новая партия, вновь ход учителя 1234, но ответ на первый ход: 3б.

Ученики анализируют и приходят к выводу: Ответ 3б на первый ход 1234 дают 24 числа. Три цифры можно зафиксировать на своих местах четырьмя способами, а для четвертой имеется шесть возможностей: 0, 5, 6, 7, 8, 9, то есть всего 4*6=24 варианта.

Учитель предлагает рассмотреть таблицу: Рассмотрим таблицу 7а. В ее первых четырех строках б обозначает любую из цифр 8, 9, 0. Таким образом, здесь представлены все 24 возможности. Сделаем второй ход 1567. Что будет означать ответ 0б 0к?

Ученики делают вывод: Ответ 0б 0к оставляет выбор из трех неразгаданных чисел.

Учитель подводит итог: Для этого годится третий ход 8934 (табл.7б). При ответе 2б можно сыграть 1506 (табл.7в), а при ответе 1к - 5634 (табл.7г). Давайте разберем какие ответы могут быть на такие ситуации?

Ученики анализируют и приходят к умозаключению: Во всех этих вариантах ответы получаются различные, что и помогает с легкостью определить задуманное число.

Таблица 7а

Таблица 7б

Таблица 7в

Таблица 7г

Таблица 7д

Таблица 7е

Учитель предлагает составить еще одну таблицу: Для девяти чисел с ответом 1б в табл.7а составим табл.7д (вновь б может принимать одно из значений - 8, 9, 0). Делаем третий ход 3564. Что произойдет?

Ученики приходят к выводу: Третий ход разделяет их на три равные группы, четвертым ходом числа идентифицируется, и пятый ход завершает игру (ответ 4б).

Учитель: У нас осталось еще шесть чисел, расположенных в нижних строках табл.7а, выпишем их отдельно (таблица 7е). Какой вывод можно сделать отсюда?

Ученики: И с этой шестеркой удается разобраться за два дополнительных хода. Итак, вновь партия делится не более пяти ходов.

И действительно, учитель делает второй ход: 1567.

Получает ответ: 2б.

Третий ход учителя (таблица 7в): 1506.

И вновь учитель получает ответ: 2б.

И теперь учитель с легкостью может назвать число: 1534.

Ученик подтверждает, что число отгадано.

Учитель подводит итог: Результаты всех рассмотренных партий собраны в таблице 8.

Таблица 8

Разобранные примеры показывают, что искусная игра в "быки и коровы" требует тонкого математического расчета.

Учитель подводит итог занятия: В игре быки и коровы были рассмотрены несколько партий с различными начальными ответами, что помогло более подробно проанализировать игру. Так же была рассмотрена игра мастермайнд. Теперь вы можете продолжить игру самостоятельно.

Замечание: Когда учащиеся начали анализировать игру, приходили к умозаключению о том, что длина партии в общем случае зависит от первого хода, поэтому они изучают сколько вариантов ответа может дать человек, который задумал число. Так как в игре крестики-нолики очень многое зависело от первого хода, то здесь учащиеся приходят к мысли о том, что нужно рассмотреть все возможные варианты ответа на первый ход гораздо быстрее.

Отметим, что если вначале первой партии ученики долго думали над вопросами учителя, то ближе к концу школьники стали отвечать быстрее и проводить анализ более правильно. Если ученики достаточно сильные, то к концу занятия они уже могут проводить анализ партий без помощи учителя. О том на сколько учащиеся поняли основные моменты занятия можно судить по тому на сколько тщательно и правильно они проводят анализ партий в конце занятия (когда играют друг с другом).

Заключение