Сравнительная характеристика методики обучения решению математических задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/\

Введение

математический задача учебный

Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение текстовых задач.

Решение задач имеет чрезвычайно важное значение, прежде всего для формирования у детей полноценных математических понятий, для усвоения ими теоретических знаний, определенных программой.

Чтобы сформировать у школьников правильное понятие о сложении, необходимо, чтобы дети решили достаточное количество простых задач на нахождение суммы, практически выполняя каждый раз операцию объединения множеств. С этого момента в методике обучения математике стала отрабатываться «формула»: задача - теория - задача или другими словами - метод обучения через задачи. Итак, если прежде задачи в методике рассматривались как цель обучения, то сейчас задачи рассматриваются как средство организации учебной деятельности учащихся на всех этапах обучения математике.

Если раньше задачи применялись преимущественно на этапе закрепления знаний, то сейчас их функции в обучении математике значительно многообразие, они используются на каждом из трех звеньев, составляющих структуру учебной деятельности; мотивационно-ориентированном, исполнительно-операционном, контрольно-оценочном.

Рассматривая роль задач в обучении, Л.М. Фридман пишет, что она «определяются с одной стороны тем, что в значительной своей части конечные цели обучения любому предмету сводятся к овладению учащимися методами решения задач. С другой стороны, эта роль определяется тем, что полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учащимися системы учебных задач. Таким, образом, решение задач в обучении выступает как цель и как средство обучения» [29, с.1]

Через решения задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Так, содержание многих задач, решаемых в начальных классах, отражает труд детей и взрослых, достижения нашей страны в области народного хозяйства, техники, науки, культуры. [2, с.180]

Для обоснования теоретической части данной работы мною была изучена различная литература по математике по данной теме.

Цель исследования - выявить, насколько качественно идет обучение решению задач по программе Республики Казахстан и программе «Школа России».

Объектом исследования являются процесс обучения младших школьников решению текстовых задач.

Предметом исследования являются методики обучения решению задач по программе Казахстана и программе «Школа России».

Задачи исследования:

1. Изучить математическую и учебно-методическую литературу по методике обучения решению задач.

2. Охарактеризовать текстовые задачи, как особый вид заданий по математике.

3. Рассмотреть особенности программы Республики Казахстан.

4. Сравнить системы текстовых задач и заданий к ним в учебниках Оспанова Т.К и Моро М.И.

5. Рассмотреть и дать сравнительную характеристику методикам обучения решения задач по данным программам.

6. Проверить и сравнить умения решать текстовые задачи у учащихся, обучающихся по программам Республики Казахстан и «Школа России».

Глава I. Теоретические основы обучения решению текстовых задач

1.1 Понятие текстовой задачи

Существуют различные определения понятию текстовая задача. Например. «Под текстовыми задачами подразумевают задачи, имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий.» Эти задачи занимают в начальном курсе математики важное место. [15, с.158]

А.П. Тонких дает следующее определение этому понятию «Текстовая задача - описание некоторой ситуации ( явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям),установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, найти последовательность требуемых действий».[25, c. 416].

Каждая текстовая задача включает числа данные и искомые. Числа в задаче характеризуют численности множеств или значения величин, выражают отношения или являются отвлеченными данными числами. В задаче имеется условие и вопрос (требование). В условии задачи указывается связи между данными и искомыми; эти связи и определяют выбор соответствующих арифметических действии. Вопрос указывает, какое число является искомым. [2, с.178].

В задаче обычно не одно условие, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Требований к задаче может быть несколько. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны.

Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи.

Таким образом, чтобы понять, какова структура задачи, надо выявить ее условия и требования, отбросив все лишнее, второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо построить высказывательную модель задачи.

Чтобы получить эту модель, надо текст задачи развернуть (сделать это можно письменно или устно), так как текст задачи, как правило, дается в сокращенном, свернутом виде. Для этого можно перефразировать задачу, построить ее графическую модель, ввести какие-либо обозначения и т.д.

Кроме того, вычленение условий задачи можно производить с разной глубиной. Глубина анализа условий и требований задачи зависит главным образом от того, знакомы ли мы с видом задач, к которому принадлежит заданная, и знаем ли мы способ решения таких задач.

Задача. Выделите условия и требования задачи: Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 420 м. Когда они встретились, первая пробежала на 60 м больше, чем вторая. С какой скоростью бежала каждая девочка, если они встретились через 30 с?.

В задаче речь идет о движении двух девочек навстречу друг другу. Как известно, движение характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем.

Условия задачи:

1. Две девочки бегут навстречу друг другу.

2. Движение они начали одновременно.

3. Расстояние, которое они пробежали, -420 м.

4. Одна девочка пробежала на 60 м больше, чем другая.

5. Девочки встретились через 30 с.

6. Скорость движения одной девочки больше скорости движения другой.

Требования задачи:

1. С какой скоростью бежала 1-я девочка?

2. С какой скоростью бежала 2-я девочка?

Решить задачу (в широком смысле этого слова)- раскрыть связи между данными и искомыми, заданные условием задачи, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т. п.), выполнить действия над данными задачи, используя найденные общие положения, и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его (требования) выполнения.

Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же неодинаковые понятия:

1) решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи;

2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, т.е. вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до конца;

3) решением задачи называют лишь те действия, которые происходят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.[25, c. 417] .

Записать решение задачи - значит с помощью чисел и знаков действий показать, что нужно сделать, чтобы найти неизвестное число, выполнить вычисления и дать ответ на вопрос задачи.

Текстовые задачи являются тем конкретным материалом, с помощью которого формируются у детей новые знания и закрепляются в процессе применения уже имеющиеся знания. Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решения задач формирует у детей практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни.

Классификация текстовых задач.

Существуют различные классификации задач.

а ) По количеству действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи.

Простая задача - задача для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие.

Составная задача -задача для решения которой нужно выполнить два или большее число действий.

Задача: Девочки посадили 6 саженцев, а мальчики 9. Сколько всего саженцев посадили ребята? - это простая задача.

Задача: Один пешеход прошел за 2 часа 10 км, а второй на 2 км меньше. Сколько км прошли пешеходы вместе? - это составная задача.

б ) По соответствию

ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ И ПРИЕМЫ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ

Деятельность по решению задачи включает следующие этапы, независимо от выбранного метода решения:

1. Анализ задачи.

2. Поиск пути решения задачи и составления плана ее решения.

3. Осуществление плана решения задачи.

4. Проверка решения задачи.

В реальном процессе решения задачи названные этапы не имеют четких границ и человек, решающий задачу не всегда выделяет их в явном виде, переходя от одного к другому незаметно для себя. Вместе с тем, решение каждой отдельно взятой задачи обязательно должно содержать все указанные этапы, осмысленное прохождение которых (вместе со знанием приемов их выполнения) делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а, значит, более успешным. Игнорирование одних этапов (например, поиска пути решения) может привести к решению методом "проб и ошибок", игнорирование других (например, проверки решения задачи) - к получению неверного ответа и т.д.

1. Анализ задачи. Основное назначение этапа - осмыслить ситуацию, отраженную в задаче; выделить условия и требования, назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные).

На этом этапе решения задачи используют следующие приемы.

Представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче. Этот прием фактически выполняется при чтении или слушании задачи. Вместе с тем, мысленное воспроизведение всех объектов задачи и связей между ними может проводиться и после. Цель такого воспроизведения - выявление основных количественных и качественных характеристик ситуации, представленной в задаче.

Постановка специальных вопросов и ответы на них. Этот прием включает следующий "стандартный" набор вопросов, ответы на которые позволяют детально разобраться в содержании задачи:

1) О чем говорится в задаче?

2) Что известно в задаче?

3) Что требуется найти в задаче?

4) Что в задаче неизвестно? и др.

Задача: «По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения и до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8 км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за все это время собака?»

Воспользуемся указанным приемом.

1) О чем эта задача?

- Задача о движении двух мальчиков и собаки. Оно характеризуется для каждого из участников движения скоростью, временем и пройденным расстоянием.

2) Что требуется найти в задаче?

- В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все время от начала движения, пока мальчики не окажутся рядом, т.е. второй не догонит первого.

3) Что в задаче известно о движении каждого из его участников?

- В задаче известно, что: а) мальчики идут в одном направлении;

б) до начала движения расстояние между мальчиками было 2 км;

в) скорость первого мальчика, идущего впереди, 4 км/ч;

г) скорость второго мальчика, идущего позади, 5 км/ч;

д) скорость, с которой бежит собака, 8 км/ч;

е) время движения, когда расстояние между мальчиками было 2 км, до момента встречи.

4) Что в задаче неизвестно?

- В задаче неизвестно время, за которое второй мальчик догонит первого, т.е. неизвестно время движения всех его участников. Неизвестно также, с какой скоростью происходит сближение мальчиков. И неизвестно расстояние, которое пробежала собака, - это требуется узнать в задаче.

5) Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения?

- Искомым является значение величины - расстояния, которое пробежала собака за время от начала движения мальчиков до момента, встречи. [25, с.425]

Перефразировка текста задачи. Он заключается в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Это достигается в результате отбрасывания несущественной, излишней информации, замены описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот, замены некоторых терминов описанием содержания соответствующих понятий; преобразование текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения.

Особенно эффективно использование данного приема в сочетании с разбиением текста на смысловые части.

Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций.

Поскольку в задаче, рассмотренной выше, речь идет о движении, ее можно перефразировать следующим образом:

Задача. «Скорость одного мальчика 4 км/ч, а скорость догоняющего его

второго мальчика 5 км/ч (это первая часть). Расстояние, на которое мальчики сблизились, 2 км (вторая часть). Время движения мальчиков - это время, в течение которого второй мальчик догонит первого, т.е. в течение которого второй мальчик пройдет на 2 км больше, чем первый (третья часть). Скорость, с которой бежит собака, 8 км/ч. Время движения собаки равно времени движения мальчиков до встречи (четвертая часть). Требуется определить расстояние, которое пробежала собака».

Перефразированный текст часто бывает полезно записать в таблице.

Например, рассматриваемую задачу можно записать с помощью таблицы такого вида:

Скорость	Время	Расстояние
1-й мальчик 4 км/ч 2-й мальчик 5 км/ч Собака 8 км/ч	? ? Одинаковое ?	? ? На 2 км больше 1-го мальчика ?

[23, с.113]

Поиск и составление плана решения задачи

Назначение этого этапа: установить связь между данными и искомыми объектами, наметить последовательность действий.

План решения задачи - это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.

Как искать план решения текстовой задачи? Односложного на этот вопрос нет. Поиск плана решения задачи является трудным процессом, который точно не определен. Можно только указать некоторые приемы, которые позволят осуществлять этот этап. Одним из наиболее известных приемов поиска плана решения задачи арифметическим способом является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели.

Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов.

При разборе задачи от данных к вопросу решающий выделяет в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними (такие знания должны быть получены при анализе задачи) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифмётического действия. Затем, считая это неизвестное данным, решающий вновь выделяет два взаимосвязанных данных, определяет неизвестное, которое может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т.д., пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче объекта.

Проведем такой разбор по тексту задачи:

Задача. «На поезде, который шел со скоростью 56 км/ч, турист проехал 6 ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Каков весь путь туриста?»

Рассуждения ведем от данных к вопросу: известно, что 6 ч турист проехал на поезде, который шел со скоростью 56 км/ч; по этим данным можно узнать расстояние, которое проехал турист за 6 ч, - для этого достаточно скорость умножить на время. Зная пройденную часть расстояния и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше, можно найти, чему оно равно. Для этого пройденное расстояние нужно умножить на 4 (увеличить в 4 раза). Зная, сколько километров турист проехал и сколько ему осталось ехать, можем найти весь путь, выполнив сложение найденных отрезков пути. Итак, первым действием будем находить расстояние, которое турист проехал на поезде; вторым действием - расстояние, которое ему осталось проехать; третьим - весь путь.

При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и т.д. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке.

Проведем такой разбор той же задачи о движении туриста, строя цепочку рассуждений от вопроса к данным: «В задаче требуется узнать весь путь туриста. Мы установили, что путь состоит из двух частей. Значит, для выполнения требования задачи достаточно знать, сколько километров турист проехал и сколько километров ему осталось проехать. И то, и другое неизвестно. Чтобы найти пройденный путь, достаточно знать время и скорость, с которой ехал турист. Это в задаче известно. Умножив скорость на время, узнаем путь, который турист проехал. Оставшийся путь можно найти, увеличив пройденный путь в 4 раза (умножив на 4). Итак, вначале можно узнать пройденный путь, затем оставшийся, после чего сложением найти весь путь».

Поиск плана решения задачи может проводиться по вспомогательной модели, выполненной при анализе задачи.

Покажем, как можно осуществить поиск плана решения задачи о массе шерсти, израсходованной на шарф, шапку и свитер, по схематическому чертежу.

Задача. «Свитер, шапку и шарф взяли из 1 кг 200г шерсти. На шарф потребовалось на 100г шерсти больше, чем на шапку, и на 400г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?»

По чертежу видно, на сколько больше израсходовали, на шарф; если из всей массы шерсти вычесть 400г, то мы узнаем, сколько бы всего израсходовали шерсти, если бы на свитер израсходовали столько же, сколько на шарф. Далее, если к этой массе шерсти прибавить 100 г, то мы узнаем, сколько бы всего израсходовали шерсти, если бы на шапку израсходовали столько же, сколько на шарф.

Разделив из полученного результата 100г, а затем прибавив к нему 400г, найдем массу шерсти, использованную на шапку и на свитер. [23, с.114]

Осуществление плана решения задачи

Назначение данного этапа - найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач, решаемых арифметическим способом, используются следующие приемы:

- запись по действиям (с пояснением, без пояснения, с вопросами);

- запись в виде выражения.

Приведем примеры различных записей плана решения задачи: «На поезде, скорость которого 56 км/ч, турист проехал 6 ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем он проехал. Каков весь путь туриста?»

1. Запись решения по действиям с пояснением к каждому выполненному действию.

1) 56 * 6 = 336 (км) - турист проехал за 6 ч

2) 336 -4=1344 (км) - осталось проехать туристу

3) 336 + 1344 = 1680 (км) - должен был проехать турист. Если пояснения даются в устной форме (или совсем не даются), то запись будет следующей:

1)56-6 = 336(км)

2)336-4= 1344 (км)

3)336+ 1344= 1680 (км)

2. Запись решения по действиям с вопросами:

1) Сколько километров проехал турист на поезде? 56-6 = 336 (км)

2) Сколько километров осталось проехать туристу? 336-4= 1344 (км)

3) Сколько километров турист должен был проехать? 336+ 1344= 1680(км)

3. Запись решения в виде выражения.

Запись решения в этой форме осуществляется поэтапно. Сначала записываются отдельные шаги в соответствии с планом, затем составляется выражение и находится его значение. Так как обычно это значение записывают, поставив после числового выражения знак равенства, то запись становится числовым равенством, в левой части которого - выражение, составленное по условию задачи, а в правой - его значение, оно-то и позволяет сделать вывод о выполнении требований задачи.

Так, для рассматриваемой задачи эта форма записи имеет вид:

56 * 6 (км) - расстояние, которое проехал турист на поезде за 6 ч

56-64 (км) - расстояние, которое осталось проехать туристу

56-6 + 56-6-4 (км) - путь, который должен проехать турист

56-6 + 56-6-4= 1680 (км)

Пояснения к действиям можно не записывать, а давать их в устной форме. Тогда запись решения задачи примет вид:

56-6 + 56-6-4= 1680 (км) [23, с.116]

- запись по действиям (с пояснением, без пояснения, с вопросами);

- запись в виде выражения.

В 1 классе достаточно научить детей записывать решение в виде выражения или уравнения, при этом решение дети должны выполнять без записи пояснений, поскольку они ещё слабо владеют навыками письма. В период ознакомления с задачами нового вида решение выполняется, как правило, письменно, причем в 1 классе пояснения проговариваются.

В большинстве случаев надо отдавать предпочтение составлению выражения и уравнения. При такой записи учащиеся сосредотачивают главное внимание на логической последовательности действии, а не на результатах вычисления.

Проверка решения задач.

Назначение данного этапа - установить правильность или ошибочность выполнения решения.

В начальных классах используются следующие способы проверки:

1) Установление соответствия между результатом и условиями задачи.

При проверки решения задачи этим способом выполняют арифметические действия над числами, которые получаются в ответе на вопрос задачи, если при этом получатся числа, данные в условии задачи, то можно считать, что задача решена правильно.

Задача. «В одну столовую привезли 4 ящика яблок, а в другую 6 таких же ящиков. Всего привезли 200 кг яблок. Сколько кг. яблок привезли в каждую столовую? »

Решение:

1) 4+6= 10 (ящ) - всего ящиков.

2) 200:10=20 (кг) - в 1 ящике.

3) 20*4=80 (кг) - в I столовую.

4) 20*6 =120 (кг) - в II столовую.

Проверка решения:

Проверим действительно ли всего привезли 200 кг яблок. Установим соответствие между данными и ответом задачи.

2) Составление и решение задачи, обратной данной.

Проверка решения задачи этим способом заключается в том, что после решения задачи составляется обратная по отношению к данной задача. Если при ее решении в ответе получится значение величины, которое было задано в условии данной задачи, то можно считать, что она решена правильно. Часто при составлении обратных задач допускаются ошибки: в условие обратной задачи включаются результаты промежуточных действий. Поэтому, чтобы не допускать такие ошибки в методике используется прием. Такой прием предлагается в работе К.А. Загородных.

Задача. «С 15 одинаковых теплиц собрали в прошлом году 450 т огурцов. Сколько огурцов собрали в этом году, если урожай с каждой теплицы повысился на 5ц?»Решение.

1) 450:15=30 (т) - урожай каждой теплицы в прошлом году.

2) 300+5=305 (ц) - урожай каждой теплицы в этом году.

3) 305*15=4575 (ц) - весь урожай в этом году.

Для проверки составим обратную задачу, используя прием.

1. Выпиши все данные задачи и ответ в одну строку.15 теплиц, 450т, на 5 ц больше,

Обратных задач можно составить столько, сколько данных.

2. Выбери новое искомое и обозначить его вопросительным знаком во 2-й строке.

3. Запиши все оставшиеся данные, включая и ответ задачи в эту же 2-ю строку. ? , 450 т., на 5 ц. больше, 4575 ц.

4. Помни, что полученный при решений 1-й задачи ответ будет новыми данными.

5. Сформулируйте текст новой задачи, используя указанные данные и новый вопрос задачи.

6. Если трудно, обратись к учебнику. Новое искомое называют словом «некоторое», и т.д.

7. Реши составленную задачу.

1) 4575-4500= 75 (ц)

2)75:5 = 15(теплиц)

8. Сравни ответ обратной задачи с тем данным, которое приняли за новое искомое.

9. Сделай вывод, правильно ли решена задача.

3) Решение задачи разными способами

Проверить решение задач можно, решив ее различными способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей. Получив при решении задачи различными способами один и тот же результат, делают вывод о том, что задача решена верно.

Задача. «Из двух поселков, находящихся на расстоянии 20 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника. Они встретились через 40 минут. Одним из них шел со скоростью 240 м/минут»

Решение. 1-й способ.

1) 240*40= 9600 (м) - расстояние прошел I лыжник.

2) 20000-9600=10400 (м) - расстояние прошел II лыжник

3) 10400:40=260 (м/мин) - скорость II лыжника.

2-й способ основан на понятии скорость сближения.

1) 20000:40=500 (м/мин) - скорость сближения.

2) 500 - 240 = 260 (м/мин)- скорость II лыжника

4) Способ прикидки результата

Суть его заключается в установлении границ для искомого числа. Он позволяет оценить правильность решения задачи, и если в результате прикидки мы не выясняем, что некоторые значения искомых не удовлетворяют условию задачи, то необходимо провести проверку каким-либо другим способом.

Задача. «Из двух городов, расстояние между которыми 736 км, одновременно вышли навстречу друг другу два поезда. Первый поезд шел со скоростью 47 км в час, а второй 45 км в час. Сколько километров прошел каждый поезд до встречи? »

До решения задачи выясняется, что каждый поезд прошел расстояние меньше чем 736 км и что первый поезд прошел большее расстояние, чем второй. Если ученик ошибется и получит в ответе, например, числа 3760 и 3600, то сразу же заметит, что задача решена неправильно, так как каждое искомое число должно быть меньше чем 736.

Таким образом, этот способ помогает заметить ошибочность решения, но он не исключает других способов проверки решения задач.

5) Пошаговый контроль

Этот прием проверки осуществляется путем определения смысла составленных по задаче выражений, в том числе выбранных арифметических действий, и последующей проверки правильности вычислений. На основе ряда умственных действий ученик должен сделать вывод в виде умозаключения: «Так как ..., то ответ найден верно» причем проверяющий должен быть уверен, что им выполнены, и выполнены правильно, именно те действия, которые необходимы для установления того, что задача решена верно или неверно.

Подготовительной к использованию этого приема следует считать всю работу, направленную на понимание учащимися смысла арифметических действий.

Предлагается следующая памятка:

1. Прочитай по порядку действия и определи, что означает в них каждое число.

2. Прочитай вопрос задачи и выясни, ответил ли ты на него?

3. Сделай вывод: правильно ли выбраны действия. Имеют ли они смысл?

4. Проверь вычисления.

5. Сделай вывод, правильно ли решена задача.

В применении данного приема проверки решения задач ценно то, что он требует обращения к тексту задачи уже после выбора действия. А это предупреждает механическое манипулирование числами и действиями, что иногда наблюдается в практике. [7. с 11]

Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический.

Решить задачу арифметическим методом - это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи. [23, c.109]

Решим, например, различными арифметическими способами такую задачу: «Сшили 3 платья, расходуя на каждое по 4 м ткани. Сколько кофт можно было сшить из этой ткани, если расходовать на одну кофту 2 м?»

1 способ

1) 4-3= 12 (м) - столько было ткани;

2) 12:2 = 6 (кофт) - столько кофт можно сшить из 12 м ткани.

2 способ

1) 4:2 = 2 (раза) - во столько раз больше идет ткани на платье, чем на кофту;

2) 3-2 = 6 (кофт) - столько кофт можно сшить.

Рассмотрим арифметический способ решения текстовых задач на трех уровнях:

1) На первом уровне способ решения текстовой задачи мы рассматривается как один из видов ее знаковых математических моделей. Чаще всего эта модель может быть представлена в виде одного или нескольких числовых математических выражений или им соответствующей последовательности отдельных арифметических действий. Этот вид математической модели называют арифметической моделью реальной ситуации.

Укажем типы текстовых задач, которые в начальной школе целесообразно решать арифметическим способом: все простые задачи, решаемые одним из четырех арифметических действий (х=аb, х=а*b, х=а:b) задачи на нахождение дроби (части) числа и числа по известному значению его дроби (части). Эти типы задач являются базовыми для решения составных текстовых задач.

Заметим, что вряд ли целесообразно к указанным типам задач относить простые обратные или сформулированные в косвенной форме задачи следующих типов (ха=b, а х =b, x:a=b, a:x=b, х*а=b)

Из составных задач (в два и более действий) арифметическим способом целесообразно решать задачи следующих типов: х=а+ b +с; х=а-b-с; х=аbс; х=(а b +ср)k; х=(а+b)с+p; х=аb+ср+е; х=аb-(cp+ek); х=а-(b+c+k)p; х=c:(a:b); х=(а:b)(c:k); х=а:(a:b+с); x=(abc)p; x=(ab):x; x=(abc):(ckp) и т.п.

В задачах указанных типов нет необходимости вводить переменную для нахождения искомого. Проиллюстрируем сказанное на такой задаче: "Определить расстояние от Омска до Иркутска, если поезд, идущий из Омска со скоростью 69 км/ч, встретился через 3 часа с экспрессом, вышедшим из Иркутска одновременно с ним и идущий со скоростью 148 км/ч."

Решение этой задачи арифметическим способом основывается на понятии "скорость сближения": если за 1 час поезда приблизятся друг к другу на (69+148) км, то за 3 часа будет пройдено расстояние (69+148)*3 км.

2) На втором уровне можно говорит о двух, трех и более арифметических способах решения текстовых задач.Причем, задача считается решенной различными способами,если ее решения отличаются отношениями (связями) между данными, данными и неизвестными, данными и искомыми, положенные в основу решения, или условиями использования этих отношений.

В качестве примера рассмотрим решение такой задачи: "В зале 8 рядов стульев по 11 стульев в каждом ряду. В зал пришли ученики из трех классов по 22 ученика в каждом. «Хватит ли стульев на всех учеников?» Эта задача имеет несколько арифметических способов решения, но мы покажем здесь лишь два, которые проиллюстрируем следующими числовыми выражениями:

I способ: 11*8>22*3.

IIспособ: 22*3:11<8.

Ответ: стульев хватит.

3) На третьем уровне различия состоят в том, что может меняться лишь внешняя сторона, то есть форма выполнения решения. Форма выполнения решения может различаться по способам фиксации этого решения: числовым выражением, по действиям с записью вопросов или пояснений. Проиллюстрируем сказанное на I способе решения предыдущей задачи:

а) в виде записи числового неравенства: 11-8>22-3;

б) по действиям с записью вопросов:

1. Сколько всего мест в зале? (11*8=88 (мест))

2. Сколько пришло в зал учеников? (22*3=66 (человек))

3. Хватит ли стульев для всех учащихся? (Да, так как 88> 66) [3, c 59]

Решить задачу алгебраическим методом - это значит найти ответ /'на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений.

Если для одной и той же задачи можно составить различные уравнения (системы уравнений), то это означает, что данную задачу можно решить различными алгебраическими способами. Например, задачу о массе шерсти, израсходованной на свитер, шапку и шарф (с. 106), можно решить тремя различными способами.

1 способ

Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованной на шапку. Тогда на шарф будет израсходовано (х + 100) г, а на свитер ((х + 100) + 400) г. Так как на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение

х + (х + 100) + ((х + 100) + 400) = 1200.

Выполнив преобразования, получим, что х = 200. Таким образом, на шапку было израсходовано 200 г, на шарф - 300 г, так как 200 + 100 = = 300, на свитер - 700 г, так как (200 + 100) + 400 = 700.

2 способ

Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованной на шарф. Тогда на шапку будет израсходовано (х - 100) г, а на свитер - (х + 400) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение:

х + (х - 100) + (х + 400) = 1200.

Выполнив преобразования, получим, что х = 300. Таким образом, если на шарф израсходовали 300 г, то на шапку 200 г (300 - 100 = 200), а на свитер 700 г (300 + 400 - 700).

3 способ

Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованной на свитер. Тогда на шарф будет израсходовано (х - 400) г, а на шапку (х - 400 - 100) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение:

х + (х- 400) + (х- 500) = 1200.

Выполнив преобразования, получим, что х - 700. Таким образом, если на свитер израсходовано 700 г, то на шарф пошло 300 г (700 - 400 = 300), а на шапку - 200 г (700 - 400 - 100 = 200). [23, c.110]

Глава II Сравнительная характеристика методики обучения решению задач по программе Республики Казахстан и программе «Школа России»

2.1 Содержание программы по математике Республики Казахстан

Авторы программы Республики Казахстан по математике Т.К. Оспанов и Ж.Т. Кайынбаев и другие считают, что математика на начальной ступени школы является органической частью курса математики основной ступени школы. Сказанным обусловлена необходимость достижения следующих общих целей в обучении математике:

- овладение знаниями, умениями и навыками на уровне, обусловленном требованиями государственного общеобязательного стандарта среднего общего образования;

- формирование личности ребенка через содержание предмета "Математика", формирование познавательной и коммуникативной деятельности, готовности к самостоятельному добыванию знаний, к труду, усвоению культурно-исторических ценностей своего народа и общечеловеческой культуры;

- развитие математического стиля мышления, интеллектуальных и эмоционально-волевых качеств учащихся;

- осуществление всесторонней подготовки к обучению на основной ступени школы и использованию математических знаний в жизни.

Общие задачи обучения математике:

- способствовать становлению личности ребёнка, развитию мышления, формированию интеллектуальной и эмоционально-волевой активности учащихся;

- содействовать формированию представлений о математике как науке, обобщающей реально существующие явления, способствующей познанию окружающей действительности;

- сформировать знания, умения и навыки, необходимые ученику в жизни и для продолжения обучения на следующих ступенях школы.

Эти цели и задачи, определённые в соответствии с социальным заказом общества предполагают разработку нового содержания начального математического образования и определение адекватных методов и приемов, средств и организационных форм обучения. Предполагаемое содержание образования:

- соответствует требованиям, целям обучения, воспитания и развития младших школьников;

- соответствует возрастным особенностям и потенциальным возможностям младших школьников; отражает специфические особенности окружающей среды, родного языка, традиций и обычаев, а также позволяет использовать элементы народной педагогики;

- исключает излишние повторение и дублирование, обеспечивает преемственное развитие, так как реализуёт линейно-ступенчатую и блочно-модульную структуру, позволяющую дополнять и расширять содержание образования с учётом знаний детей как по горизонтали, так и по вертикали;

- учитывает фактический уровень предшкольной подготовки, обеспечивает рациональное распределение учебного материала между классами начальной ступени школы;

- реализует внутрипредметные связи между арифметическим, алгебраическим и геометрическим материалом, обеспечивает их взаимодействие;

- учитывает межпредметные связи;

- реализует оптимальное соотношение теоретических и практических вопросов, позволяющее проиллюстрировать обусловленность математических закономерностей жизненными потребностями и нуждами;

- позволяет организовать учебный процесс с учётом частотности использования изученного материала и ориентироваться на достижение конкретного конечного результата.

Основанное на указанных теоретических положениях, содержание базового образования по математике на начальной ступени школы несколько расширено. Здесь рассматриваются неотрицательные целые числа, их свойства и действия с ними; важнейшие величины и единицы их измерения; первоначальные элементы алгебры и геометрии; предусматривается ознакомление учащихся с зависимостью между величинами, что способствуют более высокому уровню понимания природы числа, арифметических действии и математических отношений.

Введение каждого нового понятия сопровождается определенной деятельностью (практические работы, решение задач), способствующей раскрытию значения и содержания понятия. С этой целью в содержание начального математического образования включена система текстовых арифметических задач.

Понятие о задаче, ее составных частях, процессе решения задачи будут постепенно усваиваться и развиваться. Даже будет продемонстрировано проведение систематической работы, в ходе которой понятие «задача» развивается до уровня математического понятия. Поэтому особое внимание будем уделять тому, чтобы учащиеся осмыслили существенные особенности этого понятия. Действительно задача будет предлагаться с первых же дней в виде текстов, т.е. посредством родного языка, постепенно будет раскрываться, основываясь на случаях и явлениях окружающей жизни.

В тексте задачи обязательно будет вопрос, и предпосылка того, что для поиска ответа необходимо будет выполнить какое-то одно арифметическое действие. В связи с этим 1-я предложенная задача будет в виде текста. В ходе знакомства с ним будут дифференцироваться вышеозначенные черты «задачи». Предлагаются виды работ по сравнению текста задачи с другим текстом или же с другими заданиями. Все это обеспечит правильное освоение учащимися понятия «задача». Конечно, все это будет осуществляться для того, чтобы брать в пример конкретную задачу. Далее рассматриваются такие основные простые задачи, как поиск суммы и остатка раскрытием значения действий сложения и вычитания; будут даны понятия о значении всевозможных отношений (больше, меньше, на сколько больше, на сколько меньше), нахождение числа на несколько единиц больше или меньше. Выбор таких задач составлен таким образом, что какое-то сходство в ряду и системе их расположения по времени их изучения создает благоприятные условия для противопоставления, сравнения, сопоставления взаимообратных задач. Особое значение уделяется творческому решению задач. Например, правильно сформулировать вопрос во взаимосвязи с условием задачи; разнообразить задачи на сложение и вычитание в соответствии с данным решением, т.е. изменить условие; используя два равных числа, составить задания и задачи в связи с действиями сложения и вычитания; решение и составление задач по рисунку и т.д.

Все это, уделяя внимание определению и установлению значимых признаков задачи, обогащая приобретенные сведения о задаче, даст возможность достичь уровня понятия. [18, с.19]

Данная программа обеспечена хорошим учебно-методическими пособиями, как учебники на каждый год обучения, специальные тетради, дидактические материалы, сборник наглядных таблиц, методическое руководство к учебнику.

Учебник. В нем даны соответствующие каждому уроку материалы на отделенных страниц. Упражнения, даваемые для каждого урока направлены на системное стабилизирование пройденных знаний, предназначены для усовершенствования нужных знаний и навыков, напрямую связаны с новым материалом, с объяснением в виде этапа подготовки его введения с последующим закреплением, с проверкой уровня усвоения, и охватывают задания на осуществление заблаговременной подготовки обучению какого-либо нового вопроса, который нужно рассмотреть в дальнейшем. Упражнения, требующие разнонаправленных творческих поисков, должны воспитывать в детях внимательность и находчивость, предлагая нетрадиционной форме.

Одно из основных отличий учебника - это учет, по возможности, выбора оптимального материала для взаимосвязи с вопросами обучения и воспитания.

Надо быть внимательным к цветовым сигналам и обозначениям рисунков учебника, к функциям, которые они выполняют. Например, разноцветные фигуры, используются как наглядность во время обсуждения задачи на сложение, а если задача решатся действием вычитания, то однонаправлено используются линии зеленого цвета, проведенные над некоторыми фигурами. Также новые сведения на каждой странице учебника даны красным цветом, это сигнал к тому, что необходимо обратить внимание учащихся.

Тетрадь по математике. Цель этого методического средства - установить (привить) практические знания и навыки, а также определить уровень знаний учащихся на уроке. Задача Тетради - при систематическом использовании на каждом уроке, научить ребенка писать цифры и решать примеры, упражнения, задачи, а также обеспечить порядок выполнения работ по проверке знаний.

В Тетради даны разнообразные упражнения. По мере их выполнения учащиеся раскрашивают рисунки, рисуют, проводят линии, чертят отрезки, чертят любую геометрическую фигуру, пишут цифры, выполняют математические записи (такие, как краткая запись задачи, решение примеров, решение задачи, нахождение значения выражений, решение уравнения), заполняют отрезки.

В общем, многие задания в математической Тетради отобраны с целью создания условий для организации заданий в соответствии с темпом работы каждого ученика. Поэтому объем выполненных заданий у учащихся может быть разным. Это не повредит изучению математики, наоборот, появится возможность давать задания, направленные на развитие интереса и, соответственно, для увеличения объема практических видов заданий.

«Дидактические материалы по математике» для 1-го класса. Его -цель организация самостоятельных работ, их обусловленность приобретением необходимых навыков и знаний учащимися в соответствии с требованиями программы. В пособии предложено всего 30 дидактических работ и каждая работ составляет группу, состоящую из 4-х заданий, к каждой группе даны 2 указания. У каждой из групп есть свои задания, они состоят из буквы - З и написанных столбиком (в один ряд) 3 цифр. Здесь З - означает задание, первое число после З - показывает порядковый номер работы, второе число - номер варианта, третье число - уровень работы.

«Наглядные таблицы». Всего их - 32. Основная цель всех таблиц - выполнение функции наглядности в ходе начального восприятия учениками математических объяснений и понятий, способов действий. А также цель их использования - основательно помочь освоить глубоко и стабильно содержание математических знаний, так как в ходе использования таблиц появляется возможность в достаточном мере усвоить математические понятия, развить логическое мышление учащихся, их фантазию, наблюдательность и активность действий, осуществить межпредметные связи, дать некоторые сведения по любым отраслям науки. [18, с. 26]

Изучив содержание программы по математике, разработанной выше названными авторами, позволяет сделать вывод, что цели содержания обучения не расходятся с соответствующими целями программы «Школа России». В тоже время следует отметить, что в данной программе акцент делается на изучение специфических особенностей окружающей среды, родного языка, традиций и обычаев [19, с.3].

2.2 Система текстовых задач и заданий к ним в учебниках для 1 класса М.И. Моро и Т.К. Оспанова

Как было сказано выше, все текстовые задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить одно арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, связанных между собой, называется составной.

Для составных задач нет единого основания классификации, которое позволило бы разделить их на определенные группы. Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению ее на ряд простых задач и последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить ряд связей между данными и искомыми, в соответствии с которыми выбрать, а затем выполнять арифметические действия.

Прежде, чем приступить к рассмотрению систем текстовых задач, рассмотрим классификацию простых задач.

Простые задачи можно разделить на группы, в соответствии с теми арифметическими действиями, которыми они решаются.

Однако в методическом отношении удобнее другая классификация: деление задач на группы в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении. Можно выделить три такие группы. Охарактеризуем каждую из них. И приведем одну из видов моделей, наиболее распространенной.

К первой группе относятся простые задачи, при решении которых дети усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий, т. е. дети усваивают, какое арифметическое действие соответствует той или иной операции над множествами. В этой группе пять задач:

1) Нахождение суммы двух чисел.

У Андрея было 5 машин. Он купил еще 2 машин. Сколько стало машин у Андрея?

5 м. 2м.

2) Нахождение остатка.

У Сауле было 6 шаров, 2 шара она лопнула. Сколько шаров осталось у Сауле?

3) Нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведения).

В живом уголке жили кролики в трех клетках, по 2 кролика в каждой. Сколько всего кроликов в живом уголке?

4) Деление на равные части.

Два класса пропололи 8 грядок, каждый поровну. Сколько грядок прополол каждый класс?

5) Деление по содержанию.

Каждая бригада школьников окопала по 8 яблонь, а всего школьники окопали 24 яблони. Сколько бригад школьников выполняли эту работу?

Ко второй группе относятся простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся задачи на нахождение неизвестных компонентов.

1) Нахождение первого слагаемого по известным сумме и второму слагаемому.

В пруду плавало несколько уток и 4 гуся, а всего в пруду плавало 9 домашних птиц. Сколько уток плавало в пруду?



2) Нахождение второго слагаемого по известным сумме и первому слагаемому.

В школьном дворе растут 6 тополей и несколько елей. Всего во дворе растут 9 деревьев. Сколько елей растет во дворе?

3) Нахождение уменьшаемого по известным вычитаемому и разности.

Маржан на день рождения подарили несколько книг. Когда она прочитала 4 книги, то у нее оставалось еще 2 книги. Сколько книг было у Маржан.

4) Нахождение вычитаемого по известным уменьшаемому и разности.

На клумбе расло 7 гвоздик. Когда несколько гвоздик сорвали, то осталось 4 гвоздики. Сколько гвоздик сорвали?

5) Нахождение первого множителя по известным произведению и второму множителю.

Неизвестное число умножили на 8 и получили 32. Найти неизвестное число.

6) Нахождение второго множителя по известным произведению и первому множителю.

9 умножили на неизвестное число и получили 27, найти неизвестное число.

7) Нахождение делимого по известным делителю и частному.

Неизвестное число разделили на 9 и получили 4. Найти неизвестное число.

8) Нахождение делителя по известным делимому и частному.

24 разделили на неизвестное число и получили 6. Найти неизвестное число.

К третьей группе относятся задачи, при решении которых раскрывается новый смысл арифметических действий. К ним относятся простые задачи, связанные с понятием разности (6 видов), и простые задачи, связанные с понятием отношения (6 видов).

1) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (I вид).

Один дом построили за 10 недель, а другой за 8 недель. На сколько недель больше затратили на строительство первого дома?

2) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (II вид),

Один дом построили за 10 недель, а другой за 8. На сколько недель меньше затратили на строительство второго дома?

3) Увеличение числа на несколько единиц (прямая форма).

Один дом построили за 8 недель, а на строительство второго дома затратили на 2 недели больше. Сколько недель затратили на строительство второго дома?

4) Увеличение числа на несколько единиц (косвенная форма).

На строительство одного дома затратили 8 недель, это на 2 недели меньше, чем затрачено на строительство второго дома. Сколько недель затратили на строительство второго дома?

5) Уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма).

На строительство одного дома затратили 10 недель, а другой построили на 2 недели быстрее, сколько недель строили второй дом?

6) Уменьшение числа на несколько единиц (косвенная форма).

На строительство одного дома затратили 10 недель, это на 2 недели больше, чем затрачено на строительство второго дома. Сколько недель строили второй дом?

Назовем задачи, связанные с понятием отношения.

1) Кратное сравнение чисел или нахождение отношения двух чисел (I вид).

Завод продал 24 сеялки и 8 тракторов. Во сколько раз больше продали сеялок, чем тракторов?

2) Кратное сравнение чисел или нахождение отношения двух чисел (II вид).

Завод продал 24 сеялки и 8 тракторов. Во сколько раз меньше продали тракторов, чем сеялок?

3) Увеличение числа в несколько раз (прямая форма)

Завод продал 8 тракторов, а сеялок в 3 раза больше. Сколько сеялок продал завод?

4) Увеличение числа в несколько раз (косвенная форма).

Завод продал 8 тракторов, их было в 3 раза меньше, чем сеялок. Сколько сеялок продал завод?

5) Уменьшение числа в несколько раз (прямая форма).

Завод продал 24 сеялки, а тракторов в 3 раза меньше. Сколько тракторов продал завод?

6) Уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма).

На заводе было 24 сеялки, их в 3 раза больше, чем тракторов. Сколько тракторов было на заводе?

Здесь названы только основные виды простых задач. Однако они не исчерпывают всего многообразия задач.

Порядок введения простых задач подчиняется содержанию программного материала. В I классе изучаются действия сложения и вычитания и в связи с этим рассматриваются текстовые задачи на сложение и вычитание. [2, с205]

Система задач в учебниках Т.К. Оспанова и М.И. Моро построена таким образом, чтобы не было натаскивание на решение задач одного вида, то есть система построена так, что при решении задач по учебнику дети встречались с задачами разных видов.

Главная цель, которую ставят авторы учебников, научить детей осознанно устанавливать определенные связи между данными и искомыми в разных жизненных ситуациях. И в соответствии с этим выбирать, а затем и выполнять арифметические действия.

В учебнике Т.К. Оспанова отражен национальный компонент в содержании задач. Он отражен, например, в названии национальных праздников ( Наурыз); в названии селений ( аул); в именах детей ( Канат, Болат, Айгуль, Асель); в названии национальной валюты( тенге). Через содержание задач дети знакомятся с национальными героями, такими как Абай, Жамбыл.