Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделирование, как средство обучения младших школьников решению задач на движение



Оглавление

Введение

1. Теоретические основы использования моделирования в процессе обучения решению задач

1.1 Сущность понятий «модель» и «моделирование»

1.2 Классификация и функции моделей

1.3 Понятие «задача» и процесс ее решения в начальном курсе математики

1.4 Моделирование в процессе решения задач

2. Опытно-экспериментальная работа по формированию умения решать задачи на движение с использованием моделирования

2.1 Констатирующий эксперимент

2.2 Формирующий эксперимент

2.3 Контрольный эксперимент

Заключение

Список использованной литературы



Введение

На современном этапе развития начального образования происходят существенные изменения, которые, прежде всего, связаны с внедрением и реализацией Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования второго поколения. Концепция стандарта призвана ориентировать начальную школу не только на усвоение учащимися знаний, умений и навыков как основных итогов образования, но также и на развитие потенциала личности, формирование ключевых компетенций, среди которых лидирует - «умение учиться». К подобным компетенциям относится и способность применять различные средства представления информации для создания моделей изучаемых объектов и процессов, схем решения учебных и практических задач. Таким образом, на первый план выдвигается задача целенаправленного обучения учащихся познавательной деятельности, то есть обучения их способам познания окружающего мира, в число которых входят: наблюдение, анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, моделирование и т.д.

Однако анализ существующей практики школьного математического образования позволяет констатировать, что даже при оптимальном отборе содержания способы организации учебной деятельности школьников часто сориентированы на воспроизведение готовых знаний, а решение основной задачи обучения математике - учить школьников рассуждать, мыслить, является случайным, «побочным» продуктом. По отношению к математике это парадоксально, так как «ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности» [45]

Положение о том, что решение задач - средство развития мышления учащихся, всегда являлось аксиомой и не требовало доказательств. Однако анализ методики обучения младших школьников решению задач с точки зрения познавательной деятельности учащихся показывает, что главная цель работы большинства учителей сводится к решению большого количества задач определенных типов, к формированию у детей умения опознавать их по внешним признакам. В результате, приступая к решению каждой задачи, ученик сначала опознает ее, а затем решает. Если же опознания не происходит, то и решения нет.

Комментируя данную ситуацию, М.В. Потоцкий пишет: «Кому незнакомо характерное для многих учащихся заявление, которое они делают, встречаясь с новой задачей: «Таких задач мы не решали!» Как будто им надо уметь решать только уже когда-то решенные задачи!» Эти слова ставят под сомнение справедливость приведенной аксиомы. Поэтому проблема поиска средств и способов активизации мыслительной деятельности учащихся в процессе решения задач является актуальной и требует своего решения. [36]

Психологи рассматривают моделирование как один из способов организации обучения, выделяя в качестве средства организации познавательной деятельности «учебные модели», так как они обладают рядом характерных свойств, обуславливающих организацию продуктивного обучения. В своих работах психологи П.Я. Гальперин [10], В.В. Давыдов [14], Л.В. Занков [18], Н.И. Непомнящая [34] указали на необходимость использования метода моделирования в учебной деятельности.

Идея применения моделирования в обучении нашла отражение в ряде работ, которые посвящены психолого-педагогическим и методическим аспектам обучения математике в школе, где моделирование рассматривается как средство и метод познания, при котором в качестве объектов познания выступают различные математические понятия (Л.М. Фридман, Г.А. Балл, Ю.М. Колягин, Е.Н. Турецкий, А.Л. Жохов, А.Г. Мордкович, В.П. Радченко и др.).

По мнению Л.М Фридмана, образный материал может быть носителем смысла в той же мере, что и вербальный; символическая информация легче для восприятия, а дублирование вербальной информации символической приводит к объективному ее переизбытку, что способствует стабильности понимания. [51]

В практике современной начальной школы идея моделирования реализована в ряде учебников по математике (И.И. Аргинская, Э.И. Александрова, Н.Б. Истомина, Г.Г. Микулина, Л.Г. Петерсон).

Различные аспекты моделирования в обучении младших школьников отражены в методических исследованиях. Так, Муртазина Н.А. рассматривала схематические модели как средство обучения младших школьников решению задач различными способами [33];

Белошистая А.В. занималась исследованием приемов графического моделирования при обучении решению задач [3];

Малыхина В.В. рассматривала моделирование как один из приемов работы с задачей [26];

Царева С.Е. исследовала роль моделирования роль на этапе поиска плана решения задачи и ее проверки [55].

Во всех этих исследованиях убедительно доказана роль моделирования в обучении младших школьников, в частности при решении задач. Однако, в практике работы учителей результаты этих исследований не нашли должного отражения.

При прохождении методической практики в 4-м классе мы заметили, что учащиеся испытывают трудности при решении задач на движение, и попытались выяснить причины этого. Наблюдая за процессом решения детьми текстовых задач, мы увидели, что они либо вообще не используют модели на этапе анализа и поиска решения задачи, либо ориентируются на готовые модели, а самостоятельное построение моделей вызывает у них затруднение.

С учетом сказанного нами была выбрана тема: «Моделирование как средство обучения младших школьников решению задач на движение».

Объект: процесс обучения решению задач в начальной школе.

Предмет: моделирование как средство обучения младших школьников решению задач на движение.

Цель: показать влияние приема моделирования на формирование умения решать задачи на движение.

Гипотеза: Моделирование может быть эффективным средством обучения решению задач на движение, если:

- систематически и целенаправленно использовать модели в процессе обучения;

- устанавливать соответствие между различными видами моделей (предметными, схематическими, символическими);

- учить детей конструировать и преобразовывать модели.

Для достижения цели исследования были поставлены следующие задачи:

Проанализировать психолого-педагогическую литературу по проблеме исследования.

Раскрыть сущность понятий «задача», «модель» и «моделирование».

Подобрать и разработать задания для младших школьников с использованием приема моделирования, направленные на формирование умения решать задачи на движение.

Провести экспериментальную работу по формированию у младших школьников умения решать задачи на движение с использованием приема моделирования и проверить ее эффективность.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы, программ и учебников по математике для начальной школы; анализ уроков, беседы с учителем и учащимися.

База исследования: государственное бюджетное общеобразовательное учреждение города Москвы "Школа с углубленным изучением английского языка № 1208 имени Героя Советского Союза М.С. Шумилова" и государственное бюджетное общеобразовательное учреждение города Москвы "Школа № 825". В эксперименте приняли участие учащиеся 4-х классов.

1. Теоретические основы использования моделирования в процессе обучения решению задач

1.1 Сущность понятий «модель» и «моделирование»

«Метод моделирования как один из методов познания используется в науке давно. Еще древние атомисты (Демокрит, Эпикур, Лукреций Кар) строили мысленные модели атомов, их движения и соединения между собой, стремясь объяснить при помощи этих моделей физические свойства вещей. И.Ньютон исследовал в своей работе «Математические начала натуральной философии» условия подобия двух систем (одна из которых выступает в качестве модели другой), способствуя тем самым развитию моделирования как научно обоснованного метода». [33]

Широко моделирование стало развиваться в ХХ веке, получив признание практически во всех отраслях современной науки. Несмотря на то, что моделирование изучается уже довольно долго, как средство и метод обучения оно стало осознаваться сравнительно недавно.

В психолого-педагогической литературе существуют различные определения понятия «модель».

В.А. Штофф определяет модель как мысленно представляемую или материально реализованную систему, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте. [59]

По мнению Л.М. Фридмана модель - это средство научного познания; это представитель, заместитель оригинала в познании или на практике; система со структурными свойствами и определенными отношениями; она охватывает существенные свойства прототипа, которые в данный момент являются объектом исследования, и соответствует оригиналу. [50]

П.В. Грес под моделью (от лат. modulus - мера, образец, норма) понимает такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект - оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Процесс построения и использования модели, называется моделированием.[12]

А.И. Уемов считает, что модель - это система, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе.[48]

Касаясь проблемы моделирования в той или иной области научного знания, различные авторы опираются на определение модели, которое предложил В.А. Штофф. Учитывая задачи настоящего исследования, мы также будем ориентироваться на указанное определение.

Модель помогает понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития. В качестве модели можно использовать изображения, схемы, чертежи, графики, планы. Важно помнить о том, что модель обладает только некоторыми, существенными в данных условиях свойствами моделируемого объекта.

Под моделированием понимают процесс создания моделей и их использование в целях формирования знаний о свойствах, структуре, отношениях и связях объектов. [38]

Стоит отметить, что среди большого многообразия моделей выделяется особый класс математических моделей. Л.П. Стойлова под математической моделью понимает описание какого-либо реального процесса на математическом языке. [47] Математические модели описываются с помощью средств самой математики: языка, понятий, отношений, теорий. В отличие от естественнонаучных и гуманитарных дисциплин математическая модель не требует создания материализованных объектов. Кроме того, если все другие науки изучают модели, то математика изучает «модели моделей». Поэтому ее материал в лучшей степени соответствует задаче овладения методом моделирования. школьный математический образование

Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.

Схематизированные модели подразделяются на вещественные или как их по-другому называют предметные и графические модели, в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные модели обеспечивают физическое действие с предметами. Такие модели могут, строятся из различных предметов, таких как палочки, пуговицы, бумажные полоски и многое другое. К такому виду моделей относят и мысленное воссоздание реальной ситуации, которая описана в задаче, в виде представлений.

Графические модели обычно используют для обобщенного схематического воссоздания ситуации. К графическим моделям относятся: рисунок, условный рисунок, чертеж, схематичный чертеж или схема.

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном языке, так и на математическом. К знаковым моделям, которые выполнены на естественном языке, относят краткую запись задачи и таблицы. А к знаковым моделям, которые выполнены на математическом языке (они же являются математической моделью задачи), относят запись решения задачи по действиям, запись выражения, составление уравнений или систем уравнений и неравенств.

Однако, не любая краткая запись (рисунок или чертеж), которая выполняется для задачи, может быть ее моделью. Вспомогательные модели текстовых задач должны отражать все ее объекты и все отношения между ними, указывать требования. Такие модели строятся в ходе разбора содержания и анализа задачи, вместе с тем построение этих моделей организует и направляет на детальный и глубокий анализ задачи.

Стоит, отметим, что по условию одной и той же задачи можно составить несколько вспомогательных моделей, каждая из которых позволяет найти свой способ решения.

Для того чтобы учащиеся овладели моделированием как методом научного познания, недостаточно познакомить их только с трактовкой понятий модели и моделирования, демонстрируя разные математические модели и показывая процесс моделирования при решении задач. Необходимо научить их самостоятельно строить и исследовать модели, изучать какие- либо явления с помощью моделирования, использовать идеи этого метода в повседневной жизни и работе. Решая математические задачи и понимая, что они представляют собой модели некоторых реальных объектов и процессов, учащиеся приобретут необходимые знания, навыки и умения, овладеют методом математического моделирования.

1.2 Классификация и функции моделей

Моделирование - многофункционально, иначе говоря, оно используется самым различным образом для различных целей и на различных уровнях (этапах) исследования или преобразования. В связи с этим многовековая практика использования моделей породила множество форм и типов моделей.

Классификация моделей исходит из наиболее существенных признаков объектов. В литературе, которая посвящена философским аспектам моделирования, представлены разнообразные классификационные признаки, по которым выделены различные типы моделей.

Рассмотрим классификацию моделей, которую предлагает Л. М. Фридман [51] (Таблица). С точки зрения степени наглядности он все модели разбивает на два класса:

• материальные (вещественные, реальные);

• идеальные.

К материальным моделям относят такие, которые построены из каких- либо вещественных предметов, например из металла, дерева, стекла и других материалов. К таким моделям также относят и живые существа, которые используются для изучения некоторых явлений или процессов. Материальные модели делятся на статические (неподвижные) и динамические (действующие).

К статистическим моделям Фридман относит те модели, которые геометрически подобные оригиналам. Такие модели передают только пространственные (геометрические) особенности оригиналов в определенном масштабе.

К динамическим моделям он относит такие, которые воспроизводят какие-то процессы, явления. Такие модели могут быть физически подобны оригиналам и воспроизводить моделируемые явления в каком-то масштабе.

Идеальные модели подразделяются на:

• образные или иконические;

• знаковые или знаково-символические;

• мысленные или умственные.

К образным моделям их также называют картинными, относятся рисунки, чертежи, схемы, которые передают в образной форме структуру или другие особенности моделируемых предметов или явлений.

Знаково-символические модели - запись структуры или некоторых особенностей моделируемых объектов с помощью знаков-символов какого- то искусственного языка, например математического.

Мысленные, а также их называют воображаемые модели, которые дают представление о каком-либо явлении, процессе или предмете.

Классификация моделей по Л.М. Фридману

Данная классификация хороша тем, что она дает хорошую основу для анализа двух основных функций модели:

• практической (в качестве орудия и средства научного эксперимента);

• теоретической (в качестве специфического образа действительности, в котором содержатся элементы логического и чувственного, абстрактного и конкретного, общего и единичного).

Л.М. Фридман выделяет следующие функции моделей в обучении [51]:

· изучение научных моделей;

· построение и изучение моделей понятий, для которых в соответствующих науках нет моделей или они неудобны для школы; построение модели ориентировочной основы действия, то есть алгоритм выполнения данного действия, формула;

· использование модели, как правило, одной и той же, как средства обобщения знаний, как средства исследования изучаемого понятия и как средства планирования работы по изучению понятия;

· моделирование для лучшего запоминания материала, в котором можно выделить логическое и мнемоническое упорядочивание.

Функции моделей, которые выделяет А.Б. Воронцов [8]:

· модели позволяют представить выделенное отношение изучаемого объекта в предметной, графической или знаковой форме;

· преобразование моделей отношений создает условия для изучения их свойств в «чистом» виде;

· реализация моделей в системе частных задач формируют предметность учебного действия.

Терешин Н. А. [47] выделяет такие дидактические функции математического моделирования:

1. Познавательная функция.

Целью познавательной функции является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Такое формирование происходит постоянно при переходе от простого к сложному.

2. Функция управления деятельностью учащихся.

Математическое моделирование предметно и за счет этого облегчает ориентировочные, контрольные и коммуникационные действия. К ориентировочным действием можно отнести построение чертежа, который соответствует рассматриваемому условию, а также внести в него дополнительные элементы.

Контролирующие действия направлены на то, чтобы обнаружить ошибки при сравнении выполненного чертежа (схемы, графика) с помещенными в учебнике.

Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащихся, которая соответствует исследованию полученных ими результатов. Выполняя эти действия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта.

3. Интерпретационная функция.

Один и тот же объект можно выразить с помощью различных моделей. Рассмотрение каждой из этих моделей является ее интерпретацией; чем значимей объект, тем желательней дать больше его интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон.

В своей диссертационной работе Муртазина Н.А. рассматривает следующие функции: [33]

«Демонстрационная функция. Исследователь (младший школьник) демонстрирует или фиксирует посредством модели данные, полученные в результате знакомства с текстом задачи. Благодаря этому он сможет отделить «внешнюю структуру» задачи (имеется в виду словесный образ, порядок слов и предложений) от «внутренней структуры» (основные данные, отношения и связи между ними), а также представить условие задачи не только как объект исследования, но и как объект конструирования».

«Объяснительная функция. Исследователь уточняет свои представления об изученных ранее математических понятиях и взаимосвязях между ними. Это поможет «снять зависимость» младшего школьника от типа «внешней структуры» задачи и, как следствие, значительно расширит область задач, обычно решаемых в начальных классах».

«Предсказательная функция. Исследователь аккумулирует и переоценивает полученные о задаче знания, используя условие задачи в качестве объекта конструирования и преобразования. Это создаст условия для поиска, с опорой на различные конструкции модели, возможных способов решения».

«Эвристическая функция. В результате активной мыслительной и практической деятельности с моделью, исследователь открывает данные о задаче, недоступные ранее. Благодаря этому он сможет найти новые оригинальные пути решения. У младшего школьника появится также возможность обнаружить другие задачи в рамках изначального условия и решить их, что будет способствовать формированию у него общего умения решать задачи».

Применение нескольких функций математической модели способствует наиболее плодотворному мышлению учащегося, так как его внимание легко и своевременно переключается с модели на полученную с ее помощью информацию об объекте и обратно. Такое переключение сводит к минимуму отвлечений умственных усилий учащихся от предмета их деятельности.

Модель, которая используется при обучении решению текстовых арифметических задач, является средством и учебным действием, выполняющим функции:

· «инструмента», помогающего увидеть существенные отношения в объекте;

· наглядности, способствующей получению обобщенного способа действия и развитию операций мышления анализа, абстракции и обобщения.

В нашей работе мы будем опираться на функции моделей, выделенные Муртазиной Н.А., которые в большей степени отвечают процессу обучения в начальной школе.

1.3 Понятие «задача» и процесс ее решения в начальном курсе математики

С термином «задача» мы часто встречаемся в повседневной жизни, как на бытовом, так и на профессиональном уровне. Каждому из нас приходится решать те или иные проблемы, которые зачастую мы называем задачами.

С давних времен изучается проблема решения задач. К ним относятся задачи, с которыми человек сталкивается в процессе производственной или бытовой деятельности, а так же математические задачи. Тем не менее, до настоящего времени нет общепринятой трактовки самого понятия «задача». Если рассматривать понятие «задача» в широком смысле слова, то понимается некоторая ситуация, которая требует разрешения или исследования.

Но если рассматривать математические задачи, то их решение достигается с помощью математических средств и методов. Среди них выделяют задачи научные и учебные. Решение научных задач способствует развитию математики, а учебные задачи служат для формирования необходимых математических знаний, умений и навыков, развивают логическое мышление и влияют на изменение качеств личности школьника.

Понятие «задача» в начальном курсе математики имеет свою специфику. Традиционно сложилось так, что, говоря о решении задач в начальных классах, имеют в виду решение арифметических задач. В методической литературе эти понятия часто заменяются понятием «текстовая задача».

Существуют различные трактовки понятия «текстовая задача».

Л.П. Стойлова и А.М. Пышкало понимают под текстовой задачей описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого отношения. [44]

М.А. Бантова говорит о том, что в окружающей нас жизни возникает множество таких ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними, - это задачи. [2]

М.И. Моро и А.М. Пышкало исходят из того, что задача - это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий. [31]

М.В. Богданович считает, что арифметическая задача - это требование найти числовое значение некоторой величины, если даны числовые значения других величин и существует зависимость, которая связывает эти величины, как между собой, так и с искомой. [5]

Л.М. Фридман и Е.Н. Турецкий высказывают мнение, что любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в ней. [53]

Н.Б. Истомина говорит о том, что в начальном курсе математики понятие «задача» обычно используется тогда, когда речь идет об арифметических задачах. Они формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами.[21]

В.Л. Дрозд под текстовыми арифметическими задачами понимает задачи, имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий. [16]

Н.В. Метельский дает такое определение: «задача - понятие неопределяемое и в самом широком смысле слова означает то, что требует выполнения, решения. Иногда под задачей понимают упражнение, которое выполняется, решается посредством умозаключения, вычисления и т.п.» [29]

В нашей работе мы будем опираться на определение текстовой задачи, данное Стойловой Л.П. и Пышкало А.М., так как оно наиболее полно отражает суть математического задания.

Любая текстовая задача состоит из двух частей - это условие и требование, то есть вопрос. Условие задачи - это числовое значение величин и существующая между ними зависимость, то есть количественная и качественная характеристика объектов задачи и отношения между ними. В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, которые характеризуют данные объекты, а также об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. В задаче чаще всего бывает не одно, а несколько условий, которые называют элементарными. Требования задачи (вопрос) - это указание на то, что нужно найти. Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их так же, как и условий может быть несколько.

Ответ на требование задачи получается в результате ее решения. Решить задачу, в широком смысле этого слова - это значит раскрыть связи между данными, которые указаны в условии задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т.п.), выполнить действия над данными задачи, используя эти общие положения, и получить ответ на требование задачи, или доказать невозможность его выполнения.

Термин «решение задачи» можно рассматривать с разных точек зрения: решение как результат, т. е. как ответ на вопрос, поставленный в задаче, и решение как процесс нахождения этого результата. Если вести речь о методике обучения решению задач, то на первый план выступает процесс нахождения результата, который тоже можно рассматривать с различных точек зрения, во-первых, как способ нахождения результата и, во-вторых, как последовательность тех действий, которые входят в тот или иной способ.

Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится их решение.

Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи.

Каждая задача - это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать, соотнося с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое. Иногда задачи формулируются таким образом, что часть условия или все условие включено в одно предложение с требованием задачи.

Ученые (А.Г. Асмолов [1], Л. П. Стойлова[43], Т.Е. Демидова[15] и другие) выделяют разные этапы работы над задачей. Одни авторы предлагают подробные этапы решения задач, в отличие от других, которые предлагают более лаконичные, объединяя некоторые из них в один. Но суть процесса решения задачи от этого не меняется. (Таблица)

Этапы работы над решением задачи

А.Г. Асмолов [1]	Л. П. Стойлова, Т.Е. Демидова и др. [43, 15]
Анализ текста задачи	Анализ задачи
Перевод текста на язык математики с помощью вербальных и невербальных средств
Установление отношений между данными и вопросом	Поиск и составление плана решения задачи
Составление плана решения
Осуществление плана действий	Осуществление плана решения
Проверка и оценка решения задачи	Проверка решения задачи

Рассмотрим более подробно этапы работы над задачей.

Анализ текста задачи является центральным компонентом решения задачи. На данном этапе ребенку необходимо выделить смысловые единицы текста и отношения между ними, а также условие и требование. Для этого ученику нужно уметь выделять в математическом тексте необходимую информацию и осуществлять анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков.

Кроме того, успешное прохождение этого этапа невозможно без знания математических понятий, так как школьнику нужно «заменять термины их определениями» (например, понимать смысл слов «половина», «за одно и то же время») и «выводить следствия из условий задачи», работать с величинами. [1]

Следующий этап - поиск и составление плана решения задачи. Данный этап требует рассуждений, но если их осуществлять устно, то у некоторых детей не сформируется умения искать план решения задачи. Для этого нужны приемы графической фиксации подобных рассуждений, такие как таблица, схема, символический рисунок, чертеж.

Сущность следующего этапа «Осуществление плана действий» (в виде последовательных конкретных действий или в виде выражения) заключается в нахождении ответа на требование задачи и подразумевает умение школьника работать с планом.

Последний этап - проверка и оценка решения задачи. Цель этапа - осуществление контроля по результату. Для осуществления контроля можно использовать прием составления задачи, обратной данной. В тех случаях, когда задача имеет несколько способов решения можно решить задачу другим способом и выбрать наиболее рациональный.

Предметная или графическая модель будет связующим звеном между первым и вторым этапами, так как является формой фиксации анализа текста задачи и в то же время средством поиска плана ее решения.

1.4 Моделирование в процессе решения задач

Анализируя процесс решения математических задач, Ю.М.Колягин представляет умение решать задачи как сложный комплекс ряда умений. Приведем некоторые из них:

1. Умение анализировать ситуацию, предложенную в задаче.

2. Умение соотносить данные величины с искомыми, распознавать данные элементы в различных сочетаниях.

3. Умение выявлять скрытые свойства задачной ситуации, создавать новые комбинации известных понятий и фактов, относящихся к элементам данной задачи, соотнося их с ее условием и целью.

4. Умение конструировать простейшие математические модели данной ситуации (графическое, схематическое изображение задачи).

5. Умение интерпретировать результаты работы над моделью данной задачной ситуации.

6. Умение оформлять найденное решение задачи кратко и четко (символически, текстом, графически); наглядно иллюстрировать ведущие идеи.

7. Умение оценивать результаты решения задачи с разных точек зрения (правильность, эстетичность, значимость и пр.); обобщать результаты решения.

8. Умение эффективно осуществлять отбор полезной информации, содержащийся в самой задаче и в процессе ее решения; систематизировать эту информацию, соотнося ее с имеющимися знаниями и опытом. [23]

Представленный комплекс умений отражает «внутреннюю» структуру процесса решения задач. И важным составляющим этого комплекса выступают модели (пункты 4, 5, 6). Они являются предметом мыслительной и практической деятельности учащихся. Выделение моделей как необходимых составляющих комплекса умений, связанных с решением задач, имеет большее значение в преодолении проблемы обучения решению задач.

Психологи и математики рассматривают процесс решения задачи как процесс поиска системы моделей. Так, С.Л.Рубенштейн рассматривает процесс решение задач как процесс переформулирования, в котором непрерывно производится анализ условий и требований задачи через синтетический акт их соотнесения [37]. Так как решение задачи происходит путем построения ее различных моделей можно говорить о том, что модель является основным средством, а моделирование основным методом решения задач [13, 33].

Необходимость овладения моделированием в виде учебного действия диктуется не только его значимостью в качестве средства познания, но и психолого-педагогическими требованиями в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина), теорией учебной деятельности (В.В.Давыдов, Л.М.Фридман). [9,14, 46,51].

Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи представляет перевод текста с естественного языка на математический. Чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели - схемы, таблицы и другие. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от вербальной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы, рисункам и так далее), а от нее - к математической, на которой и происходит решение задачи.

Прием математического моделирования при решении задач позволяет научить школьников:

1) предварительному анализу материала;

2) переводу словесной информации в модель;

3) преобразованию модели;

4) соотнесению результатов с реальностью (текстом).

Целью действия анализа является выявление общего смысла текста, описывающего реальность, которую нужно представить в виде модели, выделить в нем смысловые части, переформулировать их таким образом, чтобы стал возможен перевод на язык графических средств. За счет использования графических средств анализ приводит к выделению в задаче элементов, существенных для ее решения. В рамках деятельности моделирования анализ является подготовительным этапом, но имеет более широкое значение в действии преобразования и соотнесения результатов с реальностью.

Целью действия перевода является представление словесной информации в графической форме, а именно: выделение в задаче или тексте отрезков, смысл которых может быть формализован или передан на языке графики и формул, и запись на языке графики или формул выделенной информации. Иногда выполнение действия перевода и построения модели становится достаточным средством решения задачи. Однако в большинстве случаев, чтобы превратить модель в средство анализа или решения, необходимо ее преобразовать, переструктурировать модель, дополнив ее недостающими элементами. Учащиеся после решения задачи проверяют свои ответы для доказательства того, что полученные результаты удовлетворяют требованиям и условию задачи. Особую роль при проверке ответов решения задачи выполняет моделирование, которое не столько выявляет правильность ответа, сколько соотнесение данных, полученных на модели, с действительностью или ее описанием в тексте. [51]

Таким образом, использование модели при решении задач обеспечивает качественный анализ задач, осознанный поиск их решения, обоснованный выбор арифметического действия, рациональный способ решения и предупреждает многие ошибки в решении задач учащимися. Модель задачи может быть применена и для составления и решения обратных задач, для проведения исследования задачи. Модель помогает выявить условия, при которых задача имеет решение или не имеет; выяснить, как изменяется значение искомой величины в зависимости от изменения данных величин; помогает обобщить теоретические знания; развивает самостоятельность и вариативность мышления. А значит модель - это то средство и учебное действие, без которого невозможно полноценное обучение. [24]

Л.М. Фридман пишет: «Использование моделирования в обучении имеет два аспекта. Во-первых, моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, тем методом познания, которым они должны овладеть. И, во-вторых, моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение». [52]



2. Опытно-экспериментальная работа по формированию умения решать задачи на движение с использованием моделирования

2.1 Констатирующий эксперимент

Для определения уровня сформированности умения решать текстовые задачи на движение до начала опытного обучения, мы провели диагностическую работу, которая проводилась в двух классах: в 4 «Г» государственного бюджетного общеобразовательного учреждения города Москвы "Школа с углубленным изучением английского языка № 1208 имени Героя Советского Союза М.С. Шумилова" и в 4 «Б» государственного бюджетного общеобразовательного учреждения города Москвы "Школа № 825".

Во время эксперимента в 4 «Г» классе присутствовало 27 человек, а в 4 «Б» - 20 человек.

Цель - выявить сформированность умения решать задачи на движение и проверить, используют ли при этом учащиеся прием моделирования.

Учащимся было предложено решить две задачи:

1. «Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость одного - 40 км/ч, другого - 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?»

2. «Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 420 м. Когда они встретились, первая пробежала на 60 м больше, чем вторая. С какой скоростью бежала каждая девочка, если они встретились через 30 с?»

На выполнение задания было отведено 20 минут. По истечению отведенного времени, работы учеников были собраны для дальнейшей обработки.

Результаты решения задач 4 «Г» класса на констатирующем этапе

4 «Г»	Задача 1	Задача 2
	Решили	Не решили	Решили	Не решили
	Со схемой	Без схемы		Со схемой	Без схемы
Максим К.		+				-
Лиза С.		+				-
Лиза Ш.		+				-
Саша М.			-			-
Алина Г.		+				-
Женя Н.			-			-
Маша Б.		+				-
Илья Т.			-			-
Никита Л.			-			-
Леня А.	+					-
Сережа П.		+				-
Дима О.		+				-
Лиза Д.		+				-
Маша Б.			-			-
Катя Я.		+				-
Вика К.		+				-
Саша М.		+				-
Амин С.		+				-
Татув М.		+				-
Настя С.		+				-
Дима Р.			-			-
Леша К.		+				-
Ксюша Ш.	+				+
Ваня Г.			-			-
Эдгар С.			-			-
Сережа И.			-			-
Настя К.		+				-

Из таблицы видно, что из 27 учащихся с первой задачей справилось 18 человек, причем 2 из них построили схему, а - 16 решили задачу, не прибегая к ней.

9 человек не справились с решением задачи; 5 из них пытались построить схему, но допустили следующие ошибки:

-неверное обозначение направления движения, а именно: не в одном направлении, а навстречу друг другу;

-направление в одном направлении, но из одного пункта;

-неверное обозначение скоростей.

Все эти ошибки, на наш взгляд, могли привести к неверному решению. 3 человека допустили ошибки в вычислении, хотя ход решения был верным.

Со второй задачей в 4 «Г» классе справился всего 1 человек, причем задача была решена без построения схемы.

Таким образом, после обработки полученных данных можно сделать вывод, что большая часть учеников класса показала результат ниже среднего, что свидетельствует о низком уровне сформированности умения как решать задачи, так и строить и использовать схемы в ходе их решения.

Результаты выполнения этих заданий учащимися 4 «Б» класса представлены в таблице.

Результаты решения задач 4 «Б» класса на констатирующем этапе

4 «Б»	Задача 1	Задача 2
	Решили	Не решили	Решили	Не решили
	Со схемой	Без схемы		Со схемой	Без схемы
Никита Г.			-			-
Настя Б.	+			+
Макар Б.	+				+
Егор Б.			-			-
Ваня М.			-			-
Ника Д.	+			+
Артем К.		+				-
Даша Н.	+				+
Егор И.		+				-
Марина М.	+			+
Алена А.		+				-
Полина А.			-			-
Никита Ц.		+				-
Марина Д.		+				-
Полина С.	+			+
Аня Е.	+			+
Катя А.		+				-
Настя С.			-			-
Алина А.	+				+
Кристина Я.		+				-

Из таблицы видно, что из 20 учащихся с первой задачей справилось 15 человек, причем схемой воспользовались только 8 учеников. 5 человек не решили задачу и допустили аналогичные ошибки в построении схемы.

Со второй задачей справилось 8 человек, при этом 5 из них воспользовались схемой при решении.

Таким образом, результат, показанный учащимися 4 «Б» класса оказался более высоким как в целом, так и по каждой задаче отдельно.

Сравнительные результаты, показанные учащимися обоих классов при решении задач, отражены в диаграммах 1 и 2.

Диаграмма 1 Результаты, показанные учащимися 4 «Б» и 4 «Г» при решении 1-й задачи на констатирующем этапе

Диаграмма 2 Результаты, показанные учащимися 4 «Б» и 4 «Г» при решении 2-й задачи на констатирующем этапе

Исходя из полученных данных, нами был определен экспериментальный класс, которым стал 4 «Г» и контрольный - 4 «Б».

Анализ допущенных ошибок, как в решении задач, так и построении моделей, позволил выделить основные направления дальнейшей работы по формированию умения решать задачи на движение, используя прием моделирования.

2.2 Формирующий эксперимент

Цель данного эксперимента: формирование умения решать задачи с использованием приема моделирования.

Опытное обучение проводилось в экспериментальном классе на уроках математики на протяжении месяца, с 21 марта по 18 апреля, по четыре урока в неделю. Первые 2 недели уроки проводил учитель по заранее подготовленным мною фрагментам уроков, а последующие 2 недели уроки проводились мною самой. В контрольном классе данная работа с учащимися не проводилась.

В работе использовались учебник математики для 4 класса (авт. Л.Г.Петерсон) и тетрадь «Учимся решать задачи» для 4-го класса начальной школы (авт. Н.Б.Истомина и З.Б.Редько). В дополнение к заданиям учебника были подобраны упражнения направленные на работу с моделями с применением методических приемов сравнения, выбора, преобразования и конструирования.

Охарактеризуем их ниже: Методический прием сравнения.

Этот прием используется для приобретения опыта математического анализа текстов учебных заданий. Сравнение - важный способ перехода от созерцания к абстрактному мышлению. Этот переход осуществляется путем установления соотношений между предметными, вербальными, графическими и символическими моделями. Прием сравнения способствует детей к быстрому усвоению материала, выполнению различных математических упражнений и решению задач. Необходимо научить детей выделять признаки и свойства у объектов, устанавливать сходство и различие между признаками, выделять основания для сравнения, причем работа должна вестись целенаправленно, из урока в урок, во взаимосвязи с формированием других умственных приемов. Показателем сформированности приема сравнения является самостоятельное применение его для решения различных задач, без указаний: «сравни..., укажи признаки..., в чем сходство и различие...».

Методический прием выбора.

Данный прием используется для формирования у младших школьников умения объяснить свои суждения, используя для этого математическое содержание задания. Этот прием позволяет осознать сущность формируемых понятий, общих способов действий и содержательную зависимость между ними. Процесс выполнения любого задания должен всегда представлять цепочку суждений, для обоснования истинности которых учащиеся используют различные способы.

Методический прием преобразования.

Этот прием лежит в основе осознания причинно-следственных связей между изучаемыми понятиями и обобщенными способами действий, способствует формированию умения выполнять различные видоизменения числового и буквенного материала. Действия учеников в ходе выполнения соответствующих заданий направляются в основном указанием: «измени …», «представь …», «замени …» и другие. Например, учащимся дается задача, им нужно изменить вопрос задачи так, чтобы она решалась в одно действие.

Методический прием конструирования.

Благодаря этому приему у учащихся формируются умения самостоятельно устанавливать соответствия между предметными, графическими и символическими моделями, преобразовывать их в математические, а так же переносить усвоенные знания, умения и навыки на область новых знаний. Конструирование заданий включает учащихся в поисковую деятельность и тем самым создает условия для развития их мышления. Действия учеников в ходе выполнения заданий направляются в основном указанием «поставь …», «составь …», «подумай …», «подбери …» и другие. [28]

Всего было проведено 16 уроков. Первые три урока были направлены на:

- выбор моделей, соответствующих тексту задачи;

- выбор условия к вопросу данной задачи;

- выбор выражений к данной задаче. Следующие три урока были направлены на:

- преобразование текстов задач;

- преобразование схематической модели в таблицу

- самостоятельное составление задач (с последующим их решением).

Последние десять уроков были отведены самостоятельному построению схем, графиков и таблиц к задачам и их решению.

Ниже приведены задания, выступающие средством организации учебной деятельности младших школьников при решении задач на движение с использованием моделей.

Первая группа упражнений направлена на овладение таким приемом, как выбор схемы к задаче. В процессе выбора схемы, соответствующей тексту задачи, ученик анализирует каждую из них, соотносит числовые данные со схемой, в результате чего у учащихся формируется умение переводить вербальную (текстовую) модель в схематическую. Приведем примеры.

Группа упражнений направлена на пояснение выражения на основе таблицы.

Таблица является вспомогательной моделью задачи, она служит формой фиксации анализа текстовой задачи и является основным средством поиска плана ее решения.

	S	v	t
Машина	240 км	80 км/ч	Одинаковое
Мотоцикл	Одинаковое	60 км/ч
Мотороллер			4 ч

Пользуясь таблицей, вставь пропущенные числа.

1. Машина проехала 240 км за ……. часа.

2. Мотоцикл был в пути ……. часа.

3. Мотоцикл проехал ……. км.

4. Мотороллер за 4 час проехал …… км.

5. Скорость мотороллера …… км/ч.

6. Скорость мотоцикла меньше скорости машины на …… км/ч.

7. Скорость мотоцикла больше скорости мотороллера на ……. км/ч.

8. Машина проехала на …… км больше, чем мотороллер.

9. Мотороллер был в пути на …… ч больше, чем мотоцикл. Приведем еще один пример работы с таблицей.

Прочитай задачу и заполни таблицу. Геологи 2 часа летели на вертолете со скоростью 90 км/ч, затем 3 часа ехали на лошадях со скоростью 12 км/ч. Остальную часть пути они прошли пешком со скоростью 3 км/ч. Сколько времени геологи шли пешком, если весь путь составил 222 км?

	Скорость	Время	Расстояние
На вертолете
На лошадях
Пешком

В результате подобной работы у школьника формируется осмысленное отношение к моделированию, в котором он как исследователь играет главную роль, выбирая средство для построения модели, определяя цель применения и интерпретируя результаты изучения модели.

Приведем фрагметы уроков, которые были даны на этапе опытного обучения.

Задача 1:

«Из двух пунктов, расстояние между которыми 40 км, одновременно в одном направлении выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч и автомобиль. Найдите скорость автомобиля, если он догнал велосипедиста через 12 мин?»

- Прочитаем задачу.

- Что известно в задаче? (Что из двух пунктов одновременно в одном направлении выехал велосипедист и автомобиль)

-Правильно, а что еще нам известно? ( Что расстояние между пунктами 40 км, а еще нам изестна скорость велосипедиста - 10 км/ч и автомобиль догнал велосипедиста через 12 минут)

- Верно. Давайте составим чертеж к задачи и отметим все известные нам данные.

- Ребята, а что нужно узнать в задаче? (Скорость автомобиля)

- А мы можем сразу ее найти? (Нет)

- Почему? (Мы не знаем какое расстояние проехал велосипедист за 10 минут)

- А можем это узнать? (Да)

- Как? (Скорость умножить на время)

- Когда мы узнали расстояние велосипедиста, которое он проехал за 10 минут, мы можем ответить на главный вопрос задачи? (Нет)

- Почему, что же нам еще нужно знать? (Нам нужно узнать путь, который проехал автобус)

- А как мы это узнаем? (К расстоянию между пунктами нужно прибавим тот путь, который проехал велосипедист за 10 минут)

- Можем теперь ответить на вопрос задачи? (Да)

- Как? (Надо весь путь, который проехал автомобиль разделить на время)

- Верно. Итак, во сколько действий решается задача? (В 3 действия)

- Записываем решение:

1) 10 • 12 = 120 (км) - проехал велосипедист за 10 минут

2) 120 + 40 = 160 (км) - проехал автомобиль до того, как догнал велосипедиста

3) 160 : 10 = 16 (км/ч)

Ответ: скорость автомобиля 16 км/ч Задача 2:

Автомобилист за 6 часов проезжает 540 км, а велосипедист за это же время проезжает 72 км. Во сколько раз скорость автомобилиста больше скорости велосипедиста?

- Прочитаем задачу.

- Что известно в задаче? (известнен путь автомобилиста и велосипедиста и время, за которое они проезжают этот путь)

-Правильно, что нужно найти в задаче? (Во сколько раз скорость автомобилиста больше скорости велосипедиста)

- Верно. Давайте составим таблицу к задаче и отметим все известные и неизвестные нам данные.

	S	V	t
Автомобилист	540 км	? км/ч	6 ч
Велосипедист	54 км	? км/ч	6 ч

- Что нужно сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Нам нужно найти скорость автомобилиста и скорость велосипедиста, а потом скорость автомобилиста разделить на скорость велосипедиста)

- Как мы найдем скорость автомобилиста и велосипедиста? (Нужно путь разделить на время)

- Верно. Во сколько действий решается задача? (В 3 действия)

- Запишем решение задачи:

1) 540 : 6 = 90 (км/ч) - скорость автомобилиста

2) 54 : 6 = 9 (км/ч) - скорость велосипедиста 3) 90 : 9 = 10

Ответ: скорость автомобилиста в 10 раз больше скорости велосипедиста.

Использование метода моделирования при решении задач на движение способствует сознательному и прочному усвоению материала.

Модели помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач. Моделирование наглядно представляет соотношения между данными и искомыми величинами.

2.3 Контрольный эксперимент

Завершив опытное обучение, мы провели контрольную работу, для того, чтобы выяснить, научились ли ученики строить модели, стали ли они чаще использовать моделирование на этапе поиска решения задачи и повлияло ли умение моделировать на сформированность умения решать задачи на движение.

Учащимся были предложены 2 задачи со следующими формулировками:

1) Реши задачу:

Со станции выехал автомобиль со скорость 60 км/ч. Через два часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 72 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первого?

При необходимости сделай рисунок, таблицу или схему.

2) Построй модель (рисунок, таблицу или схему) и, используя ее, реши задачу:

Скорость вертолета в 5 раз больше скорости автомашины. Вертолет за 2 часа пролетел на 480 км больше, чем машина проехала за это же время. Найти скорость вертолета.

Отметим, что подбор задач не был случаен. В определенном смысле они были аналогичны задачам, предъявленным детям во время констатирующего эксперимента. Первую из них можно отнести к задачам на движение двух объектов в одном направлении из одного и того же пункта с той лишь разницей, что объекты начинают движение в разное время. Вторую задачу на движение нельзя отнести к какому-то определенному типу, но важным здесь является тот факт, что построение схематического рисунка в данном случае может оказать ученику существенную помощь в поиске ее решения.

В 4 «Г» классе (экспериментальном) писали работу -22 человека, а в 4 «Б» классе (контрольном) - 21 человек.

На выполнение задания было отведено 20 минут. По истечению отведенного времени работы учеников были собраны для дальнейшей обработки. Полученные результаты отражены в таблицах.

Результаты решения задач в 4 «Г» классе на контрольном этапе